数学分析ch9-2上极限与下极限

xn – . (2) lim xn = 的充分必要条件是：对任意给定的 0，
n
(i) 存在正整数 N，使得
对一切 n N 成立；
xn
(ii) xn 中有无穷多项，满足
xn .
证 下面只给出(1)的证明，(2)的证明类似。
必要性：由于 是{ xn }的最大极限点，因此对于任意给定的 0 ， 在区间[ + , ) 上至多只有{ xn }中的有限项（请读者考虑为什么）。 设这有限项中最大的下标为 n0 。显然，只要取 N = n0 ，当 n N 时，必
H
= lim n
xn ；h
= lim
n
xn
。
定义 9.2.2 E 的最大值 H = max E 称为数列{ xn }的上极限，
E 的最小值 h = min E 称为数列{ xn }的下极限，记为
H
= lim n
xn ；h
= lim
n
xn
。
定理 9.2.2 设{ xn }是有界数列。则 xn 收敛的充分必要条件是
n
例 9.2.2 求数列 xn n(1)n 的上极限与下极限。
解 此数列为
1, 2, 1 , 4, 1 , 6, 1 , 8, …，
357
它没有上界，因而
lim
n
xn =
。
又由 xn 0，且{x2n1} 的极限为 0，即知
lim xn = 0。
n
例 9.2.3 求数列{ xn = -n}的上极限与下极限。
这么一直做下去，便得到{ xn }的子列{xnk } ，满足
xnk
k
1，
k
于是有
lim
k
xnk
lim
k
k
H。
由定义 9.2.1， H 是 xn 的极限点，也就是说， H E。
同理可证 h E。
定义 9.2.2 E 的最大值 H = max E 称为数列{ xn }的上极限，
E 的最小值 h = min E 称为数列{ xn }的下极限，记为
lim
n
xn = lim n
xn 。
证 若{ xn }是收敛的，则它的任一子列收敛于同一极限（定理 2.4.4），因而此时 E 中只有一个元素，于是成立
lim
n
xn
=
lim
n
xn
=
lim xn 。
n
若{ xn }不收敛，则至少存在它的两个子列收敛于不同极限，因此有
lim
n
xn
lim
n
xn 。
由于一个无上界（下界）数列中必有子列发散至正（负）无穷大， 按上述思路，可将极限点的定义扩充为
lim
n
xn
。
由(ii)，xn 中有无穷多项，满足
xn
–
，于是
lim
n
xn
。由
的任意性又可知
lim
n
xn
。
结合上述两式，就得到
lim
n
xn
=
。
上极限和下极限的运算
数列的上极限和下极限的运算一般不再具有数列极限运算的诸如
“和差积商的极限等于极限的和差积商”之类的性质。例如设 xn = (-1)n,
有
这就证明了(i)。
xn + ，
由于 是{ xn }的极限点，因此{ xn }中有无穷多项属于 的 邻域， 因此这无穷多个项满足
这就证明了(ii)。
xn – ，
充分性：由(i)，对任意给定的 0 ，存在正整数 N，使得当 n N
时，成立
xn
+
，于是
lim
n
xn
+
。由
的任意性可知
数学分析ch9-2上极限与下极限
定理 9.2.1 E 的上确界 H 和下确界 h 均属于 E，即
H = max E， h = min E。
证 由 H sup E 可知，存在k E (k 1,2,) ，使得
lim
k
k
H
。
取 k
1 k
(k 1,2,) 。
因为1是xn 的极限点，所以在 O(1,1) 中有xn 的无穷多个项，取
定义 9.2.1' 在数列{ xn }中，若存在它的一个子列{ xnk }使得
lim
k
xnk
（ ），
则称 为数列{ xn }的一个极限点。
“ = （或 ）是{ xn }的极限点”也可以等价地表述为：“对 于任意给定的 G > 0，存在{ xn }中的无穷多个项，使得 xn > G（或 xn < -G）”。
解
由于 lim n
xn
=
，因而
lim
n
xn
=
lim xn
n
=
lim
n
xn
=
。
为了以后讨论问题的方便，先证明一个有用的结论。
定理 9.2.3 设{ xn }是有界数列。则
(1)
lim
n
xn = 的充分必要条件是：对任意给定的
0，
(i) 存在正整数 N，使得
对一切 n N 成立；
xn +
(ii) xn 中有无穷多项，满足
定理 9.2.2'
lim
n
xn
存在（有限数、
或
）的充分必要条件
是
lim
n
xn
=
lim xn 。
n
例 9.2.1
求数列
xn
cos
2nπ 5
的上极限与下极限。
解
因为
x5n4
=
x5n1 = cos
2π 5
， x5 n3
=
x5n2
=
cos
π 5
， x5n
1 ，所以{
xn
}
的最大极限点是 1，最小极限点是 cos π ，即
yn
=
(-1)n+1，则 lim n
x
n
+
lim
n
yn =
2，而
lim
n
(
x
n
+
yn )
=
0，两者并不相等。
但我们还是可以得到下述关系。
上极限和下极限的运算
数列的上极限和下极限的运算一般不再具有数列极限运算的诸如
“和差积商的极限等于极限的和差积商”之类的性质。例如设 xn = (-1)n,
xn1 O(1,1) ；
因为 2 是xn 的极限点，所以在 O(2 , 2 ) 中有xn 的无穷多个项，
可以取 n2 n1 ，使得 Leabharlann Baidun2 O(2 ,2 ) ； ……
因为 k 是 xn 的极限点，所以在 O(k , k ) 中有 xn 的无穷多个项，
可以取 nk nk1 ，使得 xnk O(k ,k ) ； ……
5
lim
n
xn
1，
lim
n
xn
cos
π 5
。
例 9.2.2 求数列 xn n(1)n 的上极限与下极限。
解 此数列为
1, 2, 1 , 4, 1 , 6, 1 , 8, …，
357
它没有上界，因而
lim
n
xn =
。
又由 xn 0，且{x2n1} 的极限为 0，即知
lim xn = 0。
同样地，仍定义 E 为{ xn }的极限点全体。当 = （或 ）是 { xn }的极限点时，定义 sup E = （或 inf E = ）；当 = （或 ） 是{ xn }的唯一极限点时，定义 sup E = inf E = （或 sup E = inf E = ）。那么定理 9.2.1 依然成立，而定理 9.2.2 只要改为