材料力学第三章 扭转.

由此求出外力偶矩的计算公式：
P M e 9549 (N m) n
P——轴传递的功率kw n——轴的转速r/min Me——作用在轴上的力偶矩N m
二、扭矩和扭矩图 1.截面法求内力
n
M
x
0
Me
T Me 0 T Me
“ T ”称为横截面 上的扭矩 2.扭矩的符号规定：
n
(b)
mC
T2
(c)
T3
mD
T1 350N m T2 700N m
350
1
350 2
1146 3
446
T3 446N m
3）绘制扭矩图
B
T ( N m)
1
C
2
A
D 3
446
x
350 700
跟踪训练
1.受扭圆轴如图所示，1一1．2-2横截面上的 扭矩分别是( ）．
3m
x
z
dx
在单元体上、下、左、右四个侧面上只有切应力， 没有正应力的情况称为纯剪切。
三、切应变
p q



Me
M
r l
l为圆筒的长度
r
p q
l
其中, 为两端面横截面的相对 扭转角
四、剪切胡克定律
扭转实验表明，切应力低于材料的剪切比例 极限时，扭转角与扭转力偶矩成正比，可以 得到：
Fra Baidu bibliotekG
T A dA (1)
2.剪切胡克定律 3.变形几何关系
G
Me
(2)
dx d (3)
由(1)(2)(3)式得
x
dx
dA

γ d
这就是剪切胡克定律。其中G为材料的剪切 模量。 剪切模量、弹性模量，泊松比三个弹性常量 满足以下关系： E G 2(1 )
3.4 圆轴扭转时的应力
一、平面假设 圆周扭转变形前的横截面变形后仍为平 面， 形状和大小不变，半径仍保持为直线；且相邻 两截面间的距离不变。
γ

o
x
平面假设推论：
3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
直接计算
3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
一、外力偶矩 作用于轴上的外力偶矩往往是由轴所传递 的功率和轴的转速来计算的。 已知：传动轴功率p(kw) 转速n(r/min)， 求： 外力偶矩Me
( N m) 传动轴每秒输入功：W P 1000
Me
n 力偶每秒完成做功： W M e 2 ( N m) 60
【重点和难点】 重点：外力偶矩的计算，扭矩图的作法，圆轴扭转时 强度条件和刚度条件的应用 难点：横截面上切应力的推导
3.1 扭转的概念和实例
一、工程实例
二、受力特点 杆件的两端作用两个大小相等、方向相反、 且作用平面垂直于杆件轴线的力偶。
三、变形特点 杆件的任意横截面绕杆件轴线发生相对 转动。 扭转变形的零件，通常为轴类零件，横截面大 都是圆形的，所以本章主要介绍圆轴扭转。
例3.1 轴的转速为n =300r/min，主动轮A输入功率为 PA=36kW，从动轮B、C、D的输出功率分别为PB=PC=11kW， PD=14kW，试做轴的扭矩图。
解：1)计算外力偶矩
m A 9549
B
C
A
D
PA 36 9549 1146 ( N m) n 300 P 11 mB mC 9549 B 9549 350( N m) n 300 PD 14 mD 9549 9549 446( N m) n 300

Me 2r 2

二、切应力互等定理
1. 用相邻的两个横截面 和两个过轴线的纵向 面，从圆筒中取出微 y 单元体。
Me

r
x

dy
z

dx

x
y
两侧面的切应力数值相等， 方向相反，组成一个力矩为 (dy)dx的力偶。 为保持平衡，上下两个 侧面必有切应力组成力偶与 之相平衡。 '

'
(1)相邻两截面间的距离不变→ 横截面上无正应力.
(2)横截面大小和形状不变，只是绕轴线作了相对转动 → 径向无正应力 (3)纵向线倾斜→ 横截面上有切应力,且垂直于半径. (4)各纵向线均倾斜了同一微小角度
→ 同一圆周上的切应力均匀分布.
γ

o
x
二、等圆截面直杆扭转横截面上切应力的建立 1.静力关系
第3章 扭转
3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 扭转的概念和实例 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图 纯剪切 圆轴扭转时的应力 圆轴扭转时的变形
第3章 扭转

【基本内容】 一、外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图 二、纯剪切的概念，薄壁圆筒扭转时的切应力 三、切应力互等定理 四、圆轴扭转的强度条件 五、圆轴扭转的刚度条件
dy
z

'

x
( dx)dy ' M 0 z ( tdx)dy (tdy)dx
得
dx

'
y
上式表明：在单元体相互垂直 t 的两个平面上，切应力成对存 在且数值相等，两者都垂直于 两平面的交线，其方向则共同 dy 指向或共同背离该交线，这就 是切应力互等定理。
'

'

3m
2m
3.3 纯剪切
一、薄壁圆筒切应力
圆筒沿轴线方向尺寸没变——
横截面上没有正应力

1 r （r：为平均半径） 10
p q


Me
圆筒沿径向方向尺寸没变——
横截面径向切应力为零
p
q
A A' o B r B'
Me
圆筒横截面沿轴线有相对转动——
横截面切应力方向与半径垂直
l
B
B' A' A
由 M x 0 有M e 2r r
Me
T
x
按右手螺旋法则，T矢量背离截面为正，指向截面为 负（或矢量与截面外法线方向一致为正，反之为负）
3.扭矩图 表示扭矩沿轴线各截面上的变化情况。
目 ①扭矩变化规律； 的 ②|T| 值及其截面位置 max
强度计算（危险截面）。
注意
用截面法求扭矩时，建议均假设各截面扭矩T为正，
如果由平衡方程得到T为正，则说明是正的扭矩，如 果为负，则是负的扭矩。在画轴的扭矩图，正的扭 矩画在x轴上方，负的扭矩画在x轴下方。
2)截面法求扭矩（扭矩按正方向设） 由平衡方程 Mx 0依次有
T1 m B 0 T1 350 N m
T2 m B m C 0 T2 700 N m
(a) B 1 C 2 A D 3 350 1 350 2 1146 3 446
mB mB
T1
T3 m D 0 T3 446 N m