中考复习3 弦图专题

弦图专题 【类型一】勾股定理的证法及应用 例1、(1)图(a)是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由 四个全等的直角三角形围成的，若AC=6，BC=5，将四个直角三角形 中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图(b)所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是______

(2)如图(c)所示，直线L 上有三个正方形a,b,c,若a,c 的面积是5和11，则b 的面积为_________

例2、如图,正方形ABCD 的边长为10,AG=CH=8,BG=DH=6,连接GH,则线段GH 的长为( )

A.

538 B.22 C.5

14 D.25

检测1、勾股定理被誉为“几何明珠”,在数学的发展历程中占有举足轻重的地位.如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的,可以用其面积关系验证勾股定理.图2是由图1放入长方形内得到的,︒=∠90BAC ,3=AB ,4=AC ,点D 、E 、F 、G 、H 、I 都在长方形KLMJ 的边上,则长方形KLMJ 的面积为( )

A. 90

B. 100

C. 110

D. 121

检测2、如图，正方形ABCD 的边长为2，其面积标记为1S ，以CD 为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为2S ，……，按照此规律继续下去，则9S 的值为（ ）。

A.6)21(

B.7)2

1( C.6)22( D.7)22( 【类型二】外线弦图

例3、如图,在矩形ABCD 中,104==AD AB ，,一把三角尺的直角顶点P 在AD 上滑动时(点P 与

A 、D 不重合),一直角边始终经过点C,另一直角边与A

B 交于点E.

(1)证明AEP DPC ∆∆~; (2)当︒=∠30CPD 时,求AE 的长;

(3)是否存在这样的点P,使DPC ∆的周长等于AEP ∆周长的2倍?若存在,求出DP 的长;若不存在,请说明理由.

变式1、如图，G 是边长为8的正方形ABCD 的边BC 上的一点，矩形DEFG 的边EF 过点A ，GD=

10． （1）求FG 的长； （2）直接写出图中与△BHG 相似的所有三角形．

变式2、如图1，在矩形纸片ABCD 中，38=AB ，10=AD ，点E 是CD 中点。将这张纸片依次折叠两次：第一次折叠纸片使点A 与点E 重合，如图2，折痕为MN ，连接ME 、NE ；第二次折叠纸片使点N 与点E 重合，如图3，点B 落到'B 处，折痕为HG ，连接HE ，则EHG ∠tan =_____ 。

例4、情境观察：将矩形ABCD 纸片沿对角线AC 剪开，得到ABC ∆和D C A ''∆，如图1所示。将D C A ''∆的顶点'A 与点A 重合，并绕点A 按逆时针方向旋转，使点D 、)'(A A 、B 在同一条直线上，如图2所示。

观察图2可知：BC 相等的线段是_____ ；'CAC ∠=_____ 。

问题探究：如图3，ABC ∆中，BC AG ⊥于点G ，以A 为直角顶点，分别以AB 、AC 为直角边，向ABC ∆外作等腰ABE R ∆t 和等腰ACF R ∆t ，过点E 、F 作射线GA 的垂线，垂足分别为P 、Q 。试探究EP 与FQ 之间的数量关系，并证明你的结论。

拓展延伸：如图4，ABC

∆外作矩形ABME ∆中，BC

AG⊥于点G，分别以AB、AC为一边向ABC

和矩形ACNF，射线GA交EF于点H。若kAE

AB=，kAF

AC=，试探究HE与HF之间的数量关系，并说明理由。

变式1、已知如图,梯形ABCD中,BC

AD//,以两腰AB,CD为一边分别向两边作正方形ABGE和D CHF,设线段AD的垂直平分线l交线段EF于点M,l

EP⊥于P,l

FQ⊥于Q.

求证:FQ

EP=.

变式2、如图,分别以ABC

∆外作正方形ACDE和CBFG,点P是EF ∆的边AC、BC为一边,在ABC

的中点,求证:点P到AB的距离是AB的一半.

检测1、如图，在AB C t R ∆中，B C AB =，︒=∠90AB C ，点D 是AB 的中点，连接CD ，过点B 作CD BG ⊥，分别交CD ，CA 于点E ，F ，与过点A 且垂直于AB 的直线相交于点G ，连接DF ，给出以下五个结论：

①FB

FG AB AG =；②CDB ADF ∠=∠；③点F 是GE 的中点；④AB AF 32=；⑤BDF ABC S S ∆∆=5， 其中正确结论的序号_____。

检测2、如图，已知BC AD //，BC AB ⊥，3=AB 。点F 为射线BC 上一个动点，连接AE ，将ABE ∆沿AE 折叠，点B 落在点'B 处，过点'B 作AD 的垂线，分别交AD ，BC 于点M ，N 。当点'B 为线段MN 的三等分点时，BE 的长为_____ 。

【类型三】内线弦图

例5、已知:在直角梯形ABCD 中,BC AD //,BC AB ⊥,2=AD ,3=BC ,设α=∠BCD ,以D 为旋转中心,将腰DC 逆时针旋转︒90至DE,连接AE 、CE.

(1)当︒=α45时,求EAD ∆的面积; (2)当︒=α30时,求EAD ∆的面积;

(3)当︒<α<︒900时,猜想EAD ∆的面积与α大小有何关系?若有关,写出EAD ∆的面积S 与α的关系式;若无关,请证明结论.

变式1、如图所示,小路是由黑色的正方形理石和白色的三角形理石铺成,已知中间所有正方形的面积之和是m 平方米,小路的左侧的所有三角形面积之和为n 平方米,则这条小路一共占地的面积是_________平方米.

变式2、如图，直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC=90°，l 是AD 的垂直平分线，交AD 于点M ，以腰AB 为边作正方形ABEF ，EP ⊥l 于P ．

求证：2EP+AD=2CD ．

例6、如图,在正方形ABCD 中,E 为AB 中点CE B F ⊥,于F,求ABCD BFC S S 正方形:∆.

变式、已知:如图,正方形ABCD 中,AG DE ⊥于E,DE BF //,求证:EF BF AF =-。