第7章 拉普拉斯变换

e jω t − e − jω t sin ω t = , 2j
由前面例题得出
e jω t + e − jω t cos ω t = 2 1 jω t L[ e ] = s − jω
1 s + jω
L[ e - jω t ] =
1 1 1 1 s + jω − s + jω ω 故 L[sinωt ] = ( − )= = 2 2 2 2 j s − jω s + jω 2 j s +ω s + ω2
在高等数学中，为了把复杂的计算转化为较简单的计 算，往往采用变换的方法，拉普拉斯变换(简称拉氏变 换)就是其中的一种。 拉氏变换是分析和求解常系数线性微分方程的常用方 法。用拉普拉斯变换分析综合线性系统(如线性电路) 的运动过程，在工程上有着广泛的应用。
12.1 拉普拉斯变换的定义
学习目标：了解拉普拉斯变换的定义，理解原函数、 象函数的概念。
3.微分性质 (可参看课本172页下至173页上) 3.微分性质 课本173页的表12.1为一些常用函数的拉普拉斯变换表， 在解题时可直接套用。
拉普拉斯变换的主要性质有线性性质、微分性质。积分性 质、延迟性质、频移性质等，由课本P173页表12.1表示了 这些性质的具体应用。 利用拉普拉斯变换的 性质可以很方便地求得一 些较为复杂的函数的象函 数，同时也可以把线性常 系数微分方程变换为复频 域中的代数方程，利用这 些性质课本表12.1中给出 了一些常用的时间函数的 拉氏变换。
= f (t )e
− st ∞ 0
−
∫
0
∞ 0
f (t )(− se − st )dt
= − f (0 − ) + s
∫
∞
f (t )e − st dt
= sF ( s ) − f (0)
导数性质表明拉氏变换把原函数求导数的运算 转换成象函数乘以s后减初值的代数运算。如果f(0-)=0，则 有: L[ f ' (t )] = sF ( s )
∫
该式左边的f(t) 在这里称为F(s)的原函数 原函数，此式表 明：如果时域函数f(t)已知，通过拉氏反变换，又 可得到它的象函数F(s)，记作：1[ F ( s )] f (t ) = L− 式中L-1[ ]也是一个算子，表示对括号内的象函 数进行拉氏反变换。 在拉氏变换中，一个时域函数f(t)惟一地对应一个 复频域函数F(s)；反过来，一个复频域函数F(s)惟 一地对应一个时域函数f(t)，即不同的原函数和不 同的象函数之间有着一一对应的关系，称为拉氏变 拉氏变 换的惟一性。 换的惟一性 注意在拉氏变换或反变换的过程中，原函数一律 注意 原函数一律 用小写字母表示，而象函数则一律用相应的大写字 用小写字母表示， 象函数则一律用相应的大写字 u U 母表示。如电压原函数为u(t)，对应象函数为U(s)。 母表示。
− st ∞
=
0−
ω
s2 + ω 2
什么是拉普拉斯 变换？ 变换？什么是拉 普拉斯反变换？ 普拉斯反变换？
什么是原函数？ 什么是原函数？ 什么是象函数？ 什么是象函数？ 二者之间的关系 如何？ 如何？
已知原函数求象函数 的过程称为拉普拉斯变 换；而已知象函数求原 函数的过程称为拉普拉 斯反变换。
原函数是时域函数， 一般用小写字母表示， 象函数是复频域函数， 用相应的大写字母表示。 原函数的拉氏变换为象 函数；象函数的拉氏反 变换得到的是原函数。
F ( s ) = L[δ (t )] =
∫
∞ 0−
δ (t )e dt = ∫ δ (t )e − st dt = e − s ( 0) = 1
− st 0−
0−
0+
正弦函数sin ωt的象函数为： ∞ F ( s ) = L[sin ω t ] = ∫ sin ω te − st dt
e =− 2 s + ω 2 ( s sin ω t + ω cos ω t )
F1 ( s)(s − pi ) ( s − pi ) F '1 ( s) + F1 ( s) F1 ( p i ) k i = lim = lim = s → pi s → pi F2 ( s) F ' 2 (s) F ' 2 ( pi )
这样我们又可得到另一求解ki的公式为： F1 ( s ) Ki = i = 1， ， ， ，n 2 3 L F ' 2 (s) s = p
k 2 = [( s − p 2 ) F ( s )] s = p2 ……
k n = [( s − p n ) F ( s )] s = pn
所求待定系数ki为： k i = [( s − p i ) F ( s )] s = p i 上式中： i = 1,2,3, L , n 另外把分部展开公式两边同乘以(s-pi),再令s→pi，然后 引用数学中的罗比塔法则，可得：
i
待定系数确定之后，对应的原函数求解公式为：
f (t ) = L−1 [ F ( s )] = k1 e p1t + k 2 e p 2t + L + k n e p n t
4s + 5 求F (s) = 2 的原函数 f (t )。 s + 5s + 6 因为：F1 = 4s + 5，F2 = s 2 + 5s + 6，F ' 2 (s) = 2s + 5
1．F2(s)＝０有n个单根 (s)＝０有n 设n个单根分别为p1、p2、…、pn ，于是F2(s)可以展开为
k1 k2 kn F (s) = + + ⋅⋅⋅ + s − p1 s − p 2 s − pn
式中k1、k2、k3…、kn 为待定系数。这些系数可以按下述 方法确定，即把上式两边同乘以 (s-p1)，得 k2 kn (s − p1 )F (s) = k1 + (s − p1 ) s − p + L+ s − p 2 n 令s=p1，则等式除右边第一项外其余都变为零，即可求得 k1 = [(s − p1 ) F ( s)] s = p1 同理可得
1
s =α - jω
1
显然k1、k2也为共轭复数，设k1=|k1| ejθ ，k2=|k1|e-jθ ，则
f (t ) = k 1 e
(α + j ω ) t
+ k2e
(α − j ω ) t
同理可得f(t)=eαt 的拉氏变换为：
L[e ] =
αt
+∞ 0
e
− (α − s ) t
求单位阶跃函数f(t)=ε(t)、单位冲激函数f(t)=δ(t)、 正弦函数f(t)=sinωt的象函数。 由拉氏变换定义式可得单位阶跃函数的象函数为 +∞ +∞ 1 − st ∞ 1 − st − st F ( s ) = L[ε (t )] = ∫ ε (t ) e dt = ∫ e dt = − e = 0− 0− 0− s s 同理，单位冲激函数的象函数为
又由于 F 2 ( s ) = 0 的根为 p 1 = − 2， p 2 = − 3，代入公式可得：
F1 ( s ) k1 = F '2 (s)
F1 ( s ) k2 = F '2 (s)
s = p1
4s + 5 = 2s + 5
4s + 5 = 2s + 5
= −3
s = −2
=7
s = −3
s = p2
得象函数为
得原函数为
−3 7 F (s) = + s+2 s+3
f ( t ) = − 3e − 2 t + 7 e − 3 t
2．F2(s)＝０有共轭复根 (s)＝０有共轭复根 设共轭复根为p1=α+jω，p2=α-jω，则 -
F1 ( s ) k1 = F ' 2 (s)
，
s =α + jω
F1 ( s ) k2 = F ' 2 (s)
F ( s ) = AF1 ( s ) ± BF2 ( s ),
上式中的A和B为任意常数(实数或复数)。这一性质可 以直接利用拉普拉斯变换的定义加以证明。
求 f 1 (t ) = sin ω t和 f 2 (t ) = cos ω t的象函数。
根据欧拉公式： e jω t = cos ω t + j sin ω t 可得：
拉普拉斯变换可将时域函数f(t)变换为频域函数F(s)。 只要f(t)在区间[0,∞]有定义，则有
F (s) =
∫
∞ 0
f (t ) e − st dt
F (s) =
∫
∞ 0
f ( t ) e − st dt
上式是拉氏变换的定义式。由定义式可知：一个时域 函数通过拉氏变换可成为一个复频域函数。式中的e-st 称为收敛因子 收敛因子，收敛因子中的s=c+jω是一个复数形式的 收敛因子 频率，称为复频率 复频率，其实部恒为正，虚部即可为正、为 负，也可为零。上式左边的F(s)称为复频域函数 F 称为复频域函数，是时 时 域函数f 域函数f(t)的拉氏变换， F(s)也叫做f(t)的象函数[ f (t )] F象函数。记作 (s) = L 式中L[ ]是一个算子，表示对括号内的函数进行拉 氏变换。电路分析中所遇到的电压、电流一般均为时 间的函数，因此其拉氏变换都是存在的。 如果复频域函数F(s) 已知，要求出与它对应的时域函 数f(t) ，又要用到拉氏反变换，即： 1 σ + j∞ f (t ) = F ( s ) e s t dt 2πj σ − j∞
求指数函数f(t)=e－αt 、 f(t)=eαt (α≥0,α是常数)的 拉普拉斯变换。 由拉氏变换定义式可得