湖南长沙麓山国际实验学校2018-2019学年开学考试初三数学试题及答案

合集下载

湖南省长沙市麓山国际实验学校初三上入学考试数学试卷及答案

麓山国际实验学校初三入学限时训练数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分） 1．下列说法中不正确的是（）A ．抛掷一枚硬币，硬币落地时正面朝上是随机事件B ．把4个球放入三个抽屉中，其中有一个抽屉中至少有2个球是必然事件C ．任意打开七年级下册数学教科书，正好是97页是确定事件D ．一个盒子中有白球m 个，红球6个，黑球n 个（每个除了颜色外都相同）．如果从中任取一个球，取得的是红球的概率与不是红球的概率相同，那么m 与n 的和是6 2．一次函数32+-=x y 的图象不经过下列哪个象限（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．用配方法解方程0462=+-x x 时，配方后得的方程为（） A ．5)3(2=+x B ．13)3(2-=-xC ．5)3(2=-xD ．13)3(2=-x4．如图1，△ABC 为⊙O 的内接三角形，AB 为⊙O 的直径，点D 在⊙O 上，∠ADC =54°，则∠BAC 的度数等于（）A ．36°B ．44°C ．46°D ．54°5．如图2，PB PA ,为⊙O 的切线，A B ，分别为切点，60APB =∠，点P 到圆心O 的距离2OP =，则⊙O 的半径为（）A ．12B ．1C ．32D ．26．小明把如图3所示的平行四边形纸板挂在墙上，玩飞镖游戏（每次飞镖均落在纸板上，且落在纸板的任何一个点的机会都相等），则飞镖落在阴影区域的概率是（） A ．21 B ．31 C ．41 D ．517．已知点M （1，a ）和点N （2，b ）是一次函数3)2(--=x k y 图象上的两点，若a ＞b ，则k 的取值范围是（）A ．2>kB ．0<kC ．2<kD ．2≤k8．若关于x 的一元二次方程2210kx x --=有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是（）ABOP（图2）（图1）（图3）A ．1k >-B ．1k <且0k ≠C ．1k ≥-且0k ≠D ．1k >-且0k ≠9．如图4，直线x y 2=和4+=ax y 相交于点A （m ，3），则不等式42+≥ax x 的解集为（）A ．23≥x B ．23≤xC ．3≥xD ． 3≤x 10．如图5是油路管道的一部分，延伸外围的支路恰好构成一个直角三角形，两直角边分别为6m 和8m 。

长沙市麓山国际实九年级(上)数学试卷及解析

湖南省长沙市麓山国际实验学校九年级（上）限时训练数学试卷一、选择题（每小题3分，共36分）1．（3分）下列函数：xy=1，y=，y=，y=，y=2x2中，是y关于x的反比例函数的有（）个．A．1个B．2个C．3个D．4个2．（3分）同时掷两枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，下列事件中是不可能事件的是（）A．点数之和为12 B．点数之和小于3C．点数之和大于4且小于8 D．点数之和为133．（3分）已知反比例函数y=的图象在每一个象限内，y随x的增大而减小，则（）A．m≥5 B．m＜5 C．m＞5 D．m≤54．（3分）从2，3，4，5中任意选两个数，记作a和b，那么点（a，b）在函数y=图象上的概率是（）A．B．C．D．5．（3分）下列四个三角形中，与图中的三角形相似的是（）A．B．C．D．6．（3分）如图，已知直线a∥b∥c，直线m、n与直线a、b、c分别交于点A、C、E、B、D、F，AC=4，CE=6，BD=3，则BF=（）A．7 B．7.5 C．8 D．8.57．（3分）如图，已知∠1=∠2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（）A．B．C．∠B=∠D D．∠C=∠AED8．（3分）将抛物线y=3x2向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为（）A．y=3（x+2）2+3 B．y=3（x﹣2）2+3 C．y=3（x+2）2﹣3 D．y=3（x﹣2）2﹣39．（3分）二次函数y=kx2﹣6x+3的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围是（）A．k＜3 B．k＜3且k≠0 C．k≤3 D．k≤3且k≠010．（3分）在函数中，自变量x的取值范围是（）A．x≥1 B．x＜﹣1 C．x≥﹣1且x≠D．x≤﹣111．（3分）已知反比例函数的图象如图，则二次函数y=2kx2﹣x+k2的图象大致为（）A．B．C．D．12．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB=10，BC=5．若点M、N分别是线段AC，AB上的两个动点，则BM+MN的最小值为（）A．10 B．8 C．5D．6二、填空题（每小题3分，共18分）13．（3分）在一个袋中，装有五个除数字外其它完全相同的小球，球面上分别写有1，2，3，4，5这5个数字．小芳从袋中任意摸出一个小球，球面数字的平方根是无理数的概率是．14．（3分）从某玉米种子中抽取6批，在同一条件下进行发芽试验，有关数据如下：根据以上数据可以估计，该玉米种子发芽的概率约为（精确到0.1）．15．（3分）在函数y=（a为常数）的图象上三点（﹣1，y1），（﹣，y2），（，y3），则函数值y1、y2、y3的大小关系是．16．（3分）如图，反比例函数y=（x＜0）的图象经过点P，则k的值为．17．（3分）已知△ABC与△DEF的相似，它们的相似比是3：4，且△ABC的面积为18cm2，则△DEF的面积为cm2．18．（3分）如图所示，在△ABC中，AB=6，AC=4，P是AC的中点，过P点的直线交AB于点Q，若以A、P、Q为顶点的三角形和以A、B、C为顶点的三角形相似，则AQ的长为．三、解答题（19-25题每题8分，26题10分共66分）19．（8分）在一个不透明的箱子里，装有红、白、黑各一个球，它们除了颜色之外没有其他区别．（1）随机地从箱子里取出1个球，则取出红球的概率是多少？（2）随机地从箱子里取出1个球，放回搅匀再取第二个球，请你用画树状图或列表的方法表示所有等可能的结果，并求两次取出相同颜色球的概率．20．（8分）如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于A、B两点，且与反比例函数y=（k≠0）的图象在第一象限交于点C，如果点B的坐标为（0，2），OA=OB，B是线段AC的中点．（1）求一次函数解析式及反比例函数的解析式；（2）若一次函数值大于反比例函数值，请求出相应的自变量x的取值范围．21．（8分）为了解中考体育科目训练情况，某县从全县九年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次中考体育科目测试（把测试结果分为四个等级：A级：优秀；B级：良好；C级：及格；D级：不及格），并将测试结果绘成了如下两幅不完整的统计图．请根据统计图中的信息解答下列问题：（1）本次抽样测试的学生人数是；（2）图1中∠α的度数是，并把图2条形统计图补充完整；（3）该县九年级有学生3500名，如果全部参加这次中考体育科目测试，请估计不及格的人数为．（4）测试老师想从4位同学（分别记为E、F、G、H，其中E为小明）中随机选择两位同学了解平时训练情况，请用列表或画树形图的方法求出选中小明的概率．22．（8分）某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体试验，测得成人服药后血液中药物浓度y（微克/毫升）与服药时间x小时之间函数关系如图所示（当4≤x≤10时，y与x成反比例）．（1）根据图象分别求出血液中药物浓度上升和下降阶段y与x之间的函数关系式．（2）问血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间多少小时？23．（8分）△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=180mm，高AD=120mm，要把它加工成矩形零件，使一边在BC上，其余两个顶点分别在边AB、AC上．（1）若这个矩形是正方形，那么边长是多少？（2）若这个矩形的长是宽的2倍，则边长是多少？24．（8分）如图所示，⊙O的内接△ABC中，∠BAC=45°，∠ABC=15°，AD∥OC并交BC的延长线于D 点，OC交AB于E点．（1）求∠D的度数；（2）若CE=3，AD=4，求线段AC的长．25．（8分）如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=1，点D是BC上一个动点（不与B、C重合），在AC上取E点，使∠ADE=45度．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式；（3）当：△ADE是等腰三角形时，求AE的长．26．（10分）如图，在矩形OABC中，OA=3，OC=5，分别以OA、OC所在直线为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，D是边CB上的一个动点（不与C、B重合），反比例函数y=（k＞0）的图象经过点D且与边BA交于点E，连接DE．（1）连接OE，若△EOA的面积为2，则k=；（2）连接CA、DE与CA是否平行？请说明理由；（3）是否存在点D，使得点B关于DE的对称点在OC上？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．2015-2016学年湖南省长沙市麓山国际实验学校九年级（上）第一次限时训练数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共36分）1．（3分）（2016秋•岳麓区校级月考）下列函数：xy=1，y=，y=，y=，y=2x2中，是y关于x的反比例函数的有（）个．A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：xy=1，符合反比例函数的定义；y=，属于正比例函数；y=，需要k≠0，y=，该函数不属于反比例函数，y=2x2该函数属于二次函数，故选：A．【点评】本题考查了反比例函数的定义．判断一个函数是否是反比例函数，首先看看两个变量是否具有反比例关系，然后根据反比例函数的意义去判断，其形式y=（k为常数，k≠0）或y=kx﹣1（k为常数，k ≠0）．2．（3分）（2006•永春县）同时掷两枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，下列事件中是不可能事件的是（）A．点数之和为12 B．点数之和小于3C．点数之和大于4且小于8 D．点数之和为13【解答】解：A、6点+6点=12点，为随机事件，不符合题意；B、例如：1点+1点=2点，为随机事件，不符合题意；C、例如：1点+5点=6点，为随机事件，不符合题意；D、两枚骰子点数最大之和为12点，不可能是13点，为不可能事件，符合题意．故选：D．【点评】本题考查事件的分类，事件根据其发生的可能性大小分为必然事件、随机事件、不可能事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．3．（3分）（2015秋•长沙校级月考）已知反比例函数y=的图象在每一个象限内，y随x的增大而减小，则（）A．m≥5 B．m＜5 C．m＞5 D．m≤5【解答】解：∵在每个象限内，y随着x的增大而减小，∴5﹣m＞0，∴m＜5．故选B．【点评】此题主要考查了反比例函数的性质，熟练掌握其性质是解决问题的关键，对于反比例函数y=（k≠0），（1）k＞0，反比例函数图象在一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小；（2）k＜0，反比例函数图象在第二、四象限内，在每个象限内，y随x的增大而增大．4．（3分）（2015•株洲）从2，3，4，5中任意选两个数，记作a和b，那么点（a，b）在函数y=图象上的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：画树状图得：∵共有12种等可能的结果，点（a，b）在函数y=图象上的有（3，4），（4，3）；∴点（a，b）在函数y=图象上的概率是：=．故选D．【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．5．（3分）（2008•江西）下列四个三角形中，与图中的三角形相似的是（）A．B．C．D．【解答】解：设单位正方形的边长为1，给出的三角形三边长分别为，2，．A、三角形三边2，，3，与给出的三角形的各边不成比例，故A选项错误；B、三角形三边2，4，2，与给出的三角形的各边成正比例，故B选项正确；C、三角形三边2，3，，与给出的三角形的各边不成比例，故C选项错误；D、三角形三边，4，，与给出的三角形的各边不成比例，故D选项错误．故选：B．【点评】此题考查三边对应成比例，两三角形相似判定定理的应用．6．（3分）（2011•肇庆）如图，已知直线a∥b∥c，直线m、n与直线a、b、c分别交于点A、C、E、B、D、F，AC=4，CE=6，BD=3，则BF=（）A．7 B．7.5 C．8 D．8.5【解答】解：∵a∥b∥c，∴，∵AC=4，CE=6，BD=3，∴，解得：DF=，∴BF=BD+DF=3+=7.5．故选：B．【点评】此题考查了平行线分线段成比例定理．题目比较简单，解题的关键是注意数形结合思想的应用．7．（3分）（2007•海南）如图，已知∠1=∠2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（）A．B．C．∠B=∠D D．∠C=∠AED【解答】解：∵∠1=∠2∴∠DAE=∠BAC∴A，C，D都可判定△ABC∽△ADE选项B中不是夹这两个角的边，所以不相似，故选B．【点评】此题考查了相似三角形的判定：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．8．（3分）（2012•泰安）将抛物线y=3x2向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为（）A．y=3（x+2）2+3 B．y=3（x﹣2）2+3 C．y=3（x+2）2﹣3 D．y=3（x﹣2）2﹣3【解答】解：由“上加下减”的原则可知，将抛物线y=3x2向上平移3个单位所得抛物线的解析式为：y=3x2+3；由“左加右减”的原则可知，将抛物线y=3x2+3向左平移2个单位所得抛物线的解析式为：y=3（x+2）2+3．故选A．【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知二次函数图象平移的法则是解答此题的关键．9．（3分）（2013春•新泰市期中）二次函数y=kx2﹣6x+3的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围是（）A．k＜3 B．k＜3且k≠0 C．k≤3 D．k≤3且k≠0【解答】解：∵二次函数y=kx2﹣6x+3的图象与x轴有两个交点，∴，即，解得k＜3且k≠0．故选B．【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，熟知抛物线与x轴的交点与△的关系是解答此题的关键．10．（3分）（2010•凉山州）在函数中，自变量x的取值范围是（）A．x≥1 B．x＜﹣1 C．x≥﹣1且x≠D．x≤﹣1【解答】解：x+1≥0且2x﹣1≠0，解得x≥﹣1且x≠．故选C．【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．11．（3分）（2016•井研县一模）已知反比例函数的图象如图，则二次函数y=2kx2﹣x+k2的图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：∵反比例函数图象在第二四象限，∴k＜0，∴二次函数图象开口向下，抛物线对称轴为直线x=﹣＜0，∵k2＞0，∴二次函数图象与y轴的正半轴相交．纵观各选项，只有D选项图象符合．故选：D．【点评】本题考查了二次函数图象，反比例函数图象，根据k的取值范围求出二次函数开口方向、对称轴和与y轴的正半轴相交是解题的关键．12．（3分）（2015•绥化）如图，在矩形ABCD中，AB=10，BC=5．若点M、N分别是线段AC，AB上的两个动点，则BM+MN的最小值为（）A．10 B．8 C．5D．6【解答】解：过B点作AC的垂线，使AC两边的线段相等，到E点，过E作EF垂直AB交AB于F点，AC=5，AC边上的高为2，所以BE=4．∵△ABC∽△EFB，∴=，即=EF=8．故选B．【点评】本题考查最短路径问题，关键确定何时路径最短，然后运用勾股定理和相似三角形的性质求得解．二、填空题（每小题3分，共18分）13．（3分）（2008•益阳）在一个袋中，装有五个除数字外其它完全相同的小球，球面上分别写有1，2，3，4，5这5个数字．小芳从袋中任意摸出一个小球，球面数字的平方根是无理数的概率是．【解答】解：因为从装有十个除数字外其它完全相同的小球任意摸出一个小球共5种情况，其中有3种情况是球面数字的平方根是无理数，故其概率是=．【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．根据以上数据可以估计，该玉米种子发芽的概率约为0.8（精确到0.1）．【解答】解：∵种子粒数5000粒时，种子发芽的频率趋近于0.801，∴估计种子发芽的概率为0.801，精确到0.1，即为0.8．故本题答案为：0.8．【点评】本题比较容易，考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．15．（3分）（2013春•红塔区校级期中）在函数y=（a为常数）的图象上三点（﹣1，y1），（﹣，y2），（，y3），则函数值y1、y2、y3的大小关系是y3＜y1＜y2．【解答】解：∵在函数y=（a为常数）中k=﹣a2﹣1＜0，∴函数图象的两个分支分别位于二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大．∵﹣＜﹣＜0，∴0＜y1＜y2．∵＞0，∴y3＜0，∴y3＜y1＜y2．故答案为y3＜y1＜y2．【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，即反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式．16．（3分）（2016春•宝应县校级月考）如图，反比例函数y=（x＜0）的图象经过点P，则k的值为﹣6．【解答】解：如图所示，点P的坐标是（﹣3，2），则k=xy=﹣3×2=﹣6．故答案是：﹣6．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征．所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数．17．（3分）（2012•重庆模拟）已知△ABC与△DEF的相似，它们的相似比是3：4，且△ABC的面积为18cm2，则△DEF的面积为32cm2．【解答】解：∵△ABC与△DEF的相似，它们的相似比是3：4，∴它们的面积比是9：16，∵△ABC的面积为18cm2，∴△DEF的面积为：18×=32（cm2）．故答案为：32．【点评】此题考查了相似三角形的性质．此题比较简单，解题的关键是掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方定理的应用．18．（3分）（2012•西安模拟）如图所示，在△ABC中，AB=6，AC=4，P是AC的中点，过P点的直线交AB于点Q，若以A、P、Q为顶点的三角形和以A、B、C为顶点的三角形相似，则AQ的长为3或．【解答】解：∵AC=4，P是AC的中点，∴AP=AC=2，①若△APQ∽△ACB，则，即，解得：AQ=3；②若△APQ∽△ABC，则，即，解得：AQ=；∴AQ的长为3或．故答案为：3或．【点评】此题考查了相似三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用．三、解答题（19-25题每题8分，26题10分共66分）19．（8分）（2014•泉州）在一个不透明的箱子里，装有红、白、黑各一个球，它们除了颜色之外没有其他区别．（1）随机地从箱子里取出1个球，则取出红球的概率是多少？（2）随机地从箱子里取出1个球，放回搅匀再取第二个球，请你用画树状图或列表的方法表示所有等可能的结果，并求两次取出相同颜色球的概率．【解答】解：（1）∵在一个不透明的箱子里，装有红、白、黑各一个球，它们除了颜色之外没有其他区别，∴随机地从箱子里取出1个球，则取出红球的概率是：；（2）画树状图得：∵共有9种等可能的结果，两次取出相同颜色球的有3种情况，∴两次取出相同颜色球的概率为：=．【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．20．（8分）（2015秋•长沙校级月考）如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于A、B两点，且与反比例函数y=（k≠0）的图象在第一象限交于点C，如果点B的坐标为（0，2），OA=OB，B是线段AC的中点．（1）求一次函数解析式及反比例函数的解析式；（2）若一次函数值大于反比例函数值，请求出相应的自变量x的取值范围．【解答】解：（1）∵OA=OB，点B的坐标为（0，2），∴点A（﹣2，0），点A、B在一次函数y=kx+b（k≠0）的图象上，∴，解得k=1，b=2，∴一次函数的解析式为y=x+2．∵B是线段AC的中点，∴点C的坐标为（2，4），又∵点C在反比例函数y=（k≠0）的图象上，∴k=8∴反比例函数的解析式为y=．（2）一次函数值大于反比例函数值的自变量x的取值范围﹣4＜x＜0或x＞2．【点评】本题主要考查了待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式．这里体现了数形结合的思想．21．（8分）（2014•孝感）为了解中考体育科目训练情况，某县从全县九年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次中考体育科目测试（把测试结果分为四个等级：A级：优秀；B级：良好；C级：及格；D级：不及格），并将测试结果绘成了如下两幅不完整的统计图．请根据统计图中的信息解答下列问题：（1）本次抽样测试的学生人数是40；（2）图1中∠α的度数是54°，并把图2条形统计图补充完整；（3）该县九年级有学生3500名，如果全部参加这次中考体育科目测试，请估计不及格的人数为700．（4）测试老师想从4位同学（分别记为E、F、G、H，其中E为小明）中随机选择两位同学了解平时训练情况，请用列表或画树形图的方法求出选中小明的概率．【解答】解：（1）本次抽样测试的学生人数是：=40（人），故答案为：40；（2）根据题意得：360°×=54°，答：图1中∠α的度数是54°；C级的人数是：40﹣6﹣12﹣8=14（人），如图：故答案为：54°；（3）根据题意得：3500×=700（人），答：不及格的人数为700人．故答案为：700；（4）根据题意画树形图如下：共有12种情况，选中小明的有6种，则P（选中小明）==．【点评】此题考查了条形统计图和扇形统计图的综合应用，用到的知识点是用样本估计总体、频数、频率、总数之间的关系等，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．22．（8分）（2016•呼伦贝尔）某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体试验，测得成人服药后血液中药物浓度y（微克/毫升）与服药时间x小时之间函数关系如图所示（当4≤x≤10时，y与x成反比例）．（1）根据图象分别求出血液中药物浓度上升和下降阶段y与x之间的函数关系式．（2）问血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间多少小时？【解答】解：（1）当0≤x≤4时，设直线解析式为：y=kx，将（4，8）代入得：8=4k，解得：k=2，故直线解析式为：y=2x，当4≤x≤10时，设反比例函数解析式为：y=，将（4，8）代入得：8=，解得：a=32，故反比例函数解析式为：y=；因此血液中药物浓度上升阶段的函数关系式为y=2x（0≤x≤4），下降阶段的函数关系式为y=（4≤x≤10）．（2）当y=4，则4=2x，解得：x=2，当y=4，则4=，解得：x=8，∵8﹣2=6（小时），∴血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间6小时．【点评】此题主要考查了反比例函数的应用，根据题意得出函数解析式是解题关键．23．（8分）（2015秋•长沙校级月考）△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=180mm，高AD=120mm，要把它加工成矩形零件，使一边在BC上，其余两个顶点分别在边AB、AC上．（1）若这个矩形是正方形，那么边长是多少？（2）若这个矩形的长是宽的2倍，则边长是多少？【解答】解：（1）设边长为xmm，∵矩形为正方形，∴PN∥BC，PQ∥AD，根据平行线的性质可以得出：=、=，由题意知PQ=x，BC=180mm，AD=120mm，PN=x，即=，=，∵AP+BP=AB，∴+=+=1，解得x=72．答：若这个矩形是正方形，那么边长是72mm．（2）设边宽为xmm，则长为2xmm，∵四边形PNMQ为矩形，∴PN∥BC，PQ∥AD，根据平行线的性质可以得出：=、=，①PQ为长，PN为宽：由题意知PQ=2xmm，AD=120mm，BC=180mm，AN=xmm，即=，=，∵AP+BP=AB，∴+=+=1，解得x=45，2x=90．即长为90mm，宽为45mm．②PQ为宽，PN为长：由题意知PQ=xmm，AD=120mm，BC=180mm，PN=2xmm，即=，=，∵AP+BP=AB，∴+=+=1，解得x=，2x=．即长为mm，宽为mm．答：矩形的长为90mm，宽是45mm或者长为mm，宽为mm．【点评】本题考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应高的比等于相似比，熟记性质并列出比例式是解题的关键．24．（8分）（2015秋•长沙校级月考）如图所示，⊙O的内接△ABC中，∠BAC=45°，∠ABC=15°，AD∥OC并交BC的延长线于D点，OC交AB于E点．（1）求∠D的度数；（2）若CE=3，AD=4，求线段AC的长．【解答】解：（1）连接OB，∵∠BOC=2∠BAC=90°，OB=OC，∴∠OCB=∠OBC=45°，∵AD∥OC，∴∠D=∠OCB=45°；（2）∵∠ABC=15°，∠OCB=45°，∴∠AEC=60°，∠ACD=∠ABC+∠BAC=60°，∴∠AEC=∠ACD=60°，∵∠D=45°，∠ACD=60°，∴∠CAD=75°，又∵∠OCA=75°，∴∠CAD=∠OCA=75°，∴△ACE∽△DAC，∴=，即AC2=AD•CE=4×3=12，∴AC=2．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形的外角性质，以及三角形的内角和定理．注意证得△OBC是等腰直角三角形，△ACE∽△DAC是关键．25．（8分）（2005•岳阳）如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=1，点D是BC上一个动点（不与B、C重合），在AC上取E点，使∠ADE=45度．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式；（3）当：△ADE是等腰三角形时，求AE的长．【解答】（1）证明：∵△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=1，∴∠ABC=∠ACB=45°．∵∠ADE=45°，∴∠BDA+∠CDE=135°．又∠BDA+∠BAD=135°，∴∠BAD=∠CDE．∴△ABD∽△DCE．（2）解：∵△ABD∽△DCE，∴；∵BD=x，∴CD=BC﹣BD=﹣x．∴，∴CE=x﹣x2．∴AE=AC﹣CE=1﹣（x﹣x2）=x2﹣x+1．即y=x2﹣x+1．（3）解：∠DAE＜∠BAC=90°，∠ADE=45°，∴当△ADE是等腰三角形时，第一种可能是AD=DE．又∵△ABD∽△DCE，∴△ABD≌△DCE．∴CD=AB=1．∴BD=﹣1．∵BD=CE，∴AE=AC﹣CE=2﹣．当△ADE是等腰三角形时，第二种可能是ED=EA．∵∠ADE=45°，∴此时有∠DEA=90°．即△ADE为等腰直角三角形．∴AE=DE=AC=．当AD=EA时，点D与点B重合，不合题意，所以舍去，因此AE的长为2﹣或．【点评】此题三个问题各有特点，却又紧密相联，第一个问题考查的是三角形的相似；第二个问题看起来是考查的函数但却与第一问紧密相联，运用第一问的结论即可顺利解决；第三问的关键是分类讨论，要考虑等腰的几种不同情况．26．（10分）（2015•徐州）如图，在矩形OABC中，OA=3，OC=5，分别以OA、OC所在直线为x轴、y 轴，建立平面直角坐标系，D是边CB上的一个动点（不与C、B重合），反比例函数y=（k＞0）的图象经过点D且与边BA交于点E，连接DE．（1）连接OE，若△EOA的面积为2，则k=4；（2）连接CA、DE与CA是否平行？请说明理由；（3）是否存在点D，使得点B关于DE的对称点在OC上？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）连接OE，如，图1，∵Rt△AOE的面积为2，∴k=2×2=4．（2）连接AC，如图1，设D（x，5），E（3，），则BD=3﹣x，BE=5﹣，=，∴∴DE∥AC．（3）假设存在点D满足条件．设D（x，5），E（3，），则CD=x，BD=3﹣x，BE=5﹣，AE=．作EF⊥OC，垂足为F，如图2，易证△B′CD∽△EFB′，∴，即=，∴B′F=，∴OB′=B′F+OF=B′F+AE=+=，∴CB′=OC﹣OB′=5﹣，在Rt△B′CD中，CB′=5﹣，CD=x，B′D=BD=3﹣x，由勾股定理得，CB′2+CD2=B′D2，（5﹣）2+x2=（3﹣x）2，解这个方程得，x1=1.5（舍去），x2=0.96，∴满足条件的点D存在，D的坐标为D（0.96，5）．【点评】本题考查了反比例函数综合题，涉及反比例函数k的几何意义、平行线分线段成比例定理、轴对称的性质、相似三角形的性质等知识，值得关注．参与本试卷答题和审题的老师有：wdzyzlhx；zhjh；CJX；sjzx；zcx；智波；ln_86；张其铎；HJJ；星期八；zcl5287；ZJX；自由人；Linaliu；守拙；dbz1018；lantin；gbl210；MMCH；heihudie（排名不分先后）菁优网2016年12月22日。

2018-2019学年湖南省长沙一中岳麓中学九年级(上)入学数学试卷(附答案详解)

2018-2019学年湖南省长沙一中岳麓中学九年级（上）入学数学试卷1.下列各数：−2，0，1，0.020020002…(相邻两个2之间依次多一个0)，π，√9，3其中无理数的个数是()A. 4B. 3C. 2D. 12.2017年，山西省经济发展由“疲”转“兴”，经济增长步入合理区间，各项社会事业发展取得显著成绩，全面建成小康社会迈出崭新步伐.2018年经济总体保持平稳，第一季度山西省地区生产总值约为3122亿元，比上年增长6.2%.数据3122亿元用科学记数法表示为()A. 3122×10 8元B. 3.122×10 3元C. 3122×10 11元D. 3.122×10 11元3.下列运算正确的是()A. a6÷a2=a3B. 3a2b−a2b=2C. √2+√3=√5D. (−2a3)2=4a64.不等式组{x<−2x≤3的解集在数轴上表示为()A. B.C. D.5.已知三角形中的两边长分别为3cm和7cm，则下列长度的四条线段中能作为第三边的是()A. 3cmB. 4cmC. 7cmD. 10cm6.如图，直线a//b，将一直角三角形的直角顶点置于直线b上，若∠1=28°，则∠2的度数是()A. 62°B. 108°C. 118°D. 152°7.估计√7+1的值在()A. 2和3之间B. 3和4之间C. 4和5之间D. 5和6之间8. 如图，两个一次函数图象的交点坐标为(2,4)，则关于x ，y 的方程组{y =k 1x +b 1y =k 2x +b 2的解为( )A. {x =2y =4 B. {x =4y =2 C. {x =−4y =0 D. {x =3y =09. 下列说法中，正确的是( )A. 两条直线被第三条直线所截，内错角相等B. 对角线相等的平行四边形是正方形C. 相等的角是对顶角D. 角平分线上的点到角两边的距离相等10. 如果代数式4y 2−2y +5的值是7，那么代数式2y 2−y +2的值等于( )A. 2B. 3C. −2D. 411. 若分式方程3x−ax 2−2x +1x−2=2x 有增根，则实数a 的取值是( )A. 0或2B. 4C. 8D. 4或812. 如图，抛物线y =a 2+bx +c(a,b ，c 是常数，a ≠0)与x 轴交于A ，B 两点，顶点P(m,n).给出下列结论 ①2a +c >0；②若(−32,y 1)，(−12,y 2)，(12,y 3)在抛物线上，则y 1>y 2>y 3 ③关于x 的方程ax 2+bx +k =0有实数解，则k >c −n ； ④当n =−1a 时，△ABP 为等腰直角三角形；其中正确结论个数有( )个．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个13. 化简：2aa 2−4−1a−2=______．14. 正多边形的一个内角等于144°，则该多边形是正______边形．15. 在函数y =√x+1x中，自变量x 的取值范围是______．16. 线段CD 是由线段AB 平移得到的，点A(−1,0)的对应点为C(2,−1)，则点B(0,3)的对应点D 的坐标是______．17. 如图，OC 为∠AOB 的平分线，CM ⊥OB ，OC =5，OM =4，则点C 到射线OA 的距离为______．18. 对于正数x ，规定f(x)=11+x ，例如：f(4)=11+4=15，f(14)=11+14=45，则f(2017)+f(2016)+⋯+f(2)+f(1)+f(12)+⋯+f(12016)+f(12017)=______．19. 计算：−12018+√83−2−(3.14−π)0．20. 先化简，再求值：(x−1x−x−2x+1)÷2x 2−xx 2+2x+1，其中x 满足x 2−2x −2=0．21.如图，在四边形ABCD中，AD//BC，∠ABC=∠ADC=90°，对角线AC，BD交于点O，DE平分∠ADC交BC于点E，连接OE．(1)求证：四边形ABCD是矩形；(2)若AB=2，求△OEC的面积．22.已知关于x的方程x2−2(m+1)x+m2+2=0．(1)若方程总有两个实数根，求m的取值范围；(2)若两实数根x1、x2满足(x1+1)(x2+1)=12，求m的值．23.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象与x轴交点为A(−3,0)，与y轴交点为B，且与x的图象的交于点C(m,4)．正比例函数y=43(1)求点C的坐标；(2)求一次函数y=kx+b的表达式；(3)若点P是y轴上一点，且△BPC的面积为6，请直接写出点P的坐标．24.某商场销售一种T恤衫，每件进价为40元．经过市场调查，一周的销售量y件与销售单价x元/件的关系如下表：(1)写出y与x的之间的函数关系式；(2)设一周的销售利润为w元，请求出w与x的函数关系式，并确定当销售单价为多少时一周的销售利润最大，并求出最大利润；(3)商场决定将一周销售T恤衫的利润全部捐给某村用于精准扶贫的水网改造项目，在商场购进该T恤衫的资金不超过6000元情况下，请求出该商场最大捐款数额是多少元？25.如图，已知抛物线y=−x2+3x+4的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴交于点D、点M从O点出发，以每秒1个单位长度的速度向B点运动(运动到B点停止)，过点M作x轴的垂线，交抛物线于点P，交BC与点Q．(1)求直线BC的解析式；(2)设当点M运动了x(秒)时，四边形OBPC的面积为S，求S与x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围；(3)在线段BC上是否存在点Q，使得△DBQ成为等腰三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．26.形如y=kx(k≠0)的函数称为反比例函数，我们定义，如果一次函数y1=ax+b和反比例函数y1=cx 的系数a、b、c(abc≠0)满足1a−1c=1c−1b，则称二次函数y2=ax2+bx+c为一次函数函数y1和反比例函数y2的“调和二次函数”．(1)试判断一次函数y1=2x+6反比例函数y2=3x的“调和二次函数”是否存在，并说明理由；(2)若二次函数y3=(m−1)x2+2mx+4是某一次函数和反比例函数的“调和二次函数”，试求该一次函数的解析式．答案和解析1.【答案】C【解析】【试题解析】【分析】本题考查了无理数的知识，解答本题的关键是掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数．根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，找出无理数的个数．【解答】解：√9=3，∴在2，0，0.020020002…(相邻两个2之间依次多一个0)，π，√9中，无理有0.020020002…(相邻两个2之间依次多一个0)，π共2个．故选C．2.【答案】D【解析】解：数据3122亿元用科学记数法表示为3.122×1011元，故选：D．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3.【答案】D【解析】解：A.a6÷a2=a4，故此选项不合题意；B.3a2b−a2b=2a2b，故此选项不合题意；C.√2+√3无法计算，故此选项不合题意；D.(−2a3)2=4a6，故此选项符合题意；故选：D．直接利用积的乘方运算法则以及同底数幂的除法运算法则、合并同类项法则、二次根式的加减分别判断得出答案．此题主要考查了积的乘方运算以及同底数幂的除法运算、合并同类项、二次根式的加减等知识，正确掌握相关运算法则是解题关键．4.【答案】B【解析】解：不等式组{x <−2x ≤3的解集在数轴上表示为：故选：B ．根据确定不等式解集的方法：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解即可解答．本题考查了在数轴上表示不等式的解集，解决本题的关键是掌握确定不等式解集的方法．5.【答案】C【解析】解：设三角形的第三边是xcm.则 7−3<x <7+3．即4<x <10，故选：C ．根据在三角形中任意两边之和>第三边，任意两边之差<第三边；即可求第三边长的范围，然后由第三边长的范围来作出选择．此题主要考查了三角形三边关系的应用．此类求三角形第三边的范围的题，实际上就是根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式即可．6.【答案】C【解析】解：如图，∵AB//CD ，∴∠2=∠ABC =∠1+∠CBE =28°+90°=118°，故选：C ．依据AB//CD ，即可得出∠2=∠ABC =∠1+∠CBE ．本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等．7.【答案】B【解析】解：∵2<√7<3， ∴3<√7+1<4，故选：B ．直接利用2<√7<3，进而得出答案．此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出√7的取值范围是解题关键．8.【答案】A【解析】【分析】根据任何一个一次函数都可以化为一个二元一次方程，再根据两个函数交点坐标就是二元一次方程组的解可直接得到答案．本题主要考查了函数解析式与图象的关系，满足解析式的点就在函数的图象上，在函数的图象上的点，就一定满足函数解析式．函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．【解答】解：∵直线y 1=k 1x +b 1与y 2=k 2x +b 2的交点坐标为(2,4)， ∴二元一次方程组{y =k 1x +b 1y =k 2x +b 2的解为{x =2y =4，故选：A ．9.【答案】D【解析】解：A 、两条平行线被第三条直线所截，内错角才相等，错误，故本选项不符合题意；B 、对角线相等的四边形是矩形，不一定是正方形，错误，故本选项不符合题意；C 、相等的角不一定是对顶角，错误，故本选项不符合题意；D 、角平分线上的点到角的两边的距离相等，正确，故本选项符合题意；根据平行线的性质、正方形的判定、矩形的判定、对顶角的性质、角平分线性质逐个判断即可．本题考查了平行线的性质、正方形的判定、矩形的判定、对顶角的性质、角平分线性质等知识点，能熟记平行线的性质、正方形的判定、矩形的判定、对顶角的性质、角平分线性质的内容是解此题的关键．10.【答案】B【解析】解：当4y2−2y+5=7时，∴4y2−2y=2，∴2y2−y=1，原式=1+2=3，故选：B．将4y2−2y+5=7代入原式即可求出答案．本题考查代数式求值，解题的关键是熟练根据题意得出2y2−y=1，本题属于基础题型．11.【答案】D【解析】解：方程两边同乘x(x−2)，得3x−a+x=2(x−2)，由题意得，分式方程的增根为0或2，当x=0时，−a=−4，解得，a=4，当x=2时，6−a+2=0，解得，a=8，故选：D．先把分式方程化为整式方程，确定分式方程的增根，代入计算即可．本题考查的是分式方程的增根，增根的定义：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为0或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根．【解析】【分析】本题考查二次函数的应用、二次函数与坐标轴的交点等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考填空题中的压轴题．利用二次函数的性质一一判断即可．【解答】解：∵−b2a <12，a>0，∴a>−b，∵x=−1时，y>0，∴a−b+c>0，∴2a+c>a−b+c>0，故①正确，若(−32,y1)，(−12,y2)，(12,y3)在抛物线上，由图象法可知，y1>y2>y3；故②正确，∵抛物线与直线y=t有交点时，方程ax2+bx+c=t有解，t≥n，∴ax2+bx+c−t=0有实数解要使得ax2+bx+k=0有实数解，则k=c−t≤c−n；故③错误，设抛物线的对称轴交x轴于H．∵4ac−b24a =−1a，∴b2−4ac=4，∴x=−b±22a，∴|x1−x2|=2a，∴AB=2PH，∵BH=AH，∴PH=BH=AH，∴△PAB是直角三角形，∵PA=PB，∴△PAB是等腰直角三角形．故④正确．综上，结论正确的是①②④，故选：C．13.【答案】1a+2【解析】解：原式=2a(a+2)(a−2)−a+2(a+2)(a−2)=a−2(a+2)(a−2)=1a+2，故答案为：1a+2原式通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分即可得到结果．此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．14.【答案】十【解析】解：设正多边形是n边形，由题意得(n−2)×180°=144°n．解得n=10，故答案为：十．根据正多边形的每个内角相等，可得正多边形的内角和，再根据多边形的内角和公式，可得答案．本题考查了多边形的内角与外角，利用了正多边形的内角相等，多边形的内角和公式．15.【答案】x≥−1且x≠0【解析】【分析】考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的取值范围一般从三个方面考虑：(1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；(2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；(3)当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围．【解答】解：根据题意得：x+1≥0且x≠0，解得：x≥−1且x≠0．故答案为：x≥−1且x≠0．16.【答案】(2,2)【解析】解：∵点A(−1,0)的对应点为C(1,−1)，∴A点向右平移2个单位长度，又向下平移1个单位长度，∵点B(0,3)∴B的对应点D的坐标是(0+2,3−1)，即(2,2)，故答案为：(2,2)．根据A点对应点C点坐标可得A点向右平移2个单位长度，又向下平移1个单位长度，因此B点也是向右平移2个单位长度，又向下平移1个单位长度，进而可得答案．此题主要考查了坐标与图形变化---平移，关键是掌握横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．17.【答案】3【解析】解：过C作CF⊥AO，∵OC为∠AOB的平分线，CM⊥OB，∴CM=CF，∵OC=5，OM=4，∴CM=3，∴CF=3，故答案为：3．过C作CF⊥AO，根据勾股定理可得CM的长，再根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等可得CF=CM，进而可得答案．此题主要考查了角平分线的性质，关键是掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等．18.【答案】40332【解析】解：∵f(x)=11+x ，f(1x )=11+1x =x 1+x ，∴f(x)+f(1x )=11+x +x 1+x =1．∴f(2017)+f(2016)+⋯+f(2)+f(1)+f(12)+⋯+f(12016)+f(12017)=1+1+⋯+1+f(1)=2016×1+f(1)=2016+12=40332．故答案为：40332．【分析】根据f(x)=11+x 可得出f(1x )=x 1+x ，将其相加即可得出f(x)+f(1x )=1，由此即可得出原式=2016×1+f(1)，代入x =1即可得出结论．本题考查了函数值以及规律性中数的变化类，根据函数关系式找出f(x)+f(1x )=1是解题的关键． 19.【答案】解：−12018+√83−2−(3.14−π)0=−1+2−2−1=−2．【解析】首先计算零指数幂、乘方和开方，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可．此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．20.【答案】解：原式=[x 2−1x(x+1)−x 2−2x x(x+1)]÷x(2x−1)(x+1)2=2x −1x(x +1)⋅(x +1)2x(2x −1)=x+1x 2，∵x 2−2x −2=0，∴x 2=2x +2=2(x +1)，则原式=x+12(x+1)=12．【解析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再由x2−2x−2=0得x2= 2x+2=2(x+1)，整体代入计算可得．本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．21.【答案】(1)证明：∵AD//BC，∴∠ABC+∠BAD=180°，∵∠ABC=90°，∴∠BAD=90°，∴∠BAD=∠ABC=∠ADC=90°，∴四边形ABCD是矩形．(2)作OF⊥BC于F．∵四边形ABCD是矩形，∴CD=AB=2，∠BCD=90°，AO=CO，BO=DO，AC=BD，∴AO=BO=CO=DO，∴BF=FC，∴OF=12CD=1，∵DE平分∠ADC，∠ADC=90°，∴∠EDC=45°，在Rt△EDC中，EC=CD=2，∴△OEC的面积=12⋅EC⋅OF=1．【解析】(1)只要证明三个角是直角即可解决问题；(2)作OF⊥BC于F.求出EC、OF的长即可；本题考查矩形的判定和性质、角平分线的定义、三角形中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形中位线解决问题，属于中考常考题型．22.【答案】解：(1)Δ=[−2(m+1)]2−4(m2+2)=8m−4，∵方程总有两个实数根，∴8m −4≥0，∴m ≥12． (2)由(x 1+1)(x 2+1)=x 1x 2+(x 1+x 2)+1=12，∵x 1x 2=2(m +1)，x 1x 2=m 2+2，∴原式=m 2+2+2(m +1)+1=12，整理得m 2+2m −7=0，解得m =−1−2√2(舍)或m =−1+2√2．【解析】(1)由方程求出判别式Δ≥0即可．(2)由一元二次方程根与系数的关系，用含m 代数式表示两根之和及两根之积，进而求解．本题考查了一元二次方程的判别式及根与系数的关系，解题关键是将熟练掌握一元二次方程的判别式与根的关系及两根之积与两根之和．23.【答案】解：(1)∵点C(m,4)在正比例函数的y =43x 图象上，∴43m =4，∴m =3，即点C 坐标为(3,4)，(2)∵一次函数 y =kx +b 经过A(−3,0)、点C(3,4)∴{−3k +b =03k +b =4，解得：{k =23b =2， ∴一次函数的表达式为：y =23x +2，(3)把x =0代入y =23x +2得：y =2，即点B 的坐标为(0,2)，∵点P 是y 轴上一点，且△BPC 的面积为6，∴12×PB ×3=6，∴PB =4，又∵点B 的坐标为(0,2)，∴点P 的坐标为(0,6)或(0,−2)．【解析】(1)把点C(m,4)代入正比例函数y =43x 即可得到答案，(2)把点A 和点C 的坐标代入y =kx +b 求得k ，b 的值即可，(3)点C 的坐标为(3,4)，说明点C 到y 轴的距离为3，根据△BPC 的面积为6，求得BP 的长度，进而求出点P 的坐标即可．本题考查了待定系数法求一次函数的解析式和一次函数图象上点的坐标特征，分析图象并结合题意列出符合要求的等式是解题的关键．24.【答案】解：(1)设y =kx +b ，根据题意，得：{50k +b =35060k +b =300，解得：{k =−5b =600，则y =−5x +600；(2)根据题意，得：w =(x −40)(−5x +600)=−5x 2+800x −24000=−5(x −80)2+8000，∵−5<0，∴当x =80时，w 取得最大值，最大值为8000，答：当销售单价为80元时一周的销售利润最大，最大利润为8000元；(3)∵商场购进该T 恤衫的资金不超过6000元，∴y ≤600040，即−5x +600≤150，解得：x ≥90，∵w =−5(x −80)2+8000中，当x >80时w 随x 的增大而减小，∴当x =90时，w 取得最大值，最大值为7500元，答：该商场最大捐款数额是7500元．【解析】(1)利用待定系数法求解可得；(2)根据“总利润=单件利润×销售量”列出函数解析式，将其配方成顶点式，依据二次函数的性质可得答案；(3)根据“商场购进该T 恤衫的资金不超过6000元”知y ≤600040，即−5x +600≤150，解之求得x 的范围，结合二次函数的顶点式及其增减性可得．此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式以及二次函数增减性的应用，根据题意得出w 与x 的关系式是解题关键．25.【答案】解：(1)把x =0代入y =−x 2+3x +4得点C 的坐标为C(0,4)把y =0代入y =−x 2+3x +4得点B 的坐标为B(4,0)设直线BC 的解析式为y =kx +b(k ≠0)，∴{b =44k +b =0，解得{k =−1b =4， ∴直线BC 的解析式为y =−x +4；(2)如图，连接OP ，设点P 的坐标为P(x,y)S 四边形OBPC =S △OPC +S △OPB =12×4×x +12×4×y=2x +2y=2x +2(−x 2+3x +4)=−2x 2+8x +8．∵点M 运动到B 点上停止，∴0≤x ≤4∴S =−2x 2+8x +8(0≤x ≤4)(3)存在．∵y =−x 2+3x +4=−(x −32)2+254，∴顶点的坐标为(32,254)，∵OB =OC =4，∴BC =√OB 2+OC 2=4√2，∠ABC =45°，①若BQ =DQ∵BQ =DQ ，BD =4−32=52，∴BM =QM =54，∴OM =4−54=114，所以Q 的坐标为Q(114,54).②若BQ =BD =52∵△BQM∽△BCO ，∴BQ BC =QM CO =BM BO ， ∴524√2=QM 4=BM4， ∴QM =BM =5√24， ∴OM =4−5√24，所以Q 的坐标为Q(4−5√24,5√24). ③若DQ =BD =52，∵∠ABC =45°，∴DQ ⊥BD ， ∴△BDQ 是等腰直角三角形，∴DQ =BD =52，所以Q 的坐标为Q(32,52)，综上所述，Q 的坐标为Q(114,54)或Q(4−5√24,5√24)或Q(32,52).【解析】(1)已知抛物线解析式，令y =0，x =0，可求B 、C 两点坐标，然后根据待定系数法即可求得；(2)设点P 的坐标为P(x,y)，由S 四边形OBPC =S △OPC +S △OPB 可列出S 与x 的函数关系式，由于B(4,0)，所以0≤x ≤4(3)有三种可能：①BQ =DQ ，②BQ =BD =52，③DQ =BD =52，分别讨论即可求得．本题考查了二次函数解析式的运用，坐标系里面积表示方法，及寻找特殊三角形的条件问题，涉及分类讨论和相似三角形的运用．26.【答案】解：(1)存在，理由如下：∵一次函数y 1=2x +6反比例函数y 2=3x ，∴a =2，b =6，c =3，∵12−13=13−16，∴存在一次函数y1=2x+6反比例函数y2=3x的“调和二次函数”；(2)∵y3=(m−1)x2+2mx+4，∴a=m−1，b=2m，c=4，∵二次函数y3=(m−1)x2+2mx+4是某一次函数和反比例函数的“调和二次函数”，∴1m−1−14=14−12m，解得m=2±√3，经检验，m=2±√3是方程1m−1−14=14−12m的解，∴a=1±√3，b=4±2√3，∴一次函数的解析式为y=(1+√3)x+4+2√3或y=(1−√3)x+4−2√3．【解析】(1)根据“调和二次函数”的定义判定即可；(2)根据新定义得到1m−1−14=14−12m，解得m的值即可求得a、b的值，即可求得一次函数的解析式．本题考查了待定系数法求一次函数的解析式、二次函数的解析式，反比例函数的性质，明确新定义是解题的关键．第21页，共21页。

2019年湖南省长沙市麓山国际实验学校实验班自主招生数学模拟试卷及答案

2019年湖南省长沙市麓山国际实验学校实验班自主招生数学模拟试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题（本大题共8小题，共32分）1.下列运算中不正确的是( )A. B. C. D.2.已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是A. B. C. 且 D.3.如图，在中，，点D、E分别是边AB、AC的中点，延长DE到F，使得，那么四边形ADCF是A. 等腰梯形B. 直角梯形C. 矩形D. 菱形4.二次函数的图象如图所示，则下列说法正确的是A.B.C.D.5.在一个不透明的袋子中装有4个除颜色外其余完全相同的小球，其中白球1个，黄球1个，红球2个，摸出一个球不放回，再摸出一个球，两次都摸到红球的概率是( )A. B. C. D.6.一列数，，，，其中，，，，则的结果为A. 1B.C.D.7.如图，直角三角形ABC位于第一象限，，，直角顶点A在直线上，其中A点的横坐标为1，且两条直角边AB、AC分别平行于x轴、y轴，若双曲线与有交点，则k 的取值范围是A.B.C.D.8.如图，E是正方形ABCD的边BC的延长线上一点，若，AE交CD于F，则的度数是A. B.C. D.二、填空题（本大题共8小题，共32分）9.若a、b分别满足、，且，则的值是______ ．10.不等式组的最大整数解为______．11.读一读：式子“”表示从1开始的100个连续自然数的和，由于式子比较长，书写不方便，为了简便起见，我们将其表示为，这里“”是求和符号，通过对以上材料的阅读，计算______．12.关于x的一次函数，无论n为何值，图象恒过一定点，则此定点坐标为________．13.如图1所示，将沿直线DE折叠后，使得点B与点A重合已知，的周长为17cm，则BC的长为___________．14.如图2所示，菱形ABCD中，，E，F分别是边AB和BC的中点，于点G，则______ ．15.如图3所示，已知矩形纸片ABCD的长为8，宽为6，把纸片对折，使点A与点C重合，则折痕EF的长为______ ．16.如图4所示，正方形ABCD的边长为，则点A的坐标为______ ，点C的坐标为______ ．图1 图2 图3 图4三、解答题（本大题共3小题，共36分）17.某农场的一个家电商场为了响应国家家电下乡的号召，准备用不超过105700元购进40台电脑，其中A型电脑每台进价2500元，B型电脑每台进价2800元，A型每台售价3000元，B型每台售价3200元，预计销售额不低于123200元设A型电脑购进x台、商场的总利润为元．请你设计出进货方案；求出总利润元与购进A型电脑台的函数关系式，并利用关系式说明哪种方案的利润最大，最大利润是多少元？商场准备拿出中的最大利润的一部分再次购进A型和B型电脑至少各两台，另一部分为地震灾区购买单价为500元的帐篷若干顶在钱用尽三样都购买的前提下请直接写出购买A型电脑、B型电脑和帐篷的方案．18.如图，BC是的直径，AB交于点D，E为弧BD的中点，CE交AB于点H，．求证：AC与相切；若，求的值．19.如图，已知抛物线过点和点过点A作直线轴，交y轴于点C．求抛物线的解析式；在抛物线上取一点P，过点P作直线AC的垂线，垂足为连接OA，使得以A，D，P为顶点的三角形与相似，求出对应点P的坐标；抛物线上是否存在点Q，使得？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．2019年湖南省长沙市麓山国际实验学校实验班自主招生数学模拟试卷参考答案1. C2. C3. C4. D5. C6. B7. B8. A9.10. 011.12.13. 12cm14.15.16. ；17. 解：设A型电脑购进x台，则B型电脑购进台，由题意，得，解得：，为整数，，22，23，24有4种购买方案：方案1：购A型电脑21台，B型电脑19台；方案2：购A型电脑22台，B型电脑18台；方案3：购A型电脑23台，B型电脑17台；方案4：购A型电脑24台，B型电脑16台；由题意，得，，．，随x的增大而增大，时，最大元．设再次购买A型电脑a台，B型电脑b台，帐篷c顶，由题意，得，．，，，且a、b、c为整数，，且是5的倍数且c随a、b的增大而减小．当，时，，舍去；当，时，，故；当，时，，舍去；当，时，，故；当，时，，舍去，当，时，，舍去．有2种购买方案：方案1：购A型电脑2台，B型电脑3台，帐篷10顶，方案2：购A型电脑3台，B型电脑3台，帐篷5顶．18. 证明：连接BE，是的直径，，，，，，，为弧BD中点，，，，为直径，与相切．解：作于F点，，，，，由可知：，，∽ ，，设，则，，与相切于C点，在中，．19. 解：把和点代入抛物线得：，解得：，，则抛物线解析式为；设P坐标为，则有，，当 ∽ 时，，即，整理得：，即，解得：，即或舍去此时；当 ∽ 时，，即，整理得：，即，解得：，即或舍去，此时．综上，P的坐标为或；在中，，，根据勾股定理得：，，，，边OA上的高为，过O作，截取，过M作，交y轴于点N，如图所示：在中，，即，过M作轴，在中，，，即，设直线MN解析式为，把M坐标代入得：，即，即，联立得：，解得：或，即或，则抛物线上存在点Q，使得，此时点Q的坐标为或．。

2017-2018麓山国际初三年级入学考试数学参考答案

第 5 页（共 5 页）
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴∠C=∠BAF=60°，
∴∠1=∠2=30°，
∵ tan 2 FG 3 AG 3
∴ FG 3 AG 3 2 3 2 ……………………………………………6 分
3
3
∴ BF 2FG 4
∴ S菱形ABDF
1 2
AE BF
14 2
348
3 ………………………………8 分
（2）①设需要租用 m 辆乙车，则需要租用 (6 m) 辆甲车，依题意得
12(6 m) 20m 100 ……………………………………………………………4 分
解得 m 3.5 ………………………………………………………………………5 分
答：至少需要租用 4 辆乙车……………………………………………………6 分
= 3x2 4xy ………………………………………………………………………………4 分
当 x 1 , y 2 时，原式= 3 4 13 ……………………………………………………6 分
2
4
4
21．（8 分）解：（1）15÷30%=50（名），故答案为：50；……………………………………1 分
∴ x1 x2 4k ， x1x2 4 ，
∴ y1 y2 kx1 1 kx2 1 k(x1 x2 ) 2 4k2 2 设 BC 中点为 O ，过点 O 作 OD l 于点 D，则点 O 坐标为 (2k,2k2 1) ，………………………4 分 ∴ OD 2k2 2 BC (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 (x1 x2 )2 (kx1 kx2 )2
②设租车费用为W 元，则
W 3500(6 m) 5000m 1500m 21000 ……………………………………8 分

湖南省长沙市麓山国际实验学校九年级(上)入学数学试卷(含答案)

14. 五张分别写有-1，2，0，-4，5 的卡片（除数字不同以外，其余都相同），现从中任意取出一张卡片，则该卡片上的数字是负数的概率是______ ．
15. 方程 x2-9x+18=0 的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形的周长为 ______．
16. 学校新开设了航模、彩绘、泥塑三个社团，如果征征、舟舟两名同学每人随机选择参加其中一个社团，那么征征和舟舟选到同一社团的概率为______ ．
湖南省长沙市麓山国际实验学校九年级（上）入学数学试
卷
副标题
题号得分
一
二
三
四
பைடு நூலகம்
总分
一、选择题（本大题共 10 小题，共 30.0 分）
1. 下列说法中不正确的是（）
A. 抛掷一枚硬币，硬币落地时正面朝上是随机事件
B. 把 4 个球放入三个抽屉中，其中一个抽屉中至少有 2 个球是必然事件
C. 任意打开七年级下册数学教科书，正好是 97 页是确定事件
第 4 页，共 21 页
27. 春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游，推出了如下收费标准：某单位组织员工去天水湾风景区旅游，共支付给春秋旅行社旅游费用 27000 元．请问该单位这次共有多少员工去天水湾风景区旅游？
四、解答题（本大题共 7 小题，共 56.0 分） 23. ��2 − 2√2�� − 1 = 0．
24. 已知某市 2013 年企业用水量 x（吨）与该月应交的水费 y（元）之间的函数关系如图．（1）当 x≥50 时，求 y 关于 x 的函数关系式；（2）若某企业 2013 年 10 月份的水费为 620 元，求该企业 2013 年 10 月份的用水量．

2017-2018学年湖南省长沙市岳麓区麓山国际实验学校九年级(上)开学数学试卷解析版

2017-2018学年湖南省长沙市岳麓区麓山国际实验学校九年级（上）开学数学试卷一、选择题（每小题3分，共39分）1．（3分）在下列图形中，是中心对称图形的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．（3分）将抛物线y＝（x+2）2﹣3如何平移得到y＝x2的图象（）A．向右平移2个单位，再向上平移3个单位B．向左平移2个单位，再向上平移3个单位C．向左平移2个单位，再向下平移3个单位D．向右平移2个单位，再向下平移3个单位3．（3分）如图，将五角星绕中心O按下列角度旋转后，不能与其自身重合的是（）A．72°B．108°C．144°D．2164．（3分）如图，已知圆锥的高为4，底面圆的直径为6，则此圆锥的侧面积是（）A．12πB．15πC．20πD．30π5．（3分）如图，△BC的边AC与⊙O相交于C、D两点，且经过圆心O，边AB与⊙O 相切，切点为B，如果∠C＝26°，那么∠A等于（）A．26°B．38°C．48°D．52°6．（3分）如图，∠ACB＝90°，∠B＝46°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△A′B′C，若点B′恰好落在线段AB上，AC与A′B′交于点O，则∠COA′的度数是（）A．44°B．46°C．48°D．50°7．（3分）如图，AB是⊙O的直径，∠ADC＝30°，OA＝1，则BC的长为（）A．1B．2C．D．28．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）过A（﹣2，0），B（4，0），C（﹣3，y1），D（3，y2）四点，则y1与y2的大小关系是（）A．y1＝y2B．y1＜y2C．y1＞y2D．不能确定9．（3分）圆内接四边形ABCD中，∠A，∠B，∠C的度数之比为2：5：7，则∠D的度数为（）A．60°B．80°C．100°D．120°10．（3分）关于x的二次函数y＝（a﹣3）x2+bx+a2﹣9的图象过原点，则a的值为（）A．﹣3B．3C．±3D．011．（3分）如图，四边形ABCD各边与⊙O相切，AB＝10，BC＝7，CD＝8，则AD的长度为（）A．8B．9C．10D．1112．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的两个交点分别为（﹣1，0），（3，0），有下列命题：①abc＞0；②a：b：c＝1：2：3；③b2﹣4ac＞0；④8a+c＞0，其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题（每小题3分，共18分）13．（3分）如图，正六边形ABCDEF的中心为原点O，点D的坐标为（2，0），则点B 的坐标为．14．（3分）如图，AB是O的直径，C，D，E是⊙O上不同于A，B的任意三点，且点C，D处在AB同一侧，点E处在AB另一侧，则∠C+∠D＝．15．（3分）已知抛物线y＝x2+（m2﹣4m）x+3关于y轴对称，则m＝．16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△AB′C′，连接CC′，若AC＝4，AB＝1，则△B′C′C的面积为．17．（3分）当﹣1≤x≤3时，函数y＝x2﹣4x+3的最小值为a，最大值为b，则a+b＝．18．（3分）如图，∠ACB＝60°，半径为3cm的⊙O切BC于点C，若将⊙O在CB上向右滚动，则当滚动到⊙O与CA也相切时，圆心O移动的水平距离是cm．三、解答题（共66分）19．（6分）如图，有一座圆弧形拱桥，拱的跨度AB＝8m，拱高CD＝2m，求拱形所在圆的直径．20．（8分）如图，△ABC的顶点分别为A（2，1），B（4，4），C（1，3）．（1）画出△ABC关于原点O对称的图形△A1B1C1，并写出点A1的坐标；（2）画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后的图形△A2B2C2，并写出点C2的坐标．21．（8分）已知二次函数y＝ax2+bx+c，当x＝3时，y有最小值﹣4，且图象经过点（﹣1，12）．（1）求此二次函数的解析式；（2）该抛物线交x轴于点A，B（点A在点B的左侧），交y轴于点C，在抛物线对称轴上有一动点P，求PA+PC的最小值，并求当PA+PC取最小值时点P的坐标．22．（8分）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，且CD⊥AB于点E．（1）求证：∠BCO＝∠D；（2）若CD＝2，AE＝1，求劣弧BD的长．23．（8分）已知二次函数y＝x2﹣（a﹣1）x+a﹣2，其中a是常数．（1）求证：不论a为何值，抛物线y＝x2﹣（a﹣1）x+a﹣2与x轴一定有交点；（2）若抛物线y＝x2﹣（a﹣1）x+a﹣2的图象如图所示，请直接写出不等式x2﹣（a﹣l）x+a﹣2＜0的解集；（3）在（2）的条件下，若关于x的方程x2﹣（a﹣1）x+a﹣2＝k恰有两个相等的实数根，求k的值．24．（8分）如图，AB为⊙O的直径，点D是弧BC的中点，DE⊥AC交AC的延长线于点E，FB是⊙O的切线，交AD的延长线于点F．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若BF＝1，⊙O的半径为1，求DF的长．25．（10分）某水产养殖户一次性收购了20000kg淡水鱼，计划养殖一段时间后再出售，已知每天放养的费用相同，放养10天的总成本为30.4万元：放养20天的总成本为30.8万元（总成本＝放养总费用+收购成本）．（1）设每天的放养费用是a万元，收购成本为b万元，求a和b的值；（2）设这批淡水鱼放养t天后的质量为mkg，销售单价为y元/kg，已知m与t的函数关系为m＝，y与t的函数关系如图所示，请分别求出当0≤t≤50和50＜t≤100时，y与t的函数关系式；（3）在（2）的条件下，设将这批淡水鱼放养t天后一次性出售所得利润为W元，求当t为何值时，W最大？并求出W的最大值．（利润＝销售总额﹣总成本）26．（10分）如图，在直角坐标系中，O为坐标原点，A点坐标为（﹣3，0），B点坐标为（12，0），以AB的中点P为圆心，AB为直径作⊙P与y轴的负半轴交于点C，抛物线经过A，B，C三点，其顶点为M．（1）求此抛物线的解析式；（2）设点D是抛物线与⊙P的第四个交点（除A，B，C三点以外），判断直线MD与⊙P的位置关系，并说明理由；（3）点E是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使以A，D，E，F四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点的坐标；如果不存在，请说明理由．2017-2018学年湖南省长沙市岳麓区麓山国际实验学校九年级（上）开学数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共39分）1．（3分）在下列图形中，是中心对称图形的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据中心对称图形的概念求解．【解答】解：是中心对称图形的有第1、2、3个图形，故选：C．【点评】此题主要考查了中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．2．（3分）将抛物线y＝（x+2）2﹣3如何平移得到y＝x2的图象（）A．向右平移2个单位，再向上平移3个单位B．向左平移2个单位，再向上平移3个单位C．向左平移2个单位，再向下平移3个单位D．向右平移2个单位，再向下平移3个单位【分析】分别写出两抛物线的顶点坐标，然后利用点平移的规律确定抛物线的平移规律．【解答】解：抛物线y＝（x+2）2﹣3的顶点坐标为（﹣2，﹣3），抛物线y＝x2的顶点坐标为（0，0），把点（﹣2，﹣3）先向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到点（0，0），所以把抛物线y＝（x+2）2﹣3先向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到抛物线y ＝x2．故选：A．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．3．（3分）如图，将五角星绕中心O按下列角度旋转后，不能与其自身重合的是（）A．72°B．108°C．144°D．216【分析】该图形被平分成五部分，因而每部分被分成的圆心角是72°，并且圆具有旋转不变性，因而旋转72度的整数倍，就可以与自身重合．【解答】解：该图形被平分成五部分，旋转72度的整数倍，就可以与自身重合，因而A、C、D都正确，不能与其自身重合的是B．故选：B．【点评】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．4．（3分）如图，已知圆锥的高为4，底面圆的直径为6，则此圆锥的侧面积是（）A．12πB．15πC．20πD．30π【分析】在由母线、底面圆的半径和圆锥的高组成的直角三角形中，利用勾股定理计算出母线长，再根据圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，利用扇形的面积公式计算即可得到圆锥的侧面积．【解答】解：∵底面圆的直径为6，∴底面圆的半径为3，而高为4，∴圆锥的母线长＝＝5，∴圆锥的侧面积＝•2π•3•5＝15π．故选：B．【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长；也考查了扇形的面积公式：S＝lR（l为弧长，R为扇形的半径）以及勾股定理．5．（3分）如图，△BC的边AC与⊙O相交于C、D两点，且经过圆心O，边AB与⊙O 相切，切点为B，如果∠C＝26°，那么∠A等于（）A．26°B．38°C．48°D．52°【分析】连接OB，由切线的性质可求得∠AOB，再由圆周角定理可求得∠A．【解答】解：如图，连接OB，∵AB与⊙O相切，∴OB⊥AB，∴∠ABO＝90°，∵OB＝OC，∠C＝26°，∴∠OBC＝∠C＝26°，∴∠COB＝180°﹣26°﹣26°＝128°，∴∠A＝128°﹣90°＝38°，故选：B．【点评】本题主要考查切线的性质，掌握过切点的半径与切线垂直是解题的关键．6．（3分）如图，∠ACB＝90°，∠B＝46°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△A′B′C，若点B′恰好落在线段AB上，AC与A′B′交于点O，则∠COA′的度数是（）A．44°B．46°C．48°D．50°【分析】根据∠COA′＝∠ACB′+∠OB′C，只要求出∠ACB′即可．【解答】解：∵CB＝CB′，∴∠B＝∠CB′B＝46°，∴∠BCB′＝180°﹣46°﹣46°＝88°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACB′＝2°，∵∠OB′C＝∠B＝46°，∴∠COA′＝∠ACB′+∠OB′C＝2°+46°＝48°，故选：C．【点评】本题考查旋转变换、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形的外角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．7．（3分）如图，AB是⊙O的直径，∠ADC＝30°，OA＝1，则BC的长为（）A．1B．2C．D．2【分析】连接BD，根据圆周角定理得到∠B＝∠ADC＝30°，∠ACB＝90°，根据余弦的定义计算．【解答】解：连接BD，由圆周角定理得，∠B＝∠ADC＝30°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，在Rt△ABD中，BC＝AB•cos B＝，故选：C．【点评】本题考查的是圆周角定理，掌握直径所对的圆周角是90°、同弧所对的圆周角相等是解题的关键．8．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）过A（﹣2，0），B（4，0），C（﹣3，y1），D（3，y2）四点，则y1与y2的大小关系是（）A．y1＝y2B．y1＜y2C．y1＞y2D．不能确定【分析】由已知可得抛物线与x轴交于A（﹣2，0）、B（4，0）两点，开口向上，对称轴为x＝1，可知D、C两点在对称轴的两边，点D离对称轴较近，再根据抛物线图象进行判断．【解答】解：∵抛物线与x轴交于A（﹣2，0）、B（4，0）两点，∴抛物线对称轴为x＝＝1∵C（﹣3，y1）、D（3，y2），点D离对称轴较近，且抛物线开口向上，∴y1＞y2．故选：C．【点评】本题考查了二次函数的增减性．当二次项系数a＞0时，在对称轴的左边，y随x的增大而减小，在对称轴的右边，y随x的增大而增大；a＜0时，在对称轴的左边，y 随x的增大而增大，在对称轴的右边，y随x的增大而减小．9．（3分）圆内接四边形ABCD中，∠A，∠B，∠C的度数之比为2：5：7，则∠D的度数为（）A．60°B．80°C．100°D．120°【分析】设∠A，∠B，∠C的度数分别为2x、5x、7x，根据圆内接四边形的性质列出方程，解方程即可．【解答】解：设∠A，∠B，∠C的度数分别为2x、5x、7x，由圆内接四边形的性质可知，2x+7x＝180°，解得，x＝20°，∴∠B＝5x＝100°，∴∠D＝180°﹣100°＝80°，故选：B．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．10．（3分）关于x的二次函数y＝（a﹣3）x2+bx+a2﹣9的图象过原点，则a的值为（）A．﹣3B．3C．±3D．0【分析】把原点坐标代入解析式得到a2﹣9＝0，再解关于a的方程，然后利用二次函数的定义确定a的值．【解答】解：把（0，0）代入y＝（a﹣3）x2+bx+a2﹣9得a2﹣9＝0，解得a1＝3，a2＝﹣3，而a﹣3≠0，所以a的值为﹣3．故选：A．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上的点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的定义．11．（3分）如图，四边形ABCD各边与⊙O相切，AB＝10，BC＝7，CD＝8，则AD的长度为（）A．8B．9C．10D．11【分析】根据切线长定理可得AD+BC＝AB+CD，即可求AD的长度．【解答】解：如图，E，F，G，H是切点∵四边形ABCD各边与⊙O相切∴AH＝AE，DH＝DG，CG＝CF，BE＝BF∴AH+DH+CF+BF＝AE+DG+CG+BE∴AD+BC＝CD+AB∵AB＝10，BC＝7，CD＝8∴AD＝11故选：D．【点评】本题考查了切线的性质，熟练掌握切线长定理是解决问题的关键．12．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的两个交点分别为（﹣1，0），（3，0），有下列命题：①abc＞0；②a：b：c＝1：2：3；③b2﹣4ac＞0；④8a+c＞0，其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、与y轴的交点、与x轴的交点以及二次函数图象上点的坐标特征判断．【解答】解：抛物线开口向上，∴a＞0，抛物线经过y轴的负半轴，∴c＜0，对称轴是x＝﹣＝1＞0，∴b＜0，∴abc＞0，故①正确；∵a＞0，b＜0，∴故②错误；∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，故③正确；对称轴是x＝﹣＝1，则b＝﹣2a，因（3，0）在函数图象上，故9a+3b+c＝0，将b＝﹣2a代入得，3a+c＝0，由函数图象知a＞0，故3a+c+5a＞0，即8a+c＞0．故④正确，故选：C．【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题，掌握二次函数图象与系数的关系是解题的关键．二、填空题（每小题3分，共18分）13．（3分）如图，正六边形ABCDEF的中心为原点O，点D的坐标为（2，0），则点B的坐标为（﹣1，﹣）．【分析】连接OB、OC，根据正多边形的中心角的计算公式求出∠BOC，求出BH、OH，得到答案．【解答】解：连接OB、OC，∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠BOC＝＝60°，∴∠BOH＝30°，∴BH＝OB＝1，OH＝OB＝，∴点B的坐标为（﹣1，﹣），故答案为：（﹣1，﹣）．【点评】本题考查的是多边形的有关计算、坐标与图形性质，掌握正多边形的中心角的计算公式、坐标的确定方法是解题的关键．14．（3分）如图，AB是O的直径，C，D，E是⊙O上不同于A，B的任意三点，且点C，D处在AB同一侧，点E处在AB另一侧，则∠C+∠D＝90°．【分析】如图，连接AE、BE．因为AB是直径，推出∠AEB＝90°，推出∠EAB+∠EBA ＝90°，因为∠C＝∠EBA，∠D＝∠EAB，可得结论；【解答】解：如图，连接AE、BE．∵AB是直径，∴∠AEB＝90°，∴∠EAB+∠EBA＝90°，∵∠C＝∠EBA，∠D＝∠EAB，∴∠C+∠D＝90°，故答案为90°．【点评】本题考查圆周角定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．15．（3分）已知抛物线y ＝x 2+（m 2﹣4m ）x +3关于y 轴对称，则m ＝ 0或4 ．【分析】利用对称轴方程得到﹣＝0，然后解关于m 的方程即可．【解答】解：∵抛物线y ＝x 2+（m 2﹣4m ）x +3关于y 轴对称，∴﹣＝0，∴m ＝0或m ＝4．故答案为：0或4．【点评】本题考查了二次函数图象的对称轴问题，解题时需要提炼隐含的条件：﹣＝0．16．（3分）如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，将△ABC 绕点A 顺时针旋转90°得到△AB ′C ′，连接CC ′，若AC ＝4，AB ＝1，则△B ′C ′C 的面积为 6 ．【分析】先根据旋转的性质得AC ＝AC ′＝4，AB ′＝AB ＝1，∠CAC ′＝90°，则可判断△ACC ′为等腰直角三角形，然后根据三角形的面积公式即可得到结论．【解答】解：∵△ABC 绕点A 顺时针旋转90°后得到的△AB ′C ′，∴AC ＝AC ′＝4，AB ′＝AB ＝1，∠CAC ′＝90°，∴△ACC ′为等腰直角三角形，∴S △B ′C ′C ＝S △ACC ′﹣S △AB ′C ′＝×4×4﹣×4×1＝6．故答案为6．【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前、后的图形全等，还考查了三角形的面积，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．17．（3分）当﹣1≤x ≤3时，函数y ＝x 2﹣4x +3的最小值为a ，最大值为b ，则a +b ＝ 7 ．【分析】先把一般式配成顶点式得到抛物线的对称轴为直线x ＝2，利用二次函数的性质得当1≤x ≤3时，x ＝2时，y 的值最小；x ＝﹣1时，y 的值最大，然后分别计算出a 和b 的值，从而得到a +b 的值．【解答】解：∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，∴抛物线的对称轴为直线x＝2，∵﹣1≤x≤3，∴x＝2时，y的值最小，即a＝﹣1；x＝﹣1时，y的值最大，即b＝（﹣1﹣2）2﹣1＝8，∴a+b＝﹣1+8＝7．故答案为7．【点评】本题考查了二次函数的最值：确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．18．（3分）如图，∠ACB＝60°，半径为3cm的⊙O切BC于点C，若将⊙O在CB上向右滚动，则当滚动到⊙O与CA也相切时，圆心O移动的水平距离是3cm．【分析】设⊙O与CA相切于点P，此时和CB相切于点D，连接OC，OD、OP根据切线长定理得∠OCD＝30°，则CD＝OD，求出CD即可解决问题．【解答】解：设⊙O与CA相切于点P，此时和CB相切于点D，连接OC，OD、OP．∵⊙O与CA相切，⊙O与CB相切，∴∠OCD＝∠ACB＝30°，∵OC＝OD＝3，∴PD＝3．故答案为3．【点评】本题考查切线的性质、切线长定理、30°的直角三角形的性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活应用所学知识解决问题，属于中考常考题型．三、解答题（共66分）19．（6分）如图，有一座圆弧形拱桥，拱的跨度AB＝8m，拱高CD＝2m，求拱形所在圆的直径．【分析】先根据题意找出圆心，连接OA，OD，由垂径定理得出AB＝2AD，设OA＝r，则OD＝r﹣2，在Rt△AOD中，根据OA2＝AD2+OD2，构建方程求出r即可解决问题；【解答】解：如图所示，连接OD，由题意O、D、C共线．∵AB⊥CO，∴AB＝2AD，∵AB＝8m，CD＝2m，∴AD＝4m，设OA＝r，则OD＝r﹣2，在Rt△AOD中，∵OA2＝AD2+OD2，即r2＝42+（r﹣2）2，解得r＝5m．∴拱形所在圆的直径为10cm．【点评】本题主要考查直角三角形和垂径定理的应用，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．20．（8分）如图，△ABC的顶点分别为A（2，1），B（4，4），C（1，3）．（1）画出△ABC关于原点O对称的图形△A1B1C1，并写出点A1的坐标；（2）画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后的图形△A2B2C2，并写出点C2的坐标．【分析】（1）依据△ABC关于原点O对称的图形是△A1B1C1进行画图，进而得到点A1的坐标；（2）依据△ABC绕点O逆时针旋转90°后得到图形△A2B2C2进行画图，进而得到点C2的坐标．【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；点A1的坐标为（﹣2，﹣1）；（2）如图所示，△A2B2C2即为所求，点C2的坐标为（﹣3，1）．【点评】本题主要考查了利用旋转变换进行作图，根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．21．（8分）已知二次函数y＝ax2+bx+c，当x＝3时，y有最小值﹣4，且图象经过点（﹣1，12）．（1）求此二次函数的解析式；（2）该抛物线交x轴于点A，B（点A在点B的左侧），交y轴于点C，在抛物线对称轴上有一动点P，求PA+PC的最小值，并求当PA+PC取最小值时点P的坐标．【分析】（1）由顶点坐标将二次函数的解析式设成y＝a（x﹣3）2﹣4，由该函数图象上一点的坐标，利用待定系数法即可求出二次函数的解析式；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点A、B、C的坐标，由二次函数图象的对称性可得出连接BC交抛物线对称轴于点P，此时PA+PC取最小值，最小值为BC，根据点B、C的坐标可求出直线BC的解析式及线段BC的长度，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标，此题得解．【解答】解：（1）∵当x＝3时，y有最小值﹣4，∴设二次函数解析式为y＝a（x﹣3）2﹣4．∵二次函数图象经过点（﹣1，12），∴12＝16a﹣4，∴a＝1，∴二次函数的解析式为y＝（x﹣3）2﹣4＝x2﹣6x+5．（2）当y＝0时，有x2﹣6x+5＝0，解得：x1＝1，x2＝5，∴点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（5，0）；当x＝0时，y＝x2﹣6x+5＝5，∴点C的坐标为（0，5）．连接BC交抛物线对称轴于点P，此时PA+PC取最小值，最小值为BC，如图所示．设直线BC的解析式为y＝mx+n（m≠0），将B（5，0）、C（0，5）代入y＝mx+n，得：，解得：，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+5．∵B（5，0）、C（0，5），∴BC＝5．∵当x＝3时，y＝﹣x+5＝2，∴当点P的坐标为（3，2）时，PA+PC取最小值，最小值为5．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值、待定系数法求二次函数解析式以及轴对称中最短路线问题，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）利用两点之间线段最短结合二次函数的对称性找出点P的位置．22．（8分）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，且CD⊥AB于点E．（1）求证：∠BCO＝∠D；（2）若CD＝2，AE＝1，求劣弧BD的长．【分析】（1）由等腰三角形的性质与圆周角定理，易得∠BCO＝∠B＝∠D；（2）由垂径定理可求得CE与DE的长，然后证得△BCE∽△DAE，再由相似三角形的对应边成比例，求得BE的长，继而求得直径与半径，再求出圆心角∠BOD即可解决问题；【解答】（1）证明：∵OB＝OC，∴∠BCO＝∠B，∵∠B＝∠D，∴∠BCO＝∠D；（2）解：连接OD．∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，∴CE＝DE＝CD＝，∵∠B＝∠D，∠BEC＝∠DEC，∴△BCE∽△DAE，∴AE：CE＝DE：BE，∴1：＝：BE，解得：BE＝3，∴AB＝AE+BE＝4，∴⊙O的半径为2，∵tan∠EOD＝＝，∴∠EOD＝60°，∴∠BOD＝120°，∴的长＝＝π．【点评】此题考查了圆周角定理、垂径定理、相似三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质．注意在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．证得△BCE∽△DAE是关键．23．（8分）已知二次函数y＝x2﹣（a﹣1）x+a﹣2，其中a是常数．（1）求证：不论a为何值，抛物线y＝x2﹣（a﹣1）x+a﹣2与x轴一定有交点；（2）若抛物线y＝x2﹣（a﹣1）x+a﹣2的图象如图所示，请直接写出不等式x2﹣（a﹣l）x+a﹣2＜0的解集；（3）在（2）的条件下，若关于x的方程x2﹣（a﹣1）x+a﹣2＝k恰有两个相等的实数根，求k的值．【分析】（1）计算判别式得到△＝（a﹣3）2，则根据非负数的性质可判断△≥0，然后根据判别式的意义得到结论；（2）利用对称轴方程得到a＝4，则抛物线解析式为y＝x2﹣3x+2，再解方程x2﹣3x+2＝0得抛物线与x轴的两个交点坐标为（1，0），（2，0），然后写出抛物线在x轴下方所对应的自变量的范围得到不等式x2﹣（a﹣l）x+a﹣2＜0的解集；（3）方程整理为x2﹣3x+2﹣k＝0，然后利用判别式的意义得到△＝32﹣4（2﹣k）＝0，然后解关于k的方程即可．【解答】（1）证明：△＝（a﹣1）2﹣4（a﹣2）＝a2﹣2a+1﹣4a+8＝（a﹣3）2，∵（a﹣3）2≥0，即△≥0，∴不论a为何值，抛物线y＝x2﹣（a﹣1）x+a﹣2与x轴一定有交点；（2）解：∵x＝﹣＝，∴a＝4，∴抛物线解析式为y＝x2﹣3x+2，当y＝0时，x2﹣3x+2＝0，解得x1＝1，x2＝2，∴抛物线与x轴的两个交点坐标为（1，0），（2，0），当1＜x＜2时，y＜0，即不等式x2﹣（a﹣l）x+a﹣2＜0的解集为1＜x＜2；（3）解：x2﹣3x+2＝k，即x2﹣3x+2﹣k＝0，∵方程x2﹣（a﹣1）x+a﹣2＝k恰有两个相等的实数根，∴△＝32﹣4（2﹣k）＝0，解得k＝﹣．【点评】本题考查了二次函数与不等式：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0），利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．也考查了判别式的意义．24．（8分）如图，AB为⊙O的直径，点D是弧BC的中点，DE⊥AC交AC的延长线于点E，FB是⊙O的切线，交AD的延长线于点F．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若BF＝1，⊙O的半径为1，求DF的长．【分析】（1）根据切线的判定即可求出答案．（2）根据圆周角定理可知∠ADB＝90°，利用勾股定理可求出AF的长度，然后利用相似三角形的性质与判定即可求出DF的长度．【解答】解：（1）连接OD，∵点D是弧BC的中点，∴∠EAD＝∠OAD，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ADO，∴∠EAD＝∠ADO，∴AE∥OD，∴∠ODE+∠AED＝180°，∴∠ODE＝90°，∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线；（2）连接BD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵AB＝2，BF＝1，∴由勾股定理可知：AF＝，∵FB是⊙O的切线，∴∠ABF＝90°，∵∠F＝∠F，∠ABF＝∠BDF＝90°，∴△BDF∽△ABF，∴BF2＝DF•AF，∴DF＝【点评】本题考查圆的综合问题，涉及相似三角形的性质与判定，勾股定理，切线的判定等知识，需要学生灵活运用所学知识．25．（10分）某水产养殖户一次性收购了20000kg淡水鱼，计划养殖一段时间后再出售，已知每天放养的费用相同，放养10天的总成本为30.4万元：放养20天的总成本为30.8万元（总成本＝放养总费用+收购成本）．（1）设每天的放养费用是a万元，收购成本为b万元，求a和b的值；（2）设这批淡水鱼放养t天后的质量为mkg，销售单价为y元/kg，已知m与t的函数关系为m＝，y与t的函数关系如图所示，请分别求出当0≤t≤50和50＜t≤100时，y与t的函数关系式；（3）在（2）的条件下，设将这批淡水鱼放养t天后一次性出售所得利润为W元，求当t为何值时，W最大？并求出W的最大值．（利润＝销售总额﹣总成本）【分析】（1）由放养10天的总成本为30.4万元；放养20天的总成本为30.8万元可得答案；（2）分0≤t≤50、50＜t≤100两种情况，结合函数图象利用待定系数法求解可得；（3）就以上两种情况，根据“利润＝销售总额﹣总成本”列出函数解析式，依据一次函数性质和二次函数性质求得最大值即可得．【解答】解：（1）由题意，得：，解得：，答：a的值为0.04，b的值为30；（2）当0≤t≤50时，设y与t的函数解析式为y＝k1t+n1，将（0，15）、（50，25）代入，得：，解得：，∴y与t的函数解析式为y＝t+15；当50＜t≤100时，设y与t的函数解析式为y＝k2t+n2，将点（50，25）、（100，20）代入，得：，解得：，∴y与t的函数解析式为y＝﹣t+30；（3）由题意，当0≤t≤50时，W＝20000（t+15）﹣（400t+300000）＝3600t，∵3600＞0，∴当t＝50时，W＝180000（元）；最大值当50＜t≤100时，W＝（100t+15000）（﹣t+30）﹣（400t+300000）＝﹣10t2+1100t+150000＝﹣10（t﹣55）2+180250，∵﹣10＜0，∴当t＝55时，W＝180250（元），最大值综上所述，放养55天时，W最大，最大值为180250元．【点评】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式，根据相等关系列出利润的函数解析式及二次函数的性质是解题的关键．26．（10分）如图，在直角坐标系中，O为坐标原点，A点坐标为（﹣3，0），B点坐标为（12，0），以AB的中点P为圆心，AB为直径作⊙P与y轴的负半轴交于点C，抛物线经过A，B，C三点，其顶点为M．（1）求此抛物线的解析式；（2）设点D是抛物线与⊙P的第四个交点（除A，B，C三点以外），判断直线MD与⊙P的位置关系，并说明理由；（3）点E是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使以A，D，E，F四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点的坐标；如果不存在，请说明理由．【分析】（1）由题意可得AP＝BP＝CP＝，根据勾股定理可求OC的长度，用待定系数法可求解析式；（2）直线MD与⊙P的位置关系设直线DM和x轴交于E，连接PM则PM⊥OE，过P作PD ′⊥ME 于D ′，设y ＝0，则y ＝x ﹣＝0，则可求出OE 的长，根据勾股定理求出ME ，在根据三角形的面积为定值可求出PD ′的长，和圆P 的半径比较大小即可判定直线MD 与⊙P 的位置关系；（3）此题要分两种情况：①以AD 为边，②以AD 为对角线．确定平行四边形后，可直接利用平行四边形的性质求出F 点的坐标．【解答】解：（1）连接CP∵A 点坐标为（﹣3，0），B 点坐标为（12，0），∴AB ＝15∵点P 是AB 中点∴AP ＝＝BP ＝CP∵AO ＝3∴OP ＝在Rt △CPO 中，OC ＝＝6 ∴点C 坐标为（0，﹣6）∴设抛物线解析式y ＝a （x +3）（x ﹣12）且过点C （0，﹣6）∴﹣6＝﹣36a∴a ＝∴抛物线解析式y ＝（x +3）（x ﹣12）＝x 2﹣x ﹣6，（2）∵y ＝x 2﹣x ﹣6＝（x ﹣）2﹣；∴M （，﹣）， ∵P 是圆的圆心，∴PM 是圆的对称轴，PM 是抛物线的对称轴，∵C （0，﹣6），∴D （9，﹣6），设直线MD 的解析式y ＝kx +b ，把D （9，﹣6）和M （，﹣）代入得：，解得：，∴y＝x﹣；设直线DM和x轴交于E，连接PM，则PM⊥OE，过P作PD′⊥ME于D′，设y＝0，则y＝x﹣＝0，∴x＝17，∴OE＝17，∴E（17，0），∴PE＝17﹣4.5＝12.5，∵PM＝，∴ME＝＝，∵PM•PE＝PD′•EM，∴PD′＝＝7.5，∴PD′等于圆的半径，∴直线MD与⊙P的位置关系是相切；（3）存在4个这样的点F，分别是F1（1，0），F2（﹣3，0），F3（4+，0），F4（4﹣，0），①如图2，连接D与抛物线和y轴的交点C，那么CD∥x轴，此时AF＝CD＝9，因此F点的坐标是（﹣12，0）；②如图3，AF＝CD＝9，A点的坐标为（﹣3，0），因此F点的坐标为（6，0）；③如图4，此时D，E两点的纵坐标互为相反数，因此E点的纵坐标为6，代入抛物线中即可得出E点的坐标为（，6），∵直线AD的解析式为y＝﹣x﹣，∵EF∥AD，因此可设直线EF的解析式为y＝﹣x+h，将E点代入后可得出直线EF的解析式为y＝﹣x+，因此直线EF与x轴的交点F的坐标为（，0）；④如图5，同③可求出F的坐标为（，0）．总之，符合条件的F点共有4个．【点评】本题考查了用待定系数法求一次函数和二次函数的解析式、二次函数的性质、顶点坐标的求法、一次函数和坐标轴的交点、圆的性质、切线的判定以及勾股定理的运用，题目的综合性很强，难度不小．。

2018-2019学年湖南省长沙市岳麓区麓山国际实验学校九年级(上)开学数学试卷

2018-2019学年湖南省长沙市岳麓区麓山国际实验学校九年级（上）开学数学试卷一．选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）下列说法正确的是（）A．任意掷一枚质地均匀的硬币10次，一定有5次正面向上B．天气预报说“明天的降水概率为40%”，表示明天有40%的时间都在降雨C．“篮球队员在罚球线上投篮一次，投中”为随机事件D．“a是实数，|a|≥0”是不可能事件2．（3分）在平面直角坐标系中，点P（﹣3，﹣5）关于原点对称的点的坐标是（）A．（3，﹣5）B．（﹣3，5）C．（3，5）D．（﹣3，﹣5）3．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．4．（3分）抛物线y＝3（x﹣2）2+5的顶点坐标是（）A．（﹣2，5）B．（﹣2，﹣5）C．（2，5）D．（2，﹣5）5．（3分）某种植基地2016年蔬菜产量为80吨，预计2018年蔬菜产量达到100吨，求蔬菜产量的年平均增长率，设蔬菜产量的年平均增长率为x，则可列方程为（）A．80（1+x）2＝100B．100（1﹣x）2＝80C．80（1+2x）＝100D．80（1+x2）＝1006．（3分）从﹣5，﹣，﹣，﹣1，0，2，π这七个数中随机抽取一个数，恰好为负整数的概率为（）A．B．C．D．7．（3分）关于抛物线y＝x2﹣2x+1，下列说法错误的是（）A．开口向上B．与x轴有两个重合的交点C．对称轴是直线x＝1D．当x＞1时，y随x的增大而减小8．（3分）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC．若点A，D，E 在同一条直线上，∠ACB＝20°，则∠ADC的度数是（）A．55°B．60°C．65°D．70°9．（3分）已知二次函数y＝﹣x2+（m﹣1）x+1，当x＞1时，y随x的增大而减小，而m的取值范围是（）A．m＝﹣1B．m＝3C．m≥﹣1D．m≤3 10．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，以下结论：①abc＞0；②4ac ＜b2；③2a+b＞0；④其顶点坐标为（，﹣2）；⑤当x＜时，y随x的增大而减小；⑥a+b+c＞0中正确的有（）A．3 个B．4 个C．5 个D．6 个二．填空题（每小题3分，共30分）11．（3分）将抛物线y＝3x2向左平移2个单位，再向下平移3个单位所得新抛物线的解析式为．12．（3分）抛物线y＝﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程﹣x2+bx+c＝0的解为．13．（3分）若二次函数y＝x2﹣6x+c的图象过A（﹣1，y1）、B（2，y2）、C（5，y3）三点，则y1、y2、y3大小关系是．14．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△A′B′C′由△ABC绕点P旋转得到，则点P的坐标为．15．（3分）根据下列表格的对应值，判断ax2+bx+c＝0 （a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的取值范围是x 3.23 3.24 3.25 3.26 ax2+bx+c﹣0.06﹣0.020.030.09 16．（3分）若二次函数y＝﹣x2﹣4x+k的最大值是9，则k＝．17．（3分）关于x的方程mx2﹣2x+3＝0有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是．18．（3分）若从﹣1，1，2这三个数中，任取两个分别作为点M的横、纵坐标，则点M在第二象限的概率是．19．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3．矩形ABCD绕着点A逆时针旋转一定角度得到矩形AB'C'D'．若点B的对应点B'落在边CD上，则B'C 的长为．20．（3分）如图，正方形ABCD的边长为2，点E，F分别在边AD，CD上，若∠EBF＝45°，则△EDF的周长等于．三、解答题（共8个大题，52分）21．（6分）一个不透明的口袋中有三个小球，上面分别标有字母A，B，C，除所标字母不同外，其它完全相同，从中随机摸出一个小球，记下字母后放回并搅匀，再随机摸出一个小球，用画树状图（或列表）的方法，求该同学两次摸出的小球所标字母相同的概率．22．（6分）已知一个二次函数的图象经过点A（﹣1，0）、B（3，0）和C（0，﹣3）三点；求此二次函数的解析式．23．（7分）已知二次函数y＝﹣x2+2x+3．（1）求其开口方向、对称轴、顶点坐标，并画出这个函数的图象；（2）根据图象，直接写出：①当函数值y为正数时，自变量x的取值范围；②当﹣2＜x＜2时，函数值y的取值范围．24．（6分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2+k﹣1＝0有实数根．（1）求k的取值范围；（2）若此方程的两实数根x1，x2满足x12+x22＝11，求k的值．25．（6分）一名在校大学生利用“互联网+”自主创业，销售一种产品，这种产品的成本价10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于16元/件，市场调查发现，该产品每天的销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）当每件销售价为多少元时，每天的销售利润为144元？26．（6分）如图，在△ABC中，∠CAB＝70°，将△ABC绕点A逆时针旋转到△AB'C'的位置，使得CC'∥AB，则∠BAB'的度数是多少？27．（7分）甲、乙两人分别站在相距6米的A、B两点练习打羽毛球，已知羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，甲在离地面1米的C处发出一球，乙在离地面1.5米的D处成功击球，球飞行过程中的最高点H与甲的水平距离AE 为4米，现以A为原点，直线AB为x轴，建立平面直角坐标系（如图所示）．求羽毛球飞行的路线所在的抛物线的表达式及飞行的最高高度．28．（7分）如图，已知△ABC中，AB＝AC，把△ABC绕A点沿顺时针方向旋转得到△ADE，连接BD，CE交于点F．（1）求证：△AEC≌△ADB；（2）若AB＝2，∠BAC＝45°，当四边形ADFC是菱形时，求BF的长．四、综合题（8分）29．（8分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）三点，其顶点为D，对称轴是直线l，l与x轴交于点H．（1）求该抛物线的解析式．（2）若点P是该抛物线对称轴l上的一个动点，求△PBC周长的最小值．（3）如图（2），若E是线段AD上的一个动点（E与A、D不重合），过E点作平行于y轴的直线交抛物线于点F，交x轴于点G，设点E的横坐标为m，四边形AODF的面积为S．①求S与m的函数关系式．②S是否存在最大值，若存在，求出最大值及此时点E的坐标，若不存在，请说明理由．2018-2019学年湖南省长沙市岳麓区麓山国际实验学校九年级（上）开学数学试卷参考答案一．选择题（每小题3分，共30分）1．C；2．C；3．B；4．C；5．A；6．A；7．D；8．C；9．D；10．B；二．填空题（每小题3分，共30分）11．y＝3（x+2）2﹣3；12．x1＝1，x2＝﹣3；13．y1＞y3＞y2；14．（1，﹣1）；15．3.24＜x＜3.25；16．5；17．m＜且m≠0；18．；19．1；20．4；三、解答题（共8个大题，52分）21．；22．；23．；24．；25．；26．；27．；28．；四、综合题（8分）29．；。

2018年湖南省长沙市麓山外国语中学升初招生数学卷(解析版)

9．（2 分）x 的 3 倍比 9 多 4，所列方程不正确的是（ A．3x﹣9＝4 B．3x﹣4＝9
10．（2 分）一个两位小数精确到十分位是 5.0，这个数最小是（ A．4.99 B．5.1 C．4.94
D．4.95
二、填空题（共 10 小题，每题 3 分，共 30 分） 11．（3 分）12 和 30 的最小公倍数是．
以诗中的 4 个字组成“四字成语” ，要求第一个字是第二个字的 9 倍，第四个字比第三个字多 1，第二个字是第四个字的 1/7，第三个字比第一个字的一半多 4，求这句成语．
第 3 页（共 12 页）
2018 年湖南省长沙市麓山外国语中学升初招生数学卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共 10 小题，每小题 2 分，满分 20 分） 1．（2 分）以下既是 2 的倍数，又是 5 的倍数的最大三位数是（ A．990 B．995 C．999 ）
D．无法比较
【解答】解：甲数为：24 乙数为：24÷ ＝32，（2 分）一个平行四边形的底和高分别扩大 2 倍，它的面积扩大（ A．2 B．4 C．6 D．8
A．21：00
B．10：21
C．10：51 ）个．
D．12：01
3．（2 分）下列各图形中，是轴对称图形的有（
A．1
B．2 ）
C．3
D．4
4．（2 分）3+3÷3+3×3 的值是（ A．18 B．15
C．13
D．9
5．（2 分）用 3 个大小相同的正方形拼成一个长方形，这个长方形的周长是一个正方形周长的（ A．3 ）倍． B．9 C．4 D．2 ）
D．950
【解答】解：既是 2 的倍数又是 5 的倍数的最大三位数是 990．故选：A． 2．（2 分）小明从镜子里看到镜子对面的电子钟的像如图所示，实际时间是（）

麓山国际初三入学数学考试试卷及答案

9-2-2018-19-002麓山国际初三入学数学考试试卷数学总分：120分时量：120分钟一.选择题(本大题共12个小题，每小题3分，共36分) 1.在下列四个数中，其中无理数的是( ) A .722 B .﹣2018C .4D .π2.下列计算正确的是( ) A .33=-x xB .a a a 143=÷C .12)1(22--=-x x xD .6326)2(a a -=-3. 近几年，长沙市经济呈现稳中有进，稳中向好的态势，2018年GDP 突破4000亿元大关，4000亿这个数用科学记数法表示为( ) A .12104⨯ B .11104⨯C .12104.0⨯D .111040⨯4. 不等式组⎩⎨⎧-<+->14212x x xx 的解集为( )A .1>xB .31>xC .131<<x D .无解5.下列语句所描述的事件是随机事件的是( ) A .任意画一个四边形，其内角和为180° B .经过任意两点画一条直线 C .任意画一个菱形，是中心对称图形 D .过平面内任意三点画一个圆6.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是( )A .B .C .D .7.如图，两条直线21//l l ，ABC Rt ∆中， 90=∠C ，BC AC =，顶点B A ,分别在1l 和2l 上，∠1＝20°，则∠2的度数是( ) A .45° B .55° C .65° D .75°8.某同学记录了自己一周每天的零花钱(单位：元)，分别如下：5，4.5，5，5.5，5.5，5，4.5，这组数据的众数和平均数分别是( ) A .5和5.5B .5和5C .5和17D .17和5.5 9.已知二次函数1412-+-=m x x y 的图象与x 轴有交点，则m 的取值范围是( ) A .5≤m B .2≥m C .5<m D .2>m10.如图，把直角三角形ABO 放置在平面直角坐标系中，已知30=∠OAB ，B 点的坐标为(0，2)，将ABO ∆沿着斜边AB 翻折后得到ABC ∆，则点C 的坐标是( ) A .)4,32( B .)32,2( C .)3,3( D .)3,3(11.如图是本地区一种产品30天的销售图象，图①是产品日销售量y (单位：件)与时间t (单位：天)的函数关系，图②是一件产品的销售利润z (单位：元)与时间t (单位：天)的函数关系，已知日销售利润＝日销售量×一件产品的销售利润.下列结论错误的是( ) A .第24天的销售量为300件 B .第10天销售一件产品的利润是15元 C .第27天的日销售利润是1250元 D .第15天与第30天的日销售量相等第7题图第10题图第11题图12. 已知抛物线c bx ax y ++=2(0<<b a )与x 轴最多有一个交点，现有以下四个结论：①该抛物线的对称轴在y 轴右侧；②关于x 的方程022=-++c bx ax 有两个不相等的实数根；③024≤+-c b a ；④03<+c a .其中，正确结论的个数为( )A .1个B .2个C .3个D .4个二.填空题(本大题共6个小题，每小题3分，共18分) 13.分解因式：23828a a a -+＝ .14.如图，四边形ABCD 与四边形EFGH 位似，其位似中心为点O ，且34=EA OE ，则BCFG＝ . 15.若反比例函数xky -=2的图象位于第二、四象限，则k 的取值范围是 . 16.如图，已知⊙O 的半径为6cm ，弦AB 的长为8cm ，P 是AB 延长线上一点，BP ＝2cm ，则O P A ∠ta n 的值是 .17.如图，一艘轮船自西向东航行，航行到A 处测得小岛C 位于北偏东60°方向上，继续向东航行10海里到达点B 处，测得小岛C 在轮船的北偏东15°方向上，此时轮船与小岛C 的距离为海里. 18.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝3，矩形内部有一动点P 满足ABCD PAB S S 矩形31=∆，则点P 到B A 、两点的距离之和PB PA +的最小值为 .第14题图第16题图第17题图第18题图三、解答题(本大题共8个小题，共66分) 19.(6分)计算：45tan )21(4|2|1++---20.(6分)先化简，后求值121)11(22++-÷+-a a a a a ，其中12+=a .21.(8分)某校创建“环保示范学校”，为了解全校学生参加环保类杜团的意愿，在全校随机抽取了50名学生进行问卷调查，问卷给出了五个社团供学生选择(学生可根据自己的爱好选择一个社团，也可以不选)，个数的中位数是；(2)根据以上信息，补全扇形图(图1)和条形图(图2)；(3)该校有1400名学生，根据调查统计情况，请估计全校有多少学生愿意参加环保义工社团；(4)若小诗和小雨两名同学在酵素制作社团或绿植养护社团中任意选择一个参加，请用树状图或列表法求出这两名同学同时选择绿植养护社团的概率.22.(8分)如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，AE ＝CF . (1)求证：△BOE ≌△DOF ；(2)若BD ＝EF ，连接DE 、BF ，判断四边形EBFD 的形状，并说明理由.23.(9分)某自行车经销商计划投入7.1万元购进100辆A 型和30辆B 型自行车，其中B 型车单价是A 型车单价的6倍少60元.(1)求A 、B 两种型号的自行车单价分别是多少元？(2)后来由于该经销商资金紧张，投入购车的资金不超过5.86万元，但购进这批自行年的总数不变，那么至多能购进B 型车多少辆？24.(9分)如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AB 是⊙O 的直径，OF ⊥AB ，交AC 于点F ，点E 在AB 的延长线上，射线EM 经过点C ，且∠ACE +∠AFO ＝180°. (1)求证：EM 是⊙O 的切线；(2)若∠A ＝∠E ，BC ＝3，求阴影部分的面积.(结果保留π和根号).25.(10分)定义：若存在实数对坐标(,)x y 同时满足一次函数y ax b =+和反比例函数cy x=-，则二次函数2y ax bx c =++为一次函数和反比例函数的“派生”函数.(1)试判断(需要写出判断过程)：一次函数3y x =-+和反比例函数4y x=是否存在“派生”函数，若存在，写出它们的“派生”函数和实数对坐标：若不存在，请说明理由；(2)已知：整数m ，n ，t 满足条件9t n m <<，并且一次函数(6)22y n x m =+++与反比例函数xy 2019=存在“派生”函数2019)10()3(2--++=x t m x t m y ，求m 的值；(3)若同时存在两组实数对坐标1(x ，1)y 和2(x ，2)y 使一次函数2(0)y ax b a =+≠和反比例函数3(0)cy c x=-≠有“派生”函数，其中，实数23a b c >>，0a b c ++=，设12||S x x =-，S 的取值范围.26.(10分)如图1，在平面直角坐标系中，直线1y x =-与抛物线2y x bx c =-++交于A 、B 两点，其中(,0)A m 、(4,)B n ，该抛物线与y 轴交于点C ，与x 轴交于另一点D . (1)求这条抛物线的解析式；(2)如图2，若点P 为线段AD 上的一动点(不与A 、D 重合)，分别以AP 、DP 为斜边，在直线AD 的同侧作等腰直角APM ∆和等腰直角DPN ∆，连接MN ，试确定MPN ∆面积最大时P 点的坐标；(3)如图3，连接BD 、CD ，在线段CD 上是否存在点Q ，使得以A 、D 、Q 为顶点的三角形与ABD ∆相似，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.9-2-2018-19-002麓山国际初三入学数学考试试卷参考答案。

麓山国际实验学校2018-2019年初三下第一次抽考数学试卷

麓山国际实验学校2018-2019年初三下第一次抽考数学试卷数学试题一、选择题：（本大题共10小题,每小题3分,共30分）1.有意义的x 的取值范围是（） A .112x x ≥-≠且 B.1x ≠ C.12x ≥- D.112x x >-≠且 2.如果一个等腰三角形的两边长分别是5cm 和6cm ，那么此三角形的周长是（） A ．15cm B ．16cm C ．17cm D ．1617cm cm 或3．已知α为锐角，且sin α=，则α等于（） A.30B.45C.60 D.904.有一组数据：2,5,7,2,3,3,6，下列结论错误的是（）A.平均数为4B.中位数为3C.众数为2D.极差是55.如果圆锥的母线长为6cm ，底面圆半径为3cm ，•则这个圆锥的侧面积为（） A ．29cm πB ．218cm πC ．227cm πD ．236cmπ6.如图，在ABCD 平行四边形中，E 是AB 边上的中点，连接BE ，并延长BE 交CD 延长线于点F ，则EDF ∆与BCF ∆的周长之比是（） A.1:2B .1:3C .1:4D .1:57.已知a 、b 、c 都是正数，且a b cb c c a a b==+++=k ，则下列四个点中，在正比例函数y=kx 图象上的点的坐标是（） A ．（1，12）B ．（1，2）C ．（1，-12）D ．（1，-1） 8.直线y=x+1与坐标轴交于A 、B 两点，点C 在坐标轴上，△ABC•为等腰三角形，则满足条件的点C 最多有（）个． A ．4B ．5C ．7D ．89.二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，其对称轴为1x =,有如下结论：①1c <；②20a b +=；③24b ac <；④若方程20ax bx c ++=的两根为1x 、2x ，则122x x +=，则正确的结论是（）A ．①②B ．①③C ．②④D ．③④10.如图，等腰Rt △ABC (∠ACB ＝90º)的直角边与正方形DEFG 的边长均为2，且AC 与DE 在同一条直线上，开始时点C 与点D 重合，让△ABC 沿直线AE 向右平移，到点A 与点E 重合为止．设CD 的长为x ，△ABC 与正方形DEFG 重合部分(图中阴影部分)的面积为y 、则y 与x 之间的函数的图象大致是（）二．填空题：（本大题共8小题，每小题3分，共24分．） 11.若实数a,b 满足：0)3(22=-++b a ，则ba =． 12.分式方程211x x=+的解是. 13.分解因式：244ab ab a -+=。

湖南省长沙市麓山国际实验学校 2018-2019学年初三下学期入学考试数学考试试卷

麓山国际实验学校 2018-2019-2 初三下学期入学考试数学试卷总分：120 分时量：120 分钟一．选择题（本大题共 12 个小题，每小题 3 分，共 36 分）1. 在下列四个数中，其中无理数的是（）22 A ．B ．﹣2018C ．72. 下列计算正确的是（） D ．πA ． 3x - x = 3B ． a 3÷ a 4=1 aC ． (x -1)2= x 2 - 2x -1D ． (-2a 2 )3 = -6a63. 近几年，长沙市经济呈现稳中有进，稳中向好的态势，2018 年 G DP 突破 4000 亿元大关，4000 亿这个数用科学记数法表示为（）5.下列语句所描述的事件是随机事件的是（）A ．任意画一个四边形，其内角和为 180°B ．经过任意两点画一条直线 C.任意画一个菱形，是中心对称图形D. 过平面内任意三点画一个圆 6.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（）7．如图，两条直线l // l ， Rt ∆ABC 中，∠C = 90 ， AC = BC ，顶点 A , B 分别在l 和l 上，∠1＝20°，1212则∠2 的度数是（） A ．45°B ．55°C ．65°D ．75°8．某同学记录了自己一周每天的零花钱（单位：元），分别如下：5，4.5，5，5.5，5.5，5，4.5，这组数据的众数和平均数分别是（）A ．5 和 5.5B ．5 和 5C ．5D ．和 5.5 9. 已知二次函数 y = x 2- x + 1m -1的图象与 x 轴有交点，则 m 的取值范围是（）44A ． m ≤ 5B ． m ≥ 2C ． m < 5D ． m > 210. 如图，把直角三角形 A BO 放置在平面直角坐标系中，已知∠OAB = 30，B 点的坐标为（0，2），将∆ABO 沿着斜边 A B 翻折后得到∆ABC ，则点C 的坐标是（）A ． (2 3,4)B ． (2,2 3 )C ． ( 3,3)D ． ( 3, 3 )11. 如图是本地区一种产品 30 天的销售图象，图①是产品日销售量 y （单位：件）与时间t （单位：天）的函数关系，图②是一件产品的销售利润 z （单位：元）与时间t （单位：天）的函数关系，已知日销售利润＝日销售量×一件产品的销售利润．下列结论错误的是（）A ．第 24 天的销售量为 300 件B ．第 10 天销售一件产品的利润是 15 元C ．第 27 天的日销售利润是 1250 元D ．第 15 天与第 30 天的日销售量相等（第 7 题图）（第 10 题图）（第 11 题图）12. 已知抛物线 y = ax 2+ bx + c （ a < b < 0）与 x 轴最多有一个交点，现有以下四个结论：①该抛物线的对称轴在 y 轴右侧；②关于 x 的方程ax 2+ bx + c - 2 = 0 有两个不相等的实数根； ③ 4a - 2b + c ≤ 0 ；④ 3a + c < 0 ．其中，正确结论的个数为（） A ．1 个B ．2 个C ．3 个D ．4 个二．填空题（本大题共 6 个小题，每小题 3 分，共 18 分）13. 分解因式： 8a 3 + 2a - 8a 2 ＝．14．如图，四边形 A BCD 与四边形 E FGH 位似，其位似中心为点O ，且OE=4，则FG＝．EA3BC15．若反比例函数 y =的图象位于第二、四象限，则 k 的取值范围是．x16．如图，已知⊙O 的半径为 6cm ，弦 AB 的长为 8cm ，P 是 AB 延长线上一点，BP ＝2cm ，则tan ∠OPA的值是．17．如图，一艘轮船自西向东航行，航行到 A 处测得小岛 C 位于北偏东 60°方向上，继续向东航行 10 海里到达点 B 处，测得小岛 C 在轮船的北偏东 15°方向上，此时轮船与小岛 C 的距离为海里．18．如图，在矩形 A BCD 中，A B ＝4，A D ＝3，矩形内部有一动点 P 满足 S 两点的距离之和 P A + PB 的最小值为．∆PAB= 1 S 3矩形ABCD ，则点 P 到 A 、B（第 14 题图）（第 16 题图）（第 17 题图）（第 18 题图）三、解答题（本大题共 8 个小题，共 66 分）19．（6 分）计算：| -2 |- + ( 1)-1 +tan 452aa 2 -120.（6 分）先化简，后求值(1-÷ ，其中 a = a +1 a 2+ 2a +1+1．21．（8 分）某校创建“环保示范学校”，为了解全校学生参加环保类杜团的意愿，在全校随机抽取了 50 名学生进行问卷调查，问卷给出了五个社团供学生选择（学生可根据自己的爱好选择一个社团，也可以不选），对选择了社团的学生的问卷情况进行了统计，如表：（1）填空：在统计表中，这 5 个数的中位数是；（2）根据以上信息，补全扇形图（图 1）和条形图（图 2）；（3）该校有 1400 名学生，根据调查统计情况，请估计全校有多少学生愿意参加环保义工社团；（4）若小诗和小雨两名同学在酵素制作社团或绿植养护社团中任意选择一个参加，请用树状图或列表法求出这两名同学同时选择绿植养护社团的概率．4 23 22．（8 分）如图，平行四边形 A BCD 的对角线 A C 、BD 相交于点 O ，AE ＝CF ．（1）求证：△BOE ≌△DOF ；（2）若 BD ＝EF ，连接 DE 、BF ，判断四边形 EBFD 的形状，并说明理由．23.（9 分）某自行车经销商计划投入 7.1 万元购进 100 辆 A 型和 30 辆 B 型自行车，其中 B 型车单价是 A型车单价的 6 倍少 60 元．（1）求 A 、B 两种型号的自行车单价分别是多少元？（2）后来由于该经销商资金紧张，投入购车的资金不超过 5.86 万元，但购进这批自行年的总数不变，那么至多能购进 B 型车多少辆？24．（9 分）如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AB 是⊙O 的直径，OF ⊥AB ，交 A C 于点 F ，点 E 在 A B 的延长线上，射线 EM 经过点 C ，且∠ACE +∠AFO ＝180°．（1）求证：EM 是⊙O 的切线；（2）若∠A ＝∠E ，BC ＝，求阴影部分的面积．（结果保留π和根号）．25．（10分）定义：若存在实数对坐标(x,y)同时满足一次函数y=ax+b和反比例函数y=-c，则二x次函数y =ax2 +bx +c 为一次函数和反比例函数的“派生”函数．4（1）试判断（需要写出判断过程）：一次函数y =-x + 3 和反比例函数y =是否存在“派生”函数，x若存在，写出它们的“派生”函数和实数对坐标：若不存在，请说明理由；（2）已知：整数m ，n ，t 满足条件t <n < 9m ，并且一次函数y = (6 +n)x + 2m + 2 与反比例函数y =2019存在“派生”函数y = (3m +t)x 2 + (10m -t)x - 2019 ，求m 的值；x（3）若同时存在两组实数对坐标(x1 ，y1) 和( x2，y2) 使一次函数y =ax + 2b(a ≠ 0) 和反比例函数26.（10 分）如图1，在平面直角坐标系中，直线y =x -1与抛物线y =-x2 +bx +c 交于A 、B 两点，其中A(m, 0)、B(4, n) ，该抛物线与y 轴交于点C ，与x 轴交于另一点D ．（1）求这条抛物线的解析式；（2）如图2，若点P为线段A D上的一动点（不与A、D重合），分别以A P、DP为斜边，在直线A D 的同侧作等腰直角∆APM 和等腰直角∆DPN ，连接MN ，试确定∆MPN 面积最大时P 点的坐标；（3）如图3，连接BD 、CD ，在线段CD 上是否存在点Q ，使得以A 、D 、Q 为顶点的三角形与∆ABD 相似，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．。

2018年湖南省长沙市麓山国际实验学校实验班自主招生数学试卷-3.30

2018年长沙市麓山国际实验学校实验班自招卷1．下列命题错误的是（）A．若a＜1，则（a﹣1）B．若a﹣3，则a≥3C．依次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形D．的算术平方根是9解析：A、若a＜1，则（a﹣1）（1﹣a），故此选项正确，不符合题意；B．若a﹣3，根据二次根式的性质得出，a﹣3≥0，则a≥3，故此选项正确，不符合题意；C．根据菱形对角线互相垂直得出，依次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形，故此选项正确，不符合题意；D．∵9，∴9的算术平方根是3，故此选项错误，符合题意；故选：D．2．已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（）A．a＜2B．a＞2C．a＜2且a≠1D．a＜﹣2解析：∵关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，∴＞，解得：a＜2且a≠1．故选：C．3．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD＝90°，BC＝2AD，F、E分别是BA、BC的中点，则下列结论不正确的是（）A．△ABC是等腰三角形B．四边形EF AM是菱形C．S△BEF S△ACD D．DE平分∠CDF解析：连接AE，如右图所示，∵E为BC的中点，∴BE＝CE BC，又BC＝2AD，∴AD＝BE＝EC，又AD∥BC，∴四边形ABED为平行四边形，四边形AECD为平行四边形，又∵∠DCB＝90°，∴四边形AECD为矩形，∴∠AEC＝90°，即AE⊥BC，∴AE垂直平分BC，∴AB＝AC，即△ABC为等腰三角形，故选项A不合题意；∵E为BC的中点，F为AB的中点，∴EF为△ABC的中位线，∴EF∥AC，EF AC，又∵四边形ABED为平行四边形，∴AF∥ME，∴四边形AFEM为平行四边形，又∵AF AB AC＝EF，∴四边形AFEM为菱形，故选项B不合题意；过F作FN⊥BC于N点，可得FN∥AE，又∵F为AB的中点，∴N为BE的中点，∴FN为△ABE的中位线，∴FN AE，又∵AE＝DC，BE＝AD，∴S△BEF S△ACD，故选项C不合题意；DE不一定平分∠CDF，故选项D符合题意．故选：D．4．如图为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，则下列说法：①a＞0 ②2a+b＝0 ③a+b+c＞0 ④当﹣1＜x＜3时，y＞0其中正确的个数为（）A．1B．2C．3D．4解析：①图象开口向下，能得到a＜0；②对称轴在y轴右侧，x1，则有1，即2a+b＝0；③当x＝1时，y＞0，则a+b+c＞0；④由图可知，当﹣1＜x＜3时，y＞0．故选：C．5．箱子中装有4个只有颜色不同的球，其中2个白球，2个红球，4个人依次从箱子中任意摸出一个球，不放回，则第二个人摸出红球且第三个人摸出白球的概率是（）A．B．C．D．解析：画树状图得：∵共有24种等可能的结果，第二个人摸出红球且第三个人摸出白球的有8种情况，∴第二个人摸出红球且第三个人摸出白球的概率．故选：B．6．已知整数a1，a2，a3，a4，…满足下列条件：a1＝0，a2＝﹣|a1+1|，a3＝﹣|a2+2|，a4＝﹣|a3+3|，…依此类推，则a2013的值为（）A．﹣1005B．﹣1006C．﹣1007D．﹣2012解析：a1＝0，a2＝﹣|a1+1|＝﹣|0+1|＝﹣1，a3＝﹣|a2+2|＝﹣|﹣1+2|＝﹣1，a4＝﹣|a3+3|＝﹣|﹣1+3|＝﹣2，a5＝﹣|a4+4|＝﹣|﹣2+4|＝﹣2，…，所以n是奇数时，a n；n是偶数时，a n；a20131006．故选：B．7．如图所示，已知A（，y1），B（2，y2）为反比例函数y图象上的两点，动点P（x，0）在x轴正半轴上运动，当线段AP与线段BP之差达到最大时，点P的坐标是（）A．（，0）B．（1，0）C．（，0）D．（，0）解析：∵把A（，y1），B（2，y2）代入反比例函数y得：y1＝2，y2，∴A（，2），B（2，），∵在△ABP中，由三角形的三边关系定理得：|AP﹣BP|＜AB，∴延长AB交x轴于P′，当P在P′点时，P A﹣PB＝AB，即此时线段AP与线段BP之差达到最大，设直线AB的解析式是y＝kx+b，把A、B的坐标代入得：，解得：k＝﹣1，b，∴直线AB的解析式是y＝﹣x，当y＝0时，x，即P（，0），故选：D．8．在平面坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2），延长CB交x轴于点A1，作正方形A1B1C1C，延长C1B1交x轴于点A2，作正方形A2B2C2C1，…按这样的规律进行下去，第2012个正方形的面积为（）A．B．C．D．解析：∵点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2），∴OA＝1，OD＝2，设正方形的面积分别为S1，S2…S2012，根据题意，得：AD∥BC∥C1A2∥C2B2，∴∠BAA1＝∠B1A1A2＝∠B2A2x，∵∠ABA1＝∠A1B1A2＝90°，∴△BAA1∽△B1A1A2，在直角△ADO中，根据勾股定理，得：AD，∴AB＝AD＝BC，∴S1＝5，∵∠DAO+∠ADO＝90°，∠DAO+∠BAA1＝90°，∴∠ADO＝∠BAA1，∴tan∠BAA1，∴A1B，∴A1C＝BC+A1B，∴S25＝5×（）2，∴，∴A2B1，∴A2C1＝B1C1+A2B1（）2，∴S35＝5×（）4，由此可得：S n＝5×（）2n﹣2，∴S2012＝5×（）2×2012﹣2＝5×（）4022．故选：D．9．设a2+2a﹣1＝0，b4﹣2b2﹣1＝0，且1﹣ab2≠0，则（）5＝﹣32．解析：∵a2+2a﹣1＝0，∴a≠0，在方程两边都除以a2，得：21＝0．∵b4﹣2b2﹣1＝0，且1﹣ab2≠0，∴和b2为一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两个不等实数根，∴b2＝2，•b2＝﹣1，∴b2•b2﹣3（b2）•b2﹣3＝2﹣1﹣3＝﹣2，∴（）5＝（﹣2）5＝﹣32．故答案为：﹣32．10．若关于x的一元一次不等式组＞＞无解，则a的取值范围是≥1．解析：＞①＞ ②，由①得，x＞a；由②得，x＜1，∵此不等式组的解集是空集，∴a≥1．故答案为：≥1．11．读一读：式子“1+2+3+4+…+100”表示从1开始的100个连续自然数的和，由于式子比较长，书写不方便，为了简便起见，我们将其表示为n，这里“”是求和符号，通过对以上材料的阅读，计算．解析：，则1＝1．故答案为：．12．不论k为何值时，直线（2k+1）x+（3k﹣2）y﹣5k+1＝0的图象恒过定点（1，1）解析：由（2k+1）x+（3k﹣2）y﹣（5k﹣1）＝0，得（2x+3y）k+（x﹣2y）＝5k﹣1．不论k为何值，上式都成立．所以2x+3y＝5，x﹣2y＝﹣1，解得：x＝1，y＝1．即不论k为何值，一次函数（2k+1）x+（3k﹣2）y﹣5k+1＝0的图象恒过（1，1）．故答案为：（1，1）13．如图，已知正方形ABCD的对角线长为2，将正方形ABCD沿直线EF折叠，则图中阴影部分的周长为8．解析：设正方形的边长为a，则2a2＝（2）2，解得a＝2，翻折变换的性质可知AD＝A′B′，A′H＝AH，B′G＝DG，阴影部分的周长＝A′B′+（A′H+BH）+BC+（CG+B′G）＝AD+AB+BC+CD＝2×4＝8．故答案为：8．14．如图，菱形ABCD中，AB＝AC，点E、F分别为边AB、BC上的点，且AE＝BF，连接CE、AF交于点H，连接DH交AG于点O．则下列结论①△ABF≌△CAE，②∠AHC ＝120°，③AH+CH＝DH，④AD2＝OD•DH中，正确的是①②③④．解析：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，∵AB＝AC，∴AB＝BC＝AC，即△ABC是等边三角形，同理：△ADC是等边三角形∴∠B＝∠EAC＝60°，在△ABF和△CAE中，，∴△ABF≌△CAE（SAS）；故①正确；∴∠BAF＝∠ACE，∵∠AEH＝∠B+∠BCE，∴∠AHC＝∠BAF+∠AEH＝∠BAF+∠B+∠BCE ＝∠B+∠ACE+∠BCE＝∠B+∠ACB＝60°+60°＝120°；故②正确；在HD上截取HK＝AH，连接AK，∵∠AHC+∠ADC＝120°+60°＝180°，∴点A，H，C，D四点共圆，∴∠AHD＝∠ACD＝60°，∠ACH＝∠ADH，∴△AHK是等边三角形，∴AK＝AH，∠AKH＝60°，∴∠AKD＝∠AHC＝120°，在△AKD和△AHC中，∠∠，∴△AKD≌△AHC（AAS），∴CH＝DK，∴DH＝HK+DK＝AH+CH；故③正确；∵∠OAD＝∠AHD＝60°，∠ODA＝∠ADH，∴△OAD∽△AHD，∴AD：DH＝OD：AD，∴AD2＝OD•DH．故④正确．故答案为：①②③④．15．长为20，宽为a的矩形纸片（10＜a＜20），如图那样折一下，剪下一个边长等于矩形宽度的正方形（称为第一次操作）；再把剩下的矩形如图那样折一下，剪下一个边长等于此时矩形宽度的正方形（称为第二次操作）；如此反复操作下去，若在第n次操作后，剩下的矩形为正方形，则操作停止．当n＝3时，a的值为12或15．解析：由题意，可知当10＜a＜20时，第一次操作后剩下的矩形的长为a，宽为20﹣a，所以第二次操作时剪下正方形的边长为20﹣a，第二次操作以后剩下的矩形的两边分别为20﹣a，2a﹣20．此时，分两种情况：①如果20﹣a＞2a﹣20，即a＜，那么第三次操作时正方形的边长为2a﹣20．则2a﹣20＝（20﹣a）﹣（2a﹣20），解得a＝12；②如果20﹣a＜2a﹣20，即a＞，那么第三次操作时正方形的边长为20﹣a．则20﹣a＝（2a﹣20）﹣（20﹣a），解得a＝15．∴当n＝3时，a的值为12或15．故答案为：12或15．16．如图，在平面直角坐标系中有一边长为1的正方形OABC，边OA、OC分别在x轴、y 轴上，如果以对角线OB为边作第二个正方形OBB1C1，再以对角线OB1为边作第三个正方形OB1B2C2，照此规律作下去，则点B2012的坐标为（﹣21006，﹣21006）．解析：∵正方形OABC边长为1，∴OB，∵正方形OBB1C1是正方形OABC的对角线OB为边，∴OB1＝2，∴B1点坐标为（0，2），同理可知OB2＝2B2点坐标为（﹣2，2），同理可知OB3＝4，B3点坐标为（﹣4，0），B4点坐标为（﹣4，﹣4），B5点坐标为（0，﹣8），B6（8，﹣8），B7（16，0）B8（16，16），B9（0，32），由规律可以发现，每经过8次作图后，点的坐标符号与第一次坐标符号相同，每次正方形的边长变为原来的倍，∵2012÷8＝251…4，∴B2012的纵横坐标符号与点B4的相同，纵横坐标都是负值，∴B2012的坐标为（﹣21006，﹣21006）．故答案为：（﹣21006，﹣21006）．17．今年南方某地发生特大洪灾，政府为了尽快搭建板房安置灾民，给某厂下达了生产A 种板材48000㎡和B种板材24000㎡的任务．（1）如果该厂安排210人生产这两种材，每人每天能生产A种板材60㎡或B种板材40㎡，请问：应分别安排多少人生产A种板材和B种板材，才能确保同时完成各自的生产任务？（2）某灾民安置点计划用该厂生产的两种板材搭建甲、乙两种规格的板房共400间，已知建设一间甲型板房和一间乙型板房所需板材及安置人数如下表所示：问这400间板房最多能安置多少灾民？解析：（1）设x人生产A种板材，根据题意得；x＝120．经检验x＝120是分式方程的解．210﹣120＝90．故安排120人生产A种板材，90人生产B种板材，才能确保同时完成各自的生产任务；（2）设生产甲种板房y间，乙种板房（400﹣y）间，安置人数为W，则W＝12y+10（400﹣y）＝2y+4000，，解得：300≤y≤360，∵W＝2y+4000时随y的增大而增大，∴当y＝360时安置的人数最多．360×12+（400﹣360）×10＝4720．故最多能安置4720人．18．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC 于点E，连结DE，过点B作BP平行于DE，交⊙O于点P，连结EP、CP、OP．（1）BD＝DC吗？说明理由；（2）求∠BOP的度数；（3）求证：CP是⊙O的切线．解析：（1）BD＝DC．理由如下：连接AD，∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∴AD⊥BC，∵AB＝AC，∴BD＝DC；（2）∵AD是等腰△ABC底边上的中线，∴∠BAD＝∠CAD，∴，∴BD＝DE．∴BD＝DE＝DC，∴∠DEC＝∠DCE，△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，∴∠DCE＝∠ABC（180°﹣30°）＝75°，∴∠DEC＝75°，∴∠EDC＝180°﹣75°﹣75°＝30°，∵BP∥DE，∴∠PBC＝∠EDC＝30°，∴∠ABP＝∠ABC﹣∠PBC＝75°﹣30°＝45°，∵OB＝OP，∴∠OBP＝∠OPB＝45°，∴∠BOP＝90°；（3）解法一：设OP交AC于点G，如图，则∠AOG＝∠BOP＝90°，在Rt△AOG中，∠OAG＝30°，∴，又∵，∴，∴，又∵∠AGO＝∠CGP，∴△AOG∽△CPG，∴∠GPC＝∠AOG＝90°，∴OP⊥PC，∴CP是⊙O的切线；解法二：作CM⊥AB于M，∵∠BOP＝90°，∴CM∥OP，∵OP AB，在Rt△AME中，∵∠BAC＝30°，∴CM AC，∴CM AB的，∴CM＝OP，∴四边形OPCM是矩形，∴∠CPO＝90°，∴CP是圆O的切线．19．如图1，已知直线y＝kx与抛物线y交于点A（3，6）．（1）求直线y＝kx的解析式和线段OA的长度；（2）点P为抛物线第一象限内的动点，过点P作直线PM，交x轴于点M（点M、O不重合），交直线OA于点Q，再过点Q作直线PM的垂线，交y轴于点N．试探究：线段QM与线段QN的长度之比是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，说明理由；（3）如图2，若点B为抛物线上对称轴右侧的点，点E在线段OA上（与点O、A不重合），点D（m，0）是x轴正半轴上的动点，且满足∠BAE＝∠BED＝∠AOD．继续探究：m 在什么范围时，符合条件的E点的个数分别是1个、2个？解析：方法一：（1）把点A（3，6）代入y＝kx得；∵6＝3k，∴k＝2，∴y＝2x．OA．（2）是一个定值，理由如下：如答图1，过点Q作QG⊥y轴于点G，QH⊥x轴于点H．①当QH与QM重合时，显然QG与QN重合，此时tan∠AOM＝2；②当QH与QM不重合时，∵QN⊥QM，QG⊥QH不妨设点H，G分别在x、y轴的正半轴上，∴∠MQH＝∠GQN，又∵∠QHM＝∠QGN＝90°∴△QHM∽△QGN…，∴tan∠AOM＝2，当点P、Q在抛物线和直线上不同位置时，同理可得2．（3）如图2，延长AB交x轴于点F，过点F作FC⊥OA于点C，过点A作AR⊥x轴于点R ∵∠AOD＝∠BAE，∴AF＝OF，∴OC＝AC OA∵∠ARO＝∠FCO＝90°，∠AOR＝∠FOC，∴△AOR∽△FOC，∴，∴OF，∴点F（，0），设点B（x，），过点B作BK⊥AR于点K，则△AKB∽△ARF，∴，即，解得x1＝6，x2＝3（舍去），∴点B（6，2），∴BK＝6﹣3＝3，AK＝6﹣2＝4，∴AB＝5；（求AB也可采用下面的方法）设直线AF为y＝kx+b（k≠0）把点A（3，6），点F（，0）代入得k，b＝10，∴y x+10，∴，∴（舍去），，∴B（6，2），∴AB＝5（其它方法求出AB的长酌情给分）在△ABE与△OED中∵∠BAE＝∠BED，∴∠ABE+∠AEB＝∠DEO+∠AEB，∴∠ABE＝∠DEO，∵∠BAE＝∠EOD，∴△ABE∽△OED．设OE＝a，则AE＝3a（0＜a＜3），由△ABE∽△OED得，∴，∴m a（3a）a2a（0＜a＜3），∴顶点为（，）如答图3，当m时，OE＝a，此时E点有1个；当0＜m＜时，任取一个m的值都对应着两个a值，此时E点有2个．∴当m时，E点只有1个当0＜m＜时，E点有2个．方法二：（1）略．（2）过点Q分别作y轴，x轴垂线，垂足分别为G，H，∵QN⊥QM，∴∠NQH+∠HQM＝90°，∵QG⊥QH，∴∠NQH+∠GQN＝90°，∴∠HQM＝∠GQN，∵∠QGN＝∠QHM＝90°，∴△QGN∽△QHM，∴QM：QN＝2：1．（3）延长AB交x轴于F，过点F作FC⊥OA于点C．∵∠BAE＝∠AOD，∴OF＝AF，∵FC⊥OA，∴C为OA中点，∵O（0，0），A（3，6），∴C（，3），K OA＝2，∵K OA×K PC＝﹣1，∴K PC，∴l FC：y x，当y＝0时，x，即F（，0），∴l AF：y x+10，∴⇒x1＝3（舍），x2＝6，∴B（6，2），AB＝5，∵D（m，0），OD＝m，设AE＝a，OE＝3a，∠∠∠⇒∠OED＝∠ABE，∴△ABE∽△OED，∴，∴，∴a2a+5m＝0，∵E只有一个，∴△＝45﹣20m＝0，∴m，∵E只有两个，∴△＝45﹣20m＞0，即0＜m＜时，E有两个．。

2018-2019学年湖南省长沙市岳麓区麓山国际实验学校九年级(上)第一次限时训练数学试卷(解析版)

2018-2019学年湖南省长沙市岳麓区麓山国际实验学校九年级（上）第一次限时训练数学试卷一．选择题（共12小题）1．下面四个手机应用图标中，属于中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．已知关于x的一元二次方程x2﹣2ax+4＝0的一个根是2，则a的值为（）A．1B．﹣1C．2D．﹣23．关于抛物线y＝2x2，下列说法错误的是（）A．开口向上B．对称轴是y轴C．函数有最大值D．在x＞0时，函数y随x随增大而增大4．随着划片招生和小班政策的实施，麓山国际实验学校初一新生人数逐步减少，2014届初一新入校人数为1300人，2016届初一新入校人数为1053人，设该校入校人数平均每年的下降率为x，则根据题意可列方程为（）A．1053＝1300（1﹣x）2B．1300＝1053（1﹣x）2C．1300＝1053（1+x）2D．1053＝1300（1+x）25．二次函数经过（﹣3，0）和（0，3），对称轴是x＝﹣1，则这个二次函数的表达式为（）A．y＝﹣x2+2x+3B．y＝x2+2x+3C．y＝﹣x2+2x﹣3D．y＝﹣x2﹣2x+36．如图，过⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA、PB，切点分别是A、B，OP交⊙O于点C，点D 是上不与点A、点C重合的一个动点，连接AD、CD，若∠APB＝80°，则∠ADC的度数是（）A．15°B．20°C．25°D．30°7．下列说法：①过切点的直线垂直于切线，则这条直线必过圆心；②长度相等的弧是等弧；③平分弦的直径必垂直于弦；④三角形内心到三个顶点的距离相等．其中正确的个数有（）A．1B．2C．3D．48．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，⊙C的半径为6.5，则⊙C与AB的位置关系是（）A．相切B．相离C．相交D．无法确定9．如图，四边形ABCD内接于⊙O，它的一个外角∠EBC＝65°，分别连接AC，BD，若AC＝AD，则∠DBC的度数为（）A．50°B．55°C．65°D．70°10．一个圆的内接正三边形的边长为2，则该圆的内接正方形的边长为（）A．B．4C．2D．211．如图1，⊙O的半径为r，若点P′在射线OP上，满足OP′×OP＝r2，则称点P′是点P关于⊙O的“反演点”，如图2，⊙O的半径为4，点B在⊙O上，∠BOA＝60°，OA＝8，若点A'是点A关于⊙O的反演点，求A'B的长为（）A．B．2C．2D．412．如图所示，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝1．直线y＝﹣x+c与抛物线y＝ax2+bx+c交于C、D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，则下列结论：①2a+b+c＞0；②a﹣b+c＜0；③x（ax+b）≤a+b；④a＜﹣1．其中正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个二．填空题（共6小题）13．方程x2+2x﹣3＝0的解是．14．如图，点O为平面直角坐标系的原点，点A在x轴上，△OAB是边长为2的等边三角形，以O 为旋转中心，将△OAB按顺时针方向旋转60°，得到△OA'B'，那么点A′的坐标为．15．用一个半径为30，圆心角为90°的扇形围成一个圆锥，则这个圆锥的底面半径是．16．二次函数y＝2x2﹣4x+1在0≤x≤3时y的取值范围为．17．关于x的方程x2﹣kx﹣2k＝0的两个根的平方和为12，则k＝．18．如图，⊙O的半径是2，AB是⊙O的弦，点P是弦AB上的动点，且1≤OP≤2，则弦AB所对的圆周角的度数是．三．解答题（共8小题）19．计算（π﹣2）0+﹣（）﹣2+|﹣1|20．先化简，再求值；（a﹣b）2+2（a+b）（a﹣b）﹣a（a﹣2b），其中a＝，b＝﹣．21．在“优秀传统文化进校园”活动中，学校计划每周一下午第三节课时间开展此项活动，拟开展活动项目为：剪纸，武术，书法，器乐，要求七年级学生人人参加，并且每人只能参加其中一项活动，教务处在该校七年级学生中随机抽取了100名学生进行调查，并对此进行统计，绘制了如图所示的条形统计图和扇形统计图（均不完整）．请解答下列问题：（1）请补全条形统计图并计算扇形统计图中武术所对的圆心角度数；（2）教师从武术类中选取最优秀的4人，刚好2男2女，现教务处从中任意抽取2人参加比赛，用列表法或树状图法求出被抽取的两名学生性别相同的概率是多少．22．如图所示，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E．连接AC、OC、BC．（1）若∠ACO＝25°，求∠BCD的度数．（2）若EB＝4cm，CD＝16cm，求⊙O的直径．23．如图，△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，点E为BC的中点，连接OD、DE，已知∠BAC＝30°，AB＝8．（1）求劣弧BD的长．（2）求阴影部分的面积．24．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，点G在弧BD上，连接AG，交CD于点K，过点G的直线交CD的延长线于点E，交AB的延长线于点F，且EG＝EK．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为13，CH＝12，＝，求FG的长．25．国家推行“节能减排，低碳经济”政策后，某环保节能设备生产企业的产品供不应求．若该企业的某种环保设备每月的产量保持在一定的范围，每套产品的生产成本不高于50万元，每套产品的售价不低于80万元，已知这种设备的月产量x（套）与每套的售价y（万元）之间满足关系式y＝150﹣2x，月产量x（套）与生产总成本y2（万元）存在如图所示的函数关系．（1）直接写出y2与x之间的函数关系式；（2）求月产量x的范围；（3）当月产量x（套）为多少时，这种设备的利润W（万元）最大？最大利润是多少？26．如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，经过A、B、C三点的圆的圆心为M（1，﹣1），已知点B（3，0），设⊙M与y轴交于点D，抛物线的顶点为E．（1）求⊙M的半径及抛物线的解析式；（2）若点F在抛物线的第四象限上，求△FBC的面积的最大值；（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得△PAC是直角三角形，且两直角边的长度之比是1：3？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．2018-2019学年湖南省长沙市岳麓区麓山国际实验学校九年级（上）第一次限时训练数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．下面四个手机应用图标中，属于中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据中心对称图形的概念进行判断即可．【解答】解：A、图形不是中心对称图形；B、图形是中心对称图形；C、图形不是中心对称图形；D、图形不是中心对称图形，故选：B．【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后能与自身重合．2．已知关于x的一元二次方程x2﹣2ax+4＝0的一个根是2，则a的值为（）A．1B．﹣1C．2D．﹣2【分析】根据关于x的一元二次方程x2﹣2ax﹣4＝0的一个根是2，将x＝2代入方程即可求得a的值．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2ax+4＝0的一个根是2，∴22﹣2a×2+4＝0，即﹣4a＝﹣8解得，a＝2．故选：C．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．解决本题亦可利用根与系数的关系．3．关于抛物线y＝2x2，下列说法错误的是（）A．开口向上B．对称轴是y轴C．函数有最大值D．在x＞0时，函数y随x随增大而增大【分析】直接利用二次函数的性质分析得出答案．【解答】解：A、抛物线y＝2x2，开口向上，正确，不合题意；B、抛物线y＝2x2，对称轴是y轴，正确，不合题意；C、抛物线y＝2x2，函数有最小值，错误，符合题意；D、抛物线y＝2x2，在x＞0时，函数y随x随增大而增大，正确，不合题意．故选：C．【点评】此题主要考查了二次函数的性质，正确掌握二次函数的基本性质是解题关键．4．随着划片招生和小班政策的实施，麓山国际实验学校初一新生人数逐步减少，2014届初一新入校人数为1300人，2016届初一新入校人数为1053人，设该校入校人数平均每年的下降率为x，则根据题意可列方程为（）A．1053＝1300（1﹣x）2B．1300＝1053（1﹣x）2C．1300＝1053（1+x）2D．1053＝1300（1+x）2【分析】设该校入校人数平均每年的下降率为x，根据该校2014届及2016届初一新入校人数，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【解答】解：设该校入校人数平均每年的下降率为x，根据题意得：1300（1﹣x）2＝1053．故选：A．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．5．二次函数经过（﹣3，0）和（0，3），对称轴是x＝﹣1，则这个二次函数的表达式为（）A．y＝﹣x2+2x+3B．y＝x2+2x+3C．y＝﹣x2+2x﹣3D．y＝﹣x2﹣2x+3【分析】利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为（1，0），则可设交点式y＝a （x+3）（x﹣1），然后把（0，3）代入求出a即可．【解答】解：点（﹣3，0）关于直线x＝﹣1的对称点的坐标为（1，0），设抛物线的解析式为y＝a（x+3）（x﹣1），把（0，3）代入得3＝a•3•（﹣1），解得a＝﹣1，所以抛物线解析式为y＝﹣（x+3）（x﹣1），即y＝﹣x2﹣2x+3．故选：D．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．6．如图，过⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA、PB，切点分别是A、B，OP交⊙O于点C，点D 是上不与点A、点C重合的一个动点，连接AD、CD，若∠APB＝80°，则∠ADC的度数是（）A．15°B．20°C．25°D．30°【分析】根据四边形的内角和，可得∠BOA，根据等弧所对的圆周角相等，根据圆周角定理，可得答案．【解答】解；如图，由四边形的内角和定理，得∠BOA＝360°﹣90°﹣90°﹣80°＝100°，由＝，得∠AOC＝∠BOC＝50°．由圆周角定理，得∠ADC＝∠AOC＝25°，故选：C．【点评】本题考查了切线的性质，切线的性质得出＝是解题关键，又利用了圆周角定理．7．下列说法：①过切点的直线垂直于切线，则这条直线必过圆心；②长度相等的弧是等弧；③平分弦的直径必垂直于弦；④三角形内心到三个顶点的距离相等．其中正确的个数有（）A．1B．2C．3D．4【分析】利用切线的性质对①进行判断；根据等弧的定义对②进行判断；根据垂径定理对③进行判断；根据三角形内心的性质对④进行判断．【解答】解：过切点的直线垂直于切线，则这条直线必过圆心，所以①正确；在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，所以②错误；平分弦（非直径）的直径必垂直于弦，所以③错误；三角形内心到三边的距离相等．所以④错误．故选：A．【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，⊙C的半径为6.5，则⊙C与AB的位置关系是（）A．相切B．相离C．相交D．无法确定【分析】过C作CD⊥AB于D，由勾股定理求出AB，根据三角形的面积公式求出CD，把CD和6.5比较即可得出答案．【解答】解：过C作CD⊥AB于D，由勾股定理得：AB＝＝13，由三角形的面积公式得：AC×BC＝AB×CD，∴5×12＝13×CD，∴CD＝，∴⊙C与AB的位置关系是相交，故选：C．【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，三角形的面积等知识点的运用，注意：判断直线与圆的位置关系的思路是过圆心作直线的垂线，比较垂线段的长和半径的大小即可．9．如图，四边形ABCD内接于⊙O，它的一个外角∠EBC＝65°，分别连接AC，BD，若AC＝AD，则∠DBC的度数为（）A．50°B．55°C．65°D．70°【分析】先根据圆内接四边形的性质得出∠ADC＝∠EBC＝65°，再根据AC＝AD得出∠ACD＝∠ADC＝65°，故可根据三角形内角和定理求出∠CAD＝50°，再由圆周角定理得出∠DBC＝∠CAD＝50°．【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ADC＝∠EBC＝65°．∵AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC＝65°，∴∠CAD＝180°﹣∠ACD﹣∠ADC＝50°，∴∠DBC＝∠CAD＝50°，故选：A．【点评】本题考查了圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解答此题的关键．也考查了等腰三角形的性质以及三角形内角和定理．10．一个圆的内接正三边形的边长为2，则该圆的内接正方形的边长为（）A．B．4C．2D．2【分析】连接OC，OA，OB，过O作OG⊥CD于G，根据垂径定理得到CG＝CD＝，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：如图，连接OC，OA，OB，过O作OG⊥CD于G，则CG＝CD＝，∵△ACD是圆内接正三角形，∴∠OCG＝30°，∴OC＝＝2，∵四边形ABEF是正方形，∴∠AOB＝90°，∴AB＝OA＝2，故选：D．【点评】本题考查了正多边形与圆，正方形的性质，正三角形的性质，解直角三角形，正确的作出图形是解题的关键．11．如图1，⊙O的半径为r，若点P′在射线OP上，满足OP′×OP＝r2，则称点P′是点P关于⊙O的“反演点”，如图2，⊙O的半径为4，点B在⊙O上，∠BOA＝60°，OA＝8，若点A'是点A关于⊙O的反演点，求A'B的长为（）A．B．2C．2D．4【分析】设OA交⊙O于C，连结BC，如图2，根据新定义计算出OA′＝2，OB＝4，则点A′为OC的中点，再证明△OBC为等边三角形，则BA′⊥OC，然后在Rt△OA′B中，利用正弦的定义可求A′B的长．【解答】解：设OA交⊙O于C，连结B′C，如图2，∵OA′•OA＝42而r＝4，OA＝8∴OA′＝2，∵∠BOA＝60°，OB＝OC，∴△OBC为等边三角形，而点A′为OC的中点，∴BA′⊥OC，在Rt△OA′B中，sin∠A′OB＝，∴A′B＝4sin60°＝2．故选：B．【点评】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．也考查了阅读理解能力．12．如图所示，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝1．直线y＝﹣x+c与抛物线y＝ax2+bx+c交于C、D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，则下列结论：①2a+b+c＞0；②a﹣b+c＜0；③x（ax+b）≤a+b；④a＜﹣1．其中正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【分析】利用抛物线与y轴的交点位置得到c＞0，利用对称轴方程得到b＝﹣2a，则2a+b+c＝c＞0，于是可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点在点（﹣1，0）右侧，则当x＝﹣1时，y＜0，于是可对②进行判断；根据二次函数的性质得到x＝1时，二次函数有最大值，则ax2+bx+c≤a+b+c，于是可对③进行判断；由于直线y＝﹣x+c与抛物线y＝ax2+bx+c交于C、D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，利用函数图象得x＝3时，一次函数值比二次函数值大，即9a+3b+c＜﹣3+c，然后把b＝﹣2a代入解a的不等式，则可对④进行判断．【解答】解：∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，∴b＝﹣2a，∴2a+b+c＝2a﹣2a+c＝c＞0，所以①正确；∵抛物线与x轴的一个交点在点（3，0）左侧，而抛物线的对称轴为直线x＝1，∴抛物线与x轴的另一个交点在点（﹣1，0）右侧，∴当x＝﹣1时，y＜0，∴a﹣b+c＜0，所以②正确；∵x＝1时，二次函数有最大值，∴ax2+bx+c≤a+b+c，∴ax2+bx≤a+b，所以③正确；∵直线y＝﹣x+c与抛物线y＝ax2+bx+c交于C、D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，∴x＝3时，一次函数值比二次函数值大，即9a+3b+c＜﹣3+c，而b＝﹣2a，∴9a﹣6a＜﹣3，解得a＜﹣1，所以④正确．故选：A．【点评】本题考查了二次函数与不等式（组）：利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解．也考查了二次函数图象与系数的关系．二．填空题（共6小题）13．方程x2+2x﹣3＝0的解是﹣3或1．【分析】把方程x2+2x﹣3＝0进行因式分解，变为（x+3）（x﹣1）＝0，再根据“两式乘积为0，则至少一式的值为0”求出解．【解答】解：x2+2x﹣3＝0（x+3）（x﹣1）＝0x1＝﹣3；x2＝1故本题的答案是﹣3或1．【点评】把方程x2+2x﹣3＝0进行因式分解，再利用积为0的特点解出方程的根．14．如图，点O为平面直角坐标系的原点，点A在x轴上，△OAB是边长为2的等边三角形，以O 为旋转中心，将△OAB按顺时针方向旋转60°，得到△OA'B'，那么点A′的坐标为（﹣1，）．【分析】作BC⊥x轴于C，如图，根据等边三角形的性质得OA＝OB＝2，AC＝OC＝1，∠BOA＝60°，则易得A点坐标和O点坐标，再利用勾股定理计算出BC＝，然后根据第二象限点的坐标特征可写出B点坐标；由旋转的性质得∠AOA′＝∠BOB′＝60°，OA＝OB＝OA′＝OB′，则点A′与点B重合，于是可得点A′的坐标．【解答】解：作BC⊥x轴于C，如图，∵△OAB是边长为2的等边三角形∴OA＝OB＝2，AC＝OC＝1，∠BOA＝60°，∴A点坐标为（﹣2，0），O点坐标为（0，0），在Rt△BOC中，BC＝＝，∴B点坐标为（﹣1，）；∵△OAB按顺时针方向旋转60°，得到△OA′B′，∴∠AOA′＝∠BOB′＝60°，OA＝OB＝OA′＝OB′，∴点A′与点B重合，即点A′的坐标为（﹣1，），故答案为（﹣1，）．【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．15．用一个半径为30，圆心角为90°的扇形围成一个圆锥，则这个圆锥的底面半径是7.5．【分析】设该圆锥底面圆的半径为r，则可根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到2πr＝，然后解方程即可．【解答】解：设该圆锥底面圆的半径为r，根据题意得2πr＝，解得r＝7.5，即该圆锥底面圆的半径为7.5．故答案为：7.5【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．16．二次函数y＝2x2﹣4x+1在0≤x≤3时y的取值范围为﹣1≤y≤7．【分析】先根据a＝2判断出抛物线的开口向上，故有最小值，再把抛物线化为顶点式的形式可知对称轴x＝1，最小值y＝﹣1，再根据0≤x≤3可知当x＝3时y最大，把x＝3代入即可得出结论．【解答】解：∵y＝2x2﹣4x+1＝2（x﹣1）2﹣1，∴当x＝1时，y取得最小值﹣1，又∵0≤x≤3，∴当x＝3时，y取得最大值，最大值为7，∴在0≤x≤3时y的取值范围为﹣1≤y≤7，故答案为：﹣1≤y≤7．【点评】本题考查的是二次函数的性质，在解答此题时要先确定出抛物线的对称轴及最小值，再根据x的取值范围进行解答．17．关于x的方程x2﹣kx﹣2k＝0的两个根的平方和为12，则k＝6．【分析】先设关于x的方程x2﹣kx﹣2k＝0的两实数根分别为x1、x2，再根据根与系数的关系得出x1+x2，x1•x2的表达式，根据方程实根的平方和为12即可得出关于k的一元二次方程，求出k的值即可．【解答】解：设关于x的方程x2﹣kx﹣2k＝0的两实数根分别为x1、x2，则x1+x2＝k，x1•x2＝﹣2k①∵原方程两实根的平方和为12，∴x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝12 ②∵方程有两实数根，∴△＝k2﹣4×（﹣2k）≥0，∴k≥0或k≤﹣8，把①代入②得，k2﹣2×（﹣2k）＝12，解得k1＝6，k2＝﹣2（舍去）．∴k＝6．故答案为：6．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．18．如图，⊙O的半径是2，AB是⊙O的弦，点P是弦AB上的动点，且1≤OP≤2，则弦AB所对的圆周角的度数是60°或120°．【分析】作OD⊥AB，如图，利用垂线段最短得OD＝1，则根据含30度的直角三角形三边的关系得∠OAB＝30°，根据三角形内角和定理可计算出∠AOB＝120°，则可根据圆周角定理得到∠AEB ＝∠AOB＝60°，根据圆内接四边形的性质得∠F＝120°，求出弦AB所对的圆周角的度数．【解答】解：作OD⊥AB，∵点P是弦AB上的动点，且1≤OP≤2，∴OD＝1，∴∠OAB＝30°，∴∠AOB＝120°，∴∠AEB＝∠AOB＝60°，∵∠E+∠F＝180°，∴∠F＝120°，即弦AB所对的圆周角的度数为60°或120°，故答案为：60°或120°．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了含30度的直角三角形三边的关系．三．解答题（共8小题）19．计算（π﹣2）0+﹣（）﹣2+|﹣1|【分析】直接利用零指数幂的性质和负指数幂的性质、二次根式的性质分别化简得出答案．【解答】解：原式＝1+3﹣4+1＝3﹣2．【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．20．先化简，再求值；（a﹣b）2+2（a+b）（a﹣b）﹣a（a﹣2b），其中a＝，b＝﹣．【分析】原式利用平方差公式，完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果，把a与b的值代入计算即可求出值．【解答】解：原式＝a2﹣2ab+b2+2a2﹣2b2﹣a2+2ab＝2a2﹣b2，当a＝，b＝﹣时，原式＝﹣＝0．【点评】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．21．在“优秀传统文化进校园”活动中，学校计划每周一下午第三节课时间开展此项活动，拟开展活动项目为：剪纸，武术，书法，器乐，要求七年级学生人人参加，并且每人只能参加其中一项活动，教务处在该校七年级学生中随机抽取了100名学生进行调查，并对此进行统计，绘制了如图所示的条形统计图和扇形统计图（均不完整）．请解答下列问题：（1）请补全条形统计图并计算扇形统计图中武术所对的圆心角度数；（2）教师从武术类中选取最优秀的4人，刚好2男2女，现教务处从中任意抽取2人参加比赛，用列表法或树状图法求出被抽取的两名学生性别相同的概率是多少．【分析】（1）根据题意列式计算即可；（2）列表得出所有等可能的情况数，找出所选两位同学恰好是性别相同的情况，即可求出所求概率．【解答】解：（1）100名学生中女生人数有100﹣10﹣20﹣13﹣9＝48人，参加武术活动的女生人数为48﹣15﹣8﹣15＝10人，补全条形统计图如图所示，扇形统计图中武术所对的圆心角度数＝×360°＝360°×30%＝108°；（2）列表如下：男男女女男﹣﹣﹣（男，男）（女，男）（女，男）男（男，男）﹣﹣﹣（女，男）（女，男）女（男，女）（男，女）﹣﹣﹣（女，女）女（男，女）（男，女）（女，女）﹣﹣﹣所有等可能的情况有12种，其中被抽取的两名学生性别相同的情况有4种，则P＝＝．【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．22．如图所示，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E．连接AC、OC、BC．（1）若∠ACO＝25°，求∠BCD的度数．（2）若EB＝4cm，CD＝16cm，求⊙O的直径．【分析】（1）由AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD，由垂径定理即可求得＝，然后由圆周角定理，可得∠BCD＝∠A；（2）首先设半径为xcm，即可得x2＝82+（x﹣4）2，继而求得答案．【解答】解：（1）∵AO＝CO，∴∠A＝∠ACO＝25°，∵AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD，∴＝，∴∠BCD＝∠A＝25°；（2）设⊙O的半径为xcm，则OC＝xcm，OE＝OB﹣BE＝x﹣4（cm），∵AB⊥CD，CD＝16cm，∴CE＝CD＝8cm，在Rt△OCE中，OC2＝OE2+CE2，∴x2＝82+（x﹣4）2，解得：x＝10，∴⊙O的直径为20cm．【点评】此题考查了垂径定理、圆周角定理以及勾股定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．23．如图，△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，点E为BC的中点，连接OD、DE，已知∠BAC＝30°，AB＝8．（1）求劣弧BD的长．（2）求阴影部分的面积．【分析】（1）根据弧长公式计算即可；（2）根据扇形的面积公式计算即可；【解答】解：（1）∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA＝30°，∴∠AOD＝120°，∴∠DOB＝60°，∴的长＝＝．（2）S阴＝S扇形OAD＝＝．【点评】本题考查弧长公式，扇形的面积公式等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．24．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，点G在弧BD上，连接AG，交CD于点K，过点G的直线交CD的延长线于点E，交AB的延长线于点F，且EG＝EK．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为13，CH＝12，＝，求FG的长．【分析】（1）连接OG，首先证明∠EGK＝∠EKG，再证明∠HAK+∠KGE＝90°，进而得到∠OGA+∠KGE＝90°即GO⊥EF，进而证明EF是⊙O的切线；（2）连接CO，解直角三角形即可得到结论．【解答】（1）证明：连接OG，∵弦CD⊥AB于点H，∴∠AHK＝90°，∴∠HKA+∠KAH＝90°，∵EG＝EK，∴∠EGK＝∠EKG，∵∠HKA＝∠GKE，∴∠HAK+∠KGE＝90°，∵AO＝GO，∴∠OAG＝∠OGA，∴∠OGA+∠KGE＝90°，∴GO⊥EF，∴EF是⊙O的切线；（2）解：连接CO，在Rt△OHC中，∵CO＝13，CH＝12，∴HO＝5，∴AH＝8，∵＝，∴OF＝15，∴FG＝＝＝2．【点评】此题主要考查了切线的判定，解直角三角形，关键是掌握切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．25．国家推行“节能减排，低碳经济”政策后，某环保节能设备生产企业的产品供不应求．若该企业的某种环保设备每月的产量保持在一定的范围，每套产品的生产成本不高于50万元，每套产品的售价不低于80万元，已知这种设备的月产量x（套）与每套的售价y（万元）之间满足关系式y＝150﹣2x，月产量x（套）与生产总成本y2（万元）存在如图所示的函数关系．（1）直接写出y2与x之间的函数关系式；（2）求月产量x的范围；（3）当月产量x（套）为多少时，这种设备的利润W（万元）最大？最大利润是多少？【分析】（1）设函数关系式为y2＝kx+b，把（30，1400）（40，1700）代入求解即可；（2）根据题中条件“每套产品的生产成本不高于50万元，每套产品的售价不低于80万元”列出不等式组求解月产量x的范围；（3）根据等量关系“设备的利润＝每台的售价×月产量﹣生产总成本”列出函数关系式求得最大值．【解答】解：（1）设函数关系式为y2＝kx+b，把坐标（30，1400）（40，1700）代入，，解得：，∴函数关系式y2＝30x+500；（2）依题意得：，解得：25≤x≤35；（3）∵W＝x•y1﹣y2＝x（150﹣2x）﹣（500+30x）＝﹣2x2+120x﹣500∴W＝﹣2（x﹣30）2+1300∵25＜30＜35，＝1300∴当x＝30时，W最大答：当月产量为30件时，利润最大，最大利润是1300万元．【点评】本题考查二次函数的应用、一次函数的应用，一元一次不等式组的应用，解答此类题目的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的顶点式求函数的最值，注意自变量的取值范围．26．如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，经过A、B、C三点的圆的圆心为M（1，﹣1），已知点B（3，0），设⊙M与y轴交于点D，抛物线的顶点为E．（1）求⊙M的半径及抛物线的解析式；（2）若点F在抛物线的第四象限上，求△FBC的面积的最大值；（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得△PAC是直角三角形，且两直角边的长度之比是1：3？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由题意得：点M在抛物线的对称轴上，则抛物线的对称轴为x＝1＝﹣，再把点B 的坐标代入抛物线表达，即可求解；＝×PF×OB，即可求解；（2）利用S△FBC（3）当点P在点O、P、P′的位置时，△PAC是直角三角形，且两直角边的长度之比是1：3．【解答】解：（1）由题意得：点M在抛物线的对称轴上，则抛物线的对称轴为x＝1，则：x＝﹣＝1，即：b＝﹣2a，把点B的坐标代入抛物线表达式得：a×9﹣2a×3﹣3＝0，则a＝1，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3，过点M作MN⊥y轴，交y轴于点N，则圆的半径＝MC＝＝＝；（2）点B、C的坐标分别为（3，0）、（0，﹣3），则直线BC的表达式为：y＝x﹣3，设：点F是抛物线在第四象限的点，过点F作y轴的平行线，交在BC与点P，设：点F的坐标为（x，x2﹣2x﹣3），则点P坐标为（x，x﹣3），S＝×PF×OB＝（x﹣3﹣x2+2x+3）×3＝﹣（x﹣）2+，△FBC∵a＝﹣，故S有最大值，△FBC故当x＝时，△FBC的面积的最大值；（3）当点P在点O、P、P′的位置时，△PAC是直角三角形，且两直角边的长度之比是1：3，即：∠P′AC＝∠ACP＝∠AOC＝90°，此时，点P的坐标分别为：（0，）或（9，0）或（0，0）．【点评】本题考查的是二次函数基本知识的综合运用，涉及到圆的基本知识，本题难点在于通过画图确定所求点的位置．。

2017-2018麓山国际初三年级入学考试数学试卷

3
27
tan
60
1 2017
0
1 2
2
20．（6 分）先化简，再求值： (2x y)2 (x y)(x y) 2y2 ，其中 x 1 , y 2 ． 2
21．（8 分）在大课间活动中，同学们积极参加体育锻炼，小明就本班同学“我最喜爱的体育项目”进行了一次调查统计，下面是他通过收集数据后，绘制的两幅不完整的统计图．请你根据图中提供的
（第 12 题图）
（第 15 题图）
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分）
13．因式分解： 4xy 9xy3 =
．
14．函数 y 1 中自变量 x 的取值范围是 x2
15．如图，已知直线 m ∥ n ，则∠α 的度数为
．．
16．如图，在平面直角坐标系中，已知 A（1，0），D（3，0），△ABC 与△DEF 位似，原点 O 是位
（3）若“直角型抛物线” y ax2 bx c(a 0) 中，ABC 的面积为 S ，已知 t b2 4 8a 2 ，且当 1 a 2 时 t 的最小值为 1，求 S 的值及抛物线的解析式。
2
26．（10 分）①如图 1，已知直线 l ： y 1 和抛物线 L ： y ax2 bx c(a 0) ，抛物线 L 的顶点为
3），（0，4）之间（包含端点），则下列结论：① abc 0 ；② 2a b 0 ；③ 4 a 1；④ a b am2 bm 3
（ m 为任意实数）；⑤一元二次方程 ax2 bx c n 有四个不相等的实数根，其中正确的有（）
A．2 个
B．3 个
C．4 个
D．5 个
（第 11 题图）
A．25°
B．32.5°

麓山国际2017_2018_1初三开学考试数学试题

麓山国际实验学校2017-2018-1初三年级开学考试数学试卷总分：120分时量：120分钟命题人：胡勋审题人：阳鸿鹤一、选择题（每小题3分，共36分）：1、在下列图形中，是中心对称图形的有 ( )A. 1个 B ．2个 C ． 3个 D ．4个2、将抛物线2(2)3y x =+- 就得到2y x =的图象（）A ．向右平移2个单位，再向上平移3个单位B ．向左平移2个单位，再向上平移3个单位C ．向左平移2个单位，再向下平移3个单位D ．向右平移2个单位，再向下平移3个单位 3、如图1，将五角星绕中心O 按下列角度旋转后，不能与其自身重合的是（） A ．72° B ．108°C ．144°D ．216°4、已知圆锥的高为4, 底面直径为6，则该圆锥的侧面积为（） A ．15π B ．12π C ．20π D ．30πO图1 图2 图3 图4 5、如图2，△ABC 的边AC 与⊙O 相交于C ，D 两点，且经过圆心O ，边AB 与⊙O 相切，切点为B ．如果∠C=26°，那么∠A 等于（） A ．26° B ．38°C ．48°D ．52°6、如图3，∠ACB ＝90°，∠B ＝46°，将ABC ∆绕点C 顺时针旋转得到''AB C ∆，若点B ′恰好落在线段AB 上，AC ，A ′B ′交于点O ，则∠COA ′的度数是（） A ．44°B ．46°C ．48°D ．50°7、如图4，AB 是⊙O 的直径，∠ADC=30°，OA=1，则BC 的长为（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．328、已知抛物线2y ax bx c =++（a >0）过A （2-，0）、O （4，0）、B （3-，1y ）、C （3，2y ）四点，则1y 与2y 的大小关系是（） A ．1y 2y = B ．1y ＜2yC ．1y ＞2yD ．不能确定9、圆内接四边形ABCD ，∠A ，∠B ，∠C 的度数之比为2∶5∶7，则∠D 的度数为（）A ． 60°B ．80°C ．100°D ．120°10、关于x 的二次函数22(3)9y a x bx a =-++-的图象过原点，则a 的值为（）A. 3-B. 3C. 3±D. 011、如图5，四边形ABCD 各边与⊙O 相切，AB=10，BC=7，CD=8，则AD 的长度为（）A 、8B 、9C 、10D 、1112、如图6，抛物线2y ax bx c =++与x 轴的两个交点分别为（﹣1，0），（3，0）．下列命题：①0abc > ②::1:2:3a b c =- ③ 240b ac -> ④80a c +>，其中正确的有（） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个图5：图6：图7：二、填空题（每小题3分，共18分）：13、如图7，正六边形的中心为原点O ，点D 坐标为（2， 0），则点B 坐标为 . 14、如图8，AB 是⊙O 的直径，C 、D 、E 是⊙O 上不同于A 、B 的任意三点，且点C 、D 处在AB 同一侧，点E 处在AB 另一侧，则∠C+∠D= .15、已知抛物线22(4)3y x m m x =+-+关于y 轴对称，则m = .16、如图9，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，将△ABC 绕点A 顺时针旋转90°得到△AB ′C ′，连接CC ′，若4AC =,1AB =,则''B C C ∆的面积为 .18、如图10，60ACB ∠=，半径为3cm 的⊙O 与BC 相切于点C ，若将⊙O 在CB 上向右滚动，则当滚动到⊙O 与CA 也相切时，圆心O 移动的水平距离是 cm ．图8 图9 图10 三、解答题（共66分）：19、（6分）如图，有一圆弧形拱桥，拱的跨度AB=8m ，拱高CD=2m ，求拱形所在圆的直径．E DCBA20、（8分）如图，△ABC 的顶点分别为A (2， 1)，B (4，4)，C (1，3)(1) 画出△ABC 关于原点O 对称的图形111A B C ∆，并写出点1A 的坐标(2)画出△ABC 绕点O 按逆时针旋转90°后的图形222A B C ∆，并写出点2C 的坐标.21、（8分）已知二次函数，当3x =时，y 有最小值4-，且其图象经过点（1-，12）， (1)求此二次函数的解析式；(2)该抛物线交x 轴于点A 、B （点A 在点B 的左侧），交y 轴于点C ，在抛物线对称轴上有一动点P ，求PA PC +的最小值，并求当PA PC +取最小值时点P 的坐标.22、（8分）如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，且CD ⊥AB 于点E ．（1）求证：∠BCO=∠D ；（2）若CD =AE=1，求劣弧BD 的长．23、（8分）已知二次函数2(1)2y x a x a =--+-，其中a 是常数．（1）求证：不论a 为何值，抛物线2(1)2y x a x a =--+-与x 轴一定有交点；（2）若抛物线2(1)2y x a x a =--+-如图所示，请直接写出不等式2(1)20x a x a --+-<的解集；（3）在（2）的条件下，若关于x 的方程2(1)2=k x a x a --+-恰有两个相等的实数根，求k 的值.xEODCBA24、（8分）如图，AB为⊙O的直径，点D是弧BC的中点，DE⊥AC交AC的延长线于点E，FB是⊙O的切线交AD的延长线于点F．(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)若BF＝1，⊙O的半径为1，求DF的长.25、（10分）某水产养殖户一次性收购了20000kg淡水鱼，计划养殖一段时间后再出售．已知每天放养的费用相同，放养10天的总成本为30.4万元；放养20天的总成本为30.8万元（总成本=放养总费用+收购成本）．（1）设每天的放养费用是a万元，收购成本为b万元，求a和b的值；（2）设这批淡水鱼放养t天后的质量为m（kg），销售单价为y元/kg．已知m与t的函数关系为；y与t的函数关系如图所示．请分别求出当0≤t≤50和50＜t≤100时，y与t的函数关系式；（3）在（2）的条件下，设将这批淡水鱼放养t天后一次性出售所得利润为W元，求当t为何值时，W最大？并求出W的最大值．（利润=销售总额﹣总成本）26、（10分）如图，在直角坐标系中，O为坐标原点，A点坐标为（-3,0），B点坐标为（12,0），以AB的中点P为圆心，AB为直径作⊙P与y轴的负半轴交于点C．抛物线经过A、B、C三点，其顶点为M．(1)求此抛物线的解析式；(2)设点D是抛物线与⊙P的第四个交点（除A、B、C三点以外），判断直线MD与⊙P的位置关系，并说明理由．(3) 点E是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、D、E、F这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的点F坐标；如果不存在，请说明理由.。

麓山18年春九下入学考试数学卷

x （2）若函数 y x 1 (a x b, b a) 的边界值是 2，且这个函数的最大值也是 2，求 b 的取值范围；（3）将函数 y x2 (1 x m, m 0) 的图象向下平移 m 个单位，得到的函数的边界值是 t ，当 m 在什么范围时，满足 3 t 1 ？
23、解：（1）设购进甲种花卉每盆 x 元，乙种花卉每盆 y 元，
，解得，
，
即购进甲种花卉每盆 16 元，乙种花卉每盆 8 元；…………………3 分
（2）由题意可得， w 6x 800 16x 1 8
化简，得 W=4x+100，
即 W 与 x 之间的函数关系式是：W=4x+100；
…………………5 分
故答案是：50，10．
……………………2 分
补充图如上图
……………………4 分
（2）三位教师用 A1、A2、A3 表示，另两位学员用 B、C 表示．
7
……………………7 分
则共有 20 种情况，所选两位学员恰好都是教师的有 6 种情况，则概率是： 6 3 ． ………………8 分 20 10
22、解：（1）根据题意及图知：∠ACT=31°，∠ABT=22°
∴ CT 5 1 5 ， ∴ BT BC CT 5 5 5 m ； ……………………4 分
33
63 2
（2） 20km / h 50 m / s ， 9
50 0.2 10 m ， 10 14 8 5
9
9
9 9 32
∴该车大灯的设计不能满足最小安全距离的要求． ……………………8 分
4
5
26、如图，直线 y 1 x 1 与 x 轴交于点 A ，与 y 轴交于点 B ，抛物线 y ax2 bx(a 0) 经过原点和点 C 2