第十六章量子力学

第十六章 量子力学

基本要求

1、了解波函数及其统计解释。了解一维定态的薛定格方程。

2、了解如何用驻波观点说明能量量子化。了解角动量量子化及空间量子化。了解施特恩-----格拉赫实验及微观粒子的自旋。

3、了解描述原子中运动状态的四个量子数。了解炮利不相容原理和原子的电子壳层结构。

§16－1 波函数

一． 波函数

1．

自由粒子的波函数 平面简谐波的波动方程

)x

t (cos A y λ

νπ-

=2

指数形式：

)

x

t (i Ae

y λ

νπ--=2

由此方程知：频率ν，波长λ，沿x 正方向传播

设想：动量一定的自由粒子，沿x 正向传播，有波动性, 则：

h E =

ν，P

h =λ 若

)t ,x ()t ,x (y ψ−→−；0ψ−→−A

则：

)

Px Et (i

e )t ,x (--=

ψψ 式中，)t ,x (ψ：自由粒子的波函数

0ψ：波函数的振幅

三维运动：

)r P Et (i

e )t ,r (

⋅--=0ψψ

2． 波函数的物理意义

波函数的统计解释：波函数模的平方2

)

,(t r ψ与粒子在t 时刻r

处出现的概率密度

),(t r w

成正比。

=),(t r w 2

)

,(t r ψ

物质波(德布罗意波)−→−概率波

3． 概率密度（几率密度）ρ

某点处单位体积元内粒子出现的概率；

dV dW 2

ψ=，dxdydz dV =

2

ψρ==

dV

dW

4． 波函数的性质（标准条件） ① 单值性：某时某处概率唯一； ② 有限性：1

③

连续性：W 的分布是连续的。

波函数的归一化条件：

12

=⎰⎰⎰V

dV ψ

5． 德布罗意波与经典波的区别

①

微观粒子运动的统计描述，不是某量周期性变化的传播；

德布罗意波，有归一化条件，ψ与ψC 同。经典波的I C 'I 2=

§16-2 薛定格方程

一、薛定格方程

1． 自由粒子的薛定格方程

x 方向运动：)

Px Et (i

e --=

ψψ r

方向运动：)r P Et (i

e

⋅--=0ψψ

① 对z ,y ,x 求二级偏导，得：

ψψ22

2

P -=∇ （1）

② 对t 求一级偏导，得：

ψψψm

P E t i 22==∂∂ （2） 将（1）式代入得：

t

i m ∂∂=∇-ψ

ψ

222−→−自由粒子的含时薛定格方程

2．

非自由粒子的薛定格方程

t

i U m ∂∂=+∇-ψ

ψψ

222−→−一般形式的含时薛定格方程

3．

定态薛定格方程

设：)t (f )z ,y ,x ()t ,z ,y ,x (⋅=Φψ` 定态波函数：

iEt

e

)z ,y ,x ()t ,z ,y ,x (-

⋅=Φψ

定态势场中运动粒子的薛定格方程

ΦΦΦE U m

=+∇-222

例：求一维势井中粒子的能量、波函数及概率密度

一维势井：

)

a x ,x ()a x ({

U ≥≤∞<<=000

解之得：

① 本征能量：

2

2

28n ma

h E n ⋅= 0812

2

1≠==ma

h E ,n (零点能)

② 本征波函数：

0(③ 概率密度：

)(sin 2)()(22

a

x n a x x n ω⋅=

ψ=)0(a x <<

讨论：

1. 对无限深势井来说，粒子只能在U ＝0的区域内运动，称为束缚态，所得到的定态方程的解，只能取一些驻波的形式

2. 粒子在势井内各处出现的概率密度随量子数改变

3. 相邻两能级间的距离:

)n (ma

h E 1282

2

+=∆

*§16-3势垒 隧道效应

微观粒子的能量小于势垒高度时，可以穿过势垒到达另一侧的现象。

*§16-4一维谐振子

一维谐振子

能量量子化：νh n E n )2

1

(+= ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=,3,2,1,0n

零点能：νh E 2

1

0=

§16-5 氢原子

§16-5-1 玻尔的氢原子模型

x n )(=

Φ

一． 玻尔理论的实验基础

1． 原子的有核模型 原子是中性的，稳定的；核外电子绕核作圆周运动；

2． 氢原子光谱的实验规律 ① 综合经验公式：

⋅⋅⋅++=-=,m ,m n ,)n

m (R ~211

122ν

17100967761-⨯=m .R

1=m ，赖曼系；2=m ，巴尔末系；3=m ，帕邢系；4=m ，布喇格系；5=m ，普芳德系；

② 里兹并合原理

)n (T )m (T ~-=ν

式中：)n (T ),m (T 称为光谱项

氢原子光谱：谱线是分裂的，线状的；原子光谱线的波数，由光谱项之差确定。

二． 经典电磁理论遇到的困难

卢瑟福原子模型＋经典的电磁理论，必将导出： 1． 光谱连续

2． 原子不可能是稳定的系统； 与事实不符！

三． 玻尔理论 1． 基本思想：

① 承认卢瑟福的原子天文模型 ② 放弃一些经典的电磁辐射理论 ③ 把量子的概念用于原子系统中 2． 玻尔的三条假设

① 原子系统只能处于一系列不连续的稳定态（电子绕核加速运动，但不发射电磁波的能量状态，简称能态）

② 处于稳定态中，电子绕核运动的角动量满足角动量量子化条件

,,,n ,nh h

n L 3212==⋅=π