复数PPT课件

例1.辨析：
1．下列命题中的假命题是（D）
(A)在复平面内，对应于实数的点都在实 轴上；
(B)在复平面内，对应于纯虚数的点都在 虚轴上；
(C)在复平面内，实轴上的点所对应的复 数都是实数；
(D)在复平面内，虚轴上的点所对应的复 数都是纯虚数.
2．“a=0”是“复数a+bi (a , b∈R)是纯虚数”的（ ）
一一对应
实数
数轴上的点
(数)
(形)
类比实数的表示，
可以用什么来表示复数？
zabi(a,bR)
实部 虚部
一个复数由什么 唯一确定？
5、复数的几何意义
有序实数对(a,b)
一一对应
复数z=a+bi(a,b∈R)
直角坐标系中的点Z(a,b)
（数）
（形）
z=a+bi
y 建立了平面直角坐标系 来表示复数的平面
Z(a,b)
b ---复数平面(简称复平面)
a
o x x轴---实轴 y轴------虚轴
Βιβλιοθήκη Baidu
一一对应
复数z=a+bi(a,b∈R)
平 面 向 量 O Z
y
z=a+bi
Z(a,b)
b
a
ox
向 量 O Z 的 模 叫 做 复 数 z a b i 的 模 ， 记 为 z 或 a b i .
zabia2b2
二、实数集的进一步扩展
——— 数集的第四次扩展（R→?） 问题2 : 解方程 x²= - 2
x 2i,x2i
问题3 解方程 (x +1)²=-2
x 12 i,x 12 i
二、复数
1、复数的概念
形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数. 其中i是虚数单位. 全体复数所成的集合叫做复数集,C表示
C{abi|a,b R }
5、zab与 i zab为 i 共扼复数
例1. 判断下列各数, 哪些是实数?哪些是虚数? 若是虚数请指出实部与虚部.
(1) 32i; (2) 1 3i; 2
(3) 31i; (4) 0.2i; 2
(5) 21
(6) i2;
例2.实数m取什么值时，复数 z m 1 (m 1 )i是 （1）实数？ （2）虚数？（3）纯虚数？
解：由 m m22m m2600 得m32或 mm21
m ( 3 , 2 ) (1 ,2 )
表示复数的点所 转化 复数的实部与虚部所满
在象限的问题
足的不等式组的问题
(几何问题)
(代数问题)
一种重要的数学思想：数形结合思想
复数的几何意义（二）
一一对应
复数z=a+bi
直角坐标系中的点Z(a,b)
一一对应
(A)必要不充分条件 (B)充分不必要条件
(C)充要条件
(D)不充分不必要条件
3．“a=0”是“复数a+bi (a , b∈R)所对应的点在虚轴
上”的（ ）
(A)必要不充分条件 (B)充分不必要条件
(C)充要条件
(D)不充分不必要条件
例2. 已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内所对 应的点位于第二象限，求实数m允许的取值范围.
平面向量 O Z
一一对应
y
z=a+bi
Z(a,b)
b
a
ox
复数的绝对值 (复数的模) 的几何意义:
x2 1
引入一个新数 i ，使得该数的平方等于－1
即 i2 = -1
所以方程 x²= -1 的解为 x = i 或 x = - i
虚数单位 i
引入一个新数 i， 叫i 做虚数单位，并规定：
（1）它的平方等于 -1，即 i2 1.
（2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算 时，原有的加、乘运算律仍然成立．
2、复数的代数形式 通常用字母 z 表示，即
zabi(aR,bR)
实部 虚部
i 其中 称为虚数单位.
3、复数的分类及其关系
复数
abi
0(a0， b0)
实数 (b0)
非 0 实 (a数 0 ， b0 )
(a，bR)
纯虚 (a0 数 ， b0 )
虚数 (b0)
非纯(虚 a0， 数 b0)
NZ QRC
复数 z=a+bi(a,b∈R) 的共轭复数记作
z, 即zabi (a,bR)
三、复数的有关性质
1 、 zab为 i 实 b 数 0
2 、 za b为 i 纯 a虚 0 且 b 数 0 3 、 z a b c i d a i c 且 b d 4 、 z a b 0 i a 0 且 b 0
4、复数相等
如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就
说这两个复数相等．即如果 a,b,c,dR ，那么
a b i c d i a c ,b d
特别地，a+bi=0 a0,b0. 注： 两个复数（除实数外）只能说相等或不相 等，而不能比较大小.
5、共轭复数
实部相等,虚部互为相反数的两个复数 互为共轭复数.
例3. 设x，y∈R，并且 2x–1+xi=y–3i+yi，求 x，y.
解 2 x ： 1 x iy 3 i yi
即 (2 x 1 ) x iy (y 3 )i
由两个复数相等的定义得：2x
x 1 y y3
解得： x4,y7
实数的几何意义
在几何上，我们用 什么来表示实数?
实数可以用数轴上 的点来表示.
引进无理数后，我们已经能使方程x2=a(a>0) 永远有解，但是，这并没有彻底解决问题， 当a<0 时，方程 x2=a 在实数范围内无解。
为了使方程 x2=a(a<0) 有解，就必须把实数概 念进一步扩大，这就必须引进新的数。
二、实数集的进一步扩充
——— 数集的第四次扩充（R→?）
问题1: 对于一元二次方程 x2 10没有实数根．
第三章 复数
§3.1 数系的扩充和复数的概念
①解决实际问题的需要 由于计数的需要产生了自然数；为了表示具
有相反意义的量的需要产生了整数；由于测量的 需要产生了有理数；由于表示量与量的比值（如 正方形对角线的长度与边长的比值）的需要产生 了无理数（既无限不循环小数）。
②解方程的需要。
为了使方程 x+5=3 有解，就引进了负数； 为了使方程 3x=5 有解，就要引进分数；为了 使方程 x2=2 有解，就要引进无理数。
解: （1）当 m 10，即 m1时，复数z 是实数．
（2）当 m 10，即 m1时，复数z 是虚数．
（3）当 m 1 0
m
1
0
即m1时，复数z 是
纯虚数．
练习:当m为何实数时，复数 Z m 2 m 2 ( m 2 1 ) i是
（1）实数;（2）虚数 ;（3）纯虚数.
(1)m1; (2)m1; (3)m2.