大学高等数学 第一章第一节到第四节典型例题

n→∞
∴ 对上述 δ > 0, ∃N > 0, 使当n > N时, 恒有 0 < x n − x0 < δ.
从而有 f ( x n ) − A < ε,
故 lim f ( x n ) = A.
x→∞
sin x 例如, 例如 lim =1 x→0 x 1 lim n sin = 1, n→ ∞ n
y=
x →∞
∀ε > 0, ∃X > 0, 使当 x > X时, 恒有 f ( x ) − A < ε .
2.另两种情形 另两种情形: 另两种情形
10 . x → +∞ 情形 : xlim f ( x ) = A → +∞
∀ε > 0, ∃X > 0, 使当x > X时, 恒有 f ( x ) − A < ε .
x →a n→ ∞
时的一个子列 , 则有 lim f ( xn ) = A.
证 ∵ lim f ( x ) = A
x → x0
∴ ∀ε > 0, ∃δ > 0, 使当0 < x − x 0 < δ时, 恒有 f ( x ) − A < ε.
又 ∵ lim x n = x 0 且 x n ≠ x 0 ,
x → −0
y
1
o
x
−1
x x lim = lim = lim 1 = 1 x → +0 x → +0 x x+0 x
左右极限存在但不相等, 左右极限存在但不相等 ∴ lim f ( x ) 不存在. x →0
子列收敛性( 子列收敛性 函数极限与数列极限的关系)
+ − 定义 设在过程 x → a (a可以是 x0 , x0 , 或x0 )中
x → x0 x → x0
x → x0
将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷 将一般极限问题转化为特殊极限问题 意义 1.将一般极限问题转化为特殊极限问题 无穷 小);
2.给出了函数 f ( x )在 x 0附近的近似表达式 f ( x ) ≈ A, 误差为 α ( x ).
3.无穷小的运算性质 无穷小的运算性质: 无穷小的运算性质
定义 如果对于任意给定的正数ε(不论它多么 存在 正数N ,使 小),总 ),总 得对 n > N 时的 于 一切xn , 都成立, 不等式 xn − a < ε都成立 那末 , 就称常 a是数列 数
xn的极限,或者称数列xn收敛于a,记为 的极限,
lim xn = a,
n→∞
或xn → a (n → ∞).
0 < x − x 0 < δ 的一切 x , 对应的函数值 f ( x ) 都
满足不等式 f ( x ) − A < ε , 那末常数 A 就叫函数
f ( x ) 当 x → x 0 时的极限, 记作 时的极限,
x → x0
lim f ( x ) = A 或
f ( x ) → A(当x → x 0 )
如果数列没有极限,就说数列是发散的 如果数列没有极限 就说数列是发散的. 就说数列是发散的
数列极限的几何意义
∀ε > 0, ∃N ,
使得 N 项以后的所有项
x N +1 , x N + 2 , x N + 3 ,⋯⋯
都落在a点的ε邻域
(a − ε , a + ε )内
因而在这个邻域之外至多能有数列中的有限个点
"ε − δ"定义 ∀ε > 0, ∃δ > 0, 使当0 < x − x 0 < δ时,
恒有 f ( x ) − A < ε.
注
定义其三个要素： ①定义习惯上称为极限的ε—δ定义其三个要素： 10。正数ε，20。正数δ，30。不等式 ， | f ( x ) − A |< ε (0 <| x − x0 |< δ ) ②定义中 0 <| x − x0 |< δ 表示x ≠ x0 所以x →x0时，f(x) 有无极限与 f(x)在x0处的状态 在 并无关系，这是因为我们所关心的是f(x) 在x0附近 并无关系，这是因为我们所关心的是 的变化趋势， 变化有无终极目标， 的变化趋势，即 x →x0时f(x) 变化有无终极目标， 而不是f(x) 在x0这一孤立点的情况 。约定 →x0但 约定x 而不是
2ε
a−ε x 2 x1 x N + 1
a+ε
a
x N + 2 x3
x
注意： 数列极限的定义未给出求极限的方法. 注意： 数列极限的定义未给出求极限的方法
1. 定义:
不论它多么小), 定义 1 如果对于任意给定的正数ε (不论它多么小), 总存在着正数 X , 使得对于适合不等式 x > X 的一切
3.几何解释 几何解释: 几何解释
y=
ε A
sin x x
−X
−ε
X
当x < − X或x > X时, 函数 y = f ( x )图形完全落在以 直线y = A为中心线 , 宽为 2ε的带形区域内 .
1. 定义 :
定义 2 如果对于任意给定的正数 ε ( 不论它多 么小), 总存在正数 么小),总存在正数 δ , 使得对于适合不等式 ),
x ,所对应的函数值 f ( x ) 都满足不等式 f ( x ) − A < ε ,
那末常数 A就叫函数 f ( x ) 当 x → ∞ 时的极限, 记作 时的极限,
lim f ( x ) = A 或
x →∞
f ( x ) → A(当x → ∞)
"ε − X"定义
lim f ( x ) = A ⇔
⇒ 0 <| xn − a |< δ
故 | f ( xn ) − A |< ε
⇒ lim f ( xn ) = A
n→ ∞
设对 ∀xn , xn → a , xn ≠ a
都有
lim f ( xn ) = A
n→ ∞
要证 lim f ( x ) = A x→a
→ x→a
用反证法
若 lim f ( x ) ≠ A
n→ ∞
⇒ lim f ( x ) = A
x →a
1 例7 证明limsin 不存在 . x→0 → x
1 证 取 {x n } = , nπ lim x n = 0, 且 x n ≠ 0;
n→ ∞
y = sin
1 x
1 取 {x ′ } = , lim xn = 0, 且 xn ≠ 0; ′ ′ n 4n + 1 n→ ∞ π 2 1 而 lim sin = lim sin nπ n→ ∞ x n n→ ∞ 1 4n + 1 = lim 1 = 1, 而 lim sin = lim sin π n→ ∞ n→ ∞ x ′ n→ ∞ 2 n 1 二者不相等, 二者不相等 故 lim sin 不存在. x→0 → x
{ f ( xn )}, 即f ( x1 ), f ( x2 ),⋯, f ( xn ),⋯为函数 f ( x )
当x → a时的子列.
定理
有数列 xn ( ≠ a ), 使得n → ∞时xn → a .则称数列
若 lim f ( x ) = A, 数列 f ( xn )是f ( x )当x → a
sin x x
n2 n+1 1 sin 2 = 1 lim n sin = 1, lim n→ ∞ n + 1 n→ ∞ n n
函数极限与数列极限的关系 函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极 限都存在,且相等. 限都存在,且相等.
即 lim f ( x) = A ⇔∀xn , xn →a, xn ≠ a, lim f ( xn ) = A
0
则有 lim α( x ) = 0,
x → x0
∴ f ( x ) = A + α( x ).
充分性 设 f ( x ) = A + α( x ),
其中 α( x )是当x → x 0时的无穷小,
则 lim f ( x ) = lim ( A + α( x )) = A + lim α( x ) = A.
x → x0 − 0 − ( x → x0 )
右极限
∀ε > 0, ∃δ > 0, 使当x 0 < x < x 0 + δ时,
恒有 f ( x ) − A < ε. 记作 lim f ( x ) = A 或 f ( x 0 + 0) = A.
注意 : { x 0 < x − x 0 < δ } = { x 0 < x − x 0 < δ } ∪ { x − δ < x − x 0 < 0}
x→a n→∞
证明
设 lim f ( x ) = A
x→a
即 ∀ε > 0, ∃δ , 使当0 <| x − x0 |< δ时 恒有 | f ( x ) − A |< ε 再由 lim xn = a
n→ ∞
则对上述 δ > 0, ∃N ,
使当n > N时
又 xn ≠ a
有 | xn − a |< δ
x → x0 + 0 + ( x → x0 )
定理 : lim f ( x ) = A ⇔ f ( x 0 − 0) = f ( x 0 + 0) = A.
x → x0
x . 例6 验证lim 不存在 x→0 x →
x −x lim lim 证 x → −0 = x → −0 x x
= lim ( −1) = −1
2.无穷小与函数极限的关系 无穷小与函数极限的关系: 无穷小与函数极限的关系
理1 定 1 理
x→x0
lim f ( x) = A ⇔ f ( x) = A + α( x),
时的无穷小. 其中α(x)是当x → x0时的无穷小
证 必要性 设 lim f ( x ) = A, 令 α( x ) = f ( x ) − A, x→ x
1 ∴ 函数 是当x → ∞时的无穷小. x
( −1) n ( −1) n ∵ lim = 0, ∴ 数列{ }是当n → ∞时的无穷小. n→ ∞ n n
来自百度文库
注意 1.称函数为无穷小，必须指明自变量的 称函数为无穷小， 称函数为无穷小 变化过程； 变化过程； 2.无穷小是变量 不能与很小的数混淆 无穷小是变量,不能与很小的数混淆 无穷小是变量 不能与很小的数混淆; 3.零是可以作为无穷小的唯一的数 零是可以作为无穷小的唯一的数. 零是可以作为无穷小的唯一的数
定理2 在同一过程中,有限个无穷小的代数和 定理 在同一过程中 有限个无穷小的代数和 仍是无穷小. 仍是无穷小 证 设α及β 是当x → ∞时的两个无穷小 ,
即 ∃ε 0使对∀δ，都有 xδ 满足 0 <| x − xδ |< δ 但 | f ( xδ ) − A |≥ ε 0
1 1 现取 δ = 有 xn 满足 0 <| xn − a |< n n 但 | f ( xn ) − A |≥ ε 0 即 xn → a , xn ≠ a
此与 lim f ( xn ) = A 矛盾
A+ε A A−ε
y
y = f (x )
o
x0 − δ
δ
δ
x0
x0 + δ
x
显然 , 找到一个 δ后, δ越小越好 .
左极限
∀ε > 0, ∃δ > 0, 使当x 0 − δ < x < x 0时,
恒有 f ( x ) − A < ε. 记作 lim f ( x ) = A 或 f ( x 0 − 0) = A.
x≠x0
③δ＞0反映了x充分靠近 0的程度，它依赖于ε， 反映了 充分靠近x 的程度， 对一固定的ε而言，合乎定义要求的δ并不是唯 而言， 一的。 一的。δ由不等式 |f(x) －A|＜ε 来选定， ＜ 来选定， 一般地， 越小， 一般地，ε越小，δ越小
2.几何解释 几何解释: 几何解释
当x在x 0的去心 δ邻 域时,函数y = f ( x ) 图形完全落在以直 线y = A为中心线, 宽为2ε的带形区域内.
2 . x → −∞ 情形 : xlim f ( x ) = A → −∞
0
∀ε > 0, ∃X > 0, 使当x < − X时, 恒有 f ( x ) − A < ε .
lim 定理 : lim f ( x ) = A ⇔ x → +∞ f ( x ) = A且 lim f ( x ) = A. x → −∞ x →∞
1.定义 定义: 定义
极限为零的变量称为无穷小 极限为零的变量称为无穷小. 无穷小
么小), 定义 1 如果 于 对 任意给 定的正 ε(不 它多 数 论 么小), ),使得对于适合不等式 总存在正数δ ( 或正数 X ), 使得对于适合不等式
0 < x − x0 < δ (或 x > X )的一切x ,对应的函数值
f (x)都满足不等式 f (x) < ε,
那末 称函数 f (x)当x → x0(或x → ∞)时为 无穷小 记作
x→x0
lim f ( x) = 0 (或lim f ( x) = 0).
x→∞
例如, 例如
∵ lim sin x = 0, ∴ 函数 sin x是当x → 0时的无穷小.
x→0
1 ∵ lim = 0, x→∞ x