集合知识点及题型归纳总结(含答案)

集合知识点及题型归纳总结

知识点精讲

一、集合的有关概念 1．集合的含义与表示

某些指定对象的部分或全体构成一个集合．构成集合的元素除了常见的数、点等数学对象外，还可以是其他对象．

2．集合元素的特征

（1）确定性：集合中的元素必须是确定的，任何一个对象都能明确判断出它是否为该集合中的元素． （2）互异性：集合中任何两个元素都是互不相同的，即相同元素在同一个集合中不能重复出现． （3）无序性：集合与其组成元素的顺序无关．如{}{},,,,a b c a c b =． 3．集合的常用表示法

集合的常用表示法有列举法、描述法、图示法(韦恩图、数轴)和区间法． 4．常用数集的表示

R 一实数集 Q 一有理数集 Z 一整数集 N 一自然数集*

N 或N +一正整数集 C 一复数集

二、集合间的关系

1．元素与集合之间的关系

元素与集合之间的关系包括属于(记作a A ∈)和不属于(记作a A ∉)两种． 空集：不含有任何元素的集合，记作∅． 2．集合与集合之间的关系 （1）包含关系．

子集：如果对任意a A A B ∈⇒∈，则集合A 是集合B 的子集，记为A B ⊆或B A ⊇，显然A A ⊆．规定：A ∅⊆．

（2）相等关系．

对于两个集合A 与B ，如果A B ⊆，同时B A ⊆，那么集合A 与B 相等，记作A B =． （3）真子集关系．

对于两个集合A 与B ，若A B ⊆，且存在b B ∈，但b A ∉，则集合A 是集合B 的真子集，记作A

B 或

B A ．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．

三、集合的基本运算

集合的基本运算包括集合的交集、并集和补集运算，如表11-所示．

I

A

{|I

A x x =1．交集

由所有属于集合A 且属于集合B 的元素组成的集合，叫做A 与B 的交集，记作A B ⋂，即

{}|A B x x A x B ⋂=∈∈且．

2．并集

由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合，叫做A 与B 的并集，记作A B ⋃，即

{}|A B x x A x B ⋃=∈∈或．

3．补集

已知全集I ，集合A I ⊆，由I 中所有不属于A 的元素组成的集合，叫做集合A 相对于全集I 的补集，记作

I

A ，即{}|I A x x I x A =∈∉且．

四、集合运算中常用的结论 1．集合中的逻辑关系 （1）交集的运算性质．

A B B A ⋂=⋂，A B A ⋂⊆，A B B ⋂⊆ A I A ⋂=，A A A ⋂=，A ⋂∅=∅． （2）并集的运算性质．

A B B A ⋃=⋃，A A B ⊆⋃，B A B ⊆⋃ A I I ⋃=，A A A ⋃=，A A ⋃∅=． （3）补集的运算性质．

()I

I A A =，I I ∅=，I I =∅ ()I A A ⋂=∅，()I A A I ⋃．

补充性质：I

I I A B A A B B A B B A A B ⋂=⇔⋃=⇔⊆⇔⊆⇔⋂=∅．

（4）结合律与分配律．

结合律：()()A B C A B C ⋃⋃=⋃⋃ ()()A B C A B C ⋂⋂=⋂⋂． 分配律：()()()A B C A B A C ⋂⋃=⋂⋃⋂ ()()()A B C A B A C ⋃⋂=⋃⋂⋃． （5）反演律（德摩根定律）．

()()()I

I I A B A B ⋂=⋃

()()()I

I I A B A B ⋃=⋂．

即“交的补=补的并”，“并的补=补的交”． 2．由*

(N )n n ∈个元素组成的集合A 的子集个数

A 的子集有2n 个，非空子集有21n -个，真子集有21n -个，非空真子集有22n -个．

3．容斥原理

()()()()Card A B Card A Card B Card A B ⋃=+-⋂．

题型归纳及思路提示

I A

A

题型1 集合的基本概念

思路提示：利用集合元素的特征：确定性、无序性、互异性． 例1.1 设,a b R ∈，集合{}1,,0,

,b a b a b a ⎧⎫

+=⎨⎬⎩⎭

，则b a -=（ ） A ．1 B ．1- C ．2 D ．2-

解析：由题意知{}01,,a b a ∈+，又0a ≠，故0a b +=，得

1b

a

=-，则集合{}{}1,0,0,1,a b =-，可得1,1,2a b b a =-=-=，故选C 。

变式1 （2012新课标理1）已知集合{}{}1,2,3,4,5,(,)|,A B x y x A y A ==∈∈，则B 中所含元素的个数为（ ）．

A ．3

B ．6

C ．8

D ．10

变式2 （2013山东理2）已知集合{}{}0,1,2,|,A B x y x A y A ==-∈∈中元素的个数为（ ）．

A ．1

B ．3

C ．5

D ．9

变式3 若集合{}{},,lg()0,||,x xy xy x y =，则x = ，y = ．

题型2 集合间的基本关系 思路提示

（1）判断两集合的关系常用两种方法：一是逻辑分析法，即先化筒集合，再从表达式中寻找两集合的关系；二是用列举法表示各集合，从元素中寻找关系，这体现了合情推理的思维方法．

（2）已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常利用数轴和韦恩图辅助分析． 一、集合关系中的判断问题

例1.2 若{}{}{}|41,,|43,,|81,A x x n n Z B x x n n Z C x x n n Z ==+∈==-∈==+∈，则A ，B ，C 之间的关系为（ ）． A ．C

B A B ．A B

C ⊆ C ．C A B =

D ．A B C ==

解析：解法一：集合B 中元素434(1)1,x n n n Z =-=-+∈，故集合A B =，而集合C 中元素

421,x n n Z =⨯+∈，故C

A ．

解法二：列举{

}{

},7,3,1,5,9,

,,7,3,1,5,9,

A B =--=--，{

},7,1,9,

C =-．因此C

A B =，

故选C ．

评注：解法一是数学中“求同比异”的思想，值得学习；解法二是列举法，易于入手，也是做选择题的常用方法．

变式1 设集合1|,24k M x x k Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，1|,42k M x x k Z ⎧⎫

==+∈⎨⎬⎩⎭，则 A ．M N = B ．M

N C ．M

N D ．M N ⋂=∅