含绝对值不等式的解法50934

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3．解|x－a|＋|x－b|≥c、|x－a|＋|x－b|≤c型 不等式，除分段讨论法外，还可用 函__数__法__或__几__何__意__义__ (课本上叫做图象法、几 何法)．
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考点一 单向的绝对值不等式
例1 解下列不等式． (1)|2x＋5|<7. (2)|2x＋5|>7＋x. (3)|x2－3x＋1|<5.
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法二：原不等式可转化为 －7≤2－x<－1或1<2－x≤7， ∴3<x≤9或－5≤x<1， ∴原不等式解集为{x|－5≤x<1或3<x≤9}． 【名师点评】 本例题是不等式的一种常见 题，第二种解法要比第一种解法更为简 单．也可根据绝对值的意义解题．
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变式训练2 解不等式1<|x－2|≤3.
解：原不等式等价于不等式组
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变式训练2 解不等式：|x－1|＋|3x＋5|≤4x ＋4.
解：当 x<－53时，有－x＋1－3x－5≤4x ＋4， ∴8x≥－8.∴x≥－1， 此时无解． 当－53≤x<1 时，有 －x＋1＋3x＋5≤4x＋4， ∴2x≥2.∴x≥1，
此时无解．
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当x≥1时，有 x－1＋3x＋5≤4x＋4. ∴4≤4成立， ∴原不等式解集为{x|x≥1}．
|x－2|>1， |x－2|≤3
，
即x－<11≤或xx≤>35，，
解得－1≤x<1 或 3<x≤5，
所以原不等式的解集为{x|－1≤x<1 或
3<x≤5}．
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考点三 含参数的绝对值不等式 例3 已知集合A＝{x||2－x|<5}，B＝{x||x＋ a|≥3}，且A∪B＝R，求a的取值范围． 【思路点拨】 化简两个集合，求出解集形 式，通过两解集区间端点的关系求a.
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【解】 (1)∵f(x)＝|x－3|＋|x＋2|≥|(x－3) －(x＋2)|＝5， 即f(x)min＝5，∴a<5. (2)问 题 可 转化 为 a>f(x)的 某些 值 ，由 题 意 a>f(x)min，同上得a>5. (3)问题可转化为对一切x∈R恒有 a≤f(x)⇔a≤f(x)min，可知a≤5.
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变式训练1 解不等式：|x＋2|－|x－1|<2x.
解：原不等式可化为：
x>1 x＋2－x－1<2x －2≤x≤1 x＋2＋x－1<2x
①或 ②
或x－<－x＋2 2＋x－1<2x ③.
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例5 解不形等如式|x|x＋－m1||±＋||x2＋－nx||<>(3或＋>x).x 【解】 原＋不p的等不式等变式为的|x解－法1|＋|x－2|>3＋x， 当x≥2时，原不等式变为x－1＋x－2>3＋x， 即x>6，∴x>6； 当1≤x<2时，原不等式变为x－1－(x－2)>3 ＋x， 即x<－2， ∴x∈∅；
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【解】 ∵A＝{x||2－x|<5}＝{x||x－2|<5}＝ {x|－5<x－2<5}＝{x|－3<x<7}； B＝{x||x＋a|≥3}＝{x|x＋a≥3，或x＋a≤－ 3}＝{x|x≥3－a，或x≤－a－3}， 又A∪B＝R，借助数轴如图所示．
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a 应满足－ 3－a－a≤3≥7. －3， ∴－4≤a≤0. ∴a 的取值范围是{a|－4≤a≤0}． 【名师点评】 解此类题，常借助数轴考虑， 把不变的集合固定好，让含参数的集合移动， 使它满足已知条件即可．
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当x<1时，原不等式变为－(x－1)－(x－2)>3 ＋x，即x<0，∴x<0. 综上可知，原不等式解集为{x|x<0或x>6}． 【名师点评】 以上例题用的解法叫零点分 段讨论法，含绝对值两个或两个以上的不等 式常用此法．首先找到使每个绝对值等于零 的点，然后分段讨论，再求各段结果的并 集．一般地，n个零点把数轴分成n＋1段．
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例4
形如|x＋m|±|x＋n|<(或>)a
的不等式的求解
解不等式|x－1|＋|x－2|>2. 【思路点拨】 可用零点分段讨论，可用图 象法，也可用绝对值几何意义求解．
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其图象如图．
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∴原不等式的解集为{x|x<12或 x>52}． 【名师点评】 法一关键是找零点，法二关 键是正确作出图象．
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【思路点拨】 仿照|x|>a，|x|<a的解集形式． 【解】 (1)原不等式等价为 －7<2x＋5<7. ∴－12<2x<2， ∴－6<x<1， ∴原不等式解集为{x|－6<x<1}． (2)由不等式|2x＋5|>7＋x， 可得2x＋5>7＋x或2x＋5<－(7＋x)， ∴x>2或x<－4. ∴原不等式解集为{x|x>2或x<－4}．
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变式训练1 解不等式|2x－1|<2－3x. 解：原不等式等价为 3x－2<2x－1<2－3x， 即22xx－ －11<>23－x－3x2， ， 得5xx<<1， 3，
原不等式解集为{x|x<35}．
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考点二 双向的绝对值不等式 例2 解不等式1<|2－x|≤7. 【思路点拨】 利用|x|>a与|x|<a的解法来转 化该不等式．
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例6 (1)对形任如意|xx＋∈mR|，±若|x＋|x－n|<3(|＋或|>x)＋a 2|>a恒 成立，求实恒数成a立的的取问值题范围． (2)关于x的不等式a>|x－3|＋|x＋2|的解集非 空，求实数a的取值范围． (3)关于x的不等式a>|x－3|＋|x＋2|在R上无 解，求实数a的取值范围．
学习目标 1.根据不等式的性质，利用绝对值不等式的 几何意义求解单向或双向的绝对质不等式； 2．在进行含有参数的不等式的求解问题时， 要学会分类讨论. 3.掌握常见不等式|x－c|＋|x－b|≥a的解 法．并会运用分段讨论法、图象法和几何法 来求解．
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1 ． 若 a>0 ， 且 |x|>a ， 则 _x_>_a_或__x_<_－__a__ ； 若 a>0，且|x|<a，则__－__a_<_x_<_a____. 2．|ax＋b|>c(c>0)型不等式的解法： (1)换元法：令t＝ax＋b，则|t|>c，故 __t>_c_或__t_<_－__c__ ，即_a_x_＋__b_>_c_或_a_x_＋__b_<__－__c， 然后再求x，得原不等式的解集．
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Baidu Nhomakorabea
【思路点拨】 对(1)来说，a<f(x)对x∈R恒 成立等价于a<f(x)的最小值，求f(x)的最小值， 只需使用含绝对值的重要不等式|x－3|＋|x＋ 2|≥|(x－3)－(x＋2)|＝5，求出|x－3|＋|x＋2| 的最小值，则问题获解． 对(2)(3)来说，问题的关键是如何转化，是 求函数f(x)＝|x－3|＋|x＋2|的最大值还是最 小值．