第二章 态迭加原理与几率流密度PPT课件
(结构化学)1.2.4态叠加原理培训资料
1
分子结构确定
叠加原理可通过分子结构的确定来推断分子的化学和物理性质。
2
相互作用分析
叠加原理可用于相互作用的分析，例如共价键、氢键和范德华力。
3
反应机理解释
叠加原理可用于解释化学反应的机理以及分子间的相互作用。
叠加原理的实例应用
核酸结构研究
叠加原理被应用于DNA和RNA 结构的研究中，揭示了分子的 空间构型。
叠加原理定义
定义
在分子排布上，第一、第二、第四层三态分 子的排布会与第三层叠加。
原因
第一、第二、第四层三态分子的排布方式与 第三层三态分子相似，导致重合。
原理
叠加是指不同层内分子的对应位置处于重合 状态。
作用
叠加原理是一种基本分子内相互作用，它决 定了许多分子性质和化学反应的进行。
叠加原理的作用
(结构化学)1.2.4态叠加原 理培训资料
本资料旨在详细解释结构化学中的1.2.4态叠加原理，帮助您更好地理解和应 用元素是构成化学物质的基本单 位，由原子构成。
化学键
化学键是将两个或多个原子结 合起来以形成化合物的力。
分子
分子是由两个或更多的原子通 过化学键结合而形成的化合物。
癌症治疗
叠加原理在癌症治疗中被用于 合成不同的化学物质，以帮助 研究如何治愈癌症。
物质溶解
叠加原理也用于解释物质之间 的相互作用，例如糖立方的溶 解过程。
叠加原理的注意事项
1 分子形状要素
叠加原理的应用要素包 括分子的形状、大小、 电荷等特征。
2 结晶形成
叠加原理对于晶体的结 晶形成也有深刻影响， 在分子排布方面发挥了 重要作用。
3 叠加与重叠
叠加和重叠是两个不同 的概念，不应混淆使用。
2020年高中物理竞赛-量子力学-波函数：态叠加原理、薛定谔方程(共25张PPT)
§2.3 薛定谔方程
➢ 因为有波函数统计解释,因此概率流守恒定律自动 包含在薛定谔方程中
§2.3 薛定谔方程
§2.3 薛定谔方程
➢ 为什么
而与t无关?
§2.3 薛定谔方程
➢ 定态U=U(r), 不显含t
§2.3 薛定谔方程
=> 几率流密度变不变?
§2.3 薛定谔方程
➢ 本征值方程
§2.3 薛定谔方程
2020高中物理学 奥林匹克竞赛
量子力学 （基础版）
§2.2 态叠加原理
➢ 波叠加 经典 合成的波中有各种成分 相干性 量子 相干性 新特点
§2.2 态叠加原理
新特点 • 可能性和概率 • 干涉项的概率性 • 是粒子运动状态概率波自身的干涉,不是不同
粒子之间的干涉
§2.2 态叠加原理
➢ 波叠加原理的表述 a)如果
§2.3 薛定谔方程
➢ 量子力学
• 进入方பைடு நூலகம்式,体现微观世界的特点(量子化) • ->0,过渡到牛顿方程
§2.3 薛定谔方程
➢ 建立方程的启示 自由粒子
已知解=>方程式(不唯一)
§2.3 薛定谔方程
➢ 已知解=>方程式(不唯一)
§2.3 薛定谔方程
一般情况:
§2.3 薛定谔方程
➢ 说明: a)波动力学的基本假定,表征量子体系特征的量h
是可能态
则
也是一个可能态
b)在 中,体系出现
的几率是
➢ 讨论 a)
§2.2 态叠加原理
b)光子偏整态:Malus定律
§2.2 态叠加原理
➢ 讨论
但任何时候观测到的都是一整个光子,
而不是
个光子
态迭加原理.
规定：与经典力学量对应的量子力学基本算符为： ˆr r r
除了位置和动量以外，其他以坐标为自变量的函数 的一类力学量，其所对应的算符就是函数本身。 如势能 U (r ) 和作用力 f (r )。
ˆ U (r ) U (r )
ˆ f ( r ) f (r )
p p / r
当不计核的运动，氢原子的能量就是电子的能量：
p2 e2 E 2me 4 o r
代入上式得：
2 e2 E 2 2me r 4 o r
dE 基态能应满足： 0 dr
e 0 3 2 me r 4 o r 2 oh 10 ro 2 0.5310 m 由此得出基态氢原子半径： e me
（1） 经典波描述某物理量在空间分布的周期变化， 而几率波描述微观粒子位置的几率分布； （2） 经典波的波幅增大一倍，相应波动能量为原 来四倍，就变成另一状态了；而微观粒子将几率波 的波幅增大一倍并不影响粒子在空间各点出现的相 对几率，即将波函数乘上一个常数，所描述的粒子 的状态并不改变； （3） 对经典波，加一相因子 ，状态会改变，而对 几率波，一般讲，加一相因子 不会引起状态改变。
2 波函数模的平方| (r , t ) | 代表时刻 t ，在r 处
粒子出现的几率密度。
波函数的具体统计含义
时刻 t 粒子出现在 r 附近d 体积内的几率为： 2 | (r , t ) | d 即t时刻粒子的位置几率密度
波函数必须满足以下几个条件：
单值、连续、有限 并要求波函数归一化
2 ( p) dp 就表示此态中动量为 ( p, p dp)的几率。
2 ( p)
－－动量几率分布函数。
概率的干涉与态迭加原理（下）
概率的干涉与态迭加原理（下）概率的干涉与态迭加原理(下)概率幅的迭加原理(13)式表示Pr U (X)、Pr V (X|E)和Pr V (X|F)三个可以测量的概率之间的关系，但这一公式并不成立，为了从理论上导出这三个概率之间的关系，我们必须找到一个具有如下性质的量：第一，满足迭加原理；第二，从它能计算出概率的测量值。
幸运的是，这个量已经找到，它就是“概率幅”。
费曼曾说：“概率幅”这一概念乃是量子力学的核心。
实际上，“概率幅”这一概念之所以重要，正是由于它满足迭加原理。
对于双缝衍射实验，这个原理可表成：“单个电子通过某一通道落在屏幕上某处的概率幅，与另一通道是否打开无关。
”概率幅是一个复数，与跃迁概率Pr(B|A)对应的概率幅记作<B|A>，根据量子力学，两者的对应关系是：Pr(B|A) = |<B|A>|2。
即Pr(B|A)是<B|A>的“模方”（绝对值的平方）。
和概率一样，概率幅也遵循加法公式和乘法公式。
像Pr (X)这样的“无条件概率”实际上还是有一个先决条件：“e是落在屏幕上的一个电子”。
用S表示这一先决条件，则Pr(X)其实是Pr (X|S)的略写，其对应的概率幅是<X|S>。
在双缝衍射实验中，两条缝“同时打开”与“轮流打开”对于概率幅也是不同的条件。
下面，我们用<X|S>U和<X|S>V分别表示在两条缝同时打开和轮流打开的条件下，事件“e落在Ω上”的概率幅。
根据概率幅的运算规则，我们有：<X|S>U = <X|E>U·<E|S > + <X|F>U·< F|S > (14)概率幅的迭加原理在这里表成：<X|E>V = <X|E>U， <X|F>V = <X|F>U。
(15)上面两式给出<X|S>U = <X|E>V·<E|S > + <X|F>V·<F|S >。
周世勋量子力学课件第二章
单个粒子在该处出现 （微粒观点） 的概率大 粒子在某处出现的概率和该处波函数振幅的平方成正比
物质波的 强度大
假设衍射波波幅用 Ψ(r) 描述，与光学相 似，衍射花样的强度则用 |Ψ(r)|2 描述，但意义 与经典波不同。
|Ψ(r)|2 的意义是代表粒子出现在r点附近概率的 大小，确切地说，|Ψ(r)|2ΔxΔyΔz 表示 在r点处，体积元ΔxΔyΔz中找到粒子的概率。 据此，描写粒子的物质波是概率波，反映微观客 体运动的一种统计规律性，波函数Ψ(r)有时也称为概 率波幅（概率幅）。波函数在空间某点的强度（振幅 绝对值的平方）和在这点找到粒子的概率成比例，由 波函数还可以得到体系的各种性质。这就是首先由 Born 提出的波函数的统计解释。 量子力学的第一条基本假定（或公设）
…………
同时粒子N出现在( rN , rN drN )中的几率
？
思考题1 设粒子波函数为 ( x, y, z) ，求在(x, x+dx)范围中找到粒子的几率。
思考题2 N粒子系的波函数为(r1, r2 ,...rN , t ) ， 求在( r1 , r1 dr1 )中找到粒子1的几率(其他粒子 的位置不限)。
屏上出现的 电子说明电 子的粒子性。
7个电子在观察 屏上的图像 100个电子在 屏上的图像
单个电子的去向是概率性的，但随着电子数目的增多 显示出统计规律性。
结论：衍射实验所揭示的电子的波动性是： 许多电子在同一个实验中的统计结果，或者是一 个电子在许多次相同实验中的统计结果。 波函数正是为了描述粒子的这种行为而引进的，在 此基础上，Born 提出了波函数意义的统计解释。
(2) 粒子由波组成
电子是波包。把电子波看成是电子的某种实际 结构，是三维空间中连续分布的某种物质波包， 因此呈现出干涉和衍射等波动现象，并且认为 波包的大小即电子的大小，波包的群速度即电 子的运动速度。 什么是波包？波包是各种波数（波长）平面波 的迭加，强度只在空间有限区域中不为零。
量子力学第二章
ν , λ 一定
Ψ(x, t) = Ψ e 0
i − ( Et− px ⋅x) ℏ
推广 ：三维自由粒子波函数
二、波函数的物理意义 波函数的物理意义
Ψ(r , t ) = Ψ0e
i − ( Et− p⋅r ) ℏ
如何理解波函数和粒子之间的关系？ 如何理解波函数和粒子之间的关系？ 1 物质波就是粒子的实际结构？即三维空间连续分 物质波就是粒子的实际结构？ 布的物质波包，那就会扩散，粒子将会越来越胖。 布的物质波包，那就会扩散，粒子将会越来越胖。再 衍射时，电子就会被分开。夸大了波动性， 者，衍射时，电子就会被分开。夸大了波动性，抹煞 了粒子性。 了粒子性。 2 大量粒子空间形成的疏密波？电子衍射实验， 大量粒子空间形成的疏密波？电子衍射实验， 电子流很弱时，时间足够长，仍会出现干涉图样。 电子流很弱时，时间足够长，仍会出现干涉图样。单 个电子就具有波动性。 个电子就具有波动性。 3 波函数的统计解释（Born 1926）:波函数在空间 波函数的统计解释（ ） 波函数在空间 某点的强度（振幅绝对值的二次方） 某点的强度（振幅绝对值的二次方）和该点找到粒子 的几（ 率成比例。即物质波是几率波。 的几（概）率成比例。即物质波是几率波。
2 2 x 2
2 2
i ( p⋅r − Et ) ℏ
2 px = − 2Ψ ℏ
pz2 ∂ 2Ψ = − 2Ψ 2 ∂z ℏ
2
p ∂Ψ ∂Ψ ∂Ψ 2 + 2 + 2 = ∇ ψ = − 2Ψ 2 ℏ ∂x ∂y ∂z
由
p2 E= 2µ
(2.3-3)
得
i i p2 i − ℏ2 2 ∂Ψ Ψ =− = − EΨ = − ∇Ψ ℏ ℏ 2µ ℏ 2µ ∂t
2.2态迭加原理
来描写，按照态叠加原理，电子通过双缝后的状态ψ
可以表示成不同动量P的平面波的线性叠加
(r, t ) c ( p) p (r, t ) (1)
p
其中c(p)为动量P的电子出现的相对几率，由于P可以 连续变化，上式对P求和应以积分代替。
(r, t ) c( p, t ) p (r )dpx dp y dpz (2)
率是完全确定的，即
a1 | c1 |
2
a2 | c2 |
2
例如，某粒子处于 1 3 1 2 3 2 , 处于各态概率？
三、任何态都可看作是不同动量的平面波的叠加
ψ1 ψ2
ψ
在电子衍射实验中，电子通过双缝后，以各种不 同的动量运动。以确定动量 P 运动的状态用波函数
i ( pr Et ) 1 p (r , t ) e 2
也是体系的可能状态，其中c1，c2 …cn …为复数。当体 系处于态时，体系部分处于ψ1，ψ2 …ψn … 中。
二、态叠加与观测结果的不确定性。
量子力学中的这种态叠加，将导致在叠加态下观
测结果的不确定性，例如，某体系处于ψ1态，测量力 学量A所得结果是一确定值a1 ，当体系处于ψ2态，测 量力学量A所得结果是以确定值a2，则在 ψ=c1ψ1+ c2ψ2 该波函数已归一化 所描述的状态下，测量A所得结果，即可能是a1 ，也 可能是a2 ，但不会是另外的值，测得a1 或a2 的相对概
通过缝2的电子的波函数为用表示电子同时穿过缝1和缝2到达屏的状态那么根据态叠加原理可以写成从上面我们可以看出电子穿过双缝后在一点出现的概率密度一般并不等于电子穿过缝1和缝2的概率之和而是等于两者之和再加干涉项
§2.2 态叠加原理
量子力学第2章-周世勋
必须注意
（1）“微观粒子的运动状态用波函数描述，描写粒 子的波是几率波”，这是量子力学的一个基本假设 （基本原理）。
知道了描述微观粒子状态的波函数，就可知道粒 子在空间各点处出现的几率，以后的讨论进一步知道， 波函数给出体系的一切性质，因此说波函数描写体系 的量子状态（简称状态或态） （2）波函数一般用复函数表示。
这就要求在描述微观粒子的运动时，要有创新 的概念和思想来统一波和粒子这样两个在经典物理 中截然不同的物理图像。
德布罗意指出：微观粒子的运动状态可用一个复 函数 (r,t)来描述，函数 (r,t) — 称为波函数。
★ 描述自由粒子的波是具有确定能量和动量的平面波
i(PrEt)
P(r,t)Ae
de Broglie 波
p (r ) r ,td r cp ,tp p d p cp ,t
因此
C (P ,t) 1 (r,t)eiP ,rd3r
(2 )3/2
(r ,t) C (P )P (r ,t)d 3 P
即
(r,t)(21)3/2
C (P ,t)eiP rd3P
显然,二式互为Fourer变换式,所以
做替换：
E i t
即得Schrödinger方程
p i
i (tr ,t) 2 2 2 U (r ,t) (r ,t)
（6）
i (tr ,t) 2 2 2 U (r ,t) (r ,t)
一（、1微）观含粒有波子函运数动对方时程间应的具一阶有导的数特点(r,t)
t
（2）方程必为线性的
（3）质量为 的非相对性粒子(即低速运动的粒
子), 其总能为
EP2
U(r,t)
2
二、自由粒子的运动方程 P (r,t)(21 )3/2e i(P ,rE)t
结构化学1.2.4态叠加原理ppt课件
0li*jdx0l*jidx
0 i≠j 1 i=j
一维势相中的波函数构成正交归一的完
全集合。 转至77页
34
〔6〕可根据 ψn(x) 求得一系列力学量 a: 能量En
H ˆE ,En2h2,n1,2,3 8m l2
b: 粒x 垐 子x 在,x 箱 n 中(x 的) 位a 置n(x),x ?
x
假设认为电子具有不依赖于轨道运动的自旋运动具有固定的自旋角动量m和相应的自旋磁矩u描述电子运动的完全波函数除了包括空间坐标xyz外还包括自旋坐标对于一个具有n个电子的体系其完全波函数应为
(结构化学)1.2.4态叠加原理
假设 Â =a 那么物理量A对于 所描述的状态有确定 的值a 。
假设 Â a 那么物理量A对于 描述的状态没有确定 的值，只能求得它的平均值〈 a 〉。
( 0 ) 0 A c o s 0 B s i n 0 0 A 0
B 0
(l) 0 B sinkl 0 sinkl 0
I II III
24
sinkl 0
kn,(n0,1,2, )
l
n≠0，n也不能为负值。
Bsin n x
l
I II III
25
sinkl 0
kn,(n0,1,2, )
Bsin n x
l B 2
l
2 lsinnlx,E8 nm 2h l2 2,n1,2,3
28
3、解的讨论
〔1〕一维势箱中粒子的波函数，能级和 概率密度分布图
29
〔2〕能量量子化是微观体系的特征
E E n 1 E n (n 8 m 1 ) l2 2 h 2 8 n m 2 h l2 2 (2 n 8 m l1 2 )h 2
量子3(几率流密度,薛定谔方程求解)_922008472
i − Et h
.
空间部分（定态薛定谔方程） 空间部分（定态薛定谔方程）
s 1 h 2 ∇ ψ + U ( r )ψ = E ⇒ r − ψ ( r ) 2µ
2
r r h 2 − ∇ ψ + U ( r )ψ = Eψ ( r ). 2µ
定态薛定谔方程
2
定态波函数
• 定态薛定谔方程的解乘以时间因子得
2µ ψ + 2 [ E − U ( x )]ψ 1＝0 − − − (1) h 2µ " ψ 2 + 2 [ E − U ( x )]ψ 2＝0 − − − ( 2) h
• 共轭定理：若 ψ ( x ) 是定态行薛定谔程 共轭定理： 的解， 也是该方程的解(且能 的解，则ψ * ( x ) 也是该方程的解 且能 量相同)。 量相同 。 U ( x ) = U (− x ) • 反射定理：对 反射定理： (原点对称 ，那么若 ψ ( x ) 是该方程的解， 原点对称)， 是该方程的解， 原点对称 则 ψ ( −x ) 也是该方程的解(且能量 也是该方程的解 且能量相同)。 且能量
几率流密度的推导（单粒子） 几率流密度的推导（单粒子）
• 几率密度的时间演化： 几率密度的时间演化：
r r 2 r ∗ r w( r , t ) = Ψ ( r , t ) = Ψ ( r , t )Ψ ( r , t ),
∂w ∂Ψ ∗ ∂Ψ = Ψ + ∂t ∂t ∂t
∗
Ψ.
薛定谔方程
ih 2 ∗ 1 ∂Ψ ∗ =− ∇ Ψ − U Ψ∗ 2µ ih ∂t ih ∂ w ih ∗ ∗ 2 ∗ 2 ∗ ∇ ⋅ ( Ψ ∇Ψ − Ψ∇Ψ ). ( Ψ ∇ Ψ − Ψ∇ Ψ ) = = 2µ ∂ t 2µ r ih r ( Ψ∇Ψ∗ − Ψ∗∇Ψ ) J= ∂w +∇⋅J = 0 2µ
高二物理竞赛课件：量子力学之粒子流密度和粒子数守恒定律
几率流密度（J）含义=单位时 间垂直流过单位面积几率。
J公式=？ 先介绍几率的连续方程。
一、几率的连续方程与几率流密度
类比：已知电荷有连续方程：
j
0
其中，ρ电荷密度,
j
t
电流密度。
若从数学上能推出如下公式：
w
A
0
t
通过类比，就可定义为几率流密度J，
这个方程也就是几率的连续方程。
下面推导这个公式 ：
t
2m
定义：几率流密度 J= i ( )
2m
得几率的连续方程：
w
J
0
t
二、几率守恒定律
对几率的连续方程：
w
J
0
t
两边对一个封闭的体积V积分，并利用
高斯公式，得：
t
v
wdv
J
ds
表示：左=体积V内单位时间几率的增 加量=右=单位时间从体积外流向体积 内的几率量，这就是几率守恒定律。 有连续方程一定有守恒定律，两者是 等价的。
在非相对论情况下，实物粒子没有产生和甄灭，所以， 在随时间的演化过程中，粒子数目保持不便。对一个粒子来说， 在全空间中找到粒子的概
d
3r
0
dt
薛定谔方程为:
i ( r ,t ) [ 2 2 V ( r )] ( r ,t ) (1)
t
2m
对上述方程取复 共轭得
粒子流密度和粒子数守恒 定律
粒子流密度和粒子数守恒定律 （或几率流密度和几率守恒定律）
本节要引入几率流密度概念，有了 它就可以把几率与电流联系起来。
由薛定谔方程出发，讨论粒子在一 定空间区域内出现的几率将怎样随时间 变化。所以可以看作对薛定谔方程的讨 论。
量子力学导论Chap2-2
在抽象线性矢量空间中矢量无长度，矢量间无角度。
描述
这是关于量子态的原理的基本内容，
是“粒子有波动性”这一事实的数学表
§2.3 Schrö dinger方程
1、Schrö dinger 方程的引进 经典力学认为质点同时具有精确位置和精确动量， 两种描述质点运动的方程： 1）牛顿力学框架下描述质点的动力学方程为 F＝m a 2）分析力学框架下描述质点的运动方程是拉格朗日 方程（从能量角度出发的方程，动能和势能）
有一集合S，满足如下条件： 设 a 1 和 a 2 均属于S， 则 b 1 a 1 2 a 2 也属于 S， 即：如果集合 S 中两元素的线性叠加仍然属于 S， 则 S 为一个 线性矢量空间。
如果 1 和 2 都是一个微观系统可能存在的状态，则
= 1 1 +2 2 也是这一系统的一个可能的状态。
( r , 0 )e
d r
3
(r , t )
1 ( 2 )
3
d r ' d pe
3
3
i [ p ( r r ' ) / Et / ]
( r ' ,0 )
可见， 初始时刻的 (r，0) 完全决定了以后任何时刻 的(r，t)。
j
j dS
s
定义为几率流密度矢量
定域几率守恒或粒子数守恒
平方可积，则当 r , ～ r -(3/2+s)，s > 0。
于是
i
t
*
{2 r
2
( ) d S
几率流密度公式
几率流密度公式1. 几率流密度的定义。
- 在量子力学中，几率流密度是描述粒子在空间中几率流动的物理量。
- 对于一维情况，设波函数为ψ(x,t)，几率流密度j(x,t)的表达式为：j(x,t)=(ℏ)/(2mi)(ψ^*(∂ψ)/(∂ x)-ψ(∂ψ^*)/(∂ x))。
这里ℏ = h/2π（h为普朗克常量），m是粒子质量，ψ^*是ψ的复共轭。
2. 公式推导的基本原理。
- 从薛定谔方程出发：iℏ(∂ψ)/(∂ t)=-(ℏ^2)/(2m)(∂^2ψ)/(∂ x^2)+V(x)ψ，其复共轭方程为-iℏ(∂ψ^*)/(∂ t)=-(ℏ^2)/(2m)(∂^2ψ^*)/(∂ x^2)+V(x)ψ^*。
- 考虑几率密度ρ(x,t)=|ψ(x,t)|^2=ψ^*(x,t)ψ(x,t)，对ρ关于t求偏导：- (∂ρ)/(∂ t)=(∂(ψ^*ψ))/(∂ t)=ψ^*(∂ψ)/(∂ t)+ψ(∂ψ^*)/(∂ t)。
- 将薛定谔方程及其复共轭方程代入上式，经过一系列计算（将(∂ψ)/(∂ t)和(∂ψ^*)/(∂ t)用含有空间导数的式子替换并化简），就可以得到(∂ρ)/(∂ t)+(∂ j)/(∂ x)=0，这类似于经典的连续性方程，其中j就是几率流密度。
- 在三维空间中，波函数ψ(→r,t)，几率流密度→j(→r,t)的公式为：→j(→r,t)=(ℏ)/(2mi)(ψ^*∇ψ - ψ∇ψ^*)，这里∇是梯度算符。
- 它的推导过程与一维情况类似，只是在三维空间中要使用三维的薛定谔方程iℏ(∂ψ)/(∂ t)=-(ℏ^2)/(2m)∇^2ψ+V(→r)ψ及其复共轭方程，并且在计算几率密度ρ(→r,t)=|ψ(→r,t)|^2=ψ^*(→r,t)ψ(→r,t)对t的偏导数时，要用到矢量分析的一些知识。
量子力学教程(很多老师用过)(免费)
量子力学教案主讲周宙安《量子力学》课程主要教材及参考书1、教材：周世勋，《量子力学教程》，高教出版社，19792、主要参考书：[1] 钱伯初，《量子力学》，电子工业出版社，1993[2] 曾谨言，《量子力学》卷I，第三版，科学出版社，2000[3] 曾谨言，《量子力学导论》，科学出版社，2003[4] 钱伯初，《量子力学基本原理及计算方法》，甘肃人民出版社，1984[5] 咯兴林，《高等量子力学》，高教出版社，1999[6] L. I.希夫，《量子力学》，人民教育出版社[7] 钱伯初、曾谨言，《量子力学习题精选与剖析》，上、下册，第二版，科学出版社，1999[8] 曾谨言、钱伯初，《量子力学专题分析（上）》，高教出版社，1990[9] 曾谨言，《量子力学专题分析（下）》，高教出版社，1999[10] P.A.M.Dirac,The Principles of Quantum Mechanics (4th edition), Oxford University Press (Clarendon),Oxford,England,1958；（《量子力学原理》，科学出版社中译本，1979）[11]ndau and E.M.Lifshitz, Quantum Mechanics (Nonrelativistic Theory) (2nd edition),Addison-Wesley,Reading,Mass,1965；（《非相对论量子力学》，人民教育出版社中译本，1980）第一章绪论量子力学的研究对象：量子力学是研究微观粒子运动规律的一种基本理论。
它是上个世纪二十年代在总结大量实验事实和旧量子论的基础上建立起来的。
它不仅在进到物理学中占有及其重要的位置，而且还被广泛地应用到化学、电子学、计算机、天体物理等其他资料。
§1.1经典物理学的困难一、经典物理学是“最终理论”吗？十九世纪末期，物理学理论在当时看来已经发展到相当完善的阶段。
态密度 ppt课件
2020/12/2
7
• 4） 对于自旋极化的体系，与能带分析类似，也应该将 majority spin和minority spin分别画出，若费米能级与 majority的DOS相交而处于minority的DOS的能隙之中， 可以说明该体系的自旋极化。
•
5）考虑LDOS，如果相邻原子的LDOS在同一个能量
态密度
2020/12/2
1
• 态密度表示单位能量范围内所允许的电子数，也就是说电 子在某一能量范围的分布情况。因为原子轨道主要是以能 量的高低去划分的，所以态密度图能反应出电子在各个轨 道的分布情况，反映出原子与原子之间的相互作用情况， 并且还可以揭示化学键的信息。态密度有分波态密度 (PDOS)和总态密度(TDoS)两种形式。
2020/12/2
4
• 态密度可以作为能带结构的一个可视化结果。很多分析和 能带的分析结果可以一一对应，很多术语也和能带分析相 通。但是因为它更直观，因此在结果讨论中用得比能带分 析更广泛一些。简要总结分析要点如下：
• 1） 在整个能量区间之内分布较为平均、没有局域尖峰的 DOS，对应的是类sp带（此陈述有待考证—博主加），表 明电子的非局域化性质很强。相反，对于一般的过渡金属 而言，d轨道的DOS一般是一个很大的尖峰，说明d电子 相对比较局域，相应的能带也比较窄。
2020/12/2
5
• 2）从DOS图也可分析能隙特性：若费米能级处于DOS值 为零的区间中，说明该体系是半导体或绝缘体；若有分波 DOS跨过费米能级，则该体系是金属。此外，可以画出分 波（PDOS）和局域（LDOS）两种态密度，更加细致的 研究在各点处的分波成键情况。
2020/12/2
6
• 3）从DOS图中还可引入“赝能隙”（pseudogap）的概 念。也即在费米能级两侧分别有两个尖峰。而两个尖峰之 间的DOS并不为零。赝能隙直接反映了该体系成键的共价 性的强弱：越宽，说明共价性越强。如果分析的是局域态 密度（LDOS），那么赝能隙反映的则是相邻两个原子成 键的强弱：赝能隙越宽，说明两个原子成键越强。上述分 析的理论基础可从紧束缚理论出发得到解释：实际上，可 以认为赝能隙的宽度直接和Hamiltonian矩阵的非对角元 相关，彼此间成单调递增的函数关系。
第二章波动力学基础一、填空1.一维谐振子的能量本征值En与_____
第二章 波动力学基础一、填空1. 一维谐振子的能量本征值E n 与_____有关，能量是量子化的.最低的能量是____，称为_____.能级都是等间距的，间隔都是____.2. 定态的性质：粒子坐标的____和____不随时间变化；任何不显含时间变量的力学量的____和____不随时间变化.二、概念与名词解释1. 态叠加原理；2. 概率流守恒定律；3. 定态，束缚态；4. 奇宇称，偶宇称三、计算1. 由下列定态波函数计算几率流密度： (1) ik r 1e r 1=ψ, (2)ik r 2e r 1-=ψ.从所得结果说明ψ1表示向外传播的球面波，ψ2表示向内(即向原点)传播的球面波.2. 设()()为常数a Ae x 22x a 21-=ϕ(1) 求归一化常数 (2) .?p ?x x ==3. 设在t=0时，粒子的状态为 φ=A[sin 2kx+(coskx)/2]，求粒子动量和能量的平均值.4. 已知做直线运动的粒子处于状态ix11)x (-=ϕ(1) 将φ(x)归一化；(2) 求出粒子坐标取值概率为最大处的位置.5. 若粒子处于状态 ⎪⎩⎪⎨⎧>β-≤≤<=ϕ)a x ()x e x p (B )a x 0()kx sin(A )0x (0)x (其中k,β为已知常数。
求归一化常数，并给出在1≤x ≤a 区域内发现粒子的概率.6. 粒子处在势能()⎪⎩⎪⎨⎧+<<+≤≤+≤≤+><∞=b)a x a (,U b)2a x b a a x 0(,0b)2a x 0x (,x U 0当和当和当的场中运动，求在能量小于U 0的情况下，决定能量的关系式.7. 求一维谐振子处在第一激发态时几率最大的位置.8. 一维运动的粒子处于()⎩⎨⎧<>=ϕλ-0x 00x Axe x x 的状态. 求归一化系数A ，粒子的动量分布函数及动量平均值。
9. 若线谐振子处于第一激发态，)x a 21aex p(-)2a ((x )222131π=ϕ，求其坐标概率最大的位置，其中a>0.10. 设粒子的能量E>0，求粒子在势阱()⎩⎨⎧><= 0)(x 00)(x U x U 0壁x=0处的反射系数.11. 一维谐振子处在⎥⎦⎤⎢⎣⎡ω--π=ϕt 2i 2x a exp a (x)221/2状态， 求：势能的平均值；动量的概率分布函数；动量的平均值.12. 分子间的范德瓦耳斯力所产生的势能可以近似地表示为()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≤≤-<≤<∞=x b ,0bx a ,U a x 0,U 0x ,x U 10求束缚态的能级所满足的方程，其中U 0>0,U 1>0.13. 粒子在如下三维势场()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧><∞≤≤==⎩⎨⎧><∞≤≤==b/2)(x -b/2),(x b/2)y (-b/2 0U 0U a/2)(x -a/2),(x a/2)x (-a/2 0U z y,,x U y z x中运动, 求粒子的能量和对应的波函数.14. 设粒子处于一维势阱中⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤-<∞=a)(x 0a)x (0 U 0)(x U(x) 0，式中U 0>0.若粒子具有一个E=－U 0/4的本征态，试确定此势阱的宽度.15. 设粒子在势阱宽度为a 的一维无限深势阱中运动，如果粒子的状态由波函数a x cos a x sin 4(x )2πππ=ϕ描述，求粒子能量的可能值和相应的概率.16. 在势阱宽度为a 的一维无限深势阱中运动的粒子，如果粒子的状态由波函数φ(x)=Ax(a-x)描述，A 为归一化常数，求粒子的能量的概率分布和能量的平均值.17. 一个粒子处与中心势场⎩⎨⎧<≥=a)(r 0a)(r U )r (U 0中，设其径向波函数为R(r)=u(r)/r ，u(r)满足的方程为0)r (u r )1l (l ))r (U E (2)r (u dr d 2222=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--μ+ ，若l=0，求该粒子小于U 0的能量和相应的本征函数.18. 粒子在势场⎩⎨⎧≥<δ-=0)(xU 0)(x (x)a U )x (U 10中运动，试给出小于零的能量本征值和本征函数，其中U 1>0,U 0a>0.19. 粒子在如下势场中运动⎩⎨⎧>ω≤∞=0)(x /2x m 0)(x )x (U 22，求其能级. 20. 粒子在双δ势阱U(x)= -U 0d[δ(x+a)+ δ(x-a)]中运动，求其束缚能级满足的方程.21. 设两个方势垒的形状分别是⎩⎨⎧≤≤><<=⎩⎨⎧≤≤<=c)x (b U c)x b,x (a 0)x (U , a)x (0 U 0)(x 0)x (U 21，求粒子连续贯穿两个方势垒的贯穿系数.22. 求势场U(x)= -U 0/(e x/a +1)，入射粒子能量E>0时的反射系数.23. 能量为E=3U 0的粒子射向如下势场⎪⎩⎪⎨⎧≥<<≤=a)(x 2U a)x (0 U 0)(x 0U(x)0 0，求粒子的透射和反射系数.24. 能量为E>0的粒子通过如下势阱U(x)= -U 0δ(x)，求粒子的透射和反射系数，其中U 0>0.25. 氢原子处在基态0a /r 30e a 1-π=ψ, 求：(1) r 的平均值； (2) 势能-e 2/r 的平均值； (3) 最可几的半径；(4) 动能的平均值；(5) 动量的几率分布函数.26. 设氢原子处于状态()()()()()/2,Y r R 3/2,Y r R ,,r 11211021ϕθ-ϕθ=ϕθψ-，求氢原子能量、角动量平方及角动量z 分量的可能值, 这些可能值出现的几率和这些力学量的平均值.27. 粒子处于状态()⎥⎦⎤⎢⎣⎡ξ-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛πξ=ψ2202124x x p i exp 21x ，式中ξ为常量. 求粒子的动量平均值, 并计算测不准关系()()_______2_____2p x ∆∆28. 设粒子在一维势垒宽度为a 的无限高势垒中运动，求粒子作用在势垒壁上的平均力.29. 设氢原子处在基态，求：它在动量表象中的表示式；p x 和p x 2的平均值；x 和x 2的平均值.30. 设势场为U(r)= -a/r+A/r 2(a 、A>0)，求粒子的能量本征值.31. 设势场为U(r)= Br 2+A/r 2 (A 、B>0)，求粒子的能量本征值.32. 一个质量为m 的粒子被限制在半径为r=a 和r=b 的两个不可穿透的同心球面之间运动,不存在其他势场.求粒子的基态能量和基态波函数.33. 求一维薛定谔方程在势场V(x)= -Ze 2/x 下的能级和波函数，并与势场⎩⎨⎧≤∞>=0)(x 0)(x /x Ze -V(x)2的结果相比较. 四、证明1. 证明在定态中, 几率流密度与时间无关.2. 设粒子处于复位势V(r)=V 1(r)+iV 2(r)中，式中V 1(r)和V 2(r)皆为实函数，证明此时粒子的概率不守恒.3. 设粒子处于实位势V(r)中，证明在任意束缚态下其能量平均值为τ⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡φφ+φ∇⋅φ∇=τρ=d )r ()r )V (r (*)r ()r (*2m d E 2 式中ρ为能量密度.4. 证明属于不同本征能量的束缚态本征函数是正交的.5. 利用厄米多项式的递推关系H n+1(ξ)-2ξH n (ξ)+2n H n-1(ξ)=0，证明[][]22n n 2-n n 21n 1-n n /2(x) 2)1)(n (n (x)1)(2n (x) 1)-n(n (x)x /(x) 1)/2(n (x) n/2(x)x αφ+++φ++φ=φαφ++φ=φ++，式中φn (x)为线谐振子的第n 个本征波函数， /m ω=α.进而证明在任意本征态下，坐标的平均值为零，势能的平均值为相应本征能量的一半.6. 证明对于一维谐振子，无论处在哪个本征态，它的动能平均值恒等于势能平均值.7. 在一维势场中运动的粒子, 势能对原点对称:U(-x)=U(x), 证明粒子的定态波函数具有确定的宇称.8. 证明对于任意势垒，粒子的反射系数R 和透射系数D 之和等于1.9. 粒子在势能为⎪⎩⎪⎨⎧≥<<≤=)a x (U )a x 0(0)0x (U )x (U 21当当当的场中运动，证明对于能量E<U 1<U 2的状态，能量由21mU 2k arcsin mU 2k arcsinn ka --π=关系式决定，其中2/mE 2k = 10. 证明：从单粒子的薛定谔方程得出的粒子的速度场是非旋的.11. 证明在非相对论量子力学中，在辏力场V(r)中运动的粒子，其束缚态满足322r L 21dr )r (dV 2m )0(π-π=ϕ，式中φ(0)是原点波函数，L 2是角动量平方（选ћ=1为单位）.五、综合题1. 利用氢原子的能谱公式，写出：(1) 电子偶素(positronium)，即e +-e -形成的束缚态的能级；(2) 以μ-子代表核外电子所形成的μ原子的能级；(3) μ+和e -形成的束缚态(Muonium)的能级.2. 一个质量为m 的粒子在一个三维方势阱V(r)中运动.(1) 证明：对于一个半径R 一定的阱，只有阱深至少有一个极小值时，才可能有束缚态，并计算这一极小值.(2) 在一维情况下，类似问题的结果和三维的有何不同？(3) 上述(1)、(2)结果中的一般性质对任意形状的势阱是否仍然成立？例如在一维情况下，若⎩⎨⎧><≤≤<λ=）或b x a (x 0b)x (a 0f(x)U(x)，保持f(x)不变，讨论不同的λ值.3. 一电子在一无限大接地平面导体的上方运动，它被自己的像电荷吸收，但电子不能穿透导体表面.试写出电子作三维运动的哈密顿量和它满足的边界条件，并求出电子的能级和在基态时，电子和导体表面之间的平均距离.4. 质量为m 的非相对论粒子在一势场中运动，势场是U(x,y,z)=A(x 2+y 2+2λxy)+B(z 2+2μz)，其中A>0,B>0,|λ|<1，μ是任意的，求：(1) 能量的本征值；(2) 使势变成⎩⎨⎧μ<∞μ>=任意）、＋任意）、y x ,-(z y x ,-(zU U new ，求基态能量.5. 一个刚体具有惯性矩I z ，可以自由的在x-y 平面中运动.令θ为x 轴与转动轴之间的夹角，求：(1) 能量本征值和相应的本征函数；(2) 若在t=0时，转子由波包φ(0)=Asin 2θ描述，求t>0时的φ(t).6. 考虑一维波函数φ(x)=A(x/x 0)n e -x/x0，其中A 、n 、x 0是常数，(1) 利用薛定谔方程，求势场U(x)和能量E.（这时φ(x)可视为当x →∞时V(x)→0的薛定谔方程的本征函数）.(2) 比较你所给出的势场和轨道角动量为l 的氢原子态的有效径向势的异同.7. 通常在量子力学薛定谔方程中，若已知全部能谱和全部本征函数，可以反过来推出相互作用势，这称为反散射问题.若只知道部分能谱和波函数，有时也可给出关于势场的一些性质.证明：(1) 若势场满足d 2V/dr 2>或<0，则零点波函数满足|φ2s (0) |>或<|φ1s (0) |；(2) 记势场V(r)中粒子状态为l n r r l ,n φ=，则若，0r 1)l(l V dr d 222>⎥⎦⎤⎢⎣⎡++必有|φ0l (0) |≤|φ1l (0) |.8. 对于2P 和3D 能级，定义ε=E 2P －E 3D ，u=r φ2P ，v=r φ3D .势场满足V=λ2V(λr)，λ是小参量，证明：(1) 在(0,∞)区间中，u 2-v 2有且仅有一个零点；(2) 令W(x)=x[2V+x(dV/dx)]，则若满足W(0)=0，且d 2W/dx 2≥或≤0，相应的必有d ε/d λ≤或≥0.9. 粒子在势壁附近的行为，可从下面近似模型出发考虑. 一粒子在一维势场⎩⎨⎧<∞>δ=-d)(x-d)(x (x)U -U(x)0中运动，求： (1) 当势壁离粒子很远时，对束缚态能量的修正值.并据此说明“远离”的意义；(2) 至少存在一个束缚态时，U 0和d 应满足的条件.10. 一维薛定谔方程的本征值谱可依次排列成：E 1<E 2<…<E n <….(1) 若势场U 1(x)给的本征值为E 1n ，U 2(x)给的本征值为E 2n ，且U 1(x) ≤ U 2(x)，证明必有E 1n ≤E 2n .(2) 考虑势场,a)x ( /2ka a)x ( /2kx U(x )22⎪⎩⎪⎨⎧≥<=求这个势所能具有的最大的束缚态的数目N.11. 放射性同位素83Bi 212衰变成81Tl 208，同时放出能量为6.1MeV 的α粒子.(1) 为了计算寿命，首先讨论如下图有限高势垒，计算一个质量为M 的粒子从左边入射的透射系数T ，粒子的能量为E ，并设T<<1；(2) 利用上面的结果，选择敏感的势垒参数来近似α粒子势，对83Bi 212的寿命做一个粗略的数值估计.12. 一束单一能量E 的非相对论中子打到一个厚度为t 的平板平面上，在这平板中。
第二章 态迭加原理与几率流密度
是“波的叠加性”与“波函数完 全描述微观体系的统计状态”两 者的高度概括与综合。
量子力学的重要原理之一
举例：电子衍射实验
电子枪
U
到 单晶表面，出射后将以各 种不同的动量运动，出射 后的电子为自由电子，其 状态波函数为平面波。
P
d
i ( Pr Et )
薛定谔方程
Erwin Schrö dinger
一、薛定谔方程的物理条件：
该方程必须是波函数应满足的含有对时间微商的微分方程。
满足一些物理条件：
2 1）方程应是一个线性方程：在方程中只能包含 , 2 , 2 t t x 等项，而不能包含 2 , , 等项。当ψ1和ψ2为 x 方程的解时，ψ＝C1 ψ1+C2 ψ2也为方程的解；
(r ) C ( p, t ) P (r , t )dr
11
此显示出把平面波归一化为 函数的目的 ( x, t ) 与 C(Px , t ) 的Fourer变换关系： 一维情况下， i Px 1 ( x, t ) C ( P , t ) e dP 1/ 2 (2 ) i Px 1 C ( P, t ) ( x, t )e dx 1/ 2 (2 ) 如果仅考虑某一给定时刻粒子的两表象波函数的关 系，可取t =0 i P,r 1 3 (r ) C ( P ) e dP 3/ 2 (2 ) i 1 P,r 3 C ( P) (r )e d r 3/ 2 (2 )
r 为自变量的波函数，
(r , t )
C ( P, t )
以动量 P 为自变量的波函数，
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二、态叠加原理
经典波的干涉作用：机械波（振动位移） 电磁波（电磁场量） 某物理量的叠加
叠加性是一切类型的波动的共有特征
数学表示： 如有两相干波y1和y2，当其发生干涉时，干涉态（叠加态） 可表示为y1和y2的线性叠加：y=y1+y2 描述微观粒子运动状态的概率波也具有叠加性。
若空间存在概率波 1r,t 和 2 r,t ，则其在空
Prove:
C( p,t) (r ) (r ,t)dr P
|C( p,t) |2 dp C( p,t)C( p,t)dp
(r,t) p (r )dr (r ',t) p (r ')dr ' dp r r
(r
,
t
)
(r
',
t
)
p
(r
)
P
(r
')dp
drdr
'
11
C11 2 C2 2 2 C1C2 (1* 2 2*1)
说明出现干涉现象 相干项
一般情况下，当1r,t 和 2 r,t 是微观体系可能 存在的两个状态时，则它们的线性叠加 r,t 也
也是体系可能存在的状态 概率波的叠加原理（态叠加原理）
含义：当粒子处于态1和态2的线性叠加态时， 粒子既处在态 1，又处在态2
第二节 态叠加原理 (State Superposition Principle)
一、态的概念及态的描述
微观粒子具有波动性，会产生衍射图样。而干涉和衍 射的本质在于波的叠加性，因此，同光学中波的叠加 原理一样，量子力学中也存在波叠加原理。因为量子 力学中的波，即波函数决定体系的状态，称波函数为 状态波函数，所以量子力学的波叠加原理称为态叠加 原理。
电子通过单缝1出现在P点的几率密度为：W1 | C11 |2
电子通过单缝2出现在P点的几率密度为：W2 | C2 2 |2 双缝同时打开时，电子出现在P点的几率密度为：W | |2
r,t c11r,t c2 2 r,t
W
C1
1
C2
2
C11 C2 2
C121*1 C22 2* 2 C1C2 (1* 2 2*1)
2）方程应该具有粒子各种状态都能得到满足的普遍性质，方 程中各系数只能为普适恒量（如h等）和表示粒子一般属性 的量（如质量等），不能包含只表征某特殊状态的量（如 能量、动量等）；
3）波函数ψ的变量为r和t，方程是关于r 和t的偏微分方程， 规定此微分方程不高于二阶；
4）对于自由粒子，方程的解应是平面波；
)1/ 2
i Px
(x,t)e dx
如果仅考虑某一给定时刻粒子的两表象波函数的关
系，可取t =0
(r ) 1
C(P)e i P,r d 3P
(2 )3/2
C(P)
1
(2
)3/
2
(r
)e
i
P,r
d
3r
12
第三节 薛定谔方程(Schrodinger Equation)
微观粒子在时刻t的状态由波函数ψ(r,t)来描述。
（2）
与C(P,t) 一
一对应,是同一量子态的两种不同描述方式。 10
以坐标 r为自变量的波函数，
坐标空间（坐标表象）波函
以动动量量空间P（为动自量变表量象的）波波函函数数，
数
r,t 2 给 位出置tr时处刻的粒几子率处在
C P,t 2给为出Pt的几时率刻粒子动量
二者描写同一量子状态
若 r,t 归一化，则 C r,t也是归一化的
推广 思路：自由粒子得出方程
任意波函数满足的方程
n
是“波的叠加性”与“波函数完
全描述微观体系的统计状态”两 量子力学的重要原理之一
者的高度概括与综合。
举例：电子衍射实验
电子枪
U
G
Ni晶体
电子沿垂直方向射到
P
单晶表面，出射后将以各
种不同的动量运动，出射 后的电子为自由电子，其
状态波函数为平面波。
d
P (r,t)
1
(2 )3/ 2
i
e
( Pr Et )
(r,t) (r ',t) (r r ')drdr ' (r,t) (r,t)dr 1
此显示出把平面波归一化为 函数的目的
一维情况下， (x,t) 与 C(Px ,t) 的Fourer变换关系：
( x, t )
1
(2
)1/ 2
i Px
C(P,t)e dP
C ( P, t )
1
(2
间相遇时产生叠加，叠加态为
r,t c11r,t c2 2 r,t
c1、c2可为复常数或包含时间的变量
r,t 也是空间可能存在的概率波
粒子双缝衍射实验
D
1 2
P 11
S•
22 2
通过单缝1的粒子处于1态
2 2 B
通过单缝2的粒子处于2态
当双缝同时打开时，粒子处于1和2的叠加态
＝ c11＋ c22
态叠加原理的更一般表述：
当ψ1,ψ2, ψ3,……ψn是体系的可能态时，它们的线性叠 加ψ也是体系的一个可能状态。
或者
当体系处于ψ1,ψ2, ψ3,……ψn的叠加态ψ时，体系既可 能处于ψ1态，又可能处于ψ2, ψ3……ψn态中，且处于 各状态的概率是确定的。
数学形式为：
C11 C2 2 C3 3 Cn n Cn n
电子从晶体表面出射后，既可能处在 ψ P ( r ,t )态，也 可能处在 P ( r ,t )、 P ( r ,t ), 等状态，按态迭加原
理，在晶体表面反射后，电子的状态 可表示成 P
取各种可能值的平面波的线性叠加，即
9
(
r
,t
)
C(
P
)
P
(
r
,t
)
P
衍射图样正是这些平 面波叠加干涉的结果
考虑到电子的动量可以连续变化
(r , t)
C(P)
P
(r ,
t)d
3
P
1
(
)3/
2
i
C(P)e
d P (P,r Et) 3
1
i
C ( P, t )e
Pr d 3P
(2 )3/ 2
即
(r
,
t)
1
(2
)3/ 2
i
C ( P, t )e
Pr d 3P
（1）
显然而,二式C互(P,为t) Fo(u2r1e)r3变/2 换式(r,,所t)e以 i P,r d(r3r,t)
问题？
当t变化时，粒子运动状态将怎样随之变化，
并随时间变化其遵从怎样的规律？
Erwin Schrödinger
薛定谔方程
一、薛定谔方程的物理条件：
该方程必须是波函数应满足的含有对时间微商的微分方程。
满足一些物理条件：
1）方等程项应，是而一不个能线包性含方程2：, 在x方2程,中只等能项包。含当ψt1和, ψ2t22为, x 方程的解时，ψ＝C1 ψ1+C2 ψ2也为方程的解；