机械制图第三章课件
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第三章-机械制图正投影法与三视图课件
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图3-11
点的坐标
六、 点的投影与坐标
x
y
z
z
y
x
点A到H面的距离 Aa=a'aX=a"aY=点A的z坐标; 点A到Y面的距离 Aa'=aaX=a"aZ=点A的y坐标; 点A到W面的距离 Aa"=a'aZ=aaY=点A的x坐标。
[例题1] 已知点A的正面与侧面投影,求点A的水平投影。
a
[例题2]已知点的两面投影,求作其第三面投影。
三视图的投影关系
上 上
左 下
右
后 下
前
后 左 前
右
第三节 点的投影
一、 点的投影特性 点的投影特性:点的投影永远是点。 二、 点的投影标记 按统一规定,空间 点用大写字母A、B、 C…标记。空间点在H 面上的投影用相应的 小写字母a、b、c… 标记;在V面上的投 影用小写字母加一撇 a′、b′、c′…标记;在 W面上的投影用小写 字母加两撇a″、b″、 c″…标记。
三视图的投影规律
主左视图高平齐
主俯视图长对正
俯左视图宽相等
主、俯视图中相应投影的长度相等——长对正; 主、左视图中相应投影的高度相等——高平齐; 俯、左视图中相应投影的宽度相等——宽相等
3
方位关系
三视图不仅反映了物体的长、宽、高,同时也反映了物体的上、下、左、 右、前、后六个方位的位置关系。
可以看出: 主视图反映了物体的上、下、左、右方位。 俯视图反映了物体的前、后、左、右方位。 左视图反映了物体的上、下、前、后方位。
三视图的形成
主视图 — 由前向后投射,在V面上所得的视图; 俯视图 — 由上向下投射,在H面上所得的视图; 左视图 — 由左向右投射,在W面上所得的视图。
机械制图(第二版)课件第3章 基本形体的投影规律
![机械制图(第二版)课件第3章 基本形体的投影规律](https://img.taocdn.com/s3/m/f07a3298aa00b52acec7ca10.png)
第3章 基本形体的投影规律
3.1.2 棱锥 棱锥是由几个三角形的侧棱面和一个多边形的底面围成
的。各侧棱面为共顶点的三角形。 图3-2所示为一正三棱锥,底面为等边三角形,三个侧
面为全等的等腰三角形。底面放置成水平位置,并使棱锥左 右对称(后棱面垂直于W面)。
第3章 基本形体的投影规律
1.投影分析和画法 因为底面ABC为水平面,所以其水平投影abc反映实形, 正面投影和侧面投影均积聚为水平线段。棱面SAB和SBC为 一般位置平面,三面投影均为缩小的类似三角形。因该两棱 面左、右对称,故侧面投影重合。棱面SAC为侧垂面,所以 侧面投影sa(c′)积聚为斜线段,水平投影和侧面投影为缩小 的类似三角形,如图3-2(b)所示。 作图时,先画出各投影的对称线,然后画底面的水平投 影和另两面投影,再画顶点的各面投影并连接各点即可。
第3章 基本形体的投影规律
3.2.2 圆锥 圆锥是由圆锥面和底圆平面围成的。 图3-5为轴线处于铅垂线位置时的圆锥直观图及投影图。
第3章 基本形体的投影规律
图3-5 圆锥的投影
第3章 基本形体的投影规律
1.投影分析和画法 圆锥的底圆平面为水平面,其水平投影为圆,且反映实 形;其正面投影和侧面投影均积聚为直线段,长度等于底圆 的直径。 圆锥面的三个投影均无积聚性。圆锥面的水平投影为圆, 且与底圆平面的水平投影重合,整个圆锥面的水平投影都可 见;圆锥面的正面投影应画出该圆锥面正视转向轮廓线的正 面投影。圆锥面上最左、最右两条素线SA、SB是正视时可 见(前半个圆锥面)与不可见(后半个圆锥面)的分界线,是正 视转向轮廓线。其正面投影s′a′、s′b′必须画出;其水平投影 与圆的水平中心线重合,省略不画;其侧面投影s″a″、s″b″ 与圆锥轴线的侧面投影重合,也省略不画。
机械制图-第3章PPT课件
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在以后绘图和不引起误解的情况下,轴测轴OX1、OY1、OZ1可以 简化为OX、OY、OZ,轴向伸缩系数p1、q1、r1可以简化为p、q、r。
.
5
类型 正等轴测图 正二轴测图 斜二轴测图
立方体
表3.1
图例 轴测轴的位置
简化伸缩系数 p1=q1=r1=1
p1=r1=1 q1=0.5
p1=r1=1 q1=0.5
.
28
思考与练习
二、简答题 1.什么叫坐标法?坐标法适合于绘制何种类型的轴测图? 2.什么叫切割法?切割法适合于绘制何种类型的轴测图? 3.什么叫堆叠法?堆叠法适合于绘制何种类型的轴测图? 4.轴测图与三维立体图有何区别和联系? 5.简述绘制轴测图的方法和步骤
.
29
(1)建立原坐标轴和坐标原点,作圆的外切正方形abcd; (2)画轴测轴和原点,直接量取实际长度以确定点1、2、3、4的位置,作平行 于轴测轴的线段,得菱形ABCD; (3)分别以B、D为圆心,以R1为半径作大圆弧; (4)连接点B和4、 点B和3、点A和C,得交点O1和O2,就是小圆弧的圆心,以 R2为半径,作小圆弧,分别与大圆弧相切于点1、2、3、4,即可得到由四段圆 弧组成的近似椭圆。
.
9
3.2.2 画平面立体正等轴测图
一、坐标法画长方体
(1)建立原坐标轴和坐标原点; (2)画轴测轴和原点,量取平行于轴测轴的线段的长度,确定顶点O1、A1、 B1、C1的位置; (3)在Z轴上确定高度h,即可确定对应顶点O2、A2、B2、C2的位置; (4)连接各点,擦去多余线段,描深。
.
10
二、坐标法画正六棱台
.
19
〓想一想〓
2、如图所示为平行于三个不同坐标面的U形槽的 正等轴测图,它们所对应的三视图相同吗?为 什么?
.
5
类型 正等轴测图 正二轴测图 斜二轴测图
立方体
表3.1
图例 轴测轴的位置
简化伸缩系数 p1=q1=r1=1
p1=r1=1 q1=0.5
p1=r1=1 q1=0.5
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28
思考与练习
二、简答题 1.什么叫坐标法?坐标法适合于绘制何种类型的轴测图? 2.什么叫切割法?切割法适合于绘制何种类型的轴测图? 3.什么叫堆叠法?堆叠法适合于绘制何种类型的轴测图? 4.轴测图与三维立体图有何区别和联系? 5.简述绘制轴测图的方法和步骤
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29
(1)建立原坐标轴和坐标原点,作圆的外切正方形abcd; (2)画轴测轴和原点,直接量取实际长度以确定点1、2、3、4的位置,作平行 于轴测轴的线段,得菱形ABCD; (3)分别以B、D为圆心,以R1为半径作大圆弧; (4)连接点B和4、 点B和3、点A和C,得交点O1和O2,就是小圆弧的圆心,以 R2为半径,作小圆弧,分别与大圆弧相切于点1、2、3、4,即可得到由四段圆 弧组成的近似椭圆。
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9
3.2.2 画平面立体正等轴测图
一、坐标法画长方体
(1)建立原坐标轴和坐标原点; (2)画轴测轴和原点,量取平行于轴测轴的线段的长度,确定顶点O1、A1、 B1、C1的位置; (3)在Z轴上确定高度h,即可确定对应顶点O2、A2、B2、C2的位置; (4)连接各点,擦去多余线段,描深。
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10
二、坐标法画正六棱台
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19
〓想一想〓
2、如图所示为平行于三个不同坐标面的U形槽的 正等轴测图,它们所对应的三视图相同吗?为 什么?
机械制图第三章 几何元素间的相对位置关系
![机械制图第三章 几何元素间的相对位置关系](https://img.taocdn.com/s3/m/1dd183c733687e21ae45a91a.png)
二、点的投影变换规律
1.点的一次变换 2.点的投影变换规律 3.点的两次变换
1.点的一次变换
V1⊥H,投影轴为O1X1
a1′ax1⊥o1x1, aax1⊥o1x1, a1′ax1=a′ax
V1 a1
ax
ax1
X1
V1 a1
a1
aa1′⊥o1x1
2. 点的投影变换规律
(1) 点的新投影和不变投影的连线,必垂直于新投影轴。
c
a
k
k a
c
n
[例题9] 试过定点K作特殊位置平面的法线。
h
h
h
h
(a)
h
(b)
h
(c)
[例题10] 试求定点A到一般位置直线EF的距离。
分析
过已知点A作平面垂直于已知直线EF,并交于点K,连接AK,
AK即为所求直线的投影,在由直角三角形求出实长。
A
E
K
F
作图
2
f 2 k
a2 b2
b1
V1
a1
X1
作图过程
把一般位置直线变为投影面垂直线 a2 b2
[例题2] 求点C到直线AB的距离(例题11)
提示
作图过程
作图
a1 c1
k1 b1
k'
b'2 k'2
a'2
c'2
距离
k
[例题3] 求两直线AB与CD的公垂线 。
b 1
2
1
2
c2
22
12
c'1
2'1
d'1
d2
平行,则该直线与该平面平行。
直线与平面平行
机械制图第3章
![机械制图第3章](https://img.taocdn.com/s3/m/4af49d126edb6f1aff001fc3.png)
第 3 章 基本体及其表面交线
3.3 平面与立体相交
平面与平面体相交 3.3.1 平面与平面体相交 平面与立体表面相交而产生的交线称为截交线。 这个截 交线是一个平面多边形,此多边形的各个顶点就是截平面与平 面体的棱线的交点, 称为贯穿点。在求作棱柱或棱锥的截交线 时,常常先求出贯穿点, 即侧棱线或底棱与截平面的交点, 然 后依次连成截交线。 棱柱的截交线 1. 棱柱的截交线 例 3-1 图3-7所示的L形棱柱被正垂面P切割, 求作切割后 棱柱的三视图。
第 3 章 基本体及其表面交线
图 3-1 正三棱柱及其表面上点的投影
第 3 章 基本体及其表面交线 投影分析 1. 投影分析 如图3-1所示,正三棱柱的两端面(顶面和底面)平行于水平 面, 后侧棱面平行于正面, 另外两个棱面垂直于水平面。 在这 种位置下, 三棱柱的投影特征是: 顶面和底面的水平投影重合, 并反映实形——正三角形。三个侧棱面的水平投影积聚为三角 形的三条边。
第 3 章 基本体及其表面交线
图 3-10 正垂面切割三棱锥的截交线的作图步骤
第 3 章 基本体及其表面交线 作图 作图 (1) 根据三棱锥的三视图以及p′的位置, 由s′a′和s′c′与p′的交 点d′和f′,分别在sa、 sc和s″a″、s″c″上直接求出d、 f和d″、 f″, 如图3-10(a)所示。 (2) 由于SB是侧平线, 因此必须由s′b′与p′的交点e′在s″b″ 上求出e″, 再由45°线或利用宽相等的投影关系在sb上求出e, 如 图3-10(b)所示。 (3) 连接各点的同面投影即为所求交线的三面投影,擦去作 图线, 将切割后三棱锥的图线描深, 如图3-10(c)所示。
第 3 章 基本体及其表面交线 2. 作图方法 作图方法 画圆锥的三视图时, 应先画各投影的中心线, 再画底面圆的 各投影, 然后画出锥顶的投影和等腰三角形, 完成圆锥的三视图。 3. 圆锥体表面上点的投影 圆锥体表面上点的投影 如图3-5所示,已知圆锥体表面上点M的正面投影m′,求作m和 m″。根据M点的位置和可见性, 可确定点M在前、左方圆锥面上, 点M的三面投影均为可见。
《机械制图》第三章电子课件1
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AB//CD d
JAC大学
教育无他,爱与榜样而已
3.1.3
1.三投影面体系
三视图的分类
JAC大学
教育无他,爱与榜样而已
2.三视图的形成
俯视
Z
规定 : V面保持不动,H面向下向后绕 OX轴旋转900,W面向右向后绕OZ轴 旋转900。
z
V
x
X
0
y
左视
Y
y
JAC大学
主视
教育无他,爱与榜样而已
3. 三 视 图 之 间 的 度 量 对 应 关 系
JAC大学
教育无他,爱与榜样而已
3.2.3
点的三面投影规律
点的三面投影规律: 一点的两投影之间的连线垂直于投影轴;点 的一个投影到某投影轴的距离等于空间点到与该 投影轴相邻的投影面之间的距离。 因此在求作点的'投影时,应保证做到:点的V 面投影与H面投影之间的连线垂直于0X轴,即a'a 上0X ;点的V面投影与W面投影之间的连线垂直0Z 轴,即a' a"上0Z;点的H面投影到0X轴的距离及 点的W面投影到0Z 轴的距离两者相等,都反映点 到V面的距离。
V
Z
高
长
X
长
高 宽 长
O
H
JAC大学
Y
教育无他,爱与榜样而已
4.三视图与物体方位的对应关系
V
上 左 右 上
Z
上
下 后
后
X
O
后 下
前 下
左
左
右 前 右
JAC大学
前
Y
教育无他,爱与榜样而已
3.2 点的投影
3.2.1 3.2.2 3.2.3 3.2.4 3.2.5 点的三面投影 点的三面投影与直角坐标的关系 点的三面投影规律 两点间的相对位置 重影点及其可见性
JAC大学
教育无他,爱与榜样而已
3.1.3
1.三投影面体系
三视图的分类
JAC大学
教育无他,爱与榜样而已
2.三视图的形成
俯视
Z
规定 : V面保持不动,H面向下向后绕 OX轴旋转900,W面向右向后绕OZ轴 旋转900。
z
V
x
X
0
y
左视
Y
y
JAC大学
主视
教育无他,爱与榜样而已
3. 三 视 图 之 间 的 度 量 对 应 关 系
JAC大学
教育无他,爱与榜样而已
3.2.3
点的三面投影规律
点的三面投影规律: 一点的两投影之间的连线垂直于投影轴;点 的一个投影到某投影轴的距离等于空间点到与该 投影轴相邻的投影面之间的距离。 因此在求作点的'投影时,应保证做到:点的V 面投影与H面投影之间的连线垂直于0X轴,即a'a 上0X ;点的V面投影与W面投影之间的连线垂直0Z 轴,即a' a"上0Z;点的H面投影到0X轴的距离及 点的W面投影到0Z 轴的距离两者相等,都反映点 到V面的距离。
V
Z
高
长
X
长
高 宽 长
O
H
JAC大学
Y
教育无他,爱与榜样而已
4.三视图与物体方位的对应关系
V
上 左 右 上
Z
上
下 后
后
X
O
后 下
前 下
左
左
右 前 右
JAC大学
前
Y
教育无他,爱与榜样而已
3.2 点的投影
3.2.1 3.2.2 3.2.3 3.2.4 3.2.5 点的三面投影 点的三面投影与直角坐标的关系 点的三面投影规律 两点间的相对位置 重影点及其可见性
机械制图基本体的三视图和其截交线相贯线的画法专题培训课件
![机械制图基本体的三视图和其截交线相贯线的画法专题培训课件](https://img.taocdn.com/s3/m/5c46e055f68a6529647d27284b73f242326c314a.png)
a (b)
点的可见性规定点:
b
若点所在的平面的投影可见, 点的投影也可见;若平面的投影 a
积聚成直线,点的投影也可见。
a
b
第一节 基本体的三视图
• 一、平面基本体的三视图
【例3-1】根据已知条件,补画第三视图,并求作形体 表面A、B、C三点的三面投影。
S
第一节 基本体的三视图
• 一、平面基本体的三视图
k(n) b′ d′
ns● b
k d
●(n) k b″
如何在圆锥面上作直线?
过锥顶作一条素线。
第一节 基本体的三视图
• 二、回转体的三视图
【例3-4】已知圆锥的三视图, M、N是圆锥表面上的点,给定 其单面投影,求作两点的三面投影。
第一节 基本体的三视图
• 二、回转体的三视图
圆球任何方向的投影都是等径的圆
第三节 相贯线的画法
• 一、相贯线概述
轴线相对位置变化对两圆柱相贯线的影响
第三节 相贯线的画法
• 一、相贯线概述
★ 相贯线一般为光滑封闭的空
间曲线,它是两回转体表面
的共有线。
★ 作图方法
• 表面取点法
• 辅助平面法 确定交线
★ 作图过程
的范围
• 先找特殊点 • 补充中间点
确定交线的 弯曲趋势
• 二、两圆柱正交的相贯线 例 :圆柱与圆柱相贯,求其相贯线。
例:求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
例:求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
P 4≡5
2≡3≡6≡7
1≡8
8
7
5 6
3 4
1
2
5 7
8
6 3
4
Ⅴ
机械制图-第三章第四版
![机械制图-第三章第四版](https://img.taocdn.com/s3/m/e3d4d056fd4ffe4733687e21af45b307e971f958.png)
解题步骤
【例3-9】绘制如图所示顶尖的三视图。
解题步骤
§3-3 相贯线的投影作图
两回转体相交,常见的是圆柱与圆柱相 交、圆锥与圆柱相交以及圆柱与圆球相交, 其交线称为相贯线。
一、圆柱与圆柱相交 *二、圆锥与圆柱相交 三、相贯线的特殊情况 四、综合举例
一、圆柱与圆柱相交
【例3-10】两个直径不等的圆柱正交,求作相贯 线的投影。
解题步骤
圆柱穿孔后相贯线的投影
两圆柱正交时相贯线的变化
国家标准规定,允许采用简化画法作出相贯线的投影, 即以圆弧代替非圆曲线。
*二、圆锥与圆柱相交
【例3-11】求作圆台和圆柱轴线正交的相贯线投 影。
解题步骤
三、相贯线的特殊情况
1.相贯线为平面曲线
同轴回转体的相贯线——圆
两回转体公切于一个球面的相贯线——椭圆
2.相贯线为直线
相交两圆柱轴线平行的相贯线——直线
相交两圆锥共顶的相贯线——直线
四、综合举例
【例3-12】已知相贯体的俯、左视图,求作主视 图。
图3-32 已知俯、左视图,求作主视图
【例3-13】求作半球与两个圆柱三体相交的相贯 线的投影。
图3-33 作半球与两个圆柱 的组合相贯线
§3-1 立体表面上点的投影
一、棱柱表面上点的投影 二、棱锥表面上点的投影 三、圆柱表面上点的投影 四、圆锥表面上点的投影 五、球面上点的投影
§3-2 截交线的投影作图
截交线的基本特性: (1)封闭性 截交线为封闭的平面图形。 (2)共有性 截交线既在截平面上,又在立体表 面上,是截平面与立体表面的共有线,截交线上 的点均为截平面与立体表面的共有点。
作图步骤:先作出截交线上的特殊点,再作出若干中 间点,然后光滑连成曲线。
【例3-9】绘制如图所示顶尖的三视图。
解题步骤
§3-3 相贯线的投影作图
两回转体相交,常见的是圆柱与圆柱相 交、圆锥与圆柱相交以及圆柱与圆球相交, 其交线称为相贯线。
一、圆柱与圆柱相交 *二、圆锥与圆柱相交 三、相贯线的特殊情况 四、综合举例
一、圆柱与圆柱相交
【例3-10】两个直径不等的圆柱正交,求作相贯 线的投影。
解题步骤
圆柱穿孔后相贯线的投影
两圆柱正交时相贯线的变化
国家标准规定,允许采用简化画法作出相贯线的投影, 即以圆弧代替非圆曲线。
*二、圆锥与圆柱相交
【例3-11】求作圆台和圆柱轴线正交的相贯线投 影。
解题步骤
三、相贯线的特殊情况
1.相贯线为平面曲线
同轴回转体的相贯线——圆
两回转体公切于一个球面的相贯线——椭圆
2.相贯线为直线
相交两圆柱轴线平行的相贯线——直线
相交两圆锥共顶的相贯线——直线
四、综合举例
【例3-12】已知相贯体的俯、左视图,求作主视 图。
图3-32 已知俯、左视图,求作主视图
【例3-13】求作半球与两个圆柱三体相交的相贯 线的投影。
图3-33 作半球与两个圆柱 的组合相贯线
§3-1 立体表面上点的投影
一、棱柱表面上点的投影 二、棱锥表面上点的投影 三、圆柱表面上点的投影 四、圆锥表面上点的投影 五、球面上点的投影
§3-2 截交线的投影作图
截交线的基本特性: (1)封闭性 截交线为封闭的平面图形。 (2)共有性 截交线既在截平面上,又在立体表 面上,是截平面与立体表面的共有线,截交线上 的点均为截平面与立体表面的共有点。
作图步骤:先作出截交线上的特殊点,再作出若干中 间点,然后光滑连成曲线。
机械制图(多学时)课件3 第三章 投影变换
![机械制图(多学时)课件3 第三章 投影变换](https://img.taocdn.com/s3/m/caa474e9a300a6c30d229fc7.png)
N
空间及投影分析:
n● c●
当直线AB垂直于投 影面时,MN平行于投影
a
m
●
面,这时它的投影m1n1=
MN,且m1n1⊥c1d1。
XV
A
H
M CN
D B
a
●m
●
n
c1
P1
n1
a1(m1b1)
c
d1
请注意各点的投影如
何返回?
求m点是难点。
b
d b
.
H X1
V1
圆半径=MN
d1
●
a1≡b1≡m1
●
.
●n1
d b H
V1 C c1
a1d1
c
b1
X1
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第四节 平面的投影变换
例3:把三角形ABC变换成投影面垂直面。
a
作图过程:
1.在平面内取一条水平线AD。
X
V H
2.将AD变换成新投影面的垂直线。 a
反映平面对哪个投影 面的夹角?
b d c
b cd
H ●α ● ● X1V1 c1 a1d1 d1
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a1(b1)
第三节 直线的投影变换
三、一般位置直线变换成投影面垂直线
空间分析:一次换面把直线变成投影面平行线;二次换面把投影面平
行线变成投影面垂直线。
X2
a2b2 ax2
V
b H2
a
b1 V1
B A
a1
b
X
a
X1
作图:
a
X
V H
a H1 X1 V1 a1●
机械制图第三章直线ppt课件
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的实长等于已知长度L。
b
L
c a
AB zA-zB
X
ab
b
c a
BC
64
65
66
§3-5两直线的相对位置
两直线的相对位置有三种情况: 平行、相交和交叉, 其中平行、相交两直线属于共面直线, 交叉两直线属于异面直线。
67
一、平行两直线
V b′
a′
c′
平行两直线 在同一投影 面的投影仍
d′
互相平行。
B
a″ b″ W
O
b
H
Y 35
侧垂线投影特性
Z
a′
b′
X a
O b
a″ b″ YW
1、a″b″积聚 为一点
2、 a′b′⊥OZ ab⊥OY 3、a′b′ =
a″b″=AB
YH 36
三、从属于一个投影面的直线
Z V
b′B b″
a′
A
a″
W
X
O
ab
H
Y
37
从属于V面的直线
b′ a′
Xa
b
Z b″ a″
96
四、相互垂直的两直线的投影特性 ⒈ 两直线同时平行于某一投影面时,在该
投影面上的投影反映直角。 ⒉ 两直线中有一条平行于某一投影面时,
在该投影面上的投影反映直角。 ⒊ 两直线均为一般位置直线时,
在三个投影面上的投影都不 直角定理 反映直角。
97
本讲结束 再见
98
β实角
YH 22
二、垂直一个投影面的直线
垂直于H面的直线,称为铅垂线 垂直于V面的直线,称为正垂线 垂直于W面的直线,称为侧垂线
垂直于一个投影面的直线必同时 平行另外两个投影面。
机械制图CAI课件 第03章直线、平面的相对位置
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第三章 直线、平面的相对位置
本章主要介绍直线、平面的相对位 置,包括平行关系、相交关系和垂直关 系,以及点、线、面综合题及其解法。
第三章 直线、平面的相对位置
§3.1 平行关系 §3.2 相交关系 §3.3 垂直关系 §3.4 点、线、面综合题及其解法
§3.1 平行关系
§3.1.1 直线与平面平行
求△ABC与DE、FG两平面交线的正投影图
选通过点A、E 的
正垂面P 为辅助面, 求出一个三面共点K ;
又选过点A、F
的铅垂面Q为辅助面, 求出另一个三面共点 L;
连接K、L ,则
KL即为所求的交线。
(a)
(b)
P、Q 两平面都用迹线给出,且其同面迹线相交,即 PH∩QH=M,PV∩QV=N,则交点M、N是P、Q 两平面交线
c
k′l′∥a′d′,
b
则直线KL为所求。
d
l
c
a
k
[例2]试过K 点作一正平线,使之平行于P
平面。
因PV 是P 平面上特 殊的正平线,所以过点K
作KL∥PV, 即作k′l′∥PV,kl∥X
轴,则直线KL为所求。
[例3]试过K点作一铅垂面P (用迹线表示) ,使之平行于AB直线 。
作铅垂面平行于AB 直 线,则PH必平行于ab 。
直线与平面平行的几何条件是:如果平面外 的一直线和这个平面上的一直线平行,则此直线 平行于该平面。
由于EF∥BD,且 BD 是ABC 平面上的一 直线,所以,直线EF 平行于ABC 平面。
[例1]试过K点作一水平线,使之平行于
△ABC 。
b
先在△ABC上
a
d k
l
作一水平线AD; 再
本章主要介绍直线、平面的相对位 置,包括平行关系、相交关系和垂直关 系,以及点、线、面综合题及其解法。
第三章 直线、平面的相对位置
§3.1 平行关系 §3.2 相交关系 §3.3 垂直关系 §3.4 点、线、面综合题及其解法
§3.1 平行关系
§3.1.1 直线与平面平行
求△ABC与DE、FG两平面交线的正投影图
选通过点A、E 的
正垂面P 为辅助面, 求出一个三面共点K ;
又选过点A、F
的铅垂面Q为辅助面, 求出另一个三面共点 L;
连接K、L ,则
KL即为所求的交线。
(a)
(b)
P、Q 两平面都用迹线给出,且其同面迹线相交,即 PH∩QH=M,PV∩QV=N,则交点M、N是P、Q 两平面交线
c
k′l′∥a′d′,
b
则直线KL为所求。
d
l
c
a
k
[例2]试过K 点作一正平线,使之平行于P
平面。
因PV 是P 平面上特 殊的正平线,所以过点K
作KL∥PV, 即作k′l′∥PV,kl∥X
轴,则直线KL为所求。
[例3]试过K点作一铅垂面P (用迹线表示) ,使之平行于AB直线 。
作铅垂面平行于AB 直 线,则PH必平行于ab 。
直线与平面平行的几何条件是:如果平面外 的一直线和这个平面上的一直线平行,则此直线 平行于该平面。
由于EF∥BD,且 BD 是ABC 平面上的一 直线,所以,直线EF 平行于ABC 平面。
[例1]试过K点作一水平线,使之平行于
△ABC 。
b
先在△ABC上
a
d k
l
作一水平线AD; 再
画法几何及机械制图课件第三章点直线平面的投影
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1.一般位置平面
一般位置平面和三个投影面既不垂直也不平行,与三个 投影面都倾斜,所以,如用平面形(例如三角形)表示一般位 置平面,则它的三个投影均不是实形,但具有类似形。
2.投影面垂直面
只垂直于一个投影面的平面,称为投影面垂直面
根据其所垂直的投影面不同,可以分为三种: 1)铅垂面——垂直于H面; 2)正垂面——垂直于V面; 3)侧垂面——垂直于W面。
在右图中,虽然ab∩cd =k,a′b′∩c′d′=k′, 且k′k⊥OX,但因AB是侧平线, 察看侧面投影,a″b″和c″ d″虽然相交,但该交点与 k′的连线与Z轴不垂直,故此 两直线不相交。
若只凭V、H两投影来判断,则需看简单比(abk)与 (a′b′k′)是否相等,若相等则相交,不相等则不相交。
3.交叉两直线
若两直线既不平行又不相交,则它们是交叉直线
同面投影可能相交,但交点不符合空间一个点的投影规律。 交点是两直线上的一对重影点的投影,用其可帮助判断两 直线的空间位置。
两种特殊情况
1.当两直线有两个投 影均互相平行,且又 同时平行于第三个投 影面时,一般应观察 该两直线所平行的那 个投影面上的投影来 判断两直线是否平行。
(1)X坐标大,在左面, XA<XB,,A在右,B在左;
(2)Y坐标大,在前面, YA>YB,,A在前,B在后;
(3)Z坐标大,在上面, ZA<ZB,,A在上,B在下。
2. 重影点和可见性
当空间两点位于对投影面的同一条投影线上时,这两点在 该投影面上的投影重合,称这两点为对该投影面的重影点
点A、B在对H面的同一条投射线上,它们在H面的投影重 合,称为对H面的重影点。而点C、D则称为对V面的重影点。
二、平面对投影面的相对位置及其投影特性
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第三章 点、直线、平面的投影
3.1
3.2 3.3 3.4 3.5
投影法
点的投影 直线的投影 平面的投影 直线与平面及两平面的相对位置
3.1 投影法及工程上常用的投影图
一 投 影 的 概 念
投影面
S 投射中心
投影
A
投射线
a
二、投影的种类 1. 中 心 投 影
投影面 a 物体 投射中心 投射线 S
B C A b
A
B B1
a
b
3.2 点的投影
2. 三 投 影 面 体 系 的 建 立
Z V
X
O
W
Y
水平投影面 ---- H 正面投影面 ---- V 侧面投影面 ---- W
H∩V ---- OX V ∩W ---- OZ H∩W ---- OY
3.2 点的投影
二、 三 a 点A的正面投影 V 投 a 影 点A的水平投影 面 a 点A的侧面投影 体 X 系 中 点 的 空间点用大写字母表示,点 投 影 的投影用小写字母表示。 规 律 Z a A
A
C c a b B c
倾斜 平行 垂直 积聚性 实形性 类似性 平面对于三投影面的位置可分为三类:
一般位置平面
投影面垂直面
投影面平行面
1.一般位置平面 V
a'
Z
b'
b" a" c' b c c" b" a'
b' B
W
A
a"
b C c" c
X
a
投影特性 (1) abc 、 abc 、 abc 均为 ABC的类似形 (2) 不反映、、 的真实角度
●
b
●
b
● ●
B
●
α
A● b
●
b
A● B●
●
A● b
a
a●
ab
直线倾斜于投影面 投影比空间线段短
直线平行于投影面 投影反映线段实长
直线垂直于投影面 投影重合为一点
ab=ABcosα类似性
ab=AB显实性
ab=0
积聚性
2.一般位置直线
Z
V
b B b a
b
Z
b
A b
W a
X b
b k
a a k
●
●
k ● a
b
V
b k a K A
B
b
X 因k不在a b上, 故点K不在AB上。
O
a k b
另一判断法?
例4 判断点K是否在线段AB上。 V
b k a K A
B
X
O
a k b
因k不在a b上, 故点K不在AB上。
三、两直线的相对位置
空间两直线的相对位置分为:平行、相交、交叉。 b d 1、平行两直线 V d
O
a
a W
Y
3.2 点的投影
1.
a a 三 az 投 A a 影 面 X ax ax 体 系 a ay 中 点 a H 的 投 1. aa X轴,aaz = aay = XA 影 2. aaZ轴, aax =aa y = ZA 规 3. aax = aaz =YA
V
Z az a
b c
B D
a
c
a
X
C
o
b a c d
X
A
O
c d
b
a
1.若空间两直线相互平行,则它们的同名投影必然相互平行。 反之,如果两直线的各个同名投影相互平行,则此两直线在空间也 一定相互平行。
2、相交两直线
交点是两直线的共有点
d k b
V
a k
C
d b
B X K D
a
c
c b k d
b
侧垂线— 垂直于侧面投影面的直线
a b Z
ab
X
O
YW
a
b
YH
投影特性: 1. ab 积聚 成一点 2. ab OYH ; ab OZ 3. ab = ab =AB
二、属于直线的点 若点在直线上, 则点 的投影必在直线的同名 投影上(从属性),并将线 段的同名投影分割成与 空间相同的比例。即:
H
a
YH
3.特殊点的投影
Z
V Z V
Bb a Cc c Aa
O
b a
b c c c O a
W
W a
X
X
b
b a
H
Yw
Y
YH
三、两点的相对位置
两点的相对位置指两a 点在空间的上下、前后、 左右位置关系。
b a b
判断方法:
▲ x 坐标大的在左 ▲ y 坐标大的在前 ▲ z 坐标大的在上 A点在B点之前、 之右、之上。
O
X
A
O
b a
c a k
d
当两直线相交时,它们在各投影面上的同名投影也必然相交, 且交点符合空间一点的投影规律。反之亦然。
⒊ 两直线交叉
1(2 ) 3
●
d
a c c a
●
●
4
b
两直线相交吗? 为什么? 投影特性:
●
2
●
b d
1 3(4 )
●
★ 同名投影可能相交,但 “交点”不符合空间一个 点的投影规律。 ★ “交点”是两直线上的一 对重影点的投影,用其可帮 助判断两直线的空间位置。
b
n
|yA-yB|
3.4 平面的投影
一、平面的表示法
二、各种位置平面的投影特性
三、属于平面的点和直线
一、平面的表示法
1.用几何元素表示平面
c ●
● a
c ●
● a ● a
c ● b ●b
●
● ● a d ●
c
● ● a
c
b ●b
●
b ●b
●
b ●b
● ●
b ●b
已知 α=30°求b
例11 已知线段AB的投影,试定出属于线段AB的点C 的投影, 使BC 的实长等于已知长度L。
b
L
ABca源自zA-zBabb
BC=L a c
例12 作三角形ABC,ABC为直角,使BC 在MN上,且BCAB =23。
a
b
bc=BC
n
ab
m
c
AB
m
c a
Ⅰ、Ⅱ是V面的重影点, Ⅲ、Ⅳ是H面的重影点。
凡不满足平行和相交条件的直线为交叉两直线。
交叉两直线重影点投影的可见性判断
1(2)
d b
V
1(2)
a c
d
b
B X
a c b
O
2
Ⅱ
D
X
A a
Ⅰ
2 C
c
O
b
a c
1
d
1 d
例5 过C点作水平线CD与AB相交。
b
c a
k
d
Y a
2.投影面垂直面 Z V a'
d'
A D b' a" B
铅垂面 正垂面 侧垂面
a d b
AB为正平线, 正面 投影反映直角。
c c a
●
●
d
b
例8
作线段AB、CD 的公垂线EF。 c f ab
e
d
O
X b e a c f d
五、直角三角形法求直线实长、夹角
在特殊位置直线的投影中,能得到该直线 段的实长以及与投影面的夹角的实际大小,而 在一般位置直线的投影中,则不能。如果在投 影、倾角与实长三者之间建立起直角三角形关 系,则为直线段倾角与实长的图解提供了理论 依据。可利用直角三角形法求其实长和倾角。 直角三角形的四个要素中(实长、投影、 坐标差及直线对投影面的夹角)已知任意两个 可确定另外两个。
YW
X
a b
b
Y 投影特性: 1.ab OX ; ab OYW 2.ab=AB 3.反映、 角的真实大小
YH
正平线—只平行于正面投影面的直线
Z b
b
a
a
O
X
YW
a
b YH
投影特性: 1. ab OX ; a b OZ
2. a b=AB 3. 反映 角的真实大小
a
d c
k
b
先作正面投影
例6
判断两直线的相对位置
b d a c d c a d d z a d
a c
b
b
d 相交 b c a b d
a
平行
c
b c 相交 a b c c c b a b d d d a a b YW c a d b b d a 交叉 c Y 交叉
V b c
C B
a
AC/CB=ac/cb= ac / cb
若点的投影有一个不在 直线的同名投影上, 则该 点必不在此直线上。
A
a
c
b H
定比性
例3 已知线段AB的投影图,试将AB分成2:1两段,求分点C 的投 影 c 、 c 。
b
c
a
b c
a
例4 判断点K是否在线段AB上。
侧平线—只平行于侧面投影面的直线
a Z a
b X a O
b
YW
b YH
投影特性: 1. ab OZ ; ab OYH
2. ab =AB 3.反映 、 角的真实大小
4.投影面垂直线
V
Z
a A b a
铅垂线 正垂线 侧垂线
3.1
3.2 3.3 3.4 3.5
投影法
点的投影 直线的投影 平面的投影 直线与平面及两平面的相对位置
3.1 投影法及工程上常用的投影图
一 投 影 的 概 念
投影面
S 投射中心
投影
A
投射线
a
二、投影的种类 1. 中 心 投 影
投影面 a 物体 投射中心 投射线 S
B C A b
A
B B1
a
b
3.2 点的投影
2. 三 投 影 面 体 系 的 建 立
Z V
X
O
W
Y
水平投影面 ---- H 正面投影面 ---- V 侧面投影面 ---- W
H∩V ---- OX V ∩W ---- OZ H∩W ---- OY
3.2 点的投影
二、 三 a 点A的正面投影 V 投 a 影 点A的水平投影 面 a 点A的侧面投影 体 X 系 中 点 的 空间点用大写字母表示,点 投 影 的投影用小写字母表示。 规 律 Z a A
A
C c a b B c
倾斜 平行 垂直 积聚性 实形性 类似性 平面对于三投影面的位置可分为三类:
一般位置平面
投影面垂直面
投影面平行面
1.一般位置平面 V
a'
Z
b'
b" a" c' b c c" b" a'
b' B
W
A
a"
b C c" c
X
a
投影特性 (1) abc 、 abc 、 abc 均为 ABC的类似形 (2) 不反映、、 的真实角度
●
b
●
b
● ●
B
●
α
A● b
●
b
A● B●
●
A● b
a
a●
ab
直线倾斜于投影面 投影比空间线段短
直线平行于投影面 投影反映线段实长
直线垂直于投影面 投影重合为一点
ab=ABcosα类似性
ab=AB显实性
ab=0
积聚性
2.一般位置直线
Z
V
b B b a
b
Z
b
A b
W a
X b
b k
a a k
●
●
k ● a
b
V
b k a K A
B
b
X 因k不在a b上, 故点K不在AB上。
O
a k b
另一判断法?
例4 判断点K是否在线段AB上。 V
b k a K A
B
X
O
a k b
因k不在a b上, 故点K不在AB上。
三、两直线的相对位置
空间两直线的相对位置分为:平行、相交、交叉。 b d 1、平行两直线 V d
O
a
a W
Y
3.2 点的投影
1.
a a 三 az 投 A a 影 面 X ax ax 体 系 a ay 中 点 a H 的 投 1. aa X轴,aaz = aay = XA 影 2. aaZ轴, aax =aa y = ZA 规 3. aax = aaz =YA
V
Z az a
b c
B D
a
c
a
X
C
o
b a c d
X
A
O
c d
b
a
1.若空间两直线相互平行,则它们的同名投影必然相互平行。 反之,如果两直线的各个同名投影相互平行,则此两直线在空间也 一定相互平行。
2、相交两直线
交点是两直线的共有点
d k b
V
a k
C
d b
B X K D
a
c
c b k d
b
侧垂线— 垂直于侧面投影面的直线
a b Z
ab
X
O
YW
a
b
YH
投影特性: 1. ab 积聚 成一点 2. ab OYH ; ab OZ 3. ab = ab =AB
二、属于直线的点 若点在直线上, 则点 的投影必在直线的同名 投影上(从属性),并将线 段的同名投影分割成与 空间相同的比例。即:
H
a
YH
3.特殊点的投影
Z
V Z V
Bb a Cc c Aa
O
b a
b c c c O a
W
W a
X
X
b
b a
H
Yw
Y
YH
三、两点的相对位置
两点的相对位置指两a 点在空间的上下、前后、 左右位置关系。
b a b
判断方法:
▲ x 坐标大的在左 ▲ y 坐标大的在前 ▲ z 坐标大的在上 A点在B点之前、 之右、之上。
O
X
A
O
b a
c a k
d
当两直线相交时,它们在各投影面上的同名投影也必然相交, 且交点符合空间一点的投影规律。反之亦然。
⒊ 两直线交叉
1(2 ) 3
●
d
a c c a
●
●
4
b
两直线相交吗? 为什么? 投影特性:
●
2
●
b d
1 3(4 )
●
★ 同名投影可能相交,但 “交点”不符合空间一个 点的投影规律。 ★ “交点”是两直线上的一 对重影点的投影,用其可帮 助判断两直线的空间位置。
b
n
|yA-yB|
3.4 平面的投影
一、平面的表示法
二、各种位置平面的投影特性
三、属于平面的点和直线
一、平面的表示法
1.用几何元素表示平面
c ●
● a
c ●
● a ● a
c ● b ●b
●
● ● a d ●
c
● ● a
c
b ●b
●
b ●b
●
b ●b
● ●
b ●b
已知 α=30°求b
例11 已知线段AB的投影,试定出属于线段AB的点C 的投影, 使BC 的实长等于已知长度L。
b
L
ABca源自zA-zBabb
BC=L a c
例12 作三角形ABC,ABC为直角,使BC 在MN上,且BCAB =23。
a
b
bc=BC
n
ab
m
c
AB
m
c a
Ⅰ、Ⅱ是V面的重影点, Ⅲ、Ⅳ是H面的重影点。
凡不满足平行和相交条件的直线为交叉两直线。
交叉两直线重影点投影的可见性判断
1(2)
d b
V
1(2)
a c
d
b
B X
a c b
O
2
Ⅱ
D
X
A a
Ⅰ
2 C
c
O
b
a c
1
d
1 d
例5 过C点作水平线CD与AB相交。
b
c a
k
d
Y a
2.投影面垂直面 Z V a'
d'
A D b' a" B
铅垂面 正垂面 侧垂面
a d b
AB为正平线, 正面 投影反映直角。
c c a
●
●
d
b
例8
作线段AB、CD 的公垂线EF。 c f ab
e
d
O
X b e a c f d
五、直角三角形法求直线实长、夹角
在特殊位置直线的投影中,能得到该直线 段的实长以及与投影面的夹角的实际大小,而 在一般位置直线的投影中,则不能。如果在投 影、倾角与实长三者之间建立起直角三角形关 系,则为直线段倾角与实长的图解提供了理论 依据。可利用直角三角形法求其实长和倾角。 直角三角形的四个要素中(实长、投影、 坐标差及直线对投影面的夹角)已知任意两个 可确定另外两个。
YW
X
a b
b
Y 投影特性: 1.ab OX ; ab OYW 2.ab=AB 3.反映、 角的真实大小
YH
正平线—只平行于正面投影面的直线
Z b
b
a
a
O
X
YW
a
b YH
投影特性: 1. ab OX ; a b OZ
2. a b=AB 3. 反映 角的真实大小
a
d c
k
b
先作正面投影
例6
判断两直线的相对位置
b d a c d c a d d z a d
a c
b
b
d 相交 b c a b d
a
平行
c
b c 相交 a b c c c b a b d d d a a b YW c a d b b d a 交叉 c Y 交叉
V b c
C B
a
AC/CB=ac/cb= ac / cb
若点的投影有一个不在 直线的同名投影上, 则该 点必不在此直线上。
A
a
c
b H
定比性
例3 已知线段AB的投影图,试将AB分成2:1两段,求分点C 的投 影 c 、 c 。
b
c
a
b c
a
例4 判断点K是否在线段AB上。
侧平线—只平行于侧面投影面的直线
a Z a
b X a O
b
YW
b YH
投影特性: 1. ab OZ ; ab OYH
2. ab =AB 3.反映 、 角的真实大小
4.投影面垂直线
V
Z
a A b a
铅垂线 正垂线 侧垂线