概率论的起源、发展和应用

概率论与数理统计课程报告

概率论的起源、发展和应用

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摘要：本文介绍了概率论的起源、发展，和概率论在自动控制、科学管理和保险赔偿等方面的应用应用。

关键词：概率论，起源，发展，应用

1 引言

概率论是研究随机现象数量规律的数学分支。随机现象是相对于决定性现象而言的。在一定条件下必然发生某一结果的现象称为决定性现象。例如在标准大气压下，纯水加热到100℃时水必然会沸腾等。随机现象则是指在基本条件不变的情况下，一系列试验或观察会得到不同结果的现象。每一次试验或观察前，不能肯定会出现哪种结果，呈现出偶然性。例如，掷一硬币，可能出现正面或反面，在同一工艺条件下生产出的灯泡，其寿命长短参差不齐等等。随机现象的实现和对它的观察称为随机试验。随机试验的每一可能结果称为一个基本事件，一个或一组基本事件统称随机事件，或简称事件。事件的概率则是衡量该事件发生的可能性的量度。虽然在一次随机试验中某个事件的发生是带有偶然性的，但那些可在相同条件下大量重复的随机试验却往往呈现出明显的数量规律。例如，连续多次掷一均匀的硬币，出现正面的频率随着投掷次数的增加逐渐趋向于1／2。又如，多次测量一物体的长度，其测量结果的平均值随着测量次数的增加，逐渐稳定于一常数，并且诸测量值大都落在此常数的附近，其分布状况呈现中间多，两头少及某程度的对称性。大数定律及中心极限定理就是描述和论证这些规律的。在实际生活中，人们往往还需要研究某一特定随机现象的演变情况随机过程。例如，微小粒子在液体中受周围分子的随机碰撞而形成不规则的运动（即布朗运动），这就是随机过程。随机过程的统计特性、计算与随机过程有关的某些事件的概率，特别是研究与随机过程样本轨道(即过程的一次实现)有关的问题，是现代概率论的主要课题。

2 概率论的起源

概率论的起源与赌博问题有关。16世纪，意大利的学者吉罗拉莫·卡尔达诺开始研究掷骰子等赌博中的一些简单问题。17世纪中叶，当时的法国宫廷贵族里盛行着掷骰子游戏，游戏规则是玩家连续掷 4 次骰子，如果其中没有 6 点出现，玩家赢，如果出现一次 6 点，则庄家（相当于现在的赌场）赢。按照这

一游戏规则，从长期来看，庄家扮演赢家的角色，而玩家大部分时间是输家，因为庄家总是要靠此为生的，因此当时人们也就接受了这种现象。

后来为了使游戏更刺激，游戏规则发生了些许变化，玩家这回用 2 个骰子连续掷 24 次，不同时出现2个6点，玩家赢，否则庄家赢。当时人们普遍认为，2 次出现 6 点的概率是一次出现 6 点的概率的 1 / 6 ，因此 6 倍于前一种规则的次数，也既是 24 次赢或输的概率与以前是相等的。然而事实却刚好相反，从长期来看，这回庄家处于输家的状态，于是他们去请教当时的数学家帕斯卡，求助其对这种现象作出解释,这个问题的解决直接推动了概率论的产生。

3 概率论的发展

随着18、19世纪科学的发展，人们注意到在某些生物、物理和社会现象与机会游戏之间有某种相似性，从而由机会游戏起源的概率论被应用到这些领域中；同时这也大大推动了概率论本身的发展。使概率论成为数学的一个分支的奠基人是瑞士数学家j.伯努利，他建立了概率论中第一个极限定理，即伯努利大数定律，阐明了事件的频率稳定于它的概率。随后棣莫弗和p.s.拉普拉斯又导出了第二个基本极限定理（中心极限定理）的原始形式。拉普拉斯在系统总结前人工作的基础上写出了《分析的概率理论》，明确给出了概率的古典定义，并在概率论中引入了更有力的分析工具，将概率论推向一个新的发展阶段。19世纪末，俄国数学家p.l.切比雪夫、a.a.马尔可夫、a.m.李亚普诺夫等人用分析方法建立了大数定律及中心极限定理的一般形式，科学地解释了为什么实际中遇到的许多随机变量近似服从正态分布。20世纪初受物理学的刺激，人们开始研究随机过程。这方面a·n·柯尔莫哥洛夫、n.维纳、a·a·马尔可夫、a·r·辛钦、p·莱维及w·费勒等人作了杰出的贡献。

4 概率论的应用

（1）正态分布在自动控制中的应用

饮料厂生产一种容量为300mI的罐饮料，自动包装线上大量数据表明，每容量是服从标准差为30ml的正态分布。了使每罐饮料少于300mI的产品不多10％，应把自动包装线控制的均值μ调到什么位置上?一台新的包装机价格是万元，但罐装的饮料的容量服从标准为7 5ml的正态分布，同样为了使每罐料少于300ml 的产品不多于10％，应自动包装线控制的均值μ调节到什么位上?设X表示原自动包装线上一罐饮料的量，则X～N(μ，302)，若把自动包装的均值μ控制在300ml 的位置上，则少300ml的饮料要占全部饮料的50％，这不合要求的。为此应把均值μ控制在比300ml大的位置上，其中μ必须满足概率程P{X<300}=0.1。，

从而μ=338．4。即把自包装机的均值调节到338 4的位置上才能保证少于300ml 的饮料不多于10％，即平均每罐要多装38．4ml。

如果投资10万元新买一台包装机，新包装线上每罐饮料的容量为Y，则Y(μ，7.51)，为了使少于300ml的饮料所占的比例不多于10％，其中μ必须满足方程P{Y<300}=0.1从而μ=309．6。采用新包装机平均每罐可节约饮料338．4—309.6=28．8ml。

若以每日生产20000罐饮料计算，则每日可节约20000 X 28．8=576000ml 饮料，如果每100ml饮料的成本为1元，则工厂每日可增加利润5760元。18天就能赚回成本，第19天就可获净利润，因此该饮料厂应该购买新的包装机。

由于自动线包装的饮料的容量服从正分布，正态分布的方差反映了包装机的度，它不仅影晌到产品的质量，而且影到工厂的效益。所以在一些产品的质量制过程中。更重要的是控制方差。正态布在自动控制、优化设计、包装或加工件的精度以及质量管理和控制等方面有广泛的应用。正态分布的均值就是自动制的设定值，方差就是自动控制的精度差越小，精度越高，系统的性能越好。

（2）二项分布在科学管理中的应用

某研究中心有同类型仪器300台，各器工作相互独立，而且发生故障的概率为0.01，通常一台仪器的故障由一人即排除。问：为保证仪器发生故障时，不经济活动探能及时排除的概率小于0．01，至少要配备多少个维修工人?有两种维修方案，方案A：一人维修固定的20台仪器，方案B：三人维修固定的80台仪器，哪种方案好?

设X表示300台仪器中发生故障的台数，则X～B(300，0．01)，设b为需要配备的维修工人数，则应有P{X>b}≤0.01, ，可以用λ=np=3的泊松分布近似计。查表得达到要求需配备8名维修工人。

设Y表示20台仪器中发生故障的台，则Y-B(20，0.01)。若在同一时刻发故障的仪器数Y≥2，则一个工人不能维修，此概率为p

1

=P{Y≥2}=0．0169。设Z 表示80台仪器中发生障的台数，则Z-B(80，0．01)。若在同时刻发生故障的仪

器数Z≥4，则由三个人共同负责保修时不能及时维修，此概为p

2

=P{Z≥4}=0.091。

由p

1＞p

2

，所以方案B较方案A好。

本问题涉及的是如何有效地使用人力题，其中包确定人员数和安排工方式。

例如为保证仪器发生故障时。不及时排除的概率小于0．01，配备8人即达到要求，若安排人员过多，就会造成力资源的浪费。比较维修方案A和B的果可以看出：虽然3人共同负责80台仪。每个人的任务比1人负责20台仪器的务大，但方案B的安排是合理的，工作量不仅没有降低，反而提高了，能够保仪器的正常运转。有效地使用人力、物和财力，是科学管理的一项重要内容，概论在这方面可以发挥很大的作用。