解决含字母系数的一元二次方程问题的思路

探究如何解决含字母系数的一元二次方程问题

一元二次方程问题的基础，是方程概念、方程的四种常见解法，以及由公式法引申出来的根与系数的关系，代入法是解决一元二次方程问题的基本方法。

代入法的应用，主要反应在以下几个方面：概念问题，限制二次项系数不能为零，这是容易出现失误的地方；根的合理应用，代入方程，可以保证等式的成立；求根公式的运用，首先是根的判别式的作用，确定方程是否有实数根，然后，决定是否运用求根公式。当我们在无法判断判别式的情况下，求出了某些字母的值，就需要我们反过来代入判别式，以验证字母的值是否符合题意。运用根与系数的关系的关系，同样面临这样的情况，应当引起我们的关注。

有时，一元二次方程会和实际问题相互结合，需要我们验证字母值的合理性。我们应该明确：细心解题，是十分宝贵的学习素质。

以下，我们通过典型例题，体验解决这类问题的方式、方法。

例1．已知关于x 的方程03)12(22=-+++k x k x 有实数根，求k 的取值范围； 分析：直接运用判别式就可以。

例2、已知关于x 的一元二次方程（m ﹣1）x 2+x ﹣m 2﹣2m+3=0有一根是0，求m 的值及这个方程的另一个根．

分析：利用根的定义，代入原方程；注意，保证二次项系数不为零。

巩固与变式练习：

1、已知关于x 的一元二次方程x 2－2x ＋k －3＝0有两个不相等的实数根, 求k 的取值范围.

2、已知关于x 的方程220x kx +-=的一个解与方程

131x x +=-解相同．(1)求k 的值；(2)求

方程220x kx +-=的另一个解．

3．已知关于x 的一元二次方程mx 2-（3m-1）x+2m-1=0，其根的判别式的值为1，求m 的值及该方程的根。

4．k 取何值时，方程290x kx -+=有两个相等的实数根？并求方程的根．

5．已知关于x 的方程226350x x m m -+--=的一个根是－1，求m 的值与另一个根．

例 2.已知关于x 的方程02)2(2=++-k x k x (1)求证:无论k 取何值时,方程总有实数根?(2)若等腰ABC ∆的边3=a ,另两边c b ,恰好是这个方程的两个根,求ABC ∆的周长.

分析：判别式是证明第一问的关键；第二问，涉及等腰三角形问题，我们需要分类讨论，明确3为底边时，另外两条就是腰，相等，如果不是这样，那么a 就是一条腰，代入法派上了用途。

变式练习：

1、 关于x 的方程04)2(2=+

++k x k kx 有两个不相等的实数根. (1)求k 的取值范围。

(2)是否存在实数k ，使方程的两个实数根的倒数和等于0?若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由。

2、已知关于x 的方程2

(2)210x m x m +++-=.

（1）求证方程有两个不相等的实数根.

（2）当m 为何值时，方程的两根互为相反数？并求出此时方程的解．

3．已知关于x 的一元二次方程2260x x k --=（k 为常数）．

(1) 求证：方程有两个不相等的实数根；

(2) 设x l ，x 2为方程的两个实数根，且x l ＋2x 2＝14，试求出方程的两个实数根和k 的值 例4．已知关于x 的方程02)12(22=++++m x m x 有两个不等实根，试判断直线

x m y )32(-=74+-m 能否通过A （－2，4）

，并说明理由。 分析：循序渐进，是学习的规律，也是我们解综合题的规律。即使我们不能够一眼看透题 目的结论，也不要放弃，按照传统思路走下去，你会有新的发现，“山重水复疑无路，柳暗 花明又一村”，这种感受是很好的。

变式练习：

1．已知关于x 的两个一元二次方程：

方程①: 01)2()21(2=-+++x k x k

; 方程②: 032)12(2=--++k x k x . （1）若方程①有两个相等的实数根，求解方程②；

（2）若方程①和②中只有一个方程有实数根, 请说明此时哪个方程没有实数根, 并化 简24121(4)k k +-

+；（3）若方程①和②有一个公共根a , 求代数式a a k a a 53)24(22++-+的值．

“行到水穷处，坐看云起时”，不断地学习，不断地思考，不断地解决问题，我们一定会进步，对于我们来说，不断地进步，就是我们的成功。