数学 圆的综合的专项 培优易错试卷练习题含答案

一、圆的综合真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．如图，点P在⊙O的直径AB的延长线上，PC为⊙O的切线，点C为切点，连接AC，过点A作PC的垂线，点D为垂足，AD交⊙O于点E．

(1)如图1，求证：∠DAC=∠PAC；

(2)如图2，点F（与点C位于直径AB两侧）在⊙O上，BF FA

=，连接EF，过点F作AD 的平行线交PC于点G，求证：FG=DE+DG；

(3)在(2)的条件下，如图3，若AE=2

3

DG，PO=5，求EF的长．

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）EF=32．

【解析】

【分析】

（1）连接OC，求出OC∥AD，求出OC⊥PC，根据切线的判定推出即可；

（2）连接BE交GF于H，连接OH，求出四边形HGDE是矩形，求出DE=HG，FH=EH，即可得出答案；

（3）设OC交HE于M，连接OE、OF，求出∠FHO=∠EHO=45°，根据矩形的性质得出

EH∥DG，求出OM=1

2

AE，设OM=a，则HM=a，AE=2a，AE=

2

3

DG，DG=3a，

求出ME=CD=2a，BM=2a，解直角三角形得出tan∠MBO＝

1

2

MO

BM

=，tanP=

1

2

CO

PO

=,设

OC=k，则PC=2k，根据OP=5k=5求出k=5，根据勾股定理求出a，即可求出答案．【详解】

（1）证明：连接OC，

∵PC为⊙O的切线，

∴OC⊥PC，

∵AD⊥PC，

∴OC∥AD，

∴∠OCA=∠DAC，

∵OC=OA，

∴∠PAC=∠OCA，

∴∠DAC=∠PAC；

（2）证明：连接BE交GF于H，连接OH，

∵FG∥AD，

∴∠FGD+∠D=180°，

∵∠D=90°，

∴∠FGD=90°，

∵AB为⊙O的直径，

∴∠BEA=90°，

∴∠BED=90°，

∴∠D=∠HGD=∠BED=90°，

∴四边形HGDE是矩形，

∴DE=GH，DG=HE，∠GHE=90°，

∵BF AF

=，

∴∠HEF=∠FEA=1

2

∠BEA=190

2

o

⨯=45°，

∴∠HFE=90°﹣∠HEF=45°，

∴∠HEF=∠HFE，

∴FH=EH，

∴FG=FH+GH=DE+DG；

（3）解：设OC交HE于M，连接OE、OF，

∵EH=HF，OE=OF，HO=HO，

∴△FHO≌△EHO，

∴∠FHO=∠EHO=45°，

∵四边形GHED是矩形，

∴EH∥DG，

∴∠OMH=∠OCP=90°，

∴∠HOM=90°﹣∠OHM=90°﹣45°=45°，∴∠HOM=∠OHM，

∴HM=MO，

∵OM⊥BE，

∴BM=ME，

∴OM=1

2 AE，

设OM=a，则HM=a，AE=2a，AE=2

3

DG，DG=3a，

∵∠HGC=∠GCM=∠GHE=90°，∴四边形GHMC是矩形，

∴GC=HM=a，DC=DG﹣GC=2a，∵DG=HE，GC=HM，

∴ME=CD=2a，BM=2a，

在Rt△BOM中，tan∠MBO=

1

22 MO a

BM a

==，

∵EH∥DP，

∴∠P=∠MBO，

tanP=

1

2 CO

PO

=，

设OC=k，则PC=2k，

在Rt△POC中，，

解得：

在Rt△OME中，OM2+ME2=OE2，5a2=5，

a=1，

∴HE=3a=3，

在Rt△HFE中，∠HEF=45°，

∴

．

【点睛】

考查了切线的性质，矩形的性质和判定，解直角三角形，勾股定理等知识点，能综合运用性质进行推理是解此题的关键．

2．定义：有一个角是其邻角一半的圆内接四边形叫做圆内倍角四边形．

（1）如图1，四边形ABCD内接于⊙O，∠DCB﹣∠ADC=∠A，求证：四边形ABCD为圆内接倍角四边形；

（2）在（1）的条件下，⊙O半径为5．

①若AD为直径，且sinA=4

5

，求BC的长；

②若四边形ABCD中有一个角为60°，且BC=CD，则四边形ABCD的面积是；（3）在（1）的条件下，记AB=a，BC=b，CD=c，AD=d，求证：d2﹣b2=ab+cd．

【答案】（1）见解析；（2）①BC＝6，②753

或

75

4

；（3）见解析

【解析】

【分析】

（1）先判断出∠ADC=180°﹣2∠A．进而判断出∠ABC=2∠A，即可得出结论；

（2）①先用锐角三角函数求出BD，进而得出AB，由（1）得出∠ADB=∠BDC，即可得出结论；

②分两种情况：利用面积和差即可得出结论；

（3）先得出BE=BC=b，DE=DA=b，进而得出CE=d﹣c，再判断出△EBC∽△EDA，即可得出结论．

【详解】

（1）设∠A=α，则∠DCB=180°﹣α．

∵∠DCB﹣∠ADC=∠A，∴∠ADC=∠DCB﹣∠A=180°﹣α﹣α=180°﹣2α，∴∠ABC=180°﹣∠ADC=2α=2∠A，∴四边形ABCD是⊙O内接倍角四边形；

（2）①连接BD．

∵AD是⊙O的直径，∴∠ABD=90°．在Rt△ABD中，AD=2×5=10，sin∠A=4

5

，∴BD=8，根据勾股定理得：AB=6，设∠A=α，∴∠ADB=90°﹣α．

由（1）知，∠ADC=180°﹣2α，∴∠BDC=90°﹣α，∴∠ADB=∠BDC，∴BC=AB=6；

②若∠ADC=60°时．

∵四边形ABCD是圆内接倍角四边形，∴∠BCD=120°或∠BAD=30°．

Ⅰ、当∠BCD=120°时，如图3，连接OA，OB，OC，OD．