欧氏几何

欧氏几何的创立与其在理论上的影响

摘要：根据历史的脉搏,陈述了欧氏几何的产生历程，探讨了欧氏几何的创立对今后的研究所起的作用,以及在思想理论上所产生的影响,

关键字：欧几里得欧式几何影响

1、整理加工前人的成果

欧几里得(Euclid,约公元前330~275年),古希腊著名数学家,以其所著的《几何原本》闻名于世.欧几里得几何与思想方法影响了世界2000多年,研究他的数学思想方法,对数学教学与科研,对数学史的研究,对科学与文化史的研究都有其重要的意义.

在欧几里得时代以前,数学家与学者们就已经获得许多几何方面的成果,但大多数是零星的,有的对部分内容也作过一些整理加工,但不系统.面对前人留下的材料,以及一些证明方法,欧几里得认真进行了总结、提练、筛选,以及分析、综合、归纳、演绎,集前人工作之大成,同时增加自己的工作,系统整理加工成巨著《几何原本》.我国著名数学家秦元勋曾对《几何原本》有一段精彩的评述:“几何学要义(注即《几何原本》)这部权威著作的精华在什么地方呢?当然,其中的材料非常丰富和美丽,学过几何学的人都是知道的.但是丰富和美丽的材料不一定就会堆成一部好书.而且好的衣料要能做成一件好衣服,还要经过好裁缝师傅的巧手剪裁与精心缝合才行.欧几里得便是几何学史上的-好裁缝.,他的剪裁缝合便构成了几何学的体系问题.”就几何发明史上,欧几里得并不算杰出,但他把前人的许多知识用更简明、逻辑的语言加以阐述,并几乎无遗漏地收集整理,经创造性地加工熔为一炉,以至之后的2000年时间内,原则上没有对其原理增添什么新内容,更不用说去动摇它的权威了.因此我们毫不犹豫地说,欧几里得是古希腊了不起的数学大家。

2、几何原本内容

全书共13卷，除第5、7、8、9、10中讲述比例和算术理论外，其余各卷都是关于几何内容的.

第1卷：平行线、三角形、平行四边形的有关定理；

第2卷：毕达哥拉斯定理及其应用；

第3卷：关于圆的定理；

第4卷：圆的内接与外切多边形定理；

第6卷：相似理论；

第11、12、13卷：立体几何.

《几何原本》是一个数学知识的逻辑体系，结构是由定义、共设、公理、定理组成的演绎推论系统.开始给出了23个定义. 前6个定义是：

（1）点没有大小；

（2）线有长度没有宽度；

（3）线的界是点；

（4）直线上的点是同样放置的；

（5）面只有长度没有宽度；

（6）面的界是线.

其次是5个共设：

（1）从任一点到另一点可以引一直线；

（2）有限直线可以无限延长；

（3）以任意点为圆心，可用任意半径作圆；

（4）所有直角都相等；

（5）若两条直线与另一条直线相交，所成的同旁内角之和小于二直角，则此两直线必在这一侧相交.

然后是5个公理：

（1）等于同量的量相等；

（2）等量加等量其和相等；

（3）等量减等量其差相等；

（4）可重合的图形全等；

（5）全体大于部分.

3、后世对第五公设的证明及研究

欧几里得是公理化思想思想的第一人，建立了平面几何的理论,它的理论的建立在人类认识自然、改造自然的过程中起了非常巨大的作用,对人类的进步起到了不可估量的作用,并产生了十分巨大的影响;严密的理论体系、简洁的论述，至今还为人们所称道,今天中学生仍然要学习欧氏几何,以学习几何知识、训练逻辑思想、形成严密的逻辑思维习惯,其几何理论在人们日常生活中仍然有着广泛的应用。欧氏几何的理论体系十分优美,是公理化体系的典范,欧几里得的理论体系是从十个基本公理出发的,被称为欧几里得公理,九个公理直观而明显,而第五公设却“像”个定理而又“不像”公理:过平面上直线外一点能且只能作一条与已知直线平行的直线。由于欧几里得的第五公设在形式上和具体叙述上与其说是公理，可给人们的感觉更象是一条定理,因此,从欧几里得几何理论问世起,不乏有许多大数学家通过“证明”把第五公设化为欧氏几何一个定理的尝试虽归于失败,但对第五公设的研究为而后非欧几何的诞生铺设了路基,而且许多数学家对第五公设的大量研究,一直困扰人们2千多年的问题促使数学家对公理本质的认识逐渐深化，预见到建立不同结构几何的可能,因此,可以说欧氏几何的创立，对后人更深入的研究有着不可磨灭的作用。没有欧氏几何，就没有其后的非欧几何，希尔伯特公理体系等等。

4、对后世的影响

在证明几何命题时，每一个命题总是从前一个命题推导出来的，而前一个命题又是从再前一个命题推导出来的。我们不能这样无限地推导下去，应有一些命题作为起点。这些作为论证起点，具有自明性并被公认下来的命题称为公理，如我们所学的“两点确定一条直线”等即是。同样对于概念来讲也有些不加定义的原始概念，如点、线等。在一个数学理论系统中，我们尽可能少地先取原始概念和不加证明的若干公理，以此为出发点，利用纯逻辑推理的方法，把该系统建立成一个演绎系统，这样的方法就是公理化方法。欧几里得采用的正是这种方法。他先摆出公理、公设、定义，然后有条不紊地由简单到复杂地证明一系列命题。他以公理、公设、定义为要素，作为已知，先证明了第一个命题。然后又以此为基础，来证明第二个命题，如此下去，证明了大量的命题。其论证之精彩，逻辑之周密，结构之严谨，令人叹为观止。零散的数学理论被他成功地编织为一个从基本假定到最复杂结论的系统。因而在数学发展史上，欧几里得被认为是成功而系统地应用公理化方法的第一人，他的工作被公认为是最早用公理法建立起演绎的数学体系的典范。

但是，在人类认识的长河中，无论怎样高明的前辈和名家，都不可能把问题全部解决。同样的，欧氏几何也并不是完美的，他也有许多的缺陷，比如：几何逻辑结构还很不严谨；对一些定义叙述不够清晰、甚至含混不清；公设、公理还很不够，以至于很多定理的证明要靠几何直观等等。由于历史条件的限制，欧几里得在《几何原本》中提出几何学的“根据”