实变函数期末复习

实变函数期末复习

选择题 1．设,..,],)(,[

21121=-+=n n

A n

n 则 （ ）

A.],[lim 10=∞

→n n A B.],(lim 10=∞

→n n A

C.],(lim 30=∞

→n n A D.),(lim 30=∞

→n n A

2.设N i i x i x A i ∈+

≤≤=},:{2

3，则=∞

= 1

i i A （ ）

A.（-1,1）

B.[0,1]

C.∅

D.{0}

3.集合E 的全体聚点所组成的集合称为E 的 （ ） A.开集 B.边界 C.导集 D.闭包

4.若}{n A 是一闭集列，则 ∞

=1

n n A 是 （ ）

A.开集

B.闭集

C.既非开集又非闭集

D.无法判断

5若)(x f 可测，则它必是 （ ）

A.连续函数

B.单调函数

C.简单函数

D.简单函数列的极限 6关于简单函数与可测函数下述结论不正确的是 （ ）

A.简单函数一定是可测函数

B.简单函数列的极限是可测函数

C.简单函数与可测函数是同一概念

D.简单函数列的极限与可测函数是同一概念 7设)(x f 是可测集E 上的非负可测函数，则)(x f （ ） A.必可积 B.必几乎处处有限 C.必积分确定 D.不一定积分确定 8设E 是可测集，则下列结论中正确的是 （ ） A.若)}({x f n 在E 上a.e 收敛于一个a.e 有限的可测函数)(x f ，则)(x f n 一致收敛于)(x f

B.若)}({x f n 在E 上基本上一致收敛于)(x f ，则)(x f n a.e 收敛于)(x f

C.若)}({x f n 在E 上a.e 收敛于一个a.e 有限的可测函数)(x f ，则)(x f n 基本上一致收敛于

)(x f

D.若)}({x f n 在E 上a.e 收敛于一个a.e 有限的可测函数)(x f ，则)(x f n ⇒)(x f 9设)(x f 是可测集E 上可积，则在E 上 （ ）

A.）（x f +与)(x f - 只有一个可积

B.）（x f +与)(x f -

皆可积 C.）（x f +

与)(x f -

一定不可积 D.）（x f +

与)(x f -

至少有一个可积 10.)(x f 在可测集E 上)(L 可积的必要条件是，)(x f 为 （ ） A 、连续函数 B 、几乎处处连续函数 C 、单调函数 D 、几乎处处有限的可测函数 11设)(x D 为狄立克雷函数，则⎰=

1

0)()(dx x D L

（ ）

A 、 0

B 、 1

C 、1/2

D 、不存在 12设}{n

E 是一列可测集， ⊃⊃⊃⊃n E E E 21，且+∞<1mE ，则有 （ ）

（A ）n

n n n mE

E m ∞

→∞==⎪⎭⎫

⎝⎛⋂lim 1 (B)

n

n n n mE E m ∞

→∞=≤⎪⎭⎫

⎝⎛⋃lim 1

（C ）n

n n n mE

E m ∞

→∞=<⎪⎭⎫

⎝⎛⋂lim 1; （D ）以上都不对

13设),0(n A n =, N n ∈, 则=

∞

→n n A lim

( )

A 、Φ

B 、[0, n]

C 、R

D 、(0, ∞) 14设)1

,0(n

A n =, N n ∈, 则=

∞

→n n A lim

( )

A 、(0, 1)

B 、(0,

n

1) C 、{0} D 、Φ、

填空题

1、设A 为一集合，B 是A 的所有子集构成的集合；若A =n, 则B =

2、设A 为一集合，B 是A 的所有子集构成的集合；若A 是一可数集, 则B =

3、若c A =, c B =, 则=⋃B A

4、若c A =, B 是一可数集, 则=⋃B A

5、若c A =, n B =, 则=⋃B A

6、若}{n A 是一集合列, 且c A n =, =⋃∞

=n n A 1

7、设}{i S 是一列递增的可测集合，则=∞

→)lim (n n S m _______。

8、[a , b ]上的连续函数及单调函数都是_______。

9)(*1

∞

=i i A m ∑∞

=≤1

*i i A m 称为测度的________

10、可测集n

R E ⊂上的连续函数都是_______。 11、可测函数列的极限是________。

12、设)(x f 在可测集E 上可积，则=∞=][f mE （ ） 三、判断题

1、任意集合都有子集 。 （ ）

2、 E 的孤立点必然属于E . （ ）

3、lim

{|n n A x →∞

=当n

充分大以后都有}.n x A ∈

. （ ）

4、 若+∞

→ a , e 于E （ ）

5、 若)(,r f E Q r >∈∀都可测，则f 在可测集E 上也可测. ( )

6、函数()f x 在E 上可测，当且仅当对于每一个实数a ,集合()E f a =可测. （ ）

7、若0=mE ，则E 一定是可数集（ ）

8、设M 是n R 中的紧集，则M 是n R 中的有界闭集. ( )

9、若)(x f 在可测集E 上可测，则)(+∞=f E 也可测。（ ） 10、若+∞

→ a , e 于E （ ）

11、设21,S S 都可测，则21S S -也可测，且2121)(mS mS S S m -=-。（ ） 12、若)(x f 在可测集E 上可测，则)(x f 在E 的任意可测子集上也可测（ ）。 13、无限集的外测度一定不为零。（ ）

14、若)(x f 在可测集E 上可测，则)(x f 在E 的任意子集上可测（ ） 15、若可测集A 是可测集B 的子集，且mA mB =，则0)(=-A B m （ ） 16、若)(,r f E Q r >∈∀都可测，则f 在可测集E 上也可测（ ） 17、若E 可测，A 可测，且0)(=-E A m ，则)(A E m mE =。（ ）

四、证明

1证明B A A B =- )(的充分必要条件是B A ⊂

2.设Ａ，Ｂ是二集合，B B A A ⊂⊂00,，若A ～0B 且B ～0A ，则Ａ～Ｂ

3.设f 是E 上的可测函数，证明：})(|{,a x f x E R a ==∈∀是可测集。