拉氏变换及反变换 (1)
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补充：拉普拉斯（拉氏）变换及其反变换
拉氏变换的定义 常用函数的拉氏变换 拉氏变换的定理 拉氏反变换
拉氏变换的定义
设函数f(t)满足： 1、f(t)实函数； 2、当t<0时，f(t)=0； 3、当t0时，f(t)的积分 f (t )e st dt 在s的某一域内收敛。 0 则函数f(t)的拉普拉氏变换存在，并定义为：
原函数平移 像函数乘以 e-s
终值定理
原函数f(t)的稳态性质 sF(s)在s=0邻域内的性质
初值定理
拉氏反变换方法
部分分式法的求取拉氏反变换
B(s) b0 s m b1s m1 .... bm1s bm F ( s) ,m n n n 1 A(s) a0 s a1s .... an1s bn
at at
sinwt coswt
s a 2 w 2
sa s a 2 w 2
w
e
指数函数的拉氏变换
三角函数的拉氏变换
（欧拉公式）
阶跃函数的拉氏变换
幂函数的拉氏变换
来自百度文库
单位速度函数的拉氏变换
斜坡函数
单位脉冲函数拉氏变换
洛必达法则
单位加速度函数拉氏变换
抛物线函数
2e t e 2t
t0
例2 求 解
的Laplace 反变换
1 1 F ( s) s 1 ( s 2) 2
1 1 1 f (t ) L [ ] L [ ] 2 s 1 ( s 2)
1
e te
t
2t
(t 0)
拉氏变换求解线性微分方程
将微分方程通过拉氏变换变为 s 的代数方程； 解代数方程，得到有关变量的拉氏变换表达式；
拉氏变换的主要运算定理
线性定理 微分定理 积分定理
位移定理
延时定理
卷积定理
初值定理 终值定理
线性定理
叠加定理
比例定理
多重微分
原函数的高阶导数 像函数中s的高次代数式
积分定理
多重积分
原函数的n重积分像函数中除以sn
位移定理
原函数乘以指数函数e-at像函数d在复数域中作位移a
延时定理
应用拉氏反变换，得到微分方程的时域解。
应用拉氏变换法求解微分方程时，由于初始 条件已自动地包含在微分方程的拉氏变换式中，
因此，不需要初始条件就可得到微分方程的全
解。
如果所有的初始条件为零，微分方程的拉
氏变换可以简单地用sn代替dn/dtn得到。
L-1[F(s)] = L-1[F1(s)]+L-1[F2(s)]+…+L-1[Fn(s)] = f1(t) + f2(t) + … + fn(t) F(s)= F1(s)+F2(s)+…+Fn(s)
条件： 分母多项式能分解成因式
F ( s) B( s) K ( s z1 )(s z2 )...(s zm ) A( s) ( s p1 )(s p2 )...(s pn )
多项式极点
p1 , p2 ,..., pn
多项式零点
z1 , z2 ,..., zm
由线性性质可得 如果 f (t ) 的拉普拉斯变换 F ( s ) 可分解为
F (s) F1 (s) Fn (s)
并假定 Fi ( s ) 的拉普拉斯变换容易求得，即
Fi ( s) L[ f i (t )]
1 sa 1 s a 2
e
at at
5
6 7
te
sin(wt) cos(wt)
w
s2 w 2 s s2 w 2
常见时间函数拉氏变换表 序号 f (t) F(s)
n! s n1
n! s a n1
8
9 10 11
tn(n=1,2,3….)
t e e
n at
(n=1,2,3….)
式中：s=σ+jω（σ，ω均为实数） F(s)称为函数f(t)的拉普拉氏变换或象函数; f(t)称为F(s)的原函数； L为拉氏变换的符号。
拉氏反变换的定义
其中L－1为拉氏反变换的符号。
序号 1 2 3 4
常见时间函数拉氏变换表 f(t) F(s)
单位脉冲函数:d(t) 单位阶跃函数:1(t) 单位速度函数：t 1 1/s 1/s2
则
L1[F (s)] L1[F1 (s)] L1[Fn (s)]
f1 (t ) f n (t )
s3 例1 求 F ( s ) 2 的Laplace 反变换 s 3s 2
s3 s3 解 F ( s) 2 s 3s 2 ( s 1)(s 2) 2 1 s 1 s 2 2 1 1 1 1 f (t ) L [ F ( s)] L [ ] L [ ] s 1 s2
拉氏变换的定义 常用函数的拉氏变换 拉氏变换的定理 拉氏反变换
拉氏变换的定义
设函数f(t)满足： 1、f(t)实函数； 2、当t<0时，f(t)=0； 3、当t0时，f(t)的积分 f (t )e st dt 在s的某一域内收敛。 0 则函数f(t)的拉普拉氏变换存在，并定义为：
原函数平移 像函数乘以 e-s
终值定理
原函数f(t)的稳态性质 sF(s)在s=0邻域内的性质
初值定理
拉氏反变换方法
部分分式法的求取拉氏反变换
B(s) b0 s m b1s m1 .... bm1s bm F ( s) ,m n n n 1 A(s) a0 s a1s .... an1s bn
at at
sinwt coswt
s a 2 w 2
sa s a 2 w 2
w
e
指数函数的拉氏变换
三角函数的拉氏变换
（欧拉公式）
阶跃函数的拉氏变换
幂函数的拉氏变换
来自百度文库
单位速度函数的拉氏变换
斜坡函数
单位脉冲函数拉氏变换
洛必达法则
单位加速度函数拉氏变换
抛物线函数
2e t e 2t
t0
例2 求 解
的Laplace 反变换
1 1 F ( s) s 1 ( s 2) 2
1 1 1 f (t ) L [ ] L [ ] 2 s 1 ( s 2)
1
e te
t
2t
(t 0)
拉氏变换求解线性微分方程
将微分方程通过拉氏变换变为 s 的代数方程； 解代数方程，得到有关变量的拉氏变换表达式；
拉氏变换的主要运算定理
线性定理 微分定理 积分定理
位移定理
延时定理
卷积定理
初值定理 终值定理
线性定理
叠加定理
比例定理
多重微分
原函数的高阶导数 像函数中s的高次代数式
积分定理
多重积分
原函数的n重积分像函数中除以sn
位移定理
原函数乘以指数函数e-at像函数d在复数域中作位移a
延时定理
应用拉氏反变换，得到微分方程的时域解。
应用拉氏变换法求解微分方程时，由于初始 条件已自动地包含在微分方程的拉氏变换式中，
因此，不需要初始条件就可得到微分方程的全
解。
如果所有的初始条件为零，微分方程的拉
氏变换可以简单地用sn代替dn/dtn得到。
L-1[F(s)] = L-1[F1(s)]+L-1[F2(s)]+…+L-1[Fn(s)] = f1(t) + f2(t) + … + fn(t) F(s)= F1(s)+F2(s)+…+Fn(s)
条件： 分母多项式能分解成因式
F ( s) B( s) K ( s z1 )(s z2 )...(s zm ) A( s) ( s p1 )(s p2 )...(s pn )
多项式极点
p1 , p2 ,..., pn
多项式零点
z1 , z2 ,..., zm
由线性性质可得 如果 f (t ) 的拉普拉斯变换 F ( s ) 可分解为
F (s) F1 (s) Fn (s)
并假定 Fi ( s ) 的拉普拉斯变换容易求得，即
Fi ( s) L[ f i (t )]
1 sa 1 s a 2
e
at at
5
6 7
te
sin(wt) cos(wt)
w
s2 w 2 s s2 w 2
常见时间函数拉氏变换表 序号 f (t) F(s)
n! s n1
n! s a n1
8
9 10 11
tn(n=1,2,3….)
t e e
n at
(n=1,2,3….)
式中：s=σ+jω（σ，ω均为实数） F(s)称为函数f(t)的拉普拉氏变换或象函数; f(t)称为F(s)的原函数； L为拉氏变换的符号。
拉氏反变换的定义
其中L－1为拉氏反变换的符号。
序号 1 2 3 4
常见时间函数拉氏变换表 f(t) F(s)
单位脉冲函数:d(t) 单位阶跃函数:1(t) 单位速度函数：t 1 1/s 1/s2
则
L1[F (s)] L1[F1 (s)] L1[Fn (s)]
f1 (t ) f n (t )
s3 例1 求 F ( s ) 2 的Laplace 反变换 s 3s 2
s3 s3 解 F ( s) 2 s 3s 2 ( s 1)(s 2) 2 1 s 1 s 2 2 1 1 1 1 f (t ) L [ F ( s)] L [ ] L [ ] s 1 s2