空间图形的基本关系与公理(3)

点评
平行四边形是平面图形，若能证得四边形的
一组对边平行且相等，那么这个四边形就是平行四 边形．公理 4 是我们证明分别在两个平面的两条直 线平行的常用工具，往往通过“中间量”即第三条 直线来实现．
变式训练 4 已知在棱长为 a 的正方体 ABCD—A′B′C′D′中，M、N 分别为 CD、 AD 的中点． 求证：四边形 MNA′C′是梯形． 证明 如图所示，连接 AC，
7． 正方体 ABCD－A1B1C1D1 中， Q 分别为 AA1、 P、 CC1 的中点，则四边形 D1PBQ 是 A．正方体 C．矩形
D1PBQ 各边均为
( B )
B．菱形 D．空间四边形
5， 又四边形 D1PBQ 是平行四边
解析 设正方体棱长为 2，直接计算可知四边形 形，所以四边形 D1PBQ 是菱形．
又∵l2 α，∴B∈α.
同理可证 C∈α.
又∵B∈l3，C∈l3，∴l3 α. ∴直线 l1、l2、l3 在同一平面内．

知识探究: 公理定理的简单应用
证明多点共线问题 例 2 已知△ABC 在平面 α 外，AB∩α＝P， AC∩α＝R，BC∩α＝Q，如图所示． 求证：P、Q、R 三点共线．
§4
空间图形的基本关系与公理
4.2空间图形的公理
学习目标
掌握公理、定理的内容；能运用公理 定理解答一些简单问题.
知识探究: 公理定理的简单应用
知识点一 点、线共面 例 1 已知直线 a∥b， 直线 l 与 a、 都相交， b 求证： 过 a、b、l 有且只有一个平面．
分析 由题目可获取以下主要信息： ①两线平行； ②第三条线与它们都相交． 解答本题可先思考让其中部分元素定面．再证其 余元素也在面内．
9．如图所示，在长方体 ABCD—A1B1C1D1 中，O 是 B1D1 的中点， 直线 A1C 交平面 AB1D1 于点 M， 则下列结论错误的是________．(填序号) ①A、M、O 三点共线；②A、M、O、A1 四点共 面；③A、O、C、M 四点共面；④B、B1、O、 M 四点共面．
解析 连接 AO， AO 是平面 AB1D1 和平面 BB1D1D 的交线， ∵M∈A1C，A1C 面 AA1C1C， ∴M∈面 AA1C1C， 又 M∈面 AB1D1， ∴M∈AO，即 A1M1O 三点共线， 因此①②③均正确． 只有④不正确．
求证：四边形 B1EDF 是平行四边形．
证明
设 Q 是 DD1 的中点，连接 EQ，QC1，
∵E 是 AA1 的中点，∴EQ 綊 A1D1， 又在矩形 A1B1C1D1 中，A1D1 綊 B1C1， ∴EQ 綊 B1C1， ∴四边形 EQC1B1 为平行四边形，∴B1E 綊 C1Q， 又∵Q、F 是矩形 DD1C1C 的两边的中点， ∴QD 綊 C1F，∴四边形 DQC1F 为平行四边形， ∴C1Q 綊 DF，又∵B1E 綊 C1Q，∴B1E 綊 DF， ∴四边形 B1EDF 是平行四边形．
答案
④
10．空间四边形 ABCD 中，若对角线 AC＝BD，且 AC⊥BD，E、F、G、H 分别为 AB、BC、CD、 DA 的中点，则四边形 EFGH 的形状是 正方形 ________________．
①②③ 11．下列命题正确的是__________________(填序
号)． ①空间四边形的四个顶点不共面，它有四条边两 条对角线； ②空间四边形不是平面图形，可以把它看作同一 平面内有一条公共底边的两个三角形沿着公共 底边适当翻折而成的空间图形； ③顺次连接空间四边形四条边的中点得到一个 平行四边形； ④四边都相等的四边形都是菱形； ⑤有三个角都是直角的四边形是矩形．
证明 连接 EF，D1C，A1B. ∵E 为 AB 的中点， F 为 AA1 的中点， 1 ∴EF // A1B. 2 又∵A1B∥D1C，∴EF∥D1C， ∴E，F，D1，C 四点共面， //1D1C， 且 EF 2
=
=
∴D1F 与 CE 相交于点 P.
又 D1F 平面 A1D1DA， CE 平面 ABCD.
又∵GE≠FH 且 GH∥FH. ∴四边形 EFHG 是一个梯形， GH 和 EF 延长后 则 交于一点设为 O. 又 O∈GH，GH 平面 ABD， 则 O∈平面 ABD， 同理 O∈平面 BCD. ∴O∈平面 ABD∩平面 BCD＝BD. 则 O 在直线 BD 上． 所以 EF、GH、BD 交于一点．
B．M∈α，M∈β，N∈α，N∈β⇒α∩β＝MN
解析 ∵A∈α，A∈β，∴A∈α∩β. 由公理可知 α∩β 为经过 A 的一条直线而不是 A. 故 α∩β＝A 的写法错误．
3．两平面重合的条件是 A．有两个公共点 B．有无数个公共点 C．有不共线的三个公共点 D．有一条公共直线
( C )
解析 根据公理 2， 不共线的三点确定一个平面， 若两个平面同过不共线的三点，则两平面必重 合．
点评 证明多线共面的方法是先由公理 2 确定一个平面， 再利用公理 1 依次证明其余各线也在这个平面内．
变式训练 1 两两相交且不过同一个点的三条直线 必在同一平面内． 已知 如图所示，l1∩l2＝A， l2∩l3＝B，l1∩l3＝C. 求证 直线 l1、l2、l3 在同一平面内． 证明
∵l1∩l2＝A，∴l1 和 l2 确定一个平面 α. ∵l2∩l3＝B，∴B∈l2.
∴AB∩CD＝P. ∴AB，CD 可确定一个平面，设为 β. ∵A∈AB，C∈CD，B∈AB，D∈CD， ∴A∈β，C∈β，B∈β，D∈β. ∴AC β，BD β，平面 α，β 相交． ∵AB∩α＝P，AC∩α＝Q，BD∩α＝R， ∴P，Q，R 三点是平面 α 与平面 β 的公共点． ∴P，Q，R 都在 α 与 β 的交线上，故 P，Q，R 三 点共线．
分析 解答本题可先证明 P，Q，R 三点在面 ABC 内，又在面 α 内，再利用公理 3 从而证得三点共线．
证明 ∵AB∩α＝P，
点评∴P∈AB，P∈平面 α. 证明多点共线的方法：利用公理 3，只需说 明这些点都是两个平面的公共点，则必在这两个面 ∴由公理 3 可知： P 在平面 ABC 与平面 α 的交线上， 点 的交线上．
二、填空题
①②③ 8．下列命题中，正确的是____________．(填序号)
①若两个平面有一个公共点，则它们有无数个公 共点；②若已知四个点不共面，则其中任意三点 不共线； ③若点 A 既在平面 α 内， 又在平面 β 内， 则 α 与 β 相交于直线 l，且 A 在 l 上；④两条直 线不能确定一个平面．

点评 证明若干条线共点，一般可先证其中两条相 交于一点，再证其他线也过该点即可，本题在解答 中应用了两个相交平面的公共点必然在它们的交 线上这一结论．
变式训练 3 如图所示， 在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，E 为 AB 的中点，F 为 AA1 的中点． 求证：CE、D1F、DA 三线交于一点．
12．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体 纸盒中有如下结论： ①AB⊥EF； ②AB 与 CM 所成的角为 60° ； ③EF 与 MN 是异面直线； ④MN∥CD.
①③ 以上结论中正确结论的序号为____________．
解析 把正方体平面展开图还原到原来的正方体， 如图所示，AB⊥EF，EF 与 MN 是异面直线， AB∥CM，MN⊥CD，只有①③正确．
4．空间两个角 α、β 的两边对应平行，若 α＝60° ，
则β为 A．60° C．30° B．120° D．60° 120° 或 ( D )
解析 由等角定理不难知 α，β 相等或互补． 所以 β＝60° 120° 或 .
5． 若∠AOB＝∠A1O1B1， OA∥O1A1， 与 O1A1 且 OA 的方向相同，则下列结论中正确的是 A．OB∥O1B1 且方向相同 B．OB∥O1B1 C．OB 与 O1B1 不平行 D．OB 与 O1B1 不一定平行 解析 等角定理的实质是角的平移，其逆命题不
课后练习
一、选择题 1．已知平面 α 与平面 β、γ 都相交，则这三个平面 可能的交线有 A．1 条或 2 条 C．1 条或 3 条 B．2 条或 3 条 D．1 条或 2 条或 3 条 (D )
2．已知 α、β 为平面，A、B、M、N 为点，a 为直 线，下列推理错误的是 A．A∈a，A∈β，B∈a，B∈β⇒a β C．A∈α，A∈β⇒α∩β＝A D．A、B、M∈α，A、B、M∈β，且 A、B、M 不共线⇒α、β 重合 ( C )
一定成立，OB 与 O1B1 有可能平行，也可能不在 同一平面内，位置关系不确定．
( D )
6．对于命题： ①若 a，b 与 c 成等角，则 a∥b； ②若 a，b 与 c 均垂直，则 a∥b； ③若 a，b 与 c 都平行，则 a∥b； ④若 a，b 在两个相交平面内，则 a 与 b 不可能 平行． 其中正确的命题个数为 A．1 B．2 C．3 D．4 ( A )
证明 ∵EF 是△ABC 的中位线， ∴EF∥BC. 同理，GF∥DC. 又∵∠EFG 与∠BCD 的方向相同， ∴∠EFG＝∠BCD. 同理，∠EGF＝∠BDC. ∴△EFG∽△BCD.
点评
本题考查了等角定理，等角定理的实质是由
两个结论合成的：①若一个角的两边与另一个角的 两边分别平行且方向相同，那么这两个角相等；② 若一个角的两边与另一个角的两边分别平行且一 组边的方向相反，那么这两个角互补．
同理可证 Q、R 也在平面 ABC 与平面 α 的交线上． ∴P、Q、R 三点共线． 又 AB 平面 ABC，∴P∈平面 ABC.
变式训练 2 如图所示，AB∩α＝P，CD∩α＝P，A，D 与 B，C 分别在平面 α 的两侧， AC∩α＝Q，BD∩α＝R. 求证：P、Q、R 三点共线． 证明 ∵AB∩α＝P，CD∩α＝P，
∵M、N 分别为 CD、AD 的中点， // 1AC. ∴MN = 2 由正方体性质知 AC 綊 A′C′， // 1A′C′， ∴MN =2 ∴四边形 MNA′C′是梯形．
知识探源自文库: 公理定理的简单应用
等角定理的应用 例5 在三棱锥 A—BCD 中，E、F、G 分别是棱 AB、AC、AD 上的中点． 求证：△EFG∽△BCD.
∴P 为平面 A1D1DA 与平面 ABCD 的公共点． 又平面 A1D1DA∩平面 ABCD＝DA， 根据公理 3，可得 P∈DA， 即 CE、D1F、DA 相交于一点．
知识探究: 公理定理的简单应用
平行公理的应用 例 4 如图所示， F 分别是长方体 ABCD—A1B1C1D1 E、 的棱 A1A、C1C 的中点．
课堂小结
1．三个公理的作用： 公理 1——判定直线在平面内的依据； 公理 2——判定点共面、线共面的依据； 公理 3——判定点共线、线共点的依据． 2．注意事项 (1)应用公理 2 时，要注意条件“三个不共线的 点”． 事实上， 共线的三点是不能确定一个平面的． (2)在立体几何中， 符号“∈”与“”的用法与读 法不要混淆． (3)解决立体几何问题时注意数学符号、文字语言、 图形语言间的相互转化.
知识探究: 公理定理的简单应用
证明线共点问题 例3 在四面体 ABCD 中，E、G 分别为 BC、AB 的中点， 在 CD 上， 在 AD 上， F H 且有 DF∶FC ＝DH∶HA＝2∶3， 求证：EF、GH、BD 交于一点． 证明 ∵E， 分别为 BC， 的中点， G AB ∴GE∥AC.
又∵DF∶FC＝DH∶HA＝2∶3，∴FH∥AC， 从而 FH∥GE.故 E，F，H，G 四点共面．
课堂小结
4．平行公理表明，空间中平行于同一条直线的所 有直线都互相平行，它给出了判断空间两条直线 平行的依据，其主导思想是利用第三条直线作为 联系两条直线的中间环节． 5．要正确运用等角定理，必须抓住“角的两边分 别平行”这个条件．要注意，等角定理的逆命题 不成立． 6．平面几何中的定义、定理等，对于非平面图形， 需要经过证明才能应用，不能盲目应用.