圆锥曲线经典题目(含答案)

圆锥曲线经典题型

一．选择题（共10小题）

1．直线y=x﹣1与双曲线x2﹣=1（b＞0）有两个不同的交点，则此双曲线离

心率的范围是（）

A．（1，）B．（，+∞） C．（1，+∞）D．（1，）∪（，+∞）2．已知M（x0，y0）是双曲线C：=1上的一点，F1，F2是C的左、右两个焦点，若＜0，则y0的取值范围是（）

A．B．C． D．

3．设F1，F2分别是双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使得，其中O为坐标原点，且，则该双曲线的离心率为（）

A．B． C．D．

4．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F作直线y=﹣x的垂线，垂足为A，交双曲线左支于B点，若=2，则该双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．

5．若双曲线=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=2相交，则此

双曲线的离心率的取值范围是（）

A．（2，+∞）B．（1，2） C．（1，）D．（，+∞）

6．已知双曲线C：的右焦点为F，以F为圆心和双曲线

的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M，且MF与双曲线的实轴垂直，则双曲线C的离心率为（）

A．B．C．D．2

7．设点P是双曲线=1（a＞0，b＞0）上的一点，F1、F2分别是双曲线的

左、右焦点，已知PF1⊥PF2，且|PF1|=2|PF2|，则双曲线的一条渐近线方程是（）A．B．C．y=2x D．y=4x

8．已知双曲线的渐近线与圆x2+（y﹣2）2=1相交，则该双曲线的离心

率的取值范围是（）

A．（，+∞） B．（1，）C．（2．+∞）D．（1，2）

9．如果双曲线经过点P（2，），且它的一条渐近线方程为y=x，那么该双曲线的方程是（）

A．x2﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1

10．已知F是双曲线C：x2﹣=1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是（1，3），则△APF的面积为（）

A．B．C．D．

二．填空题（共2小题）

11．过双曲线的左焦点F1作一条l交双曲线左支于P、Q两点，若|PQ|=8，F2是双曲线的右焦点，则△PF2Q的周长是．

12．设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使，O为坐标原点，且，则该双曲线的离心率为．

三．解答题（共4小题）

13．已知点F1、F2为双曲线C：x2﹣=1的左、右焦点，过F2作垂直于x轴的

直线，在x轴上方交双曲线C于点M，∠MF1F2=30°．

（1）求双曲线C的方程；

（2）过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为P1、P2，求•的值．

14．已知曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）和曲线C2：+=1有相同的焦

点，曲线C1的离心率是曲线C2的离心率的倍．

（Ⅰ）求曲线C1的方程；

（Ⅱ）设点A是曲线C1的右支上一点，F为右焦点，连AF交曲线C1的右支于点B，作BC垂直于定直线l：x=，垂足为C，求证：直线AC恒过x轴上一定点．

15．已知双曲线Γ：的离心率e=，双曲线Γ上任意一

点到其右焦点的最小距离为﹣1．

（Ⅰ）求双曲线Γ的方程；

（Ⅱ）过点P（1，1）是否存在直线l，使直线l与双曲线Γ交于R、T两点，且点P是线段RT的中点？若直线l存在，请求直线l的方程；若不存在，说明理由．16．已知双曲线C：的离心率e=，且b=．

（Ⅰ）求双曲线C的方程；

（Ⅱ）若P为双曲线C上一点，双曲线C的左右焦点分别为E、F，且•=0，求△PEF的面积．

一．选择题（共10小题）

1．直线y=x﹣1与双曲线x2﹣=1（b＞0）有两个不同的交点，则此双曲线离

心率的范围是（）

A．（1，）B．（，+∞） C．（1，+∞）D．（1，）∪（，+∞）【解答】解：∵直线y=x﹣1与双曲线x2﹣=1（b＞0）有两个不同的交点，∴1＞b＞0或b＞1．

∴e==＞1且e≠．

故选：D．

2．已知M（x0，y0）是双曲线C：=1上的一点，F1，F2是C的左、右两个焦点，若＜0，则y0的取值范围是（）

A．B．C． D．

【解答】解：由题意，=（﹣﹣x0，﹣y0）•（﹣x0，﹣y0）=x02﹣

3+y02=3y02﹣1＜0，

所以﹣＜y0＜．

故选：A．

3．设F1，F2分别是双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使得，其中O为坐标原点，且，则该双曲线的离心率为（）

A．B． C．D．

【解答】解：取PF2的中点A，则

∵，

∴⊥

∵O是F1F2的中点

∴OA∥PF1，

∴PF1⊥PF2，

∵|PF1|=3|PF2|，

∴2a=|PF1|﹣|PF2|=2|PF2|，

∵|PF1|2+|PF2|2=4c2，

∴10a2=4c2，

∴e=

故选C．

4．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F作直线y=﹣x的垂线，垂足为A，交双曲线左支于B点，若=2，则该双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．

【解答】解：设F（c，0），则直线AB的方程为y=（x﹣c）代入双曲线渐近线方程y=﹣x得A（，﹣），

由=2，可得B（﹣，﹣），

把B点坐标代入双曲线方程﹣=1，

即=1，整理可得c=a，

即离心率e==．

故选：C．

5．若双曲线=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=2相交，则此

双曲线的离心率的取值范围是（）

A．（2，+∞）B．（1，2） C．（1，）D．（，+∞）

【解答】解：∵双曲线渐近线为bx±ay=0，与圆（x﹣2）2+y2=2相交

∴圆心到渐近线的距离小于半径，即

∴b2＜a2，

∴c2=a2+b2＜2a2，

∴e=＜

∵e＞1

∴1＜e＜

故选C．

6．已知双曲线C：的右焦点为F，以F为圆心和双曲线

的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M，且MF与双曲线的实轴垂直，则双曲线C的离心率为（）

A．B．C．D．2

【解答】解：设F（c，0），渐近线方程为y=x，