因式分解常见变形技巧

因式分解的常见变形技巧

技巧一 符号变换

有些多项式有公因式或者可用公式，但是结构不太清晰的情况下，可考虑变换部分项的系数，先看下面的体验题。

体验题1 (m+n)(x-y)+(m-n)(y-x)

指点迷津 y-x= -(x-y)

体验过程

原式=(m+n)(x-y)-(m-n)(x-y)

=(x-y)(m+n-m+n)=2n(x-y) 小结 符号变化常用于可用公式或有公因式，但公因式或者用公式的条件不太清晰的情况下。

实践题1 分解因式：-a 2-2ab-b 2

实践详解 各项提出符号，可用平方和公式.

原式=-a 2-2ab-b 2=-( a 2+2ab+b 2)= -(a+b)2

技巧二 系数变换

有些多项式，看起来可以用公式法，但不变形的话，则结构不太清晰，这时可考虑进行系数变换。 体验题2

分解因式 4x 2-12xy+9y 2 体验过程

原式=(2x)2-2(2x)(3y)+(3y)2=(2x -3y)2 小结 系数变化常用于可用公式，但用公式的条件不太清晰的情况下。

实践题2 分解因式2

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xy y x ++ 实践详解 原式=(2x )2+2.2x ∙3y ∙+(3y )2=(2x +3y ) 技巧三 指数变换

有些多项式，各项的次数比较高，对其进行指数变换后，更易看出多项式的结构。

体验题3

分解因式x 4-y 4 指点迷津

把x 2看成(x 2)2,把y 4看成(y 2)2,然后用平方差公式。 体验过程

原式=(x 2)2-(y 2)2=(x 2+y 2)(x 2-y 2)=(x 2+y 2)(x+y)(x-y) 小结 指数变化常用于整式的最高次数是4次或者更高的情况下，指数变化后更易看出各项间的关

系。

实践题3 分解因式 a 4-2a 4b 4+b 4

指点迷津

把a 4看成(a 2)2，b 4=(b 2)2 实践详解 原式=(a 2-b 2)2=(a+b)2(a-b)2

技巧四展开变换

有些多项式已经分成几组了，但分成的几组无法继续进行因式分解，这时往往需要将这些局部的因式相乘的形式展开。然后再分组。

体验题4a(a+2)+b(b+2)+2ab

指点迷津表面上看无法分解因式，展开后试试：a2+2a+b2+2b+2ab。然后分组。

体验过程原式= a2+2a+b2+2b+2ab= a2+ b2+2a+2b+2ab= a2+ b2+2(a+b+ab)

小结展开变化常用于已经分组，但此分组无法分解因式，当于重新分组。

实践题4x(x-1)-y(y-1)

指点迷津表面上看无法分解因式，展开后试试：x2-x-y2+y。然后重新分组。

实践详解原式= x2-x-y2+y=(x2-y2)-(x-y)=(x+y)(x-y)-(x-y)=(x-y)(x+y-1)

技巧五拆项变换

有些多项式缺项，如最高次数是三次，无二次项或者无一次项，但有常数项。这类问题直接进行分解往往较为困难，往往对部分项拆项，往往拆次数处于中间的项。

体验题5 分解因式3a3-4a+1

指点迷津本题最高次是三次，缺二次项。三次项的系数为3，而一次项的系数为-4，提公因式后，没法结合常数项。所以我们将一次项拆开，拆成-3a-a试试。

体验过程原式= 3a3-3a-a+1=3a(a2-1)+1-a=3a(a+1)(a-1)-(a-1)

=(a-1)[3a(a+1)-1]=(a-1)(3a2+3a-1)

另外，也可以拆常数项，将1拆成4-3。

原式=3a3-4a+4-3=3(a3-1)-4(a-1)=3(a-1)(a2+a+1)-4(a-1)

=(a-1)(3a2+3a+3-4)=(a-1)( 3a2+3a-1)

小结拆项变化多用于缺项的情况，如整式3a3-4a+1，最高次是三，其它的项分别是一，零。缺二次项。通常拆项的目的是将各项的系数调整趋于一致。

实践题5分解因式 3a3+5a2-2

指点迷津三次项的系数为3，二次项的系数为5，提出公因式a2后。下一步没法进行了。所以我们将5a2拆成3a2 +2a2,化为 3a3+3a2+2a2-2.

实践详解原式=3a3+3a2+2a2-2=3a2(a+1)+2(a2-1)

=3a2(a+1)+2(a+1)(a-1)

=(a+1)(3a2+2a-2)

技巧六添项变换

有些多项式类似完全平方式，但直接无法分解因式。既然类似完全平方式，我们就添一项然后去一项

凑成完全平方式。然后在考虑用其它的方法。

体验题6分解因式x2+4x-12

指点迷津本题用常规的方法几乎无法入手。与完全平方式很象。因此考虑将其配成完全平方式再说。体验过程原式= x2+4x+4-4-12

=(x+2)2-16

=(x+2)2-42

=(x+2+4)(x+2-4)

=(x+6)(x-2)

小结添项法常用于含有平方项，一次项类似完全平方式的整式或者是缺项的整式，添项的基本目的是配成完全平方式。

实践题6分解因式x2-6x+8

实践详解原式=x2-6x+9-9+8

=(x-3)2-1

=(x-3)2-12

=(x-3+1)(x-3-1)

=(x-2)(x-4)

实践题7分解因式a4+4

实践详解原式=a4+4a2+4-4a2

=(a2+2)2-4a2

=(a2+2+2a)(a2+2-2a)

=(a2+2a+2)(a2-2a+2)

技巧七换元变换

有些多项式展开后较复杂，可考虑将部分项作为一个整体，用换元法，结构就变得清晰起来了。然后再考虑用公式法或者其它方法。

体验题7分解因式 (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1

指点迷津直接展开太麻烦，我们考虑两两结合。看能否把某些部分作为整体考虑。

体验过程(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1

=[(x+1)(x+4)][(x+2)(x+3)]+1

=(x2+5x+4)(x2+5x+6)+1*

令x2+5x=m.

上式变形为(m+4)(m+6)+1