研究一道2017年清华大学能力测试数学题
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设 Ｃ ＝｛ ３ ， ６ ， ９ ， …， ６ ｝ ， Ａ ＝｛ ２ ｍ 一１ ｌ ， ｎ∈ Ｎ ， ２ ｍ 一１
本文将对数学试题 中最新颖 的一道作详细研究．
题目
若存 在满 足下 列三个 条 件 的集合 Ａ， Ｂ， Ｃ， 则
∈Ｍ， 且２ ｍ一 １ Ｃ ｝ ， Ｂ ＝｛ ２ ， ｎ ｌ ， ｎ∈Ｎ ， ２ ｍ∈Ｍ ， 且２ ｍ
一
Ｂ ． ６ ０是“ 萌数 ”
Ｄ ． ８ ０是 “ 萌数” ２ ｋ （ Ｚ ｋ＋１ ） ＋ ６・
６ ｋ ＋６ ＋ １．
２・ （ ３ ． ｊ ｝ ＋１ ） （ ３ ｋ＋２）一３
（ ＋１ ）
解
和．
Ａ Ｃ Ｄ ． 下 面用 ｓ 表示非 空集合 中所 有元 素 的
１ ） ］
＝
１（ ６ ＋ ２ ） （ ６ ｋ ＋ ３ ） （ ３ ｋ ＋１ ） 一３・ １ ・ ２ ｋ （ Ｚ ｋ＋
一
１）＋３Βιβλιοθήκη Baiduｋ ＝６ ｋ ＋６ ＋２．
因为 Ｓ ＝ Ｓ ： Ｓ ＝ ６ ｋ ＋ ５ ＋１ ， 所 以把集合 Ａ 中和为
若 ｎ ＝ ６ ｋ （ ∈Ｎ ） ， 由三个条件可得
子集 ， ＡｎＢ＝Ｂｎｃ＝ｃ ｎＡ＝ ， 且 ＡｕＢｕＣ＝ Ｍ； （ ２ ） 集合 ４中的所有元 素均为奇数 ， 集合 Ｂ中的所有
再 由容斥原理 ， 可得
元素均为偶数 ， 集合 中的所有 ３的倍 数都在集合 ｃ中 ；
（ ３ ） 集合 Ａ ， 日， ｃ中所有元素的和均相等． 则下列说法 中正确 的是 （ Ａ ． ８ 是“ 萌数 ”
Ｃ ． ６ ８是 “ 萌数”
Ｓ ， ＝［ １ ＋ ２＋ ３＋… ＋（ ６ ＋ ２ ） ］一 ２ ［ １＋ ２＋３＋… ＋
（ ３ ｜ ｝ ｊ ＋１ ） ］ 一３ （ １ ＋ ２＋ ３＋… ＋ ２ ） ＋ ６ （ １ ＋ ２＋ ３＋… ＋ ）
＝
） ．
１
・ ・
１（ ６ 十 ２ ） （ ６ ｋ ＋３ ）
称偶数 Ｆ ／ ， 为“ 萌数 ” ：
Ｃ ｝ ． 由条件 （ １ ） ， （ ２ ） 可得 Ｃ Ｃ ， ＡＣ ＿ Ａ ， Ｂ Ｂ ．
还 可 得 Ｓ ｃ ＝ ３ （ １ ＋ ２＋ ３＋… ＋ ２ ｋ ） ＝ ６ ｋ ＋ ３ ．
（ １ ） 集合 Ａ ， 曰， ｃ均为集合 Ｍ ＝｛ １ ， ２ ， ３ ， …， ／ ／ ， ｝ 的非空
＝
１
Ｓ ＝［ １ ＋ ２＋ ３＋… ＋（ ６ ｋ ＋２ ） ］一［ １＋３＋ ５＋… ＋ （ ６ ｋ ＋ １ ） ］ 一３ （ １ ＋ ２＋ ３＋… ＋ ２ 后 ） ＋ ３ ［ １ ＋ ３＋ ５＋… ＋（ ２ ｋ
一
可得 ｓ ＝ ÷ｎ （ ｎ＋ １ ） ． 由条件（ ３ ） 可得 ３ Ｉ Ｓ ， 即６
：
矛盾 ！所以 ｎ只可能是 ６ ＋ ２ （ ∈Ｎ ） 的形式 （ 得 选 项 Ｂ错误 ） ． 当 ｎ＝ ６ ｋ＋ ２ （ ∈Ｎ ） 时， 可得 Ｓ Ｍ＝１ ８ ｋ ＋１ ５ ｋ＋ ３ ， Ｓ Ａ
每位考生 ） ．
ｓ ： Ｊ ｓ ： ÷ ｓ ： ６ ｋ ＋ ５ ｋ ＋ １ ．
收 稿 日期 ： ２ ０ １ ７— ０ ５—０ １
作者简 介 ： 甘 志国（ １ ９ ７ １ ． １ ２一） ， 男， 湖北竹溪人 ， 北京丰 台二 中高级教 师， 中学特级教师 ， 研 究生， 从事数学教 育 、 解题研 究
一
６一
２ ０ １ ７ 年 ７ 月 第 １ ９ 期
数 理化 解 题 研 究
＝
数理化 解 题 研 究
２ ０ １ ７ 年 ７ 月 第 １ ９ 期
研究一道 ２ ０ １ ７年 清华大学 能力测试数学题
甘 志 国
（ 北 京 丰台二 中 ， 北京
摘
１ ０ ０ ０ ７ １ ）
要： 本文对 ２ ０ １ ７年清华 大学能力测试数 学题 中的一道集合试题 ， 给 予了研 究， 得到 了一般 结论 文献标识码 ： Ｂ 文章编号 ： １ ０ ０ ８— ０ ３ ３ ３ （ ２ ０ １ ７ ） １ ９— ０ ０ ０ ６— ０ ２
１
的若干个 元素取 出来剩 下 的元 素组成 的集合就 是 ４ ； 把
集合 Ｂ 中和为 ＋１的若干个元素 （ 因为集合 曰 中的元 素 均是正偶数 ， 所 以当 ｎ＝ ６ ｋ ＋ ２ （ Ｎ ） 是“ 萌数 ” 时， 必
Ｓ ｃ ≥３ （ １＋２＋３十… ＋２ ｋ ）＝６ ｋ ＋３ ｋ＞６ ｋ ＋ ＝ 一 ５
Ｓ ｃ，
关键词 ： 研究 ； 清华大 学 自主招生 ； 集合 ； 整数性质
中图分类号 ： Ｇ ６ ３ ２
２ ０ １ ７年清华大学能力 测试 已于 ２ ０ １ ７年 １ 月 １ ４ Ｌ ｔ 举
＝
行， 试题包括数学与物理两部分 ， 每部分 考试时 间均 为 ９ ０
分钟 ， 学生均在 电脑上作答． 数学试题是 ４ ０道选择题 （ 均为不 定项选择题 ） ， 且这 ４ ０道题 的顺序对 于考生不 是 固定 的 （ 由 电脑 随机分 配给
正确 ： 且 ＭＳ ６ ８ ＝２ ， 其 中 Ａ＝｛ １ ， ５ ， ７ ， １ ３ ， １ ７ ， １ ９ ， ２ ３ ， ２ ５ ， ２ ９ ，
３ １ ， ３ ５ ， ３ ７ ， ４ １ ， ４ ３ ， ４ ７ ， ４ ９ ， ５ ３ ， ５ ５ ， ５ ９ ｝ ， Ｂ＝｛ ２ ， １ ０ ， １ ４ ， １ ６ ， ２ ０ ，
Ｊ ｎ （ ｎ＋１ ） ．
由“ 萌数” ｎ为偶数 （ 由（ １ ） 中的 Ａ， Ｂ， ｃ均 为非 空集
合， 可得 ｎ ≥３ ） ， 可得 “ 萌数 ” ｎ只可能 是 ６ ， ６ ＋２ （ ∈
Ｎ ） ， ６ ｋ＋ ４ （ ∈ Ｎ） 的形式 ， 进 而 可 得 只 可 能 是 ６ ， ６ ＋ ２ （ ∈ Ｎ ） 的形 式 ．
本文将对数学试题 中最新颖 的一道作详细研究．
题目
若存 在满 足下 列三个 条 件 的集合 Ａ， Ｂ， Ｃ， 则
∈Ｍ， 且２ ｍ一 １ Ｃ ｝ ， Ｂ ＝｛ ２ ， ｎ ｌ ， ｎ∈Ｎ ， ２ ｍ∈Ｍ ， 且２ ｍ
一
Ｂ ． ６ ０是“ 萌数 ”
Ｄ ． ８ ０是 “ 萌数” ２ ｋ （ Ｚ ｋ＋１ ） ＋ ６・
６ ｋ ＋６ ＋ １．
２・ （ ３ ． ｊ ｝ ＋１ ） （ ３ ｋ＋２）一３
（ ＋１ ）
解
和．
Ａ Ｃ Ｄ ． 下 面用 ｓ 表示非 空集合 中所 有元 素 的
１ ） ］
＝
１（ ６ ＋ ２ ） （ ６ ｋ ＋ ３ ） （ ３ ｋ ＋１ ） 一３・ １ ・ ２ ｋ （ Ｚ ｋ＋
一
１）＋３Βιβλιοθήκη Baiduｋ ＝６ ｋ ＋６ ＋２．
因为 Ｓ ＝ Ｓ ： Ｓ ＝ ６ ｋ ＋ ５ ＋１ ， 所 以把集合 Ａ 中和为
若 ｎ ＝ ６ ｋ （ ∈Ｎ ） ， 由三个条件可得
子集 ， ＡｎＢ＝Ｂｎｃ＝ｃ ｎＡ＝ ， 且 ＡｕＢｕＣ＝ Ｍ； （ ２ ） 集合 ４中的所有元 素均为奇数 ， 集合 Ｂ中的所有
再 由容斥原理 ， 可得
元素均为偶数 ， 集合 中的所有 ３的倍 数都在集合 ｃ中 ；
（ ３ ） 集合 Ａ ， 日， ｃ中所有元素的和均相等． 则下列说法 中正确 的是 （ Ａ ． ８ 是“ 萌数 ”
Ｃ ． ６ ８是 “ 萌数”
Ｓ ， ＝［ １ ＋ ２＋ ３＋… ＋（ ６ ＋ ２ ） ］一 ２ ［ １＋ ２＋３＋… ＋
（ ３ ｜ ｝ ｊ ＋１ ） ］ 一３ （ １ ＋ ２＋ ３＋… ＋ ２ ） ＋ ６ （ １ ＋ ２＋ ３＋… ＋ ）
＝
） ．
１
・ ・
１（ ６ 十 ２ ） （ ６ ｋ ＋３ ）
称偶数 Ｆ ／ ， 为“ 萌数 ” ：
Ｃ ｝ ． 由条件 （ １ ） ， （ ２ ） 可得 Ｃ Ｃ ， ＡＣ ＿ Ａ ， Ｂ Ｂ ．
还 可 得 Ｓ ｃ ＝ ３ （ １ ＋ ２＋ ３＋… ＋ ２ ｋ ） ＝ ６ ｋ ＋ ３ ．
（ １ ） 集合 Ａ ， 曰， ｃ均为集合 Ｍ ＝｛ １ ， ２ ， ３ ， …， ／ ／ ， ｝ 的非空
＝
１
Ｓ ＝［ １ ＋ ２＋ ３＋… ＋（ ６ ｋ ＋２ ） ］一［ １＋３＋ ５＋… ＋ （ ６ ｋ ＋ １ ） ］ 一３ （ １ ＋ ２＋ ３＋… ＋ ２ 后 ） ＋ ３ ［ １ ＋ ３＋ ５＋… ＋（ ２ ｋ
一
可得 ｓ ＝ ÷ｎ （ ｎ＋ １ ） ． 由条件（ ３ ） 可得 ３ Ｉ Ｓ ， 即６
：
矛盾 ！所以 ｎ只可能是 ６ ＋ ２ （ ∈Ｎ ） 的形式 （ 得 选 项 Ｂ错误 ） ． 当 ｎ＝ ６ ｋ＋ ２ （ ∈Ｎ ） 时， 可得 Ｓ Ｍ＝１ ８ ｋ ＋１ ５ ｋ＋ ３ ， Ｓ Ａ
每位考生 ） ．
ｓ ： Ｊ ｓ ： ÷ ｓ ： ６ ｋ ＋ ５ ｋ ＋ １ ．
收 稿 日期 ： ２ ０ １ ７— ０ ５—０ １
作者简 介 ： 甘 志国（ １ ９ ７ １ ． １ ２一） ， 男， 湖北竹溪人 ， 北京丰 台二 中高级教 师， 中学特级教师 ， 研 究生， 从事数学教 育 、 解题研 究
一
６一
２ ０ １ ７ 年 ７ 月 第 １ ９ 期
数 理化 解 题 研 究
＝
数理化 解 题 研 究
２ ０ １ ７ 年 ７ 月 第 １ ９ 期
研究一道 ２ ０ １ ７年 清华大学 能力测试数学题
甘 志 国
（ 北 京 丰台二 中 ， 北京
摘
１ ０ ０ ０ ７ １ ）
要： 本文对 ２ ０ １ ７年清华 大学能力测试数 学题 中的一道集合试题 ， 给 予了研 究， 得到 了一般 结论 文献标识码 ： Ｂ 文章编号 ： １ ０ ０ ８— ０ ３ ３ ３ （ ２ ０ １ ７ ） １ ９— ０ ０ ０ ６— ０ ２
１
的若干个 元素取 出来剩 下 的元 素组成 的集合就 是 ４ ； 把
集合 Ｂ 中和为 ＋１的若干个元素 （ 因为集合 曰 中的元 素 均是正偶数 ， 所 以当 ｎ＝ ６ ｋ ＋ ２ （ Ｎ ） 是“ 萌数 ” 时， 必
Ｓ ｃ ≥３ （ １＋２＋３十… ＋２ ｋ ）＝６ ｋ ＋３ ｋ＞６ ｋ ＋ ＝ 一 ５
Ｓ ｃ，
关键词 ： 研究 ； 清华大 学 自主招生 ； 集合 ； 整数性质
中图分类号 ： Ｇ ６ ３ ２
２ ０ １ ７年清华大学能力 测试 已于 ２ ０ １ ７年 １ 月 １ ４ Ｌ ｔ 举
＝
行， 试题包括数学与物理两部分 ， 每部分 考试时 间均 为 ９ ０
分钟 ， 学生均在 电脑上作答． 数学试题是 ４ ０道选择题 （ 均为不 定项选择题 ） ， 且这 ４ ０道题 的顺序对 于考生不 是 固定 的 （ 由 电脑 随机分 配给
正确 ： 且 ＭＳ ６ ８ ＝２ ， 其 中 Ａ＝｛ １ ， ５ ， ７ ， １ ３ ， １ ７ ， １ ９ ， ２ ３ ， ２ ５ ， ２ ９ ，
３ １ ， ３ ５ ， ３ ７ ， ４ １ ， ４ ３ ， ４ ７ ， ４ ９ ， ５ ３ ， ５ ５ ， ５ ９ ｝ ， Ｂ＝｛ ２ ， １ ０ ， １ ４ ， １ ６ ， ２ ０ ，
Ｊ ｎ （ ｎ＋１ ） ．
由“ 萌数” ｎ为偶数 （ 由（ １ ） 中的 Ａ， Ｂ， ｃ均 为非 空集
合， 可得 ｎ ≥３ ） ， 可得 “ 萌数 ” ｎ只可能 是 ６ ， ６ ＋２ （ ∈
Ｎ ） ， ６ ｋ＋ ４ （ ∈ Ｎ） 的形式 ， 进 而 可 得 只 可 能 是 ６ ， ６ ＋ ２ （ ∈ Ｎ ） 的形 式 ．