北师版七年级数学上学期期末培优复习

第 1讲丰富的图形世界

多面体欧拉公式

欧拉公式完整形式：).

F

-

+

V=

(p

f

E

备注：)

(p

f为欧拉示性数，是一个拓扑不变量，与空间体p的性质有关，当p为简单多面体时， 2.

f

p

)

(=

简单多面体欧拉公式：.2

V

F

-

=

+E

E;

F; : :

V; :

也可记为：.

例1.（1）正四面体（2）正六面体

（3）正八面体

第 2讲 有理数

有理数的分类

凡是能够表示成形如

q

p

(0p ≠，p q 、均为整数，且p q 、互质)的数叫做有理数． 有理数的分类：有理数可作以下两种分类

⎧⎧⎪⎨⎩⎪⎪⎨⎪

⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数

正有理数正分数有理数零负整数负有理数负分数 ⎧⎪

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪

⎨⎪⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎪⎨

⎪⎧⎪

⎨⎪⎪

⎩⎪⎩⎩

正整数整数零负整数有理数正有限小数正分数正无限循环小数分数负有限小数负分数负无限循环小数 数轴

数轴：规定了原点，正方向和单位长度的直线叫数轴．

所有的实数都可以用数轴上的点来表示．也可以用数轴来比较两个实数的大小．

数轴上右边的数总比左边大．

数轴的三要素指的是______，_______，____________．

相反数、倒数

1.若两个数只有符号不同，则这两个数互为相反数．

相反数的特点：若0=+b a ，则a 与b 互为相反数；反之，若a 与b 互为相反数，则0=+b a 也成立．

2.倒数：若两个数乘积为1，则这两个数互为倒数．反之也成立．

3.负倒数：若两个数乘积为1-，则这两个数互为负倒数． 零没有倒数，也没有负倒数．

某个数的正负性决定了它的倒数的正负性．

绝对值及其几何意义

1.绝对值：在数轴上，表示一个数的点到原点的距离叫做这个数的绝对值，绝对

值用来表示．

绝对值是数学中的一个非常重要的概念．与绝对值有关的知识点主要有： (1)距离一定大于等于零．这也决定了绝对值具有非负性；

”“

(2)正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值等于它

本身；这也是如何化简含有绝对值的式子的基本知识，即

条件

a 的取值情况 a a = a a =- a a ≥ a a ≤

a a > a a <

例1.有理数c b a 、、在数轴上对应的点(如下图)，图中O 为原点，化简

a c

b b a b a --+++-．

变式：若，化简

得_________．

2.零点分段法

利用零点分段法去掉绝对值符号，所谓零点分段法，是指：若数

123

n x x x x ，，，分别使含有123

n x x x x x x x x ----，，的代数式中相应

绝对值为零，称123n x x x x ，，，为相应绝对值的零点，零点123

n

x x x x ，，，将数轴分为1n +段，利用绝对值的意义化去绝对值符号，得到代数式在各段上的

简化式，从而化为不含绝对值符号的一般不等式来解，即令每项等于零，得到的值作为讨论的分区点，然后再分区间讨论绝对值不等式，最后应求出解集的并集．零点分段法是解含绝对值符号的不等式的常用解法，这种方法主要体现了化归、分类讨论等数学思想方法，它可以把求解条理化、思路直观化．

0000a a a a a a >⎧⎪

==⎨⎪-<⎩ （） （）

　（）0

x x x ---32

例2、绝对值化简(零点分段法) (1)3-x

(2)|21|x -

(3)3223++-x x

(4)124x x -+-

(5)|1||3|x x -+-

(6)※121++--x x

3.几何意义

利用绝对值求最大值或者最小值．绝对值最小的数为0，因此一个绝对值的取值最小也是0，利用这一点，解题非常有用．在后继课程中，我们还有将绝对值与不等式、函数、方程等知识联系起来．

例3、(1)为有理数，则13++-m m 的最小值为_______．

（2)m 是有理数，则248m m m -+-+-的最小值为________．

(3)x 为有理数，则7521-+-+-++x x x x 的最小值为________．

例4、试求20212020321-+-++-+-+-x x x x x 的最小值．

m

例5、试求020********-+-++-+-+-x x x x x 的最小值．

4.一个重要的式子⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-=->==0,10

,1a a

a

a a

a

a a ．

例1.若

133=--m

m ，则m 的取值范围为（ ）

A 、

B 、

C 、

D 、

例2.已知c b a 、、是非零有理数，且0=++c b a ，求||||||||

a b c abc

a b c abc +++

的值___

例3.a b c 、、的大小如下图所示，则a b b c c a ab ac

a b b c c a ab ac

----+++----的值是（ ）

A 、1-

B 、1

C 、2

D 、0

例4.若有理数p n m 、、满足1||||||=++p p n n m m ，则=|

3|2mnp mnp

___________．

练习：

1.若m 是有理数，则m m -一定是一个________．

2.已知，化简的值为________．

0m 3m 0<+b a b a b a ----+31