离散数学-第七章二元关系课后练习习题及标准答案

第七章作业

评分要求：

1. 合计１０0分

2．给出每小题得分(注意: 写出扣分理由).

３.总得分在采分点１处正确设置.

1 设R={＜ｘ,y>|x,ｙ∈N且x+３y=１２}．【本题合计10分】

(1) 求R的集合表达式（列元素法）；

(２) 求domR，ｒanR;

(3) 求R◦Ｒ;

（4）求R↾{2,3,4,6};

（5) 求Ｒ［{3｝］；

解

(1) R＝｛＜0,4>，<3，3>，＜6,2＞,<９,1＞,<12,0＞}【２分】

(2) ｄomＲ={０,3，6,9，12},rａnR={0,1，２，3，4｝【２分】(３)R◦R=｛＜3,３＞，<0,４>}【2分】

（4) R↾{2,３，４,6}={＜3,3＞, <6，2>｝【2分】

(５)R［{3}]={3}【2分】

2 设R,Ｆ,G为A上的二元关系. 证明:

(１）Ｒ◦（Ｆ∪Ｇ)=R◦F∪Ｒ◦G

(2)Ｒ◦(F∩Ｇ)⊆R◦F∩Ｒ◦G

(3)R◦(F◦G)＝(R◦Ｆ)◦G.

【本题合计18分：每小题6分,证明格式正确得３分,错一步扣1分】证明

(1)∀,

∈Ｒ◦(F∪Ｇ)

⇔∃ｔ(ｘＲｔ∧t(Ｆ∪G）y)复合定义

⇔∃t（ｘRｔ∧（ｔFy∨tGy）∪定义

⇔∃t((xRt∧tFy）∨(xRt∧tGy))ﻩ∧对∨分配律

⇔∃t(xRｔ∧tFｙ)∨∃t(xRt∧tＧｙ）ﻩ∃对∨分配律

⇔x（R◦F）y∨x(R◦G)y 复合定义

⇔x(R◦F∪R◦Ｇ）yﻩ∪定义

得证

（2)∀＜x,y>,

x（R◦(F∩Ｇ）)y

⇔∃t(xRt∧t（F∩G)y) ﻩ复合定义

⇔∃t(xＲｔ∧(tFy∧tGy）)ﻩ∩定义

⇔∃t((xＲt∧tFy)∧(xRt∧ｔGy)）∧幂等律, ∧交换律, ∧结合律⇒∃t(xRt∧ｔＦｙ)∧∃t（xRt∧ｔGy）ﻩ补充的量词推理定律

⇔x(Ｒ◦Ｆ)y∧x(Ｒ◦G)y 复合定义

⇔ｘ(Ｒ◦F∪R◦G)y ∪定义

得证

(3)∀,

ﻩ＜x,y>∈R◦（Ｆ◦G)

⇔∃s (＜x,s>∈Ｒ∧

⇔∃s(＜x,ｓ>∈Ｒ∧∃t （∈F∧∈G)）)ﻩ◦定义

⇔∃ｓ∃t（<ｘ,s>∈R∧<ｓ,ｔ＞∈F∧＜t,y＞∈G)ﻩ辖域扩张公式

⇔∃t∃ｓ((＜ｘ,s>∈R∧∈G) 存在量词交换

⇔∃ｔ(∃s(∈R∧

⇔∃t(∈(R◦F)∧<ｔ，y>∈G)ﻩ复合定义

⇔<ｘ，ｙ>∈（R◦F)◦Ｇﻩ复合定义

得证

3 设F＝{＜x，y>|x－y+2＞０∧x-y-2<0}是实数集R上的二元关系, 问F具有什么性质并说明理由.

【本题合计１0分:每种性质２分----答对得1分,正确说明理由得1分】

解Ｆ=｛＜x，y＞|x-y+2>0∧x－ｙ-２<０}＝｛|－2

自反性：∀x∈Ｒ, ＜x，ｘ>∈F显然.

对称性: ∀,

ﻩ

不具有反自反性：反例<2,2>∈Ｆ

不具有反对称性: 反例<2,3＞,<3,2>∈Ｆ, 显然2≠３

不具有传递性:反例＜2,３.５>,<3.5,5>∈F, 但＜2,5＞不属于F.

4 设A＝｛ａ，b,c}, R=｛<ａ,ｂ＞,＜a,ｃ＞｝,

(1) 给出R的关系矩阵;

(2) 说明R具有的性质(用关系矩阵的判定方法说明理由)

【本题合计12分:第（1)小题２分；第（2)小题10分----答对性质得1分，说明理由得1分】解

（1)R的关系矩阵M(R)为

0ﻩ１１

0 0ﻩ0

0 0 0

（2)

不具有自反性: M(R)的主对角线不是全为1

是反自反的: M(R)的主对角线全为0

不具有对称性: M(R)不是对称的

是反对称的: M（R)对称的位置至多有一个1

是传递的: M（Ｒ２)如下

0ﻩ0ﻩ0

００ﻩ０

０ﻩ０0

显然满足:如果Ｍ（R2)任意位置为1, 则M(Ｒ)对应位置也为1

5设A≠ø, Ｒ⊆A×A, 证明

（1)r(R)=R∪ＩA

(2) s（R)＝Ｒ∪R-１

【本题合计１２分，每小题6分--－-证明格式正确得2分，过程错误一步扣1分】

证明

(1) 只要证明r(Ｒ）⊆Ｒ∪I A和Ｒ∪IＡ⊆r（Ｒ)即可

先证ｒ（Ｒ)⊆R∪ＩA:

I A⊆Ｒ∪ＩA

⇒R∪I A自反（自反性的充要条件）

⇒ｒ(R)⊆R∪ＩA (自反闭包的最小性)

再证Ｒ∪I A⊆ｒ（Ｒ)：

R⊆ｒ(Ｒ）∧ＩA⊆r（R)(自反闭包的性质及自反性的充要条件)

⇒Ｒ∪I A⊆r(Ｒ）

得证

(２）只要证明s(R)⊆R∪R-１及R∪R－1⊆s（R)即可

先证s(R)⊆R∪R-1:

(R∪R-１)-１=R∪R－1 (理由如下: ∀＜x，y>,

∈(R∪R-1)－１

⇔∈R∪R-1 (逆运算定义)

⇔∈Ｒ∨∈Ｒ-1(∪定义）

⇔<ｘ，y＞∈Ｒ-1∨∈Ｒ(逆运算定义)

⇔＜x，y>∈Ｒ∪R-１(∪定义，∪交换律)

所以(Ｒ∪R-１)-1=Ｒ∪R-１)

ﻩ⇔R∪R-１是对称的(对称性的充要条件)

ﻩ⇒ｓ(R)⊆R∪Ｒ-1 (对称闭包的最小性)

再证R∪R-1⊆s（Ｒ）:

ﻩR⊆s(Ｒ) (闭包定义) ∧R－１⊆s(R)(后者理由如下：

ﻩﻩ∀,

<ｘ,y＞∈R-1

ﻩﻩﻩ⇔<ｙ,x>∈R (逆运算定义）

ﻩﻩﻩﻩ⇒∈s(R)

ﻩﻩ⇒＜x，y>∈s(R) (s（R)是对称的)

ﻩﻩ所以R-1⊆s(R) )

ﻩ⇒Ｒ∪Ｒ-１⊆s（R)

得证

6 设A＝{ａ，b,ｃ,d｝,R＝{,，,＜c，d＞,}, 用Ｗａrshall 算法求ｔ(Ｒ).

【本题合计8分】

解依次求出W０,Ｗ1,W2,W3,W4=ｔ(Ｒ)【2分】

W0=M(R）=0ﻩ０0 １

ﻩﻩ 1 0ﻩ1 0

1 0 0 １

ﻩ0 ０1ﻩ0

【１分】