高中数学线性规划题型总结复习过程

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高考数学第二轮复习线性规划知识要点总结

高考数学第二轮复习线性规划知识要点总结2018年高考数学第二轮复习线性规划知识点总结简单线性规划问题是高考的热点之一，也是历年高考的必修内容。

它主要以填空题的形式考查X最优解的X值问题的解。

高考命题主要集中在以下几个方面的线性规划知识点：(1)常规的线性规划问题，即线性约束下求X值的问题；(2)结合函数、平面向量等知识的X值问题；(3)求解非线性约束下的X值问题；(4)考察线性规划在解决现实生活和生产实践中的应用。

第一个(2)(3)(4)点往往是命题的xx点。

【例1】让函数f()=？3?罪恶？因为。

其中角的顶点与坐标原点重合，开始边与X轴的非负半轴重合，结束边经过该点？P(x，y)？0呢？(1)如果点p的坐标是12，32，求f()的值；(2)如果点P(x，y)是平面区域：xyy1，y1。

在最后一个移动点上，尝试确定角度的取值范围，求函数f()的小值和大值。

分析第一个问题(1)，我们只需要用到三角函数的定义。

在问题(2)中，只要先画出平面面积，然后根据画出的平面面积确定角度的范围，再转化为求f()=a？罪恶？b？因为。

类型函数的x值。

解(1)可以从点p的坐标和三角函数的定义得到？罪恶？=32,因为。

=12。

所以f()=3？罪恶？因为。

=?332 12=2。

(2)做一个如图所示的平面区域(即三角形区域ABC)，其中a (1，0)，b (1，1)，C(0，1)？所以0？2,F()=又是3？罪恶？因为。

=2?罪恶？6,然后呢。

2?3,所以呢。

2，那是=？3，f()得到x的值，x的值等于2；什么时候？6，即当=0时，f()取x的小值，x的小值等于1。

评论本题X的亮点在于将线性规划中的基本内容平面区域有机合成，以解题的形式对三角函数进行求值，这在过去几年中是很少见的。

高中数学_线性规划知识复习

高中必修5线性规划最快的方法简单的线性规划问题一、知识梳理1. 目标函数: Ｐ＝２ｘ＋ｙ是一个含有两个变量ｘ和ｙ的函数，称为目标函数．2.可行域:约束条件所表示的平面区域称为可行域.3. 整点:坐标为整数的点叫做整点．4.线性规划问题:求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，通常称为线性规划问题．只含有两个变量的简单线性规划问题可用图解法来解决．5. 整数线性规划:要求量取整数的线性规划称为整数线性规划．二、疑难知识导析线性规划是一门研究如何使用最少的人力、物力和财力去最优地完成科学研究、工业设计、经济管理中实际问题的专门学科.主要在以下两类问题中得到应用：一是在人力、物力、财务等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务.1.对于不含边界的区域，要将边界画成虚线．2.确定二元一次不等式所表示的平面区域有多种方法，常用的一种方法是“选点法”：任选一个不在直线上的点，检验它的坐标是否满足所给的不等式，若适合，则该点所在的一侧即为不等式所表示的平面区域；否则，直线的另一侧为所求的平面区域．若直线不过原点，通常选择原点代入检验．3. 平移直线ｙ＝－kｘ＋Ｐ时，直线必须经过可行域．4.对于有实际背景的线性规划问题，可行域通常是位于第一象限内的一个凸多边形区域，此时变动直线的最佳位置一般通过这个凸多边形的顶点．5.简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，无论此类题目是以什么实际问题提出，其求解的格式与步骤是不变的：（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；（3）在可行域内求目标函数的最优解.积储知识：一． 1.点P(x0,y0)在直线Ax+By+C=0上，则点P坐标适合方程，即Ax0+By0+C=02. 点P(x0,y0)在直线Ax+By+C=0上方（左上或右上），则当B>0时，Ax0+By0+C>0;当B<0时，Ax0+By0+C<03. 点P(x0,y0)在直线Ax+By+C=0下方（左下或右下），当B>0时，Ax0+By0+C<0;当B<0时，Ax0+By0+C>0 注意：（1）在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点，把它的坐标(x,y)代入Ax+By+C,所得实数的符号都相同, （2）在直线Ax+By+C=0的两侧的两点，把它的坐标代入Ax+By+C,所得到实数的符号相反, 即：1.点P(x1,y1)和点Q(x2,y2)在直线 Ax+By+C=0的同侧，则有（Ax1+By1+C）(Ax2+By2+C)>02.点P(x1,y1)和点Q(x2,y2)在直线 Ax+By+C=0的两侧，则有（Ax1+By1+C）( Ax2+By2+C)<0二.二元一次不等式表示平面区域:①二元一次不等式Ax+By+C>0（或<0）在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域. 不．包括边界;②二元一次不等式Ax+By+C≥0（或≤0）在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域且包括边界;注意：作图时,不包括边界画成虚线;包括边界画成实线.三、判断二元一次不等式表示哪一侧平面区域的方法:方法一:取特殊点检验; “直线定界、特殊点定域原因:由于对在直线Ax+By+C=0的同一侧的所有点(x,y),把它的坐标(x,y)代入Ax+By+C,所得到的实数的符号都相同,所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x0,y0),从Ax0+By0+C的正负即可判断Ax+By+C>0表示直线哪一侧的平面区域.特殊地,当C≠0时，常把原点作为特殊点，当C=0时，可用（0，1）或（1，0）当特殊点，若点坐标代入适合不等式则此点所在的区域为需画的区域，否则是另一侧区域为需画区域。

高中数学解线性规划问题的方法与思路总结

高中数学解线性规划问题的方法与思路总结一、引言线性规划是高中数学中的重要内容，也是数学建模和实际问题求解中常用的方法之一。

本文将总结解线性规划问题的方法与思路，帮助高中学生和他们的父母更好地理解和应用线性规划。

二、线性规划问题的基本概念线性规划问题是在一组线性约束条件下，求解一个线性目标函数的最优值的问题。

其中，线性约束条件可以用一组线性不等式或等式表示，线性目标函数是一次函数。

三、线性规划问题的解题步骤1. 建立数学模型：根据实际问题，确定决策变量、目标函数和约束条件，并将其转化为数学表达式。

2. 确定可行域：根据约束条件，确定决策变量的取值范围，即可行域。

3. 确定最优解：通过图像、代数或单纯形表等方法，确定最优解的存在性和唯一性。

4. 求解最优解：利用图像、代数或单纯形表等方法，求解最优解，并进行验证。

5. 分析最优解：对最优解进行解释和分析，得出结论。

四、线性规划问题的解题技巧1. 图像法：将线性规划问题转化为几何问题，在平面直角坐标系中绘制可行域和目标函数的图像，通过观察图像找到最优解。

例如，解决如下问题：求函数 f(x, y) = 3x + 4y 在约束条件x ≥ 0, y ≥ 0, 2x + y ≤ 6 的可行域中的最大值。

通过绘制可行域和目标函数的图像，可以观察到最优解在可行域的顶点处取得。

2. 代数法：通过代数计算，利用不等式关系和线性目标函数的性质，求解最优解。

例如，解决如下问题：求函数 f(x, y) = 2x + 3y 在约束条件x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 4 的可行域中的最大值。

通过列出不等式组成的方程组，利用代数方法求解方程组，得到最优解。

3. 单纯形表法：适用于多个决策变量和多个约束条件的线性规划问题。

通过构建单纯形表，利用迭代计算的方法求解最优解。

例如，解决如下问题：求函数 f(x, y, z) = 5x + 4y + 3z 在约束条件x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0, x + y + z = 6 的可行域中的最大值。

高中数学必修5：简单的线性规划问题知识点及经典例题(含答案)

简单的线性规划问题【知识概述】线性规划是不等式应用的一个典型，也是数形结合思想所体现的一个重要侧面.近年的考试中，通常考查二元一次不等式组表示的平面区域的图形形状以及目标函数的最大值或最小值，或求函数的最优解等问题.通过这节课的学习，希望同学们能够掌握线性规划的方法，解决考试中出现的各种问题.解决线性规划的数学问题我们要注意一下几点1.所谓线性规划就是在线性约束条件下求线性目标函数的最值问题；2.解决线性规划问题需要经历两个基本的解题环节（1）作出平面区域；（直线定”界”，特“点”定侧）；（2）求目标函数的最值.（3）求目标函数z=ax+by最值的两种类型：①0b>时，截距最大（小），z的值最大（小）；②0b>时，截距最大（小），z的值最小（大）；【学前诊断】1.[难度] 易满足线性约束条件23,23,0,x yx yxy+≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩的目标函数z x y=+的最大值是（）A.1B.32C.2D.32.[难度] 易设变量,x y满足约束条件0,0,220,xx yx y≥⎧⎪-≥⎨⎪--≤⎩则32z x y=-的最大值为( )A.0B.2C.4D.63. [难度] 中设1m >，在约束条件1y x y mx x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩下，目标函数z x my =+的最大值小于2，则m 的取值范围为（）A．(1,1 B．(1)+∞ C ．(1,3) D ．(3,)+∞【经典例题】例1. 设变量,x y 满足约束条件1,0,20,y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩则2z x y =+的最大值为( )A.5B.4C.1D.8例2. 若变量,x y 满足约束条件1,0,20,y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩则2z x y =-的最大值为( )A.4B.3C.2D.1例3. 设,x y 满足约束条件2208400,0x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩，若目标函数(0,0)z abx y a b =+>>的最小值为8，则a b +的最小值为____________.例4. 在约束条件下0,0,,24,x y x y s x y ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩当35s ≤≤时，目标函数32z x y =+的最大值的变化范围是( )A.[]6,15B.[]7,15 C.[]6,8 D.[]7,8例5. 设不等式组1230x x y y x ≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，所表示平面区域是1,Ω平面区域2Ω与1Ω关于直线3490x y --=对称，对于1Ω中任意一点A 与2Ω中的任意一点B ，AB 的最小值等于（）A.285B.4C.125D.2例6．对于实数,x y ，若11,21,x y -≤-≤则21x y -+的最大值为_________.例7．在约束条件22240x y x y +++≤下，函数32z x y =+的最大值是___________.例8. 已知函数2()2(,)f x x ax b a b =++∈R ，且函数()y f x =在区间()0,1与()1,2内各有一个零点，则22(3)z a b =++的取值范围是（）.A.2⎫⎪⎪⎝⎭B.1,42⎛⎫ ⎪⎝⎭C.()1,2D.()1,4 例9. 奇函数()f x 在R 上是减函数，若,s t 满足不等式22(2)(2)f s s f t t -≤--，则当14s ≤≤时，t s的取值范围是（）. A.1,14⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ B.1,14⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C.1,12⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ D.1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦例10. 某加工厂用某原料由甲车间加工出A 产品，由乙车间加工出B 产品.车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克A 产品，每千克 A 产品获利40元.乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克B 产品，每千克B 产品获利50元.甲、乙两车间每天共能完成至多70多箱原料的加工，每天甲、乙车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天获利最大的生产计划为（A ）甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱（B ）甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱（C ）甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱（D ）甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱【本课总结】线性规划是不等式和直线与方程的综合应用，是数形结合的和谐载体，也是高考中的重要考点，近几年的高考题中考查的频率较高，一般以考查基本知识和方法为主，属于基础类题，难度一般不高.1. 解决线性规划问题有一定的程序性：第一步：确定由二元一次不等式表示的平面区域；第二步：令z=0画直线0:0l ax by +=；第三步：平移直线0l 寻找使直线a z y x b b=-+截距取最值（最大或最小）的位置（最优解）.第四步：将最优解坐标代入线性目标函数z ax by =+求出最值2. 解决线性规划问题要特别关注线性目标函数z ax by =+中b 的符号，若b ＞0，则使函数a z y x b b=-+的截距取最大（小）值的点，可使目标函数z ax by =+取最大（小）值，若b <0，则使函数a z y x b b=-+的截距取最大（小）值的点，可使目标函数z ax by =+取最小（大）值， b <0的情况是很多同学容易出现的盲点.3. 线性规划问题要重视数形结合思想的运用，善于将代数问题和几何问题相互转化，由线性规划问题引申的其它数形结合题目也要灵活掌握，如：将平面区域条件引申为：22240x y x y +++≤表示圆面等，将目标函数引申为：2224z x y x y =+++表示动点到定点的距离的最值问题；21y z x +=-表示动点与定点连线的斜率的最值问题等. 4. 线性规划问题首先作出可行域，若为封闭区域（即几条直线围成的区域）则一般在区域顶点处取得最大或最小值5. 线性规划中易错点提示（1）忽视平面区域是否包括边界.一般最优解都处于平面区域的边界顶点处，若平面区域不包含边界，则可能不存在最值.（2）忽视对线性目标函数z ax by =+中b 的符号的区分.（3）代数问题向其几何意义的转化困难.【活学活用】1. [难度] 中若不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+≥≤+≥-ay x y y x y x 0220表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是（） A.4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ B.(]0,1 C.41,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D.(]40,1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭2. [难度] 中设变量x y ，满足约束条件1133x y x y x y ⎧--⎪+⎨⎪-<⎩，，．≥≥则目标函数4z x y =+的最大值为（） A ．4B ．11C ．12D ．143. [难度] 中已知变量x 、y 满足约束条件 20,1,70,x y y x x x y -+≤⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩则的取值范围是（） A ．9,65⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．9,5⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦∪[)6,+∞ C ．(],3-∞∪[)6,+∞ D ．[3，6]。

线性规划常见题型及解法例析

品有直接限制因素的是资金和劳动力,通过调查,得
到这两种产品的有关数据如表２．
资金
成本
劳动力(工资)
单位利润
单位产品所需资金/百元
月资金供应
电子琴(架) 洗衣机(台)
量/百元
３０
２０
６
８
５
１０
３００
１１０
试问:怎样确定这两种产品的月供应量,才能使
故选:
B．
思路与方法:本题运用数形结合思想,采用了图
组作出可行域,如图３所示．
由
图３可知,△ABC 的面积即为
所求．
易得
S梯形OMBC ＝
１
×(
２＋３)×２＝５,
２
图３
１
S梯形OMAC ＝ × (
１＋３)×２＝４．
２
所以 S△ABC ＝S梯形OMBC －S梯形OMAC ＝５－４＝１．
思路与方法:本题中的可行域是三角形,而这个
不规则的三角形面积很难直接求解,于是将它看作梯
解法求最值,先在平面直角坐标系中画出可行域,然
形 OMBC 的一部分,利用梯形 OMBC 与梯形 OMAC
后平行移动直线 z＝３x＋４y 即可求出最大值．
ï
,
且当
b≥０
b为
íy≥０, 时,恒有ax＋by≤１,求以a,
ï
îx＋y≤１
坐标的点 P (
a,
b)所构成的平面区域的面积．
解析:设 z＝ax ＋by,根据题意可知,想要 ax ＋

高中数学线性规划知识总结+练习

（一）知识内容1.二元一次不等式表示的区域对于直线(A 〉0)当B >0时, 表示直线上方区域; 表示直线的下方区域。

当B <0时, 表示直线下方区域；表示直线的上方区域。

2.线性规划(1）不等式组是一组对变量x 、y 的约束条件，由于这组约束条件都是关于x 、y 的一次不等式,所以又可称其为线性约束条件。

z =Ax +By 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式,我们把它称为目标函数.由于z =Ax +By 又是关于x 、y 的一次解析式，所以又可叫做线性目标函数。

另外注意：线性约束条件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示。

(2)一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题,统称为线性规划问题.(3）那么，满足线性约束条件的解（x ,y ）叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。

在上述问题中,可行域就是阴影部分表示的三角形区域。

其中可行解（)和（）分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解。

线性目标函数的最值常在可行域的顶点处取得；而求最优整数解必须首先要看它们是否在可行（二）主要方法：用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：1。

首先,要根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）。

2.设z =0，画出直线l 0.3.观察、分析,平移直线l 0，从而找到最优解。

4。

最后求得目标函数的最大值及最小值.（三）典例分析：1。

二元一次不等式（组)表示的平面区域【例1】画出下列不等式（或组）表示的平面区域⑴⑵求不等式表示的平面区域的面积。

2.区域弧长、面积问题【例2】若不等式组所表示的平面区域被直线分为面积相等的两部分，则的值是( ）A ．B ．C ．D ．【例3】若，，且当时,恒有，则以,为坐标点所形成的平面区域的面积等于．例题精讲高考要求板块一：线性规划【例4】已知钝角的最长边为，其余两边的长为、，则集合所表示的平面图形面积等于（）A．B．C．D．【例5】如图，在平面直角坐标系中，是一个与轴的正半轴、轴的正半轴分别相切于点、的定圆所围成的区域（含边界），、、、是该圆的四等分点．若点、点满足且，则称优于．如果中的点满足:不存在中的其它点优于,那么所有这样的点组成的集合是劣弧（）A．B．C．D．【例6】已知是由不等式组所确定的平面区域，则圆在区域内的弧长为（ )A． B．C．D．3.线性规划【例7】设变量，满足约束条件：．则目标函数的最小值为（)A．6 B．7 C．8 D．23【变式】已知实数、满足，则的最大值是( ）A．B．C．D．【例8】已知点的坐标满足条件，点为坐标原点，那么的最小值等于______，最大值等于______．【例9】设变量,满足约束条件，则函数的最大值为（）A．B．C．D．【例10】若实数满足,则的最小值为．4。

高考数学线性规划题型总结计划

线性规划常有题型及解法一、已知线性拘束条件，探究线性目标关系最值问题2x y 2例 1、设变量 x 、 y 知足拘束条件x y 1，则 z 2 x 3y 的最大值为。

x y 1分析：如图 1，画出可行域，得在直线 2x-y=2 与直线 x-y=-1 的交点 A(3,4) 处，目标函数 z最大值为 18评论：此题主要考察线性规划问题 , 由线性拘束条件画出可行域 , 而后求出目标函数的最大值 . ，是一道较为简单的送分题。

数形联合是数学思想的重要手段之一。

x 2习题 1 、若 x 、 y 满足约束条件 y 2，则 z=x+2y的取值范围是（）x y2A 、 [2,6]B 、 [2,5]C 、 [3,6]D 、（ 3,5]yBy =2解：如图，作出可行域，作直线 l ： x+2y ＝ 0，将2Axl 向右上方平移，过点 A （ 2,0）时，有最小值 O2x + y =2x=22，过点 B （2,2 ）时，有最大值6，应选 A二、已知线性拘束条件，探究非线性目标关系最值问题x 1, 例 2、已知xy 1 0, 则 x 2y 2 的最小值是.2x y 2分析：如图 2，只需画出知足拘束条件的可行域，而x 2 y 2 表示可行域内一点到原点的距离的平方。

由图易知A （1，2）是知足条件的最优解。

x 2 y 2 的最小值是为 5。

评论：此题属非线性规划最优解问题。

求解重点是在发掘目标关系几何意义的前提下，作出可行域，追求最优解。

习题 2 、已知 x 、 y 满足以下约束条件图 22x y 2 0x 2 y4 0 ，则 z=x 2 +y 2 的最大值和最小值分别是（）3xy3A 、 13，1B 、13， 2yAC 、 13，4D 、 13，255 5Ox解：如图，作出可行域 ,x 2 +y 2 是点（ x ， y ）到原点x – 2y + 4 = 2x + y - 2= 00 的距离的平方，故最大值为点 A （2,3 ）到原点的3x – y – 3 =距离的平方，即 |AO| 2 =13 ，最小值为原点到直线 2x ＋ y － 2=0 的距离的平方，即为4，选 C 5练习 2、已知x，y 知足x 2 y50 ，则yx 1, y 0xx 2 y30的最大值为 ___________，最小值为 ____________．2，0三、设计线性规划，探究平面地区的面积问题例 3、在平面直角坐标系中，不等式组x y20x y20表示的平面地区的y0面积是（） (A) 4 2 (B)4 (C) 2 2 (D)2x y 2 0分析：如图６，作出可行域，易知不等式组x y 2 0表示y 0的平面地区是一个三角形。

高二数学线性规划问题解题步骤总结高中线性规划解题技巧

高二数学线性规划问题解题步骤总结高中线性规划解题技巧线性规划问题是最简单的优化问题，是高二数学学习的重点。

下面WTT给高二学生带的数学期望与随机变量知识要点，希望对你有帮助。

高二数学线性规划问题解题步骤高二数学线性规划问题教学反思线性规划是《运筹学》中的基本组成部分，是通过数形结合方法来解决日常生活实践中的最优化问题的一种数学模型，体现了数形结合的数学思想，具有很强的现实意义。

也是高中数学教材的新增知识点，在近两年高考中属于必考知识。

线性规划问题，高考主要以选择填空题的形式出现，常考两种类型：一类是求目标函数的最值问题(或取值范围)，另一类是考查可行域的作法。

下面我们结合教材和各地高考及模拟题举例说明。

第一大类：求目标函数的最值问题，解答此类题型时，关键是要正确理解目标函数的几何意义，再数形结合求出目标函数的最值，而目标函数的几何意义是由其解析式确定的，常见的目标函数有三类。

1、截距式(目标函数为二元一次型)，即，这也是最常见的类型，目标函数值的几何意义是与直线的纵截距有关。

2、距离式(目标函数为二元二次型)，目标函数值的几何意义与距离有关。

3、斜率式(目标函数为分式型)，目标函数值的几何意义与直线的斜率有关。

反思该节线性规划的教学，认为应注意如下几个问题1.线性规划应用题条，数据较多，梳理已知数据至关重要(以线定界，以点定面)2.学生作图时太慢，没有使用尺规作图，找最优解时不会通过斜率比较分析。

(用尺作图直观)3.借用线性规划思想解题能力不强，某些目标函数的几何意义理解不透。

(三组形式)4.高考中对线性规划的考查常以选择、填空题的形式出现，具有小巧、灵活的特点，因此，对常见题型要重点训练。

总之，对于线性规划问题，应坚持应用数形结合的思想方法解题，作出可行域和看出目标函数的几何意义是解题关键。

高二数学学习方法(1)记数学笔记，特别是对概念理解的不同侧面和数学规律，教师在课堂中拓展的课外知识。

记录下来本章你觉得最有价值的思想方法或例题，以及你还存在的未解决的问题，以便今后将其补上。

高三线性规划知识点

高三线性规划知识点线性规划是高中数学中的一个重要知识点，它在实际生活中有着广泛的应用。

本文将全面介绍高三线性规划的相关知识，包括定义、基本概念、解题步骤以及一些典型例题。

一、线性规划的定义线性规划是一种数学模型，用于求解一个线性函数在一组线性约束条件下的最优值。

在实际生活中，我们常常需要在一定的条件下寻找最优解，例如：生产成本最小、收益最大、资源利用最佳等等。

线性规划通过建立数学模型，帮助我们找到最优解。

二、线性规划的基本概念1. 目标函数：线性规划的目标通常是最大化或最小化一个线性函数。

这个函数被称为目标函数，记作Z。

2. 线性约束条件：线性规划的约束条件是一组线性不等式或等式，限制了变量的取值范围。

3. 变量：线性规划的变量是我们要求解的未知数，可以用任意字母表示。

4. 可行解：满足所有约束条件的解称为可行解。

可行解的集合称为可行域。

5. 最优解：在所有可行解中，使目标函数取到最大值或最小值的解称为最优解。

三、线性规划的解题步骤1. 建立数学模型：根据问题的描述，将目标函数和约束条件用代数式表示出来。

2. 确定可行域：将约束条件化为不等式形式，并将它们表示在坐标系中，找出它们的交集，确定可行域的范围。

3. 确定最优解：在可行域内寻找目标函数的极值点，得出最优解。

4. 检验最优解：将最优解代入原问题中，检验是否满足所有约束条件。

四、典型例题例题1：某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品每吨利润为1000元，乙产品每吨利润为1200元。

已知生产一吨甲产品需要材料A 30千克，材料B 10千克；生产一吨乙产品需要材料A 20千克，材料B 40千克。

工厂每天可以使用材料A 600千克，材料B 200千克。

问如何安排生产，使得利润最大化？解：首先，我们定义两个变量x和y，分别表示甲、乙产品的生产量（吨）。

目标函数Z表示利润的最大值，即Z=1000x+1200y。

约束条件如下：30x+20y ≤ 60010x+40y ≤ 200x，y ≥ 0我们可以将该问题转化为图形解法，将约束条件绘制在坐标系中，确定可行域的范围。

2021年高三数学总复习 18线性规划

2021年高三数学总复习 18线性规划一．知识点归纳1二元一次不等式表示平面区域:在平面直角坐标系中，已知直线Ax+By+C=0，坐标平面内的点P（x0，y0）B＞0时，①Ax+By0+C＞0，则点P（x0，y0）在直线的上方；②Ax0+By0+C＜0，则点P（x0，y0）在直线的下方2线性规划:求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题满足线性约束条件的解（x，y）叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域（类似函数的定义域）；使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做最优解生产实际中有许多问题都可以归结为线性规划问题线性规划问题一般用图解法，其步骤如下：（1）根据题意，设出变量x、y；（2）找出线性约束条件；（3）确定线性目标函数z=f（x，y）；（4）画出可行域（即各约束条件所示区域的公共区域）；（5）利用线性目标函数作平行直线系f（x，y）=t（t为参数）；（6）观察图形，找到直线f（x，y）=t在可行域上使t取得欲求最值的位置，以确定最优解，给出答案二．典型例题：1.求不等式｜x－1｜+｜y－1｜≤2表示的平面区域的面积分析：依据条件画出所表达的区域，再根据区域的特点求其面积解：｜x－1｜+｜y－1｜≤2可化为或或或其平面区域如图∴面积S=×4×4=8点评：画平面区域时作图要尽量准确，要注意边界2.设变量，满足约束条件则目标函数的最小值为（）（A）2 （B）3 （C）4 （D）53.若满足约束条件，则的最大值为 .【答案】3【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，是可行域内一点与原点连线的斜率，由图可知，点A（1,3）与原点连线的斜率最大，故的最大值为3.【考点定位】线性规划解法【名师点睛】对线性规划问题，先作出可行域，在作出目标函数，利用z的几何意义，结合可行域即可找出取最值的点，通过解方程组即可求出做最优解，代入目标函数，求出最值，要熟悉相关公式，确定目标函数的意义是解决最优化问题的关键，目标函数常有距离型、直线型和斜率型.4.设、满足，则的取值范围是（）A. B. C. D.5.已知实数x,y满足若取得最大值时的最优解（x,y）有无数个，则的值为______________. 【答案】6.某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料．已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（）A．12万元 B．16万元 C．17万元 D．18万元甲乙原料限额（吨）（吨）【答案】D【解析】设该企业每天生产甲、乙两种产品分别为、吨，则利润由题意可列321228x yx yxy+≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，其表示如图阴影部分区域：当直线过点时，取得最大值，所以，故选D．【考点定位】线性规划．【名师点晴】本题主要考查的是线性规划，属于容易题．线性规划类问题的解题关键是先正确画出不等式组所表示的平面区域，然后确定目标函数的几何意义，通过数形结合确定目标函数何时取得最值．解题时要看清楚是求“最大值”还是求“最小值”，否则很容易出现错误；画不等式组所表示的平面区域时要通过特殊点验证，防止出现错误．三．巩固提高1.设变量满足约束条件，则目标函数的最大值为( )（A）3 （B）4 （C）18 （D）40【答案】C【考点定位】线性规划.【名师点睛】本题主要考查线性规划与二元一次不等式的几何意义，将二元一次不等式（组）的几何意义与求线性目标函数的最值问题结合在一起，考查线性相关问题和数形结合的数学思想，同时考查学生的作图能力与运算能力.本题中不等式所表示的平面区域为不封闭区域，与平时教学中的练习题有出入，是易错问题.2.【xx高考山东，理6】已知满足约束条件，若的最大值为4，则（）（A）3 （B）2 （C）-2 （D）-3 【答案】B【解析】不等式组在直角坐标系中所表示的平面区域如下图中的阴影部分所示，若的最大值为4，则最优解可能为或，经检验，是最优解，此时；不是最优解.故选B. 【考点定位】简单的线性规划问题.【名师点睛】本题考查了简单的线性规划问题，通过确定参数的值，考查学生对线性规划的方法理解的深度以及应用的灵活性，意在考查学生利用线性规划的知识分析解决问题的能力.3.若实数、，满足，则的取值范围是4.已知满足，则关于的说法，正确的是（）A.有最小值1B.有最小值C.有最大值D.有最小值5.已知实数、满足20350x yx yxy-≤⎧⎪-+≥⎪⎨>⎪⎪>⎩，则的最小值为 .6.设为坐标原点，第一象限内的点的坐标满足约束条件，，若的最大值为40，则的最小值为（）（A）（B）（C）1 （D）4s300197543畃&353778A31許D242995E E B廫|z408199F73齳x225975845塅251926268扨。

高考数学线性规划常见题型及解法[1]

高考数学线性规划常见题型与解法线性规划问题是高考的重点，也是常考题型，属于中等偏简单题，易得分，高考中要求会从实际问题中建立一格二元线性规划的模型，使实际问题得到解决。

现就常见题型与解决方法总结如下：一、求线性目标函数的最值；例题：(2012年广东文5)已知变量,x y 满足条件1110x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最小值为 A.3 .1 C5 6解析:利用线性规划知识求解。

可行域如图阴影所示，先画出直线01:2l y x =-，平移直线0l ,当直线过点A 时，2z x y =+的值最小，得110,x x y =-⎧⎨--=⎩12,x y =-⎧⎨=-⎩min (1,2),12(2)5A z ∴--∴=-+⨯-=- 探究提高：本题主要考查线性规划求最值,同时考查学生的作图能力，数形结合思想与运算求解能力，难度适中。

二、求目标函数的取值范围；例题：(2012山东文6)设变量,x y 满足约束条件2224,41x y x y x y +≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩则目标函数3z x y =-的取值范围是解析：作出不等式组表示的区域，如图阴影部分所示，作直线30x y -=，并向上、向下平移，由图可得，当直线过点C 时，目标函数取得最大值，当直线过点A 是，目标函数取得最小值，由210,(2,0)240x y A x y ++=⎧⎨+-=⎩得;由4101,(,3)2402x y x y -+=⎧⎨+-=⎩得B 探究提高：本题设计有新意，作出可行域，寻求最优解条条件，取得目标函数的最大（小）值，进一步确定取值范围三、求约束条件中参数的取值；例题：(2012福建文10)若直线2x y =上存在点(,)x y 满足条件-30-2-30,x y x y x m +≥⎧⎪≤⎨⎪≥⎩则实数m 的最大值为（）解析：在同一直角坐标系中函数2x y =的图像与30230x y x y +-≤⎧⎨--≤⎩，所表示的平面区域图阴影部分所示。

高中数学知识点精讲精析简单线性规划

3.4.2 简单线性规划1. 相关定义：(1)线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题。

(2)可行解：满足线性约束条件的解叫做可行解。

(3)可行域：由所有可行解组成的集合叫做可行域。

(4)最优解：分别使目标函数取得最大值和最小值的可行解叫做最优解。

2. 线性规划问题的求解步骤：(1)先设出决策变量，找出约束条件和线性目标函数；(2)作出相应的图象（注意特殊点与边界）(3)利用图象，在线性约束条件下找出决策变量，使线性目标函数达到最大（小）值；在在求线性目标函数的最大（小）值时，直线往右（左）平移则值随之增大（小），这样就可以在可行域中确定最优解。

注：①对线性目标函数中的符号一定要注意：当时，当直线过可行域且在y 轴截距最大时，值最大，在y 轴截距最小时，值最小；当时，当直线过可行域且在y 轴截距最大时，值最小，在y 轴截距最小时，值最大。

②如果可行域是一个多边形，那么一般在其顶点处使目标函数取得最大或最小值，最优解一般就是多边形的某个顶点。

例1：设满足约束条件：，分别求下列目标函数的的最大值与最小值：(1)； (2)；(3)（是整数）；（4）；（5）示中的区域，且【解析】先作可行域，如下图所求得、、),(y x ny mx z +=0=+ny mx By Ax z +=B 0>B z z 0<B z z y x ,⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≤-1255334x y x y x y x z 106+=y x z -=2y x z -=2y x ,22y x +=ω1+=x y ωABC ∆)2,5(A)1,1(B )522,1(C(1)作出直线，再将直线平移，当的平行线过点B 时，可使达到最小值；当的平行线过点A 时，可使达到最大值。

故，(2)同上，作出直线，再将直线平移，当的平行线过点C 时，可使达到最小值；当的平行线过点A 时，可使达到最大值。

高中数学复习指导：可行域线性规划问题

可行域是三角形及其内部平面点集的线性规划问题可行域是三角形及其内部的平面点集的线性规划问题，有其特殊的规律，下面我们通过具体的例子来探索其中的规律并加以利用．例题：设 (为常数)，其中、满足ky x z +=k x y ⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥-≥+.74,232,1y x y x y x （1）当= -2时，求z 的最大值和最小值.k (2) 若,,求的取值范围.=max z k 731423+k z -=2min k 解: 可行域是下图中⊿ABC 及其内部的平面点集.（１）当= -2时，时,z 取k x z 2-=最大值,当直线经过可行域内点B 时, z 取最小值. )73,1423(∴2-2×(-1)=4, ==.=max z min z 7321423⨯-1411规律总结：当直线经过的可行域为⊿ABC 及其内部时，在by ax y x z +=),(),(y x z ⊿ABC 的顶点A 、B 、C 取最值.特别地,若在两个顶点的值相等,那么在这),(y x z 两个顶点确定的边上的每一个点的值都相等,并且是的最大值或最小值.我),(y x z 们用，分别表示直线过A 、B 、C 时z(x,y)的值.因此解答这A z ,B zC z by ax y x z +=),(类题型时可以不作直线,而直接计算,的值,取这三个值中的by ax y x z +=),(A z ,B z C z 最大值作为的最大值,取这三个值中的最小值作为的最小值.),(y x z ),(y x z 根据上面的规律,我们可以这样解答第(1)题:==1-2×0=1, =z ==,A z )0,1(z B z 73,1423(7321423⨯-1411==2-2×(-1)=4.C z )1,2(-z ∴z 的最大值是4,最小值是.1411(2)由已知可得：当直线经过点B 时，z 取最大值；当直线ky x z +=)73,1423(经过点C (2,-1)时，z 取最小值. 记=,=.B z k 731423+C z k -2①当=0时, z=x, 而,显然与已知矛盾.k 21≤≤x ② 当时, 即.0≠k ky x z +=k z x k y +-=1由直线在y 轴上的截距可知:.ky x z +=k z k z C B >(ⅰ) 当>0即<0时,由得: <,与已知矛盾.k 1-k k z k z C B >B z C z (ⅱ) 当<0即>0时,由得: >.k 1-k kz k z C B >B z C z 进一步结合图象可知: -1<0,即 1.≤k 1-k ≥综上所述, 所求的取值范围是[1,+．k )∞规律总结：根据第（１）题总结的规律，我们有下面更具体的结论：㈠　为最大值，为最小值，A zB z ⇔A z ≥C z ≥B z ㈡　为最大值，为最小值，B z A z ⇔B z ≥C z ≥A z ㈢　为最大值，为最小值，A z C z ⇔A z ≥B z ≥C z ㈣　为最大值，为最小值，C z A z ⇔C z ≥B z ≥A z ㈤　为最大值，为最小值，B zC z ⇔B z ≥A z ≥C z ㈥　为最大值，为最小值．C z B z ⇔C z ≥A z ≥B z如果我们利用上面的结论，就可以不必利用直线与已知中三条直线ky x z +=的位置关系，也不必分类讨论，作出可行域后，立即有下面简捷明快的解法：解：由已知　=,=，＝１,B z k 731423+C z k -2A z 又为最大值，为最小值，B zC z ∴，即： B z ≥A z ≥C z ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≥≥+.21,1731423k k 解这个不等式组得： 1.k ≥∴　所求的取值范围是[1,+．　k )∞。

高中数学解线性规划问题的步骤和技巧

高中数学解线性规划问题的步骤和技巧线性规划是高中数学中的一个重要内容，也是数学建模的基础。

它通过数学方法来解决实际问题，寻找最优解。

本文将介绍解线性规划问题的步骤和技巧，帮助高中学生和他们的父母更好地理解和应用线性规划。

一、了解线性规划问题的基本概念在解决线性规划问题之前，首先需要了解线性规划问题的基本概念。

线性规划问题是在一组线性约束条件下，求解一个线性目标函数的最大值或最小值。

其中，线性约束条件是指各个变量之间的关系是线性的，线性目标函数是指目标函数是线性的。

二、确定决策变量和目标函数解决线性规划问题的第一步是确定决策变量和目标函数。

决策变量是指需要决策的变量，目标函数是指需要优化的目标。

例如，假设有一个生产问题，需要确定生产不同产品的数量，那么生产不同产品的数量就是决策变量，而总利润就是目标函数。

三、列出线性约束条件在确定了决策变量和目标函数之后，需要列出线性约束条件。

线性约束条件可以是等式或不等式，用来限制决策变量的取值范围。

例如，假设生产不同产品的数量不能超过某个限制值，那么可以列出相应的不等式约束条件。

四、绘制可行域图为了更直观地理解线性规划问题，可以绘制可行域图。

可行域图是指将线性约束条件表示在坐标系中，形成的一个区域。

决策变量的取值必须在这个区域内，才满足线性约束条件。

通过绘制可行域图，可以更好地理解问题的约束条件和可行解的范围。

五、确定最优解在确定了可行域图之后，需要确定最优解。

最优解是指在满足线性约束条件的前提下，使目标函数取得最大值或最小值的决策变量取值。

通过观察可行域图和目标函数的变化趋势，可以推测最优解的位置。

六、检验最优解在确定了最优解之后，需要对最优解进行检验。

检验最优解的方法是将最优解代入目标函数和约束条件中，计算是否满足所有约束条件。

如果满足所有约束条件，则最优解是可行解；如果不满足所有约束条件，则需要重新调整决策变量的取值。

七、灵活运用线性规划的方法和技巧在解决线性规划问题时，可以灵活运用一些方法和技巧来简化计算过程。

人教版A版高中数学高二必修五 3.3线性规划知识梳理

线性规划知识梳理四川何成宝一、画平面区域的步骤：（1）画线——画出不等式所对应的方程所表示的直线（如原不等式中带等号，则画成实线，否则画成虚线）；（2）定侧——将某个区域位置明显的特殊点的坐标代入不等式，根据“同侧同号、异侧异号”的规律确定不等式所表示的平面区域在直线的哪一侧；（3）求“交”——如果平面区域是由不等式组决定的，则在确定了各个不等式所表示的区域后，再求这些区域的公共部分.这个公共部分就是不等式组所表示的平面区域.注：①直线1：y=kx+b 把平面上的点分成三类：在直线1上方的点；在直线1下方的点，其中y>kx+b 表示直线上方的半平面区域，y<kx+b 表示直线下方的半平面区域，而直线y=kx+b 是这两个平面区域的分界线。

②二元一次不等式Ax+By+C>0在直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧的所有点组成的平面区域，对于在直线Ax+By+C=0的同一侧的所有点（x ，y ），实数Ax+By+C 的符号都相同，故只需在此直线的某一侧任取一点)(00y x ，（常取（0，0），将它的坐标代入Ax+By+C ，由其值的符号可判定Ax+By+C>0表示直线的那一侧，事实上，这就是所谓的“同侧同号，异侧异号”的符号法则。

二、简单的线性规划问题的求解步骤：（1）作图——画出约束条件 (不等式或不等式组) 所确定的平面区域和目标函数所表示的平面直线系中的任意一条直线；（2）平移——将平行移动,以确定最优解所对应的点的位置；（3）求值—解有关方程组求出最优点的坐标，再代入目标函数，求出目标函数的最值. 注：（1）求线性目标函数的线性约束条件下的最值问题，便是线性规划问题。

（2）求线性目标函数在线性约束条件下的最值的一般步骤是：①列出线性约束条件及写出目标函数；②求出线性约束条件所表示的平面区域；③通过平面区域求出满足线性条件下的可行解；④用图形的直观性求最值；⑤检验由④求出的解是最优解或最优解的近似值或符合问题的实际意义。

高中数学解线性规划问题的应用题解析与实例分析

高中数学解线性规划问题的应用题解析与实例分析一、引言线性规划是数学中的一种重要方法，广泛应用于各个领域，如经济、管理、工程等。

在高中数学中，线性规划也是一个重要的考点，往往需要学生掌握解题的方法和技巧。

本文将通过具体的应用题例子，详细解析线性规划问题的解题过程和思路，帮助高中学生和他们的父母更好地理解和掌握这一知识点。

二、线性规划问题的基本概念线性规划问题是指在一定的约束条件下，求解线性目标函数的最大值或最小值的问题。

一般形式可以表示为：Max（或Min）Z = c₁x₁ + c₂x₂ + ... + cₙxₙ约束条件：a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ ≤ b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ ≤ b₂...aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ ≤ bₙx₁, x₂, ..., xₙ ≥ 0其中，c₁, c₂, ..., cₙ为目标函数的系数；a₁₁, a₁₂, ..., aₙₙ为约束条件的系数；b₁, b₂, ..., bₙ为约束条件的常数；x₁, x₂, ..., xₙ为决策变量。

三、线性规划问题的解题步骤1. 确定决策变量：根据题目中的要求，确定需要求解的决策变量，例如某种产品的生产数量、某种资源的分配比例等。

2. 建立目标函数：根据题目中的要求，建立目标函数，即需要最大化或最小化的函数。

目标函数的系数由题目中的条件确定。

3. 建立约束条件：根据题目中的要求，建立约束条件，即限制决策变量的取值范围。

约束条件的系数由题目中的条件确定。

4. 求解最优解：根据线性规划的特点，最优解一定在可行域的顶点上取得。

因此，通过解方程组或图像法找到可行域的顶点，并计算目标函数在每个顶点处的取值，最终确定最优解。

四、应用题解析与实例分析下面通过一个具体的应用题来进行解析和分析，以帮助读者更好地理解线性规划问题的解题过程。

例题：某工厂生产两种产品A和B，每单位产品A需耗费2小时的人工和3小时的机器时间，每单位产品B需耗费1小时的人工和4小时的机器时间。

高中简单线性规划基础题型总结

高中简单线性规划基础题型总结熊明军简单线性规划属于操作性知识，是高考必考知识点，历年不变，必有一选择或填空题。

下面结合例题，总结高中简单线性规划问题的基础题型，方便同学们快速掌握相关内容。

线性规划问题的基础题型，可根据目标函数的特点，将其分为三类：类型一（直线）：by ax z +=【理论】点到直线的距离。

【步骤】①作出可行域；②作出直线by ax +=0；③判断可行域顶点到直线by ax +=0的距离：()max max ,z y x P d ⇒⇒和()min min ,'z y x P d ⇒⇒【例题】已知y x ,满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-+≥+-0520402y x y x y x ，求y x z 2-=的最值。

【解析】分三步走：①作出可行域：②作出直线y x 20-=：③判断直线y x 20-=到可行域顶点C B A 、、间的距离：平移、目测或代点都能判断，得()()11231,3,max max =⨯-=⇒⇒=z B l B d d ；()()119279,7,min min -=⨯-=⇒⇒=z C l C d d 。

类型二（圆）：()()22b y a x z -+-= 【理论】两点之间的距离。

【步骤】①作出可行域；②作出圆()()222b y a x d -+-=；③判断可行域上的点到圆心()b a ,的距离（即半径r ）：()max max max ,z y x P d r ⇒⇒=和()min min min ,'z y x P d r ⇒⇒=【例题】已知y x ,满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-+≥+-0520402y x y x y x ，求()()2211-+-=y x z 的最值。

【解析】分三步走：①作出可行域：②作出圆()()22211-+-=y x d ：r d =且半径r 由小到大逐渐作圆。

③判断圆心()1,1到可行域上点间的距离，也就是与可行域有交点的圆中半径r 的大小：目测或用圆规作圆都能判断，得()()()()10019179,7,22max max max =-+-=⇒⇒==z C D C d d r ；()()211411,2222min min min min =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+==⇒==d z l D d d r AB . 类型三（斜率）：m n x a b y m a m n x m a b y a n mx b ay z --⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--= 【理论】两点确定的直线的斜率。

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高考线性规划归类解析
一、已知线性约束条件，探求线性目标关系最值问题
例1、设变量x 、y 满足约束条件⎪⎩
⎪⎨⎧≥+-≥-≤-1122y x y x y x ，则y x z 32+=的最大值为。

解析：如图1，画出可行域，得在直线2x-y=2与直线x-y=-1
的交点A(3,4)处，目标函数z 最大值为18
点评：本题主要考查线性规划问题,由线性约束条件画出可
行域,然后求出目标函数的最大值.，是一道较为简单的送分
题。

数形结合是数学思想的重要手段之一。

二、已知线性约束条件，探求非线性目标关系最值问题
例2、已知1,10,220x x y x y ≥⎧⎪-+≤⎨⎪--≤⎩
则22x y +的最小值是 .
解析：如图2，只要画出满足约束条件的可行域，而22x y +表示
可行域内一点到原点的距离的平方。

由图易知A （1，2）是满足条
件的最优解。

22x y +的最小值是为5。

点评：本题属非线性规划最优解问题。

求解关键是在挖掘目标关
系几何意义的前提下，作出可行域，寻求最优解。

三、约束条件设计参数形式，考查目标函数最值范围问题。

例3、在约束条件0
024x y y x s
y x ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩下，当35s ≤≤时，目标函数32z x y =+的最大值的变化范围是（）
A.[6,15]
B. [7,15]
C. [6,8]
D. [7,8]
解析：画出可行域如图3所示,当34s ≤<时, 目标函数
32z x y =+在(4,24)B s s --处取得最大值, 即
max 3(4)2(24)4[7,8)z s s s =-+-=+∈;当45s ≤≤时, 目标函数
32z x y
=+在点
(0,4)E 处取得最大值,即max 30248z =⨯+⨯=,故[7,8]z ∈,从而选D; 点评：本题设计有新意，作出可行域，寻求最优解条件，然后转化为目标函数Z 关于S 的函数关系是求解的关键。

四、已知平面区域，逆向考查约束条件。

例4、已知双曲线22
4x y -=的两条渐近线与直线3x =围成一个三角形
区域,表示该区域的不等式组是（） (A)0003x y x y x -≥⎧⎪+≥⎨⎪≤≤⎩ (B)0003x y x y x -≥⎧⎪+≤⎨⎪≤≤⎩ (C) 0003x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≤≤⎩ (D) 0003x y x y x -≤⎧⎪+≥⎨⎪≤≤⎩
解析：双曲线224x y -=的两条渐近线方程为y x =±，与直线3x =围
图2
图1
C
成一个三角形区域（如图4所示）时有00
03x y x y x -≥⎧⎪+≥⎨⎪≤≤⎩。

点评：本题考查双曲线的渐近线方程以及线性规划问题。

验证法或排除法是最效的方法。

五、已知最优解成立条件，探求目标函数参数范围问题。

例5已知变量x ，y 满足约束条件1422
x y x y ≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩。

若目标函数
z ax y =+（其中0a >）仅在点(3,1)处取得最大值，则a 的取值范围为。

解析：如图5作出可行域，由z ax y y ax z =+⇒=-+其表示为
斜率为a -，纵截距为ｚ的平行直线系, 要使目标函数z ax y
=+（其中0a >）仅在点(3,1)处取得最大值。

则直线y ax z =-+过
Ａ点且在直线4,3x y x +==（不含界线）之间。

即1 1.
a a -<-⇒>则a 的取值范围为(1,)+∞。

点评：本题通过作出可行域，在挖掘a z -与的几何意义的条件下，借助用数形结合利用各直线间的斜率变化关系，建立满足题设条件的a 的不等式组即可求解。

求解本题需要较强的基本功，同时对几何动态问题的能力要求较高。

六、设计线性规划，探求平面区域的面积问题
例６在平面直角坐标系中，不等式组20
200x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩
表示的平面
区域的面积是（）(A)42 (B)4 (C) 22 (D)2
解析：如图６，作出可行域，易知不等式组20
200x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩
表示
的平面区域是一个三角形。

容易求三角形的三个顶点坐标为Ａ（０，２），B(2,0),C(-2,0).于是三角形的面积为：11||||42 4.22
S BC AO =⋅=⨯⨯=从而选Ｂ。

点评：有关平面区域的面积问题，首先作出可行域，探求平面区域图形的性质；其次利用面积公式整体或部分求解是关键。

七、研究线性规划中的整点最优解问题
例7、某公司招收男职员x 名，女职员y 名，x 和y 须满足约束条件⎪⎩
⎪⎨⎧≤≥+-≥-.112,932,22115x y x y x 则1010z x y =+的最大值是(A)80
(B) 85 (C) 90 (D)95
解析：如图７，作出可行域，由101010z z x y y x =+⇒=-+
，它表示为斜率为1-，纵截距为
10z 的平行直线系,要使1010z x y =+最得最大值。

当直线1010z x y =+通过119(,)22
A z 取得最大值。

因为,x y N ∈，故Ａ点不是最优整数解。

于是考虑可行域内Ａ点附近整点Ｂ（５，４），Ｃ（４，４），经检验直线经过Ｂ点时，max 90.Z = 点评：在解决简单线性规划中的最优整数解时，可在去掉限制条件求得的最优解的基础上，调整优解法，通过分类讨论获得最优整数解。