动态规划应用举例教材课程

4 2 2 29 29+30=59* 59 2
3 1 43 43+11=54
4 0 55
55+0=55
k 1 时 ， 0 x 1 s 1 ,s 2 s 1 x 1
s1 D1(s1) s2 v1(s1,x v1(s1,x1)+f2( f1(s1) x1
1)
s2)
*
04 0
0+59=59
1 3 15 15+45=60*
❖ 阶段指标：vk(sk ,xk)=ckxk；
基本(递推)方程：
fk(sk)xkm D ikn (sk){ckxkfk1(sk1)} k7,6,L,1
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f8(s8)0
k 7 时 s 8 0 x 7 0 f7 (s 7 ) 0
由k状态6转时移方程f6可s6得:xs6m 7Di6ns6d7c6x64f7s6x6d6
min x611s6
10x6
11010s6
对应x611s6
。
k 5 时
f5
s5
min
x5D5s5
c5x5
f6
s5 x5 d5
min 9s5x511s5
20x5 11010 s5 x5 2
min 9s5x511S5
10x5 10s5 130
109s510s5 13022020s5
30 2 30 30+0=30*
45 3 45 45+0=45*
58 4 58 58+0=58*
k 2 时 ， 0 x 2 s 2 ,s 3 s 2 x 2
s2 D2(s2) s3 v2(s2,x2) v2(s2,x2)+f3(s3) f2(s2) x2*
000 0
0+0=0
00
01 0 1
7. 基本(递推)方程：
fk(sk)=max{vk(sk ,xk)+fk+1(sk+1)} 8. 终端条件：f4(s4)=0
k3时,x3s3
s3 D3(s3)
v3(s3,x3) v3(s3,x3)+f4(s4) f3(s3) x3*
00 1
1 2
2 3
3 4
4
0
0+0=0 0
0
11 1 11 11+0=11*
44218s2
对应x213s2
k 1时
f1s1 minc1x1 f2 s1 x1` d1
min 8s1x19s1
7x1 18s1 442
37911s1
及x1 9s1
因 s1 2
所以
f1s1357 并且
x
1
7
与上述运算顺序反推，结合状态转移方程，可得最优策略为:
x 1 7 ,x 2 4 ,x 3 9 ,x 4 3 ,x 5 0 ,x 6 4 ,x 7 * 0
4 2 2 28 28+30=58 60 1
3 1 40 40+13=53
4 0 51 51+0=51
最优解为:
(s14 )x 1 * 1 ,( s2s1x 1 *4 13 )x2 *0 , ( s3s2x2 *3 03 )x3 *3
即项目A投资1万元，项目B投资0万元，项目C投资3万元， 最大效益为60万吨。
❖ 阶段k：月份，k=1,2,…,7,；
❖ 状态变量sk：第k个月初（发货以前）的库存
量；
❖ 决策变量xk：第k个月的生产量； ❖ 状态转移方程：sk+1=sk-dk+xk；
❖ 决策允许集合：
❖ Dk(xk)={xk | xk0, dk+1sk+1H } ={xk | xk0, dk+1sk-dk+xkH }；
对应x5 9s5
注意:
D5(s5){x5/x50,d6s5x5d5H} {x5/x50,d6d5s5x59d5s5} {x5/x50,9s5x511s5}
k 4 时 f4 s4 x4m Di4ns4c4x4f5 s4x4d4
min17x4 22020(s4 x4 d4)
其中:
min3x4 20s4 280
第四步 把自己的求解放到一边，看书中的求解方法，要充分理 解教材中的论述.
第五步 对照自己的求解，分析成败。
资源分配问题
1. 阶段k：每投资一个项目作为一个阶段；
k=1,2,3
2. 状态变量sk：投资第k个项目前的资金数； 3. 决策变量xk：第k个项目的投资额； 4. 决策允许集合：0≤xk≤sk (k=1,2), x3=s3 5. 状态转移方程：sk+1=sk-xk 6. 阶段指标：vk(sk ,sk)见表中所示；
动态规划方法应用举例
学习例题的方法建议：
第一步 先看问题，充分理解问题的条件、情况及求解目标。
第二步 结合前面讲到的理论和解题过程，考虑如何确定问题的 状态变量,决策变量以及指标函数等——这一步在开始时会感到 困难，但是一定要下决心去思考，在思考过程中深入理解前文讲 到的概念和理论。
第三步 动手把建模思路数学地表达出来，或者说，把该问题作 为习题独立地来做。
1 0 13
0+11=11 13+0=13*
13 1
02 0
0+30=30*
2 1 1 13
13+11=24 30 0
2 0 29
29+0=29
03 0
0+45=45*
1 2 13 3
2 1 29
13+30=43 29+11=40
45 0
3 0 43
43+0=43
04 0
0+58=58
1 3 13 13+45=58
f3
s3
min
x3D3s3
c3x3
f4
s3x3d3
min max0,8s3x314s3
4x3 17s3 329
27313S3
对 应x314S3
以及, k 2 时，
f2
s2
min
x2D2s2
c2x2
f3
s2 x2 d2
min 13s2x217s2
5x2 13s2 377
生产库存问题
例２ 一个工厂生产某种产品,1-7月份生产成本和产品需求量的 变化情况如下表
月份(k) 1 2 3 4 5 6 7 生产成本(ck) 11 18 13 17 20 10 15 需求量(dk) 0 8 5 3 2 7 4
为了调节生产生产和需求，工厂设有一个产品仓库， 库容量H=9。已知期初库存量为2，要求期末（七月低） 库存量为0。每个月生产的产品在月末入库，月初根据 当月需求发货。求七个月的生产量，能满足各月的需 求，并使生产成本最低。
D4(s4){x4/x40,d5s4x4d49}
{x4/x40,d5d4s4x49d4s4}
{x4/x40,5s4x412s4}
于是:
f4
s4
min
x4D4s4
c4x4
f5
s4 x4d4
min max0,5s4x412s4
3x4 20s4 280
24417s4
对应x412s4
k3时 ， 同 理 可 得 ：