离散数学(第一讲)

一、离散数学介绍

离散数学是研究离散量的结构及其相互关系的数学学科，是现代数学的一个重要分支。它在各学科领域，特别在计算机科学与技术领域有着广泛的应用，同时离散数学也是计算机专业的许多专业课程，如程序设计语言、数据结构、操作系统、编译技术、人工智能、数据库、算法设计与分析、理论计算机科学基础等必不可少的先行课程。通过离散数学的学习，不但可以掌握处理离散结构的描述工具和方法，为后续课程的学习创造条件，而且可以提高抽象思维和严格的逻辑推理能力，为将来参与创新性的研究和开发工作打下坚实的基础。

离散数学常常被分成三门课程进行教学，即集合论与图论、代数结构与组合数学、数理逻辑。

其中各部分内容在本书中又有如下涉及：

1．集合论部分：集合及其运算(3.1)、二元关系(3.2)与函数(3.5)、自然数及自然数集、集合的基数注：集合这个概念比较了解，在数学上，基数(cardinal number)也叫势(cardinality)，指集合论中刻画任意集合所含元素数量多少的一个概念。这是康托尔在1874年～1884年引入最原始的集合论（现称朴素集合论）时, 给出的基数概念。他最先考虑的是集合{1,2,3} 和 {2,3,4}，它们并非相同，但有相同的基数。

那何谓两个集合有相同数目的元素？

康托尔的答案，是所谓一一对应，即把两个集合的元素一对一的排起来，若能做到，两个集合的基数自然相同。

这个答案虽然简单，却起到了革命性的作用，因为用相同的方法即可比较任意集合，包括无穷集合的大小。

2．图论部分(第5章)：图的基本概念、欧拉图与哈密顿图、树、图的矩阵表示、平面图、图着色、支配

集、覆盖集、独立集与匹配、带权图及其应用3．代数结构部分（第6、7章）：代数系统的基本概念、半群与独异点、群、环与域、格与布尔代数4．组合数学部分：组合存在性定理、基本的计数公式、组合计数方法、组合计数定理

组合数学在本书中没有介绍，而关于组合数学的问题却是十分有趣的，可以供大家思考一下。

组合数学中的著名问题

∙计算一些物品在特定条件下分组的方法数目。这些是关于排列、组合和整数分拆的。

∙地图着色问题：对世界地图着色，每一个国家使用一种颜色。如果要求相邻国家的颜色相异，是

否总共只需四种颜色？这是图论的问题。

∙船夫过河问题：船夫要把一匹狼、一只羊和一棵白菜运过河。只要船夫不在场，羊就会吃白菜、

狼就会吃羊。船夫的船每次只能运送一种东西。

怎样把所有东西都运过河？这是线性规划的问

题。

∙中国邮差问题：由中国组合数学家

∙管梅谷教授①

∙提出。邮递员要穿过城市的每一条路至少一次，怎样行走走过的路程最短？这不是一个NP完全

问题，存在多项式复杂度算法：先求出度为奇数

的点，用匹配算法算出这些点间的连接方式，然

后再用欧拉路径算法求解。这也是图论的问题。

∙任务分配问题（也称婚配问题）：有一些员工要完成一些任务。各个员工完成不同任务所花费的时

间都不同。每个员工只分配一项任务。每项任务

只被分配给一个员工。怎样分配员工与任务以使

所花费的时间最少？这是线性规划的问题。

∙如何构作幻方。

幻方，有时又称魔方（该称呼现一般指立方体的魔術方塊）或纵横图，由一组排放在正方形中的整数组成，其每行、每列以及两条对角线上的数之和均相等。

在中国古典文献中记载了洛书

的传说：公元前23世纪大禹治水之

时，一只巨大的神龟出现于黄河支流

洛水中，龟甲上有9种花点的图案，

分别代表这9个数，而3行、3列以

及两对角线上各自的数之和均为

15，世人称之为洛书。中国汉朝的数术记遗中，称之为九宫算，又叫九宫图

南宋数学家杨辉著《续古摘奇算法》把类似于九宫图的图形命名为纵横图，书中列举3、4、5、6、7、8、9、10阶幻方。其中所述三阶幻方构造法：“九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出，戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足”，比法国数学家Claude Gaspar Bachet 提出的方法早三百余年。

5．数理逻辑部分（第2章）：命题逻辑、一阶谓词演算、消解原理。

二、虽说离散数学是一门新兴的学科，伴随着计算机而进一步发展，但她的各个分支却都历史悠久。

数学推理与逻辑之间，有着密切的联系，早在两千多年前的古希腊，就有了逻辑学的萌芽。不过那时的逻辑称为古典逻辑,属于哲学的范畴。数理逻辑诞生于十九世纪中叶，源于古典逻辑。

群论诞生于十九世纪二十年代，由法国天才数学家伽罗华创立。有趣的是，他创立群论的目的是为了解决高次方程求根问题，如果他知道群论与现代的计算机学科联系如此紧密，一定会惊叹不已。

图论最早起源于一些数学游戏，相信对数学感兴趣的同

学一定都听说过哥尼斯堡的七桥问题。(P115)图论与几何不同，几何讨论图的长短大小，而图论是讨论图的边和顶点之间的位置关系，正因为如此，莱布尼兹②

把她称为“位置几何学”。图论的问题非常有趣，往往答案很简单，但却非常非常难以想到。

集合论起源于十六世纪末期，开始是为了追寻微积分的坚实基础，后来，德国的数学家康托教授发表了一系列有关集合论的文章，奠定了集合论的基础，集合论也从此发展起来。现在，集合论已经渗透到泛函、概率、函数论等各门学科。

组合数学就是大家从高中开始学的排列组合，它与古典概率论的联系也非常紧密。

三、如何学好离散数学

离散数学的定义和定理多，要求学生对于知识点的记忆要“准确、全面、完整”。另外，离散数学的方法性比较强，要求学生强加练习，熟悉不同的解题方法。

四、小结

离散数学的简介

①上海市人。1957年毕业于华东师范大学数学系。历任山东师范大学讲师、副教授、教授、校长，从事运筹学及其应用的研究，对最短投递路线问题的研究取得成果。

②戈特弗里德·威廉·凡·莱布尼茨（Gottfriend Wilhelm von Leibniz，1646.7.1.—1716.11.14.）德国最重要的自然科学家、数学家、物理学家、历史学家和哲学家，一个举世罕见的科学天才，和牛顿（1643

年1月4日—1727年3月31日）同为微积分的创建人。他博览群书，涉猎百科，对丰富人类的科学知识宝库做出了不可磨灭的贡献。