人教版初中数学多边形(含答案)-

暑假专题——多边形

（一）知识整理

1. 知识结构

2. 主要知识内容：

通过本章的学习，我们应掌握以下知识内容：

（1）瓷砖的铺设：

<1>密铺的特征：相邻几个多边形中，在同一顶点的几个角的和等于

<2>常见的地砖形状：三角形、四边形和正六边形

（2）三角形：

<1>三角形的分类

①三角形按边分类：

②三角形按角分类：

注意：等边三角形是特殊的等腰三角形，切记不能将三角形按边分成不等边三角形、等腰三角形和等边三角形三类。

<2>三角形各角之间的关系：

①三角形的内角和等于

②三角形的外角和等于（每个顶点处只取一个外角）

③三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和

④三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角

<3>三角形的三边关系：

①三角形的任何两边的和大于第三边

②判断三条线段能否构成一个三角形时，就看这三条线段是否满足任何两边之和大于第三边，其简便方法是看两条较短线段的和是否大于第三条最长的线段。

（3）多边形的内角和与外角和

①n边形的内角和等于，n边形的外角和等于

②正n边形的每个内角都等于，每个外角都等于

③n边形从一个顶点出发有条对角线，n边形共有条对角线

（4）用正多边形拼地板：

①正多边形拼地板的必要条件：围绕一点拼在一起的几个正多边形的内角加在一起恰好组成一个周角。

②一种正多边形能密铺平面的只有：正三角形、正方形和正六边形

③两种或两种以上正多边形组合密铺平面的设计。

【例题分析】

例1. （1）如图（a），求证：

（2）如图（b），若，求的度数。

分析：我们知道，三角形的一个外角等于和它不相邻的两内角之和，这里是求证一个角等于三个角的和，这就启示我们要将此图化为三角形进行研究。

解：（1）法一：如图1，延长BD交AC于E

法二：如图2，连结AD并延长至E

则

即

法三：如图3，连结BC

即

（2）

例2. （辽宁省03年中考）已知

中，

，角平分线BE 、CF 相交于O ，如图所示，

的度数应为（ ） A. B. C.

D.

分析：

与已知角

不在一个三角形中，要建

立

和的联系，需应用三角形内角和定理，通过

与建立它们之间的联系。 解：分别是角平分线

选A

（拓展延伸）

（1）本题是近几年全国各省市中考题的热点之一，陕西省、山西省、辽宁省几省市近三年的中考题都考了本题的特例。

（2）如图，角平分线AD 、BE 、CF 交于O ，类似的有

（3）由上述结果，

故与互余，图中还有其它互余的角吗？

例3. （山东省03年中考题）已知一个等腰三角形的三边长分别为x，，，其周长为________

分析：从等腰三角形的两腰相等入手，根据题意，设其中两边为腰，列出关于x的方程，进而可求各边长，同时应考虑到应分三种情况讨论。

解：（1）若，则，三边分别为1，1，2

（2）若，则，三边长分别为

（3）若，则，三边长分别为

（1）（2）两种情况不符三边关系定理，故舍去

其周长为

易错分析：解本题除注意分类讨论外，还应注意到等腰三角形三边也应满足三角形三边关系这一隐含条件。

例4. 如果多边形的边数增加1，那么这个多边形的内角和增加多少度？将n边形的边数增加1倍，则它的内角和增加多少度？上述两种情况下外角和怎样变化？

解：设这个多边形的边数为n，当边数增加1后，多边形的边数变为(n+1)，则两个多边形的内角和之差为

当多边形的边数增加1倍时，边数变化为2n，则此时两个多边形的内角和之差为

上述两种变化情况下，多边形的外角和保持不变，都是

例5. （1）已知如图（a），在中，于D，AE平分，则

与有何数量关系？

（2）如图（b），AE平分，F为其上一点，且于D，这时与

又有何数量关系？

（3）如图（c），AE平分，F为AE延长线上一点，于D，这时与又有何数量关系？

分析：在（1）问中，要找出与的数量关系，可考虑利用三角形内角和定理

及三角形的外角性质转化，同时应注意灵活运用图中隐含的角与角的和差关系，在解决第（2）、（3）问时，应注意把它转化为第（1）问的情形，运用第（1）问的结论，过点A作，则有

解：（1）

平分

即

（2）如图（b），过A作于G，由（1）知

（b）

（c）

（3）如图（c），过点A作于G，由（1）知

说明：在处理三角形中角的问题时，有时需要从整体出发进行思考，有时也可以通过适当添加辅助线使未知问题转化成已解决的问题，像本题这种类型的题目，既要看到图形的变化，又要抓住变化中的内在联系。

例6.如图，点A、O、B在同一直线上，点C、O、D在同一直线上，的平分线交

的平分线于点P

（1）若，求的度数；

（2）试归纳与之间的关系

分析：本题图形较复杂，涉及的三角形较多，虽然与的度数是已知的，但和的形状是可以改变的，因此图中许多角的度数在变化，为什么是不变量呢？

解：（1）在和中，有

在和中，有

平分，DP平分

（2）由（1）知与之间的关系为

【模拟试题】（答题时间：60分钟）

1. 已知等腰三角形两边长分别为4和9，则第三边的长为____________

2. 两个木棒的长分别为3cm和5cm，要选择第三根木棒，将它们钉成一个三角架，若第三根木

棒长为偶数，则第三根木棒长__________cm。

3. 已知a、b、c为三角形三边的长，且，则这个三角形的形状为

__________.

4. 如图1，已知，（1）若点O为两角平分线的交点，则________；（2）

若点O为两条高的交点，___________。

(1) (2) (3)

5. 如图2，在四边形ABCD中，，则

____________.

6. 等腰三角形的周长为20cm，（1）若其中一边长为6cm，则腰长为_________；（2）若其中

一边长为5cm，则腰长为__________.

7. 过n边形的一个顶点有2m条对角线，m边形没有对角线，k边形有k条对角线，则

_________.

8. 如图3，的面积等于，D为AB的中点，E是AC边上一点，且，

O为DC与BE交点，若的面积为，的面积为，则____________.

9. 三角形中，最大角的取值范围是（）

A. B.

C. D.

10. 一个三角形的周长为奇数，其中两条边长分别为4和1997，则满足条件的三角形的个数是

（）

A. 3

B. 4

C. 5

D. 6

11. 能铺满地面的正多边形组合是（）

A. 正三角形和正八边形

B. 正五边形和正十边形

C. 正三角形和正十二边形

D. 正六边形和正八边形

12. 如图，在中，D是BC上一点，若，，则与的关系为（）

A. B.

C. D.