抽象函数的一般解题,单调性构造,方程形式

一、抽象函数常见问题：

1、定义域（就是自变量x 取值范围）：整体替换，

2、简单求值问题：主要就是赋值，主要赋值有0、1、2、-1、-2

3、综合问题（求值和解不等式）：一般2种方向：赋值和构造函数 其目的就是构造f(x)

二、抽象函数单调性常见构造形式：

1、f(x 1+x 2)=f(x 1)+f(x 2)

构造为f(x 2)=f(x 2-x 1+x 1)=f(x 2-x 1）+f(x 1)

即f(x 2)-f(x 1)=f(x 2-x 1）

2、f(x 1)+f(x 2)=f(x 1+x 2)-a

构造为f(x 2)-f(x 1)=f[(x 2-x 1)+x 1]-f(x 1)

即f(x 2)-f(x 1)=f(x 2-x 1)+f(x 1)-f(x 1)-a

3、f(x 1/x 2)=f(x 1)-f(x 2) 直接设x 1，x 2，函数直接作差即可

4、f(x 1*x 2)=f(x 1)*f(x 2)

构造为f(x 2)=f(x 2-x 1+x 1)=f(x 2-x 1)*f(x 1)

即f(x 2)/f(x 1)=f(x 2-x 1)

三、几个常见抽象函数的方程：

(1)正比例函数()f x cx =,()()(),(1)f x y f x f y f c +=+=.

(2)指数函数()x f x a =,()()(),(1)0f x y f x f y f a +==≠.

(3)对数函数()log a f x x =,

()()(),()1(0,1)f xy f x f y f a a a =+=>≠.

f(x/y)=f(x)-f(y)

(4)幂函数()f x x α=,'()()(),(1)f xy f x f y f α==.

(5)余弦函数()c o f x x =,正弦函数()s i g x x =，

()()()()()f x y f x f y g x g y -=+，0()

(0)1,lim 1x g x f x →==

.

（6）正切函数f(x)=tanx,

f(x+y)=(f(x)+f(y))/(1-f(x)f(y))或f(x-y)=(f(x)-f(y))/(1+f(x)f(y))