数学：12《应用举例》课件(新人教必修
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的应用
高在形什和后形一的圆经度物的“来两么世记内取解及理方解测，部是我纪载接得三工学法三量三分三国的，正了程角中。角”角内角古公六某《建，形形学。学容些元边周代筑有的问？最才的三形特髀很等关方题初被一三世、殊算早生向法是的看门角角纪正经就产量在三理作数学，十的》有实的度角解包学来二正里测我际计量学自是括分弦边，量国中算工的希解 三 学形已…方数…，也件基三 角 科腊的有面学有要、本角 函 。文边关的家广用测问形 数“长于知刘泛到量题的 和三时平识徽的解距之角计 解，面，在应三离一形算 三就测公计用角和。， 角”已量元算，
60° 75°
答：5 6 12.23海里
B
编辑ppt
3
请回答下列问题：
（1）什么是解三角形，我们学了 哪些相关的定理？ （2）关于解斜三角形，你掌握了 哪几种类型？
编辑ppt
4
知道它有多宽吗？
例2.为了开凿隧道,要测量隧道口D,E间的距离,为
此在山的一侧选取适当的点C(如图),测得 CA=482m,CB=631.5m,∠ACB=56018’,又测得A,B 两点到隧道口的距离AD=80.12m, BE=40.24m (A,D,E,B在一直线上).计算隧道DE的长
知道它有多高吗？
编辑ppt
13
例8 AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物 的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法
分析：由于建筑物的底部B 是不可到达的，所以不能直 接测量出建筑物的高。由解 直角三角形的知识，只要能 测出一点C到建筑物的顶部 A的距离CA,并测出由点C 观察A的仰角，就可以计算 出建筑物的高。所以应该设 法借助解三角形的知识测出 CA的长。
解：在ASB中，SBA＝115，
S 45，由正弦定理得
SB ABsin 20 16.1sin 20 7.787(n mile)
sin 45
sin 45
设点S到直线A B的距离为h, 则
h SB sin 65 7.06(n mile)
h 6.5n mile此船可以继续沿正北方向航行
答：此船可以继续沿正 编辑北 ppt 方向航行
编辑ppt
1
正弦定理
a b c 2R sin A sin B sin C （R为三角形的外接圆半径）
B
余弦定理
A
c
b
a
C
a2 b2 c2 2bccosA
b2 c2 a2 2cacosB
c2 a2 b2 2abcosC
b2 c2 a2 cos A
2 bc
c2 a2 b2 cos B
夹角∠CAB＝66°20′，求BC． 解：由余弦定理，得
最大角度
B2C A2B A2C 2AB AC coAs 1.925 1.420 21.9 51.4 0co 6s2 60 3.571
B C 1.8(m 9)
答：顶杆BC约长1.89m。
编辑ppt
A
C
9
B
解斜三角形应用举例
小结 实际问题
抽象概括 示意图
解：在⊿ABC中，
∠BCA=90°+β,
∠ABC=90°-α, ∠BAC=α-β, ∠BAD=α.根据正弦定理，
sin B a (C b)sin9A(0 Bb)
编辑ppt
16
所A 以 B Bs ， sC ia i9 n n b 0 ()(b)sB ia c n C b o b()s
解RtABD , 得
B
A C
D
编辑ppt
知
道
wk.baidu.com
它
有
多
长
吗
7
练习1、一艘船以32.2n mile / hr的速度向正 北航行。在A处看灯塔S在船的北偏东20o的 方向，30min后航行到B处，在B处看灯塔 在船的北偏东65o的方向，已知距离此灯塔 6.5n mile 以外的海区为航行安全区域，这 艘船可以继续沿正北方向航行吗？
构造三角形 算演
还原说明 实际问题的解
解三角形
注意合理性！
编辑ppt
10
试试看！
围墙
A
教室
B
编辑ppt
11
例6 在离湖面高为 h米的A处，测得云的仰
角为a，而湖中云之影（云在 湖中的象） 的仰角为b，试求云的高度 H。
知
道
它
有
多
高
吗
编辑ppt
12
例7：如何在平地上 测量位于山上的灯 塔顶部离地面的高 度？
8
练习2．自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算
油泵顶杆BC的长度．已知车厢的最大仰角是60°，油泵顶点B
与车厢支点A之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角为 6°20’6，02A0C 长为1.40m，计算BC的长（精确到0.01m）． 已知△ABC中AB＝1.95m，AC＝1.40m，
BD AB sin BAD BC cos b sin a sin(a b )
析：由余弦定理可解AB
A
长。进而求DE。
D
思1：能否直接解三角形
ABC？ 2：能否保证A、D、
E、B在一直线上？
C
编辑ppt
E B5
解斜三角形理论 在实地测量中的应用
编辑ppt
6
解三角形的应用---实地测量举例
例3、 为了测定河对岸两点A、B
间的距离，在岸边选定1公里长 的基线CD，并测得∠ACD=90o， ∠BCD=60o，∠BDC=75o， ∠ADC=30o，求A、B两点的距离.
2 ca
cos C a 2 b 2 c 2 2 ab
编辑ppt
2
知道它有多远吗？
例1海上有A、B两个小岛相距10海里，从
A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望
C岛和A岛成75°的视角，那么B岛和C岛
间的距离是
。
解：应用正弦定理，C=45 °
C
BC/sin60°=10/sin45° BC=10sin60 °/sin45°A
a ab A A B h E AsC i n h a sis ni n h ab 编辑s ppt i n)(
15
例9 在山顶铁塔上B处测得地面上 一点A的俯角α＝54°40′，在塔底 C处测得A处的俯角β＝50°1′。 已知铁塔BC部分的高为27.3m， 求出山高CD(精确到1m)
分析：根据已知条件，应该设 法计算出AB或AC的长
编辑ppt
14
例8 AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物 的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法
解：选择一条水平基线HG,使 H,G,B三点在同一条直线上。由 在H,G两点用测角仪器测得A的 仰角分别是α，β，CD=a,测角仪 器的高是h.那么，在⊿ACD中， 根据正弦定理可得
ACsiansa(inbb)
高在形什和后形一的圆经度物的“来两么世记内取解及理方解测，部是我纪载接得三工学法三量三分三国的，正了程角中。角”角内角古公六某《建，形形学。学容些元边周代筑有的问？最才的三形特髀很等关方题初被一三世、殊算早生向法是的看门角角纪正经就产量在三理作数学，十的》有实的度角解包学来二正里测我际计量学自是括分弦边，量国中算工的希解 三 学形已…方数…，也件基三 角 科腊的有面学有要、本角 函 。文边关的家广用测问形 数“长于知刘泛到量题的 和三时平识徽的解距之角计 解，面，在应三离一形算 三就测公计用角和。， 角”已量元算，
60° 75°
答：5 6 12.23海里
B
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请回答下列问题：
（1）什么是解三角形，我们学了 哪些相关的定理？ （2）关于解斜三角形，你掌握了 哪几种类型？
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知道它有多宽吗？
例2.为了开凿隧道,要测量隧道口D,E间的距离,为
此在山的一侧选取适当的点C(如图),测得 CA=482m,CB=631.5m,∠ACB=56018’,又测得A,B 两点到隧道口的距离AD=80.12m, BE=40.24m (A,D,E,B在一直线上).计算隧道DE的长
知道它有多高吗？
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13
例8 AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物 的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法
分析：由于建筑物的底部B 是不可到达的，所以不能直 接测量出建筑物的高。由解 直角三角形的知识，只要能 测出一点C到建筑物的顶部 A的距离CA,并测出由点C 观察A的仰角，就可以计算 出建筑物的高。所以应该设 法借助解三角形的知识测出 CA的长。
解：在ASB中，SBA＝115，
S 45，由正弦定理得
SB ABsin 20 16.1sin 20 7.787(n mile)
sin 45
sin 45
设点S到直线A B的距离为h, 则
h SB sin 65 7.06(n mile)
h 6.5n mile此船可以继续沿正北方向航行
答：此船可以继续沿正 编辑北 ppt 方向航行
编辑ppt
1
正弦定理
a b c 2R sin A sin B sin C （R为三角形的外接圆半径）
B
余弦定理
A
c
b
a
C
a2 b2 c2 2bccosA
b2 c2 a2 2cacosB
c2 a2 b2 2abcosC
b2 c2 a2 cos A
2 bc
c2 a2 b2 cos B
夹角∠CAB＝66°20′，求BC． 解：由余弦定理，得
最大角度
B2C A2B A2C 2AB AC coAs 1.925 1.420 21.9 51.4 0co 6s2 60 3.571
B C 1.8(m 9)
答：顶杆BC约长1.89m。
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A
C
9
B
解斜三角形应用举例
小结 实际问题
抽象概括 示意图
解：在⊿ABC中，
∠BCA=90°+β,
∠ABC=90°-α, ∠BAC=α-β, ∠BAD=α.根据正弦定理，
sin B a (C b)sin9A(0 Bb)
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所A 以 B Bs ， sC ia i9 n n b 0 ()(b)sB ia c n C b o b()s
解RtABD , 得
B
A C
D
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知
道
wk.baidu.com
它
有
多
长
吗
7
练习1、一艘船以32.2n mile / hr的速度向正 北航行。在A处看灯塔S在船的北偏东20o的 方向，30min后航行到B处，在B处看灯塔 在船的北偏东65o的方向，已知距离此灯塔 6.5n mile 以外的海区为航行安全区域，这 艘船可以继续沿正北方向航行吗？
构造三角形 算演
还原说明 实际问题的解
解三角形
注意合理性！
编辑ppt
10
试试看！
围墙
A
教室
B
编辑ppt
11
例6 在离湖面高为 h米的A处，测得云的仰
角为a，而湖中云之影（云在 湖中的象） 的仰角为b，试求云的高度 H。
知
道
它
有
多
高
吗
编辑ppt
12
例7：如何在平地上 测量位于山上的灯 塔顶部离地面的高 度？
8
练习2．自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算
油泵顶杆BC的长度．已知车厢的最大仰角是60°，油泵顶点B
与车厢支点A之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角为 6°20’6，02A0C 长为1.40m，计算BC的长（精确到0.01m）． 已知△ABC中AB＝1.95m，AC＝1.40m，
BD AB sin BAD BC cos b sin a sin(a b )
析：由余弦定理可解AB
A
长。进而求DE。
D
思1：能否直接解三角形
ABC？ 2：能否保证A、D、
E、B在一直线上？
C
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E B5
解斜三角形理论 在实地测量中的应用
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解三角形的应用---实地测量举例
例3、 为了测定河对岸两点A、B
间的距离，在岸边选定1公里长 的基线CD，并测得∠ACD=90o， ∠BCD=60o，∠BDC=75o， ∠ADC=30o，求A、B两点的距离.
2 ca
cos C a 2 b 2 c 2 2 ab
编辑ppt
2
知道它有多远吗？
例1海上有A、B两个小岛相距10海里，从
A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望
C岛和A岛成75°的视角，那么B岛和C岛
间的距离是
。
解：应用正弦定理，C=45 °
C
BC/sin60°=10/sin45° BC=10sin60 °/sin45°A
a ab A A B h E AsC i n h a sis ni n h ab 编辑s ppt i n)(
15
例9 在山顶铁塔上B处测得地面上 一点A的俯角α＝54°40′，在塔底 C处测得A处的俯角β＝50°1′。 已知铁塔BC部分的高为27.3m， 求出山高CD(精确到1m)
分析：根据已知条件，应该设 法计算出AB或AC的长
编辑ppt
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例8 AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物 的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法
解：选择一条水平基线HG,使 H,G,B三点在同一条直线上。由 在H,G两点用测角仪器测得A的 仰角分别是α，β，CD=a,测角仪 器的高是h.那么，在⊿ACD中， 根据正弦定理可得
ACsiansa(inbb)