机械制图第三章课件
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第三章-机械制图正投影法与三视图课件
图3-11
点的坐标
六、 点的投影与坐标
x
y
z
z
y
x
点A到H面的距离 Aa=a'aX=a"aY=点A的z坐标; 点A到Y面的距离 Aa'=aaX=a"aZ=点A的y坐标; 点A到W面的距离 Aa"=a'aZ=aaY=点A的x坐标。
[例题1] 已知点A的正面与侧面投影,求点A的水平投影。
a
[例题2]已知点的两面投影,求作其第三面投影。
三视图的投影关系
上 上
左 下
右
后 下
前
后 左 前
右
第三节 点的投影
一、 点的投影特性 点的投影特性:点的投影永远是点。 二、 点的投影标记 按统一规定,空间 点用大写字母A、B、 C…标记。空间点在H 面上的投影用相应的 小写字母a、b、c… 标记;在V面上的投 影用小写字母加一撇 a′、b′、c′…标记;在 W面上的投影用小写 字母加两撇a″、b″、 c″…标记。
三视图的投影规律
主左视图高平齐
主俯视图长对正
俯左视图宽相等
主、俯视图中相应投影的长度相等——长对正; 主、左视图中相应投影的高度相等——高平齐; 俯、左视图中相应投影的宽度相等——宽相等
3
方位关系
三视图不仅反映了物体的长、宽、高,同时也反映了物体的上、下、左、 右、前、后六个方位的位置关系。
可以看出: 主视图反映了物体的上、下、左、右方位。 俯视图反映了物体的前、后、左、右方位。 左视图反映了物体的上、下、前、后方位。
三视图的形成
主视图 — 由前向后投射,在V面上所得的视图; 俯视图 — 由上向下投射,在H面上所得的视图; 左视图 — 由左向右投射,在W面上所得的视图。
机械制图(第二版)课件第3章 基本形体的投影规律
第3章 基本形体的投影规律
3.1.2 棱锥 棱锥是由几个三角形的侧棱面和一个多边形的底面围成
的。各侧棱面为共顶点的三角形。 图3-2所示为一正三棱锥,底面为等边三角形,三个侧
面为全等的等腰三角形。底面放置成水平位置,并使棱锥左 右对称(后棱面垂直于W面)。
第3章 基本形体的投影规律
1.投影分析和画法 因为底面ABC为水平面,所以其水平投影abc反映实形, 正面投影和侧面投影均积聚为水平线段。棱面SAB和SBC为 一般位置平面,三面投影均为缩小的类似三角形。因该两棱 面左、右对称,故侧面投影重合。棱面SAC为侧垂面,所以 侧面投影sa(c′)积聚为斜线段,水平投影和侧面投影为缩小 的类似三角形,如图3-2(b)所示。 作图时,先画出各投影的对称线,然后画底面的水平投 影和另两面投影,再画顶点的各面投影并连接各点即可。
第3章 基本形体的投影规律
3.2.2 圆锥 圆锥是由圆锥面和底圆平面围成的。 图3-5为轴线处于铅垂线位置时的圆锥直观图及投影图。
第3章 基本形体的投影规律
图3-5 圆锥的投影
第3章 基本形体的投影规律
1.投影分析和画法 圆锥的底圆平面为水平面,其水平投影为圆,且反映实 形;其正面投影和侧面投影均积聚为直线段,长度等于底圆 的直径。 圆锥面的三个投影均无积聚性。圆锥面的水平投影为圆, 且与底圆平面的水平投影重合,整个圆锥面的水平投影都可 见;圆锥面的正面投影应画出该圆锥面正视转向轮廓线的正 面投影。圆锥面上最左、最右两条素线SA、SB是正视时可 见(前半个圆锥面)与不可见(后半个圆锥面)的分界线,是正 视转向轮廓线。其正面投影s′a′、s′b′必须画出;其水平投影 与圆的水平中心线重合,省略不画;其侧面投影s″a″、s″b″ 与圆锥轴线的侧面投影重合,也省略不画。
机械制图-第3章PPT课件
在以后绘图和不引起误解的情况下,轴测轴OX1、OY1、OZ1可以 简化为OX、OY、OZ,轴向伸缩系数p1、q1、r1可以简化为p、q、r。
.
5
类型 正等轴测图 正二轴测图 斜二轴测图
立方体
表3.1
图例 轴测轴的位置
简化伸缩系数 p1=q1=r1=1
p1=r1=1 q1=0.5
p1=r1=1 q1=0.5
.
28
思考与练习
二、简答题 1.什么叫坐标法?坐标法适合于绘制何种类型的轴测图? 2.什么叫切割法?切割法适合于绘制何种类型的轴测图? 3.什么叫堆叠法?堆叠法适合于绘制何种类型的轴测图? 4.轴测图与三维立体图有何区别和联系? 5.简述绘制轴测图的方法和步骤
.
29
(1)建立原坐标轴和坐标原点,作圆的外切正方形abcd; (2)画轴测轴和原点,直接量取实际长度以确定点1、2、3、4的位置,作平行 于轴测轴的线段,得菱形ABCD; (3)分别以B、D为圆心,以R1为半径作大圆弧; (4)连接点B和4、 点B和3、点A和C,得交点O1和O2,就是小圆弧的圆心,以 R2为半径,作小圆弧,分别与大圆弧相切于点1、2、3、4,即可得到由四段圆 弧组成的近似椭圆。
.
9
3.2.2 画平面立体正等轴测图
一、坐标法画长方体
(1)建立原坐标轴和坐标原点; (2)画轴测轴和原点,量取平行于轴测轴的线段的长度,确定顶点O1、A1、 B1、C1的位置; (3)在Z轴上确定高度h,即可确定对应顶点O2、A2、B2、C2的位置; (4)连接各点,擦去多余线段,描深。
.
10
二、坐标法画正六棱台
.
19
〓想一想〓
2、如图所示为平行于三个不同坐标面的U形槽的 正等轴测图,它们所对应的三视图相同吗?为 什么?
.
5
类型 正等轴测图 正二轴测图 斜二轴测图
立方体
表3.1
图例 轴测轴的位置
简化伸缩系数 p1=q1=r1=1
p1=r1=1 q1=0.5
p1=r1=1 q1=0.5
.
28
思考与练习
二、简答题 1.什么叫坐标法?坐标法适合于绘制何种类型的轴测图? 2.什么叫切割法?切割法适合于绘制何种类型的轴测图? 3.什么叫堆叠法?堆叠法适合于绘制何种类型的轴测图? 4.轴测图与三维立体图有何区别和联系? 5.简述绘制轴测图的方法和步骤
.
29
(1)建立原坐标轴和坐标原点,作圆的外切正方形abcd; (2)画轴测轴和原点,直接量取实际长度以确定点1、2、3、4的位置,作平行 于轴测轴的线段,得菱形ABCD; (3)分别以B、D为圆心,以R1为半径作大圆弧; (4)连接点B和4、 点B和3、点A和C,得交点O1和O2,就是小圆弧的圆心,以 R2为半径,作小圆弧,分别与大圆弧相切于点1、2、3、4,即可得到由四段圆 弧组成的近似椭圆。
.
9
3.2.2 画平面立体正等轴测图
一、坐标法画长方体
(1)建立原坐标轴和坐标原点; (2)画轴测轴和原点,量取平行于轴测轴的线段的长度,确定顶点O1、A1、 B1、C1的位置; (3)在Z轴上确定高度h,即可确定对应顶点O2、A2、B2、C2的位置; (4)连接各点,擦去多余线段,描深。
.
10
二、坐标法画正六棱台
.
19
〓想一想〓
2、如图所示为平行于三个不同坐标面的U形槽的 正等轴测图,它们所对应的三视图相同吗?为 什么?
机械制图第三章 几何元素间的相对位置关系
二、点的投影变换规律
1.点的一次变换 2.点的投影变换规律 3.点的两次变换
1.点的一次变换
V1⊥H,投影轴为O1X1
a1′ax1⊥o1x1, aax1⊥o1x1, a1′ax1=a′ax
V1 a1
ax
ax1
X1
V1 a1
a1
aa1′⊥o1x1
2. 点的投影变换规律
(1) 点的新投影和不变投影的连线,必垂直于新投影轴。
c
a
k
k a
c
n
[例题9] 试过定点K作特殊位置平面的法线。
h
h
h
h
(a)
h
(b)
h
(c)
[例题10] 试求定点A到一般位置直线EF的距离。
分析
过已知点A作平面垂直于已知直线EF,并交于点K,连接AK,
AK即为所求直线的投影,在由直角三角形求出实长。
A
E
K
F
作图
2
f 2 k
a2 b2
b1
V1
a1
X1
作图过程
把一般位置直线变为投影面垂直线 a2 b2
[例题2] 求点C到直线AB的距离(例题11)
提示
作图过程
作图
a1 c1
k1 b1
k'
b'2 k'2
a'2
c'2
距离
k
[例题3] 求两直线AB与CD的公垂线 。
b 1
2
1
2
c2
22
12
c'1
2'1
d'1
d2
平行,则该直线与该平面平行。
直线与平面平行
机械制图第3章
第 3 章 基本体及其表面交线
3.3 平面与立体相交
平面与平面体相交 3.3.1 平面与平面体相交 平面与立体表面相交而产生的交线称为截交线。 这个截 交线是一个平面多边形,此多边形的各个顶点就是截平面与平 面体的棱线的交点, 称为贯穿点。在求作棱柱或棱锥的截交线 时,常常先求出贯穿点, 即侧棱线或底棱与截平面的交点, 然 后依次连成截交线。 棱柱的截交线 1. 棱柱的截交线 例 3-1 图3-7所示的L形棱柱被正垂面P切割, 求作切割后 棱柱的三视图。
第 3 章 基本体及其表面交线
图 3-1 正三棱柱及其表面上点的投影
第 3 章 基本体及其表面交线 投影分析 1. 投影分析 如图3-1所示,正三棱柱的两端面(顶面和底面)平行于水平 面, 后侧棱面平行于正面, 另外两个棱面垂直于水平面。 在这 种位置下, 三棱柱的投影特征是: 顶面和底面的水平投影重合, 并反映实形——正三角形。三个侧棱面的水平投影积聚为三角 形的三条边。
第 3 章 基本体及其表面交线
图 3-10 正垂面切割三棱锥的截交线的作图步骤
第 3 章 基本体及其表面交线 作图 作图 (1) 根据三棱锥的三视图以及p′的位置, 由s′a′和s′c′与p′的交 点d′和f′,分别在sa、 sc和s″a″、s″c″上直接求出d、 f和d″、 f″, 如图3-10(a)所示。 (2) 由于SB是侧平线, 因此必须由s′b′与p′的交点e′在s″b″ 上求出e″, 再由45°线或利用宽相等的投影关系在sb上求出e, 如 图3-10(b)所示。 (3) 连接各点的同面投影即为所求交线的三面投影,擦去作 图线, 将切割后三棱锥的图线描深, 如图3-10(c)所示。
第 3 章 基本体及其表面交线 2. 作图方法 作图方法 画圆锥的三视图时, 应先画各投影的中心线, 再画底面圆的 各投影, 然后画出锥顶的投影和等腰三角形, 完成圆锥的三视图。 3. 圆锥体表面上点的投影 圆锥体表面上点的投影 如图3-5所示,已知圆锥体表面上点M的正面投影m′,求作m和 m″。根据M点的位置和可见性, 可确定点M在前、左方圆锥面上, 点M的三面投影均为可见。
《机械制图》第三章电子课件1
AB//CD d
JAC大学
教育无他,爱与榜样而已
3.1.3
1.三投影面体系
三视图的分类
JAC大学
教育无他,爱与榜样而已
2.三视图的形成
俯视
Z
规定 : V面保持不动,H面向下向后绕 OX轴旋转900,W面向右向后绕OZ轴 旋转900。
z
V
x
X
0
y
左视
Y
y
JAC大学
主视
教育无他,爱与榜样而已
3. 三 视 图 之 间 的 度 量 对 应 关 系
JAC大学
教育无他,爱与榜样而已
3.2.3
点的三面投影规律
点的三面投影规律: 一点的两投影之间的连线垂直于投影轴;点 的一个投影到某投影轴的距离等于空间点到与该 投影轴相邻的投影面之间的距离。 因此在求作点的'投影时,应保证做到:点的V 面投影与H面投影之间的连线垂直于0X轴,即a'a 上0X ;点的V面投影与W面投影之间的连线垂直0Z 轴,即a' a"上0Z;点的H面投影到0X轴的距离及 点的W面投影到0Z 轴的距离两者相等,都反映点 到V面的距离。
V
Z
高
长
X
长
高 宽 长
O
H
JAC大学
Y
教育无他,爱与榜样而已
4.三视图与物体方位的对应关系
V
上 左 右 上
Z
上
下 后
后
X
O
后 下
前 下
左
左
右 前 右
JAC大学
前
Y
教育无他,爱与榜样而已
3.2 点的投影
3.2.1 3.2.2 3.2.3 3.2.4 3.2.5 点的三面投影 点的三面投影与直角坐标的关系 点的三面投影规律 两点间的相对位置 重影点及其可见性
JAC大学
教育无他,爱与榜样而已
3.1.3
1.三投影面体系
三视图的分类
JAC大学
教育无他,爱与榜样而已
2.三视图的形成
俯视
Z
规定 : V面保持不动,H面向下向后绕 OX轴旋转900,W面向右向后绕OZ轴 旋转900。
z
V
x
X
0
y
左视
Y
y
JAC大学
主视
教育无他,爱与榜样而已
3. 三 视 图 之 间 的 度 量 对 应 关 系
JAC大学
教育无他,爱与榜样而已
3.2.3
点的三面投影规律
点的三面投影规律: 一点的两投影之间的连线垂直于投影轴;点 的一个投影到某投影轴的距离等于空间点到与该 投影轴相邻的投影面之间的距离。 因此在求作点的'投影时,应保证做到:点的V 面投影与H面投影之间的连线垂直于0X轴,即a'a 上0X ;点的V面投影与W面投影之间的连线垂直0Z 轴,即a' a"上0Z;点的H面投影到0X轴的距离及 点的W面投影到0Z 轴的距离两者相等,都反映点 到V面的距离。
V
Z
高
长
X
长
高 宽 长
O
H
JAC大学
Y
教育无他,爱与榜样而已
4.三视图与物体方位的对应关系
V
上 左 右 上
Z
上
下 后
后
X
O
后 下
前 下
左
左
右 前 右
JAC大学
前
Y
教育无他,爱与榜样而已
3.2 点的投影
3.2.1 3.2.2 3.2.3 3.2.4 3.2.5 点的三面投影 点的三面投影与直角坐标的关系 点的三面投影规律 两点间的相对位置 重影点及其可见性
机械制图基本体的三视图和其截交线相贯线的画法专题培训课件
a (b)
点的可见性规定点:
b
若点所在的平面的投影可见, 点的投影也可见;若平面的投影 a
积聚成直线,点的投影也可见。
a
b
第一节 基本体的三视图
• 一、平面基本体的三视图
【例3-1】根据已知条件,补画第三视图,并求作形体 表面A、B、C三点的三面投影。
S
第一节 基本体的三视图
• 一、平面基本体的三视图
k(n) b′ d′
ns● b
k d
●(n) k b″
如何在圆锥面上作直线?
过锥顶作一条素线。
第一节 基本体的三视图
• 二、回转体的三视图
【例3-4】已知圆锥的三视图, M、N是圆锥表面上的点,给定 其单面投影,求作两点的三面投影。
第一节 基本体的三视图
• 二、回转体的三视图
圆球任何方向的投影都是等径的圆
第三节 相贯线的画法
• 一、相贯线概述
轴线相对位置变化对两圆柱相贯线的影响
第三节 相贯线的画法
• 一、相贯线概述
★ 相贯线一般为光滑封闭的空
间曲线,它是两回转体表面
的共有线。
★ 作图方法
• 表面取点法
• 辅助平面法 确定交线
★ 作图过程
的范围
• 先找特殊点 • 补充中间点
确定交线的 弯曲趋势
• 二、两圆柱正交的相贯线 例 :圆柱与圆柱相贯,求其相贯线。
例:求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
例:求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
P 4≡5
2≡3≡6≡7
1≡8
8
7
5 6
3 4
1
2
5 7
8
6 3
4
Ⅴ
机械制图-第三章第四版
解题步骤
【例3-9】绘制如图所示顶尖的三视图。
解题步骤
§3-3 相贯线的投影作图
两回转体相交,常见的是圆柱与圆柱相 交、圆锥与圆柱相交以及圆柱与圆球相交, 其交线称为相贯线。
一、圆柱与圆柱相交 *二、圆锥与圆柱相交 三、相贯线的特殊情况 四、综合举例
一、圆柱与圆柱相交
【例3-10】两个直径不等的圆柱正交,求作相贯 线的投影。
解题步骤
圆柱穿孔后相贯线的投影
两圆柱正交时相贯线的变化
国家标准规定,允许采用简化画法作出相贯线的投影, 即以圆弧代替非圆曲线。
*二、圆锥与圆柱相交
【例3-11】求作圆台和圆柱轴线正交的相贯线投 影。
解题步骤
三、相贯线的特殊情况
1.相贯线为平面曲线
同轴回转体的相贯线——圆
两回转体公切于一个球面的相贯线——椭圆
2.相贯线为直线
相交两圆柱轴线平行的相贯线——直线
相交两圆锥共顶的相贯线——直线
四、综合举例
【例3-12】已知相贯体的俯、左视图,求作主视 图。
图3-32 已知俯、左视图,求作主视图
【例3-13】求作半球与两个圆柱三体相交的相贯 线的投影。
图3-33 作半球与两个圆柱 的组合相贯线
§3-1 立体表面上点的投影
一、棱柱表面上点的投影 二、棱锥表面上点的投影 三、圆柱表面上点的投影 四、圆锥表面上点的投影 五、球面上点的投影
§3-2 截交线的投影作图
截交线的基本特性: (1)封闭性 截交线为封闭的平面图形。 (2)共有性 截交线既在截平面上,又在立体表 面上,是截平面与立体表面的共有线,截交线上 的点均为截平面与立体表面的共有点。
作图步骤:先作出截交线上的特殊点,再作出若干中 间点,然后光滑连成曲线。
【例3-9】绘制如图所示顶尖的三视图。
解题步骤
§3-3 相贯线的投影作图
两回转体相交,常见的是圆柱与圆柱相 交、圆锥与圆柱相交以及圆柱与圆球相交, 其交线称为相贯线。
一、圆柱与圆柱相交 *二、圆锥与圆柱相交 三、相贯线的特殊情况 四、综合举例
一、圆柱与圆柱相交
【例3-10】两个直径不等的圆柱正交,求作相贯 线的投影。
解题步骤
圆柱穿孔后相贯线的投影
两圆柱正交时相贯线的变化
国家标准规定,允许采用简化画法作出相贯线的投影, 即以圆弧代替非圆曲线。
*二、圆锥与圆柱相交
【例3-11】求作圆台和圆柱轴线正交的相贯线投 影。
解题步骤
三、相贯线的特殊情况
1.相贯线为平面曲线
同轴回转体的相贯线——圆
两回转体公切于一个球面的相贯线——椭圆
2.相贯线为直线
相交两圆柱轴线平行的相贯线——直线
相交两圆锥共顶的相贯线——直线
四、综合举例
【例3-12】已知相贯体的俯、左视图,求作主视 图。
图3-32 已知俯、左视图,求作主视图
【例3-13】求作半球与两个圆柱三体相交的相贯 线的投影。
图3-33 作半球与两个圆柱 的组合相贯线
§3-1 立体表面上点的投影
一、棱柱表面上点的投影 二、棱锥表面上点的投影 三、圆柱表面上点的投影 四、圆锥表面上点的投影 五、球面上点的投影
§3-2 截交线的投影作图
截交线的基本特性: (1)封闭性 截交线为封闭的平面图形。 (2)共有性 截交线既在截平面上,又在立体表 面上,是截平面与立体表面的共有线,截交线上 的点均为截平面与立体表面的共有点。
作图步骤:先作出截交线上的特殊点,再作出若干中 间点,然后光滑连成曲线。
机械制图(多学时)课件3 第三章 投影变换
N
空间及投影分析:
n● c●
当直线AB垂直于投 影面时,MN平行于投影
a
m
●
面,这时它的投影m1n1=
MN,且m1n1⊥c1d1。
XV
A
H
M CN
D B
a
●m
●
n
c1
P1
n1
a1(m1b1)
c
d1
请注意各点的投影如
何返回?
求m点是难点。
b
d b
.
H X1
V1
圆半径=MN
d1
●
a1≡b1≡m1
●
.
●n1
d b H
V1 C c1
a1d1
c
b1
X1
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第四节 平面的投影变换
例3:把三角形ABC变换成投影面垂直面。
a
作图过程:
1.在平面内取一条水平线AD。
X
V H
2.将AD变换成新投影面的垂直线。 a
反映平面对哪个投影 面的夹角?
b d c
b cd
H ●α ● ● X1V1 c1 a1d1 d1
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a1(b1)
第三节 直线的投影变换
三、一般位置直线变换成投影面垂直线
空间分析:一次换面把直线变成投影面平行线;二次换面把投影面平
行线变成投影面垂直线。
X2
a2b2 ax2
V
b H2
a
b1 V1
B A
a1
b
X
a
X1
作图:
a
X
V H
a H1 X1 V1 a1●
机械制图第三章直线ppt课件
的实长等于已知长度L。
b
L
c a
AB zA-zB
X
ab
b
c a
BC
64
65
66
§3-5两直线的相对位置
两直线的相对位置有三种情况: 平行、相交和交叉, 其中平行、相交两直线属于共面直线, 交叉两直线属于异面直线。
67
一、平行两直线
V b′
a′
c′
平行两直线 在同一投影 面的投影仍
d′
互相平行。
B
a″ b″ W
O
b
H
Y 35
侧垂线投影特性
Z
a′
b′
X a
O b
a″ b″ YW
1、a″b″积聚 为一点
2、 a′b′⊥OZ ab⊥OY 3、a′b′ =
a″b″=AB
YH 36
三、从属于一个投影面的直线
Z V
b′B b″
a′
A
a″
W
X
O
ab
H
Y
37
从属于V面的直线
b′ a′
Xa
b
Z b″ a″
96
四、相互垂直的两直线的投影特性 ⒈ 两直线同时平行于某一投影面时,在该
投影面上的投影反映直角。 ⒉ 两直线中有一条平行于某一投影面时,
在该投影面上的投影反映直角。 ⒊ 两直线均为一般位置直线时,
在三个投影面上的投影都不 直角定理 反映直角。
97
本讲结束 再见
98
β实角
YH 22
二、垂直一个投影面的直线
垂直于H面的直线,称为铅垂线 垂直于V面的直线,称为正垂线 垂直于W面的直线,称为侧垂线
垂直于一个投影面的直线必同时 平行另外两个投影面。
机械制图CAI课件 第03章直线、平面的相对位置
第三章 直线、平面的相对位置
本章主要介绍直线、平面的相对位 置,包括平行关系、相交关系和垂直关 系,以及点、线、面综合题及其解法。
第三章 直线、平面的相对位置
§3.1 平行关系 §3.2 相交关系 §3.3 垂直关系 §3.4 点、线、面综合题及其解法
§3.1 平行关系
§3.1.1 直线与平面平行
求△ABC与DE、FG两平面交线的正投影图
选通过点A、E 的
正垂面P 为辅助面, 求出一个三面共点K ;
又选过点A、F
的铅垂面Q为辅助面, 求出另一个三面共点 L;
连接K、L ,则
KL即为所求的交线。
(a)
(b)
P、Q 两平面都用迹线给出,且其同面迹线相交,即 PH∩QH=M,PV∩QV=N,则交点M、N是P、Q 两平面交线
c
k′l′∥a′d′,
b
则直线KL为所求。
d
l
c
a
k
[例2]试过K 点作一正平线,使之平行于P
平面。
因PV 是P 平面上特 殊的正平线,所以过点K
作KL∥PV, 即作k′l′∥PV,kl∥X
轴,则直线KL为所求。
[例3]试过K点作一铅垂面P (用迹线表示) ,使之平行于AB直线 。
作铅垂面平行于AB 直 线,则PH必平行于ab 。
直线与平面平行的几何条件是:如果平面外 的一直线和这个平面上的一直线平行,则此直线 平行于该平面。
由于EF∥BD,且 BD 是ABC 平面上的一 直线,所以,直线EF 平行于ABC 平面。
[例1]试过K点作一水平线,使之平行于
△ABC 。
b
先在△ABC上
a
d k
l
作一水平线AD; 再
本章主要介绍直线、平面的相对位 置,包括平行关系、相交关系和垂直关 系,以及点、线、面综合题及其解法。
第三章 直线、平面的相对位置
§3.1 平行关系 §3.2 相交关系 §3.3 垂直关系 §3.4 点、线、面综合题及其解法
§3.1 平行关系
§3.1.1 直线与平面平行
求△ABC与DE、FG两平面交线的正投影图
选通过点A、E 的
正垂面P 为辅助面, 求出一个三面共点K ;
又选过点A、F
的铅垂面Q为辅助面, 求出另一个三面共点 L;
连接K、L ,则
KL即为所求的交线。
(a)
(b)
P、Q 两平面都用迹线给出,且其同面迹线相交,即 PH∩QH=M,PV∩QV=N,则交点M、N是P、Q 两平面交线
c
k′l′∥a′d′,
b
则直线KL为所求。
d
l
c
a
k
[例2]试过K 点作一正平线,使之平行于P
平面。
因PV 是P 平面上特 殊的正平线,所以过点K
作KL∥PV, 即作k′l′∥PV,kl∥X
轴,则直线KL为所求。
[例3]试过K点作一铅垂面P (用迹线表示) ,使之平行于AB直线 。
作铅垂面平行于AB 直 线,则PH必平行于ab 。
直线与平面平行的几何条件是:如果平面外 的一直线和这个平面上的一直线平行,则此直线 平行于该平面。
由于EF∥BD,且 BD 是ABC 平面上的一 直线,所以,直线EF 平行于ABC 平面。
[例1]试过K点作一水平线,使之平行于
△ABC 。
b
先在△ABC上
a
d k
l
作一水平线AD; 再
画法几何及机械制图课件第三章点直线平面的投影
1.一般位置平面
一般位置平面和三个投影面既不垂直也不平行,与三个 投影面都倾斜,所以,如用平面形(例如三角形)表示一般位 置平面,则它的三个投影均不是实形,但具有类似形。
2.投影面垂直面
只垂直于一个投影面的平面,称为投影面垂直面
根据其所垂直的投影面不同,可以分为三种: 1)铅垂面——垂直于H面; 2)正垂面——垂直于V面; 3)侧垂面——垂直于W面。
在右图中,虽然ab∩cd =k,a′b′∩c′d′=k′, 且k′k⊥OX,但因AB是侧平线, 察看侧面投影,a″b″和c″ d″虽然相交,但该交点与 k′的连线与Z轴不垂直,故此 两直线不相交。
若只凭V、H两投影来判断,则需看简单比(abk)与 (a′b′k′)是否相等,若相等则相交,不相等则不相交。
3.交叉两直线
若两直线既不平行又不相交,则它们是交叉直线
同面投影可能相交,但交点不符合空间一个点的投影规律。 交点是两直线上的一对重影点的投影,用其可帮助判断两 直线的空间位置。
两种特殊情况
1.当两直线有两个投 影均互相平行,且又 同时平行于第三个投 影面时,一般应观察 该两直线所平行的那 个投影面上的投影来 判断两直线是否平行。
(1)X坐标大,在左面, XA<XB,,A在右,B在左;
(2)Y坐标大,在前面, YA>YB,,A在前,B在后;
(3)Z坐标大,在上面, ZA<ZB,,A在上,B在下。
2. 重影点和可见性
当空间两点位于对投影面的同一条投影线上时,这两点在 该投影面上的投影重合,称这两点为对该投影面的重影点
点A、B在对H面的同一条投射线上,它们在H面的投影重 合,称为对H面的重影点。而点C、D则称为对V面的重影点。
二、平面对投影面的相对位置及其投影特性
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第三章 点、直线、平面的投影
3.1
3.2 3.3 3.4 3.5
投影法
点的投影 直线的投影 平面的投影 直线与平面及两平面的相对位置
3.1 投影法及工程上常用的投影图
一 投 影 的 概 念
投影面
S 投射中心
投影
A
投射线
a
二、投影的种类 1. 中 心 投 影
投影面 a 物体 投射中心 投射线 S
B C A b
A
B B1
a
b
3.2 点的投影
2. 三 投 影 面 体 系 的 建 立
Z V
X
O
W
Y
水平投影面 ---- H 正面投影面 ---- V 侧面投影面 ---- W
H∩V ---- OX V ∩W ---- OZ H∩W ---- OY
3.2 点的投影
二、 三 a 点A的正面投影 V 投 a 影 点A的水平投影 面 a 点A的侧面投影 体 X 系 中 点 的 空间点用大写字母表示,点 投 影 的投影用小写字母表示。 规 律 Z a A
A
C c a b B c
倾斜 平行 垂直 积聚性 实形性 类似性 平面对于三投影面的位置可分为三类:
一般位置平面
投影面垂直面
投影面平行面
1.一般位置平面 V
a'
Z
b'
b" a" c' b c c" b" a'
b' B
W
A
a"
b C c" c
X
a
投影特性 (1) abc 、 abc 、 abc 均为 ABC的类似形 (2) 不反映、、 的真实角度
●
b
●
b
● ●
B
●
α
A● b
●
b
A● B●
●
A● b
a
a●
ab
直线倾斜于投影面 投影比空间线段短
直线平行于投影面 投影反映线段实长
直线垂直于投影面 投影重合为一点
ab=ABcosα类似性
ab=AB显实性
ab=0
积聚性
2.一般位置直线
Z
V
b B b a
b
Z
b
A b
W a
X b
b k
a a k
●
●
k ● a
b
V
b k a K A
B
b
X 因k不在a b上, 故点K不在AB上。
O
a k b
另一判断法?
例4 判断点K是否在线段AB上。 V
b k a K A
B
X
O
a k b
因k不在a b上, 故点K不在AB上。
三、两直线的相对位置
空间两直线的相对位置分为:平行、相交、交叉。 b d 1、平行两直线 V d
O
a
a W
Y
3.2 点的投影
1.
a a 三 az 投 A a 影 面 X ax ax 体 系 a ay 中 点 a H 的 投 1. aa X轴,aaz = aay = XA 影 2. aaZ轴, aax =aa y = ZA 规 3. aax = aaz =YA
V
Z az a
b c
B D
a
c
a
X
C
o
b a c d
X
A
O
c d
b
a
1.若空间两直线相互平行,则它们的同名投影必然相互平行。 反之,如果两直线的各个同名投影相互平行,则此两直线在空间也 一定相互平行。
2、相交两直线
交点是两直线的共有点
d k b
V
a k
C
d b
B X K D
a
c
c b k d
b
侧垂线— 垂直于侧面投影面的直线
a b Z
ab
X
O
YW
a
b
YH
投影特性: 1. ab 积聚 成一点 2. ab OYH ; ab OZ 3. ab = ab =AB
二、属于直线的点 若点在直线上, 则点 的投影必在直线的同名 投影上(从属性),并将线 段的同名投影分割成与 空间相同的比例。即:
H
a
YH
3.特殊点的投影
Z
V Z V
Bb a Cc c Aa
O
b a
b c c c O a
W
W a
X
X
b
b a
H
Yw
Y
YH
三、两点的相对位置
两点的相对位置指两a 点在空间的上下、前后、 左右位置关系。
b a b
判断方法:
▲ x 坐标大的在左 ▲ y 坐标大的在前 ▲ z 坐标大的在上 A点在B点之前、 之右、之上。
O
X
A
O
b a
c a k
d
当两直线相交时,它们在各投影面上的同名投影也必然相交, 且交点符合空间一点的投影规律。反之亦然。
⒊ 两直线交叉
1(2 ) 3
●
d
a c c a
●
●
4
b
两直线相交吗? 为什么? 投影特性:
●
2
●
b d
1 3(4 )
●
★ 同名投影可能相交,但 “交点”不符合空间一个 点的投影规律。 ★ “交点”是两直线上的一 对重影点的投影,用其可帮 助判断两直线的空间位置。
b
n
|yA-yB|
3.4 平面的投影
一、平面的表示法
二、各种位置平面的投影特性
三、属于平面的点和直线
一、平面的表示法
1.用几何元素表示平面
c ●
● a
c ●
● a ● a
c ● b ●b
●
● ● a d ●
c
● ● a
c
b ●b
●
b ●b
●
b ●b
● ●
b ●b
已知 α=30°求b
例11 已知线段AB的投影,试定出属于线段AB的点C 的投影, 使BC 的实长等于已知长度L。
b
L
ABca源自zA-zBabb
BC=L a c
例12 作三角形ABC,ABC为直角,使BC 在MN上,且BCAB =23。
a
b
bc=BC
n
ab
m
c
AB
m
c a
Ⅰ、Ⅱ是V面的重影点, Ⅲ、Ⅳ是H面的重影点。
凡不满足平行和相交条件的直线为交叉两直线。
交叉两直线重影点投影的可见性判断
1(2)
d b
V
1(2)
a c
d
b
B X
a c b
O
2
Ⅱ
D
X
A a
Ⅰ
2 C
c
O
b
a c
1
d
1 d
例5 过C点作水平线CD与AB相交。
b
c a
k
d
Y a
2.投影面垂直面 Z V a'
d'
A D b' a" B
铅垂面 正垂面 侧垂面
a d b
AB为正平线, 正面 投影反映直角。
c c a
●
●
d
b
例8
作线段AB、CD 的公垂线EF。 c f ab
e
d
O
X b e a c f d
五、直角三角形法求直线实长、夹角
在特殊位置直线的投影中,能得到该直线 段的实长以及与投影面的夹角的实际大小,而 在一般位置直线的投影中,则不能。如果在投 影、倾角与实长三者之间建立起直角三角形关 系,则为直线段倾角与实长的图解提供了理论 依据。可利用直角三角形法求其实长和倾角。 直角三角形的四个要素中(实长、投影、 坐标差及直线对投影面的夹角)已知任意两个 可确定另外两个。
YW
X
a b
b
Y 投影特性: 1.ab OX ; ab OYW 2.ab=AB 3.反映、 角的真实大小
YH
正平线—只平行于正面投影面的直线
Z b
b
a
a
O
X
YW
a
b YH
投影特性: 1. ab OX ; a b OZ
2. a b=AB 3. 反映 角的真实大小
a
d c
k
b
先作正面投影
例6
判断两直线的相对位置
b d a c d c a d d z a d
a c
b
b
d 相交 b c a b d
a
平行
c
b c 相交 a b c c c b a b d d d a a b YW c a d b b d a 交叉 c Y 交叉
V b c
C B
a
AC/CB=ac/cb= ac / cb
若点的投影有一个不在 直线的同名投影上, 则该 点必不在此直线上。
A
a
c
b H
定比性
例3 已知线段AB的投影图,试将AB分成2:1两段,求分点C 的投 影 c 、 c 。
b
c
a
b c
a
例4 判断点K是否在线段AB上。
侧平线—只平行于侧面投影面的直线
a Z a
b X a O
b
YW
b YH
投影特性: 1. ab OZ ; ab OYH
2. ab =AB 3.反映 、 角的真实大小
4.投影面垂直线
V
Z
a A b a
铅垂线 正垂线 侧垂线
3.1
3.2 3.3 3.4 3.5
投影法
点的投影 直线的投影 平面的投影 直线与平面及两平面的相对位置
3.1 投影法及工程上常用的投影图
一 投 影 的 概 念
投影面
S 投射中心
投影
A
投射线
a
二、投影的种类 1. 中 心 投 影
投影面 a 物体 投射中心 投射线 S
B C A b
A
B B1
a
b
3.2 点的投影
2. 三 投 影 面 体 系 的 建 立
Z V
X
O
W
Y
水平投影面 ---- H 正面投影面 ---- V 侧面投影面 ---- W
H∩V ---- OX V ∩W ---- OZ H∩W ---- OY
3.2 点的投影
二、 三 a 点A的正面投影 V 投 a 影 点A的水平投影 面 a 点A的侧面投影 体 X 系 中 点 的 空间点用大写字母表示,点 投 影 的投影用小写字母表示。 规 律 Z a A
A
C c a b B c
倾斜 平行 垂直 积聚性 实形性 类似性 平面对于三投影面的位置可分为三类:
一般位置平面
投影面垂直面
投影面平行面
1.一般位置平面 V
a'
Z
b'
b" a" c' b c c" b" a'
b' B
W
A
a"
b C c" c
X
a
投影特性 (1) abc 、 abc 、 abc 均为 ABC的类似形 (2) 不反映、、 的真实角度
●
b
●
b
● ●
B
●
α
A● b
●
b
A● B●
●
A● b
a
a●
ab
直线倾斜于投影面 投影比空间线段短
直线平行于投影面 投影反映线段实长
直线垂直于投影面 投影重合为一点
ab=ABcosα类似性
ab=AB显实性
ab=0
积聚性
2.一般位置直线
Z
V
b B b a
b
Z
b
A b
W a
X b
b k
a a k
●
●
k ● a
b
V
b k a K A
B
b
X 因k不在a b上, 故点K不在AB上。
O
a k b
另一判断法?
例4 判断点K是否在线段AB上。 V
b k a K A
B
X
O
a k b
因k不在a b上, 故点K不在AB上。
三、两直线的相对位置
空间两直线的相对位置分为:平行、相交、交叉。 b d 1、平行两直线 V d
O
a
a W
Y
3.2 点的投影
1.
a a 三 az 投 A a 影 面 X ax ax 体 系 a ay 中 点 a H 的 投 1. aa X轴,aaz = aay = XA 影 2. aaZ轴, aax =aa y = ZA 规 3. aax = aaz =YA
V
Z az a
b c
B D
a
c
a
X
C
o
b a c d
X
A
O
c d
b
a
1.若空间两直线相互平行,则它们的同名投影必然相互平行。 反之,如果两直线的各个同名投影相互平行,则此两直线在空间也 一定相互平行。
2、相交两直线
交点是两直线的共有点
d k b
V
a k
C
d b
B X K D
a
c
c b k d
b
侧垂线— 垂直于侧面投影面的直线
a b Z
ab
X
O
YW
a
b
YH
投影特性: 1. ab 积聚 成一点 2. ab OYH ; ab OZ 3. ab = ab =AB
二、属于直线的点 若点在直线上, 则点 的投影必在直线的同名 投影上(从属性),并将线 段的同名投影分割成与 空间相同的比例。即:
H
a
YH
3.特殊点的投影
Z
V Z V
Bb a Cc c Aa
O
b a
b c c c O a
W
W a
X
X
b
b a
H
Yw
Y
YH
三、两点的相对位置
两点的相对位置指两a 点在空间的上下、前后、 左右位置关系。
b a b
判断方法:
▲ x 坐标大的在左 ▲ y 坐标大的在前 ▲ z 坐标大的在上 A点在B点之前、 之右、之上。
O
X
A
O
b a
c a k
d
当两直线相交时,它们在各投影面上的同名投影也必然相交, 且交点符合空间一点的投影规律。反之亦然。
⒊ 两直线交叉
1(2 ) 3
●
d
a c c a
●
●
4
b
两直线相交吗? 为什么? 投影特性:
●
2
●
b d
1 3(4 )
●
★ 同名投影可能相交,但 “交点”不符合空间一个 点的投影规律。 ★ “交点”是两直线上的一 对重影点的投影,用其可帮 助判断两直线的空间位置。
b
n
|yA-yB|
3.4 平面的投影
一、平面的表示法
二、各种位置平面的投影特性
三、属于平面的点和直线
一、平面的表示法
1.用几何元素表示平面
c ●
● a
c ●
● a ● a
c ● b ●b
●
● ● a d ●
c
● ● a
c
b ●b
●
b ●b
●
b ●b
● ●
b ●b
已知 α=30°求b
例11 已知线段AB的投影,试定出属于线段AB的点C 的投影, 使BC 的实长等于已知长度L。
b
L
ABca源自zA-zBabb
BC=L a c
例12 作三角形ABC,ABC为直角,使BC 在MN上,且BCAB =23。
a
b
bc=BC
n
ab
m
c
AB
m
c a
Ⅰ、Ⅱ是V面的重影点, Ⅲ、Ⅳ是H面的重影点。
凡不满足平行和相交条件的直线为交叉两直线。
交叉两直线重影点投影的可见性判断
1(2)
d b
V
1(2)
a c
d
b
B X
a c b
O
2
Ⅱ
D
X
A a
Ⅰ
2 C
c
O
b
a c
1
d
1 d
例5 过C点作水平线CD与AB相交。
b
c a
k
d
Y a
2.投影面垂直面 Z V a'
d'
A D b' a" B
铅垂面 正垂面 侧垂面
a d b
AB为正平线, 正面 投影反映直角。
c c a
●
●
d
b
例8
作线段AB、CD 的公垂线EF。 c f ab
e
d
O
X b e a c f d
五、直角三角形法求直线实长、夹角
在特殊位置直线的投影中,能得到该直线 段的实长以及与投影面的夹角的实际大小,而 在一般位置直线的投影中,则不能。如果在投 影、倾角与实长三者之间建立起直角三角形关 系,则为直线段倾角与实长的图解提供了理论 依据。可利用直角三角形法求其实长和倾角。 直角三角形的四个要素中(实长、投影、 坐标差及直线对投影面的夹角)已知任意两个 可确定另外两个。
YW
X
a b
b
Y 投影特性: 1.ab OX ; ab OYW 2.ab=AB 3.反映、 角的真实大小
YH
正平线—只平行于正面投影面的直线
Z b
b
a
a
O
X
YW
a
b YH
投影特性: 1. ab OX ; a b OZ
2. a b=AB 3. 反映 角的真实大小
a
d c
k
b
先作正面投影
例6
判断两直线的相对位置
b d a c d c a d d z a d
a c
b
b
d 相交 b c a b d
a
平行
c
b c 相交 a b c c c b a b d d d a a b YW c a d b b d a 交叉 c Y 交叉
V b c
C B
a
AC/CB=ac/cb= ac / cb
若点的投影有一个不在 直线的同名投影上, 则该 点必不在此直线上。
A
a
c
b H
定比性
例3 已知线段AB的投影图,试将AB分成2:1两段,求分点C 的投 影 c 、 c 。
b
c
a
b c
a
例4 判断点K是否在线段AB上。
侧平线—只平行于侧面投影面的直线
a Z a
b X a O
b
YW
b YH
投影特性: 1. ab OZ ; ab OYH
2. ab =AB 3.反映 、 角的真实大小
4.投影面垂直线
V
Z
a A b a
铅垂线 正垂线 侧垂线