中心极限定理
中心极限定理的内容及意义
中心极限定理的内容及意义1. 中心极限定理呀，这可是个超神奇的东西呢！简单说就是不管原来的总体分布长啥样，只要样本量足够大，样本均值的分布就近似于正态分布。
就好比咱们学校组织抽奖，奖品有好多不同类型，一开始奖品的分布是乱七八糟的。
可是当抽奖的次数足够多，也就是样本量够大的时候，每次抽奖得到的平均奖品价值的分布就变得很有规律了，就像正态分布那样规规矩矩的。
这多奇妙啊！2. 中心极限定理的意义可不得了。
它就像一把万能钥匙，能打开很多统计学上的难题之门。
比如说，有个卖水果的小贩，他进的水果大小不一，最开始水果大小的分布特别复杂。
但是如果他每次称一大袋水果当作一个样本，称的次数多了，这些样本的平均水果大小就会遵循正态分布。
这让他能更好地预估自己水果的平均大小，然后定价啊，控制成本啥的，是不是超级有用？3. 嘿，中心极限定理！你知道吗？它让我们能在很复杂的情况下做出靠谱的估计。
想象一下，一个工厂生产各种形状和大小的零件，那些零件最初的尺寸分布乱得像一团麻。
但是呢，当我们从生产线每次取足够多的零件当作样本，样本的平均尺寸就会像听话的孩子一样，接近正态分布。
这就像给工程师们吃了颗定心丸，他们能根据这个来判断生产是否正常，多棒啊！4. 中心极限定理是统计学里的一颗璀璨明星啊。
它的内容就是告诉我们，即使总体是千奇百怪的分布，只要样本量上去了，样本均值的分布就向正态分布看齐。
就像一群性格各异的人，一开始乱哄哄的。
可是当把他们分成足够多的小组，每个小组的平均性格就会有一定的规律，就好像被正态分布的魔力给约束住了一样。
这对我们做调查研究可太有帮助了，能让我们从混乱中找到规律呢。
5. 哇塞，中心极限定理真的很牛！它的内容可以这么理解，无论总体的分布是像高山一样起伏不定，还是像迷宫一样错综复杂，只要样本数量足够大，样本均值的分布就会变得像正态分布那样平滑和有规律。
比如说，在一个大型的购物商场里，顾客的消费金额分布一开始各种各样。
中心极限定理的理解
中心极限定理的理解
中心极限定理是概率论中的一个重要定理，它指出在一定条件下，对于一个大样本量的随机变量的和或均值，其分布会趋近于一个正态分布。
具体来说，中心极限定理包括以下三个方面的理解：
1. 大样本量：中心极限定理适用于大样本量的情况，也就是说当样本量足够大时，中心极限定理成立。
2. 随机变量的和或均值：中心极限定理适用于将大样本量的随机变量进行求和或求均值的情况。
通过对这些随机变量的操作，得到的新的随机变量在一定条件下会服从近似正态分布。
3. 近似正态分布：当样本量足够大时，中心极限定理告诉我们随机变量的和或均值的分布会接近于正态分布。
这意味着当我们对大量随机变量进行求和或求均值时，可以用正态分布来进行近似计算。
总的来说，中心极限定理是概率论中非常重要的一个定理，它提供了在大样本量情况下近似计算随机变量和或均值分布的方法，为许多统计推断和假设检验提供了理论基础。
中心极限定理
中心极限定理中心极限定理（Central Limit Theorems）什么是中心极限定理大数定律揭示了大量随机变量的平均结果，但没有涉及到随机变量的分布的问题。
而中心极限定理说明的是在一定条件下，大量独立随机变量的平均数是以正态分布为极限的。
中心极限定理是概率论中最著名的结果之一。
它提出，大量的独立随机变量之和具有近似于正态的分布。
因此，它不仅提供了计算独立随机变量之和的近似概率的简单方法，而且有助于解释为什么有很多自然群体的经验频率呈现出钟形(即正态)曲线这一事实，因此中心极限定理这个结论使正态分布在数理统计中具有很重要的地位，也使正态分布有了广泛的应用。
中心极限定理的表现形式中心极限定理也有若干个表现形式，这里仅介绍其中四个常用定理：（一）辛钦中心极限定理设随机变量相互独立，服从同一分布且有有限的数学期望a和方差σ2，则随机变量，在n无限增大时，服从参数为a和的正态分布即n→∞时，将该定理应用到抽样调查，就有这样一个结论：如果抽样总体的数学期望a和方差σ2是有限的，无论总体服从什么分布，从中抽取容量为n的样本时，只要n足够大，其样本平均数的分布就趋于数学期望为a，方差为σ2 / n的正态分布。
（二）德莫佛——拉普拉斯中心极限定理设μn是n次独立试验中事件A发生的次数，事件A在每次试验中发生的概率为P，则当n无限大时，频率设μn / n趋于服从参数为的正态分布。
即：该定理是辛钦中心极限定理的特例。
在抽样调查中，不论总体服从什么分布，只要n充分大，那么频率就近似服从正态分布。
（三）李亚普洛夫中心极限定理设是一个相互独立的随机变量序列，它们具有有限的数学期望和方差：。
记，如果能选择这一个正数δ>0，使当n→∞时，，则对任意的x有：该定理的含义是：如果一个量是由大量相互独立的随机因素影响所造成的，而每一个别因素在总影响中所起的作用不很大，则这个量服从或近似服从正态分布。
（四）林德贝尔格定理设是一个相对独立的随机变量序列，它们具有有限的数学期望和方差满足林德贝尔格条件，则当n→∞时，对任意的x，有。
中心极限定理
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 O 1
x 2 3 4 5 6 7 8
记 则
Xk
1, 小球碰第 1, 小球碰第
k 1
( k 1, 2, ,15) n 15 k 层钉后向左落下 0, 2 1 近似 15 2 15 n 2 X N 0 1n 5 N( n , , ) ) 大数定律和中心极限定理 k
即至少要抽查147件产品才能保证拒绝这批产品的概率达到0.9．
大数定律和中心极限定理
例2．一批种子, 其中良种占1/6, 在其中任选6000粒, 试问在这
些种子中, 良种所占的比例与1/6之差的绝对值小于1%的概率. 解：设X表示取6000粒种子中的良种粒数, 则X~B(6000, 1/6), E(X)=6000×(1/6)=1000, D(X)=6000×(1/6)×(5/6).
Y20~N(10, 20/12)
P{Y20≤9.1} = P{Y20-10≤9.1-10}
Y20 10 Y20 10 9.1 10 P 0.7 P 20 /12 20 /12 20 /12
(0.7) 0.2420.
n X k n t2 x 1 2 k 1 lim Fn ( x ) lim P x e dt . n n n 2
大数定律和中心极限定理
n
中心极限定理的意义
对于均值为 ,方差 2 0 的独立同分布的 r.v. 列 有
2
证: 由于服从二项分布的随机变量和n 可看作n个相互独立服从 参数为p的(0-1)分布的随机变量X1,X2,…,Xn之和，即
n X i , 其中E( X k ) p, D( X k ) pq, k 1, 2,, n, q 1 p.
统计学中的中心极限定理简介
统计学中的中心极限定理简介统计学是研究数据收集、分析、解释和展示的科学。
在统计学中，有一个非常重要的概念被称为中心极限定理。
中心极限定理不仅为统计推断提供了理论基础，而且在实际应用中也起到了极其重要的作用。
无论是在自然科学、社会科学，还是在工程技术等多个领域，中心极限定理的应用无处不在。
本文将对中心极限定理进行详细介绍，探讨其含义、重要性、应用及相关实例。
中心极限定理的基本概念中心极限定理（Central Limit Theorem, CLT）是指在一定条件下，当样本容量足够大时，不论原始总体分布的形状如何，样本均值的分布趋近于正态分布。
这一定理为我们理解大量独立随机变量之和或者平均值提供了理论依据。
定义及数学表述若(X_1, X_2, , X_n)是来自同一总体的独立同分布随机变量，且它们的期望为()和方差为(^2)，则当样本容量(n)趋近于无穷时，样本均值({X} = _{i=1}^{n} X_i)的标准化形式：[ Z = ]将趋向于标准正态分布，即(N(0, 1))。
换句话说，对于大样本而言，样本均值的分布近似于正态分布，而这正是中心极限定理所要表达的核心内容。
中心极限定理的重要性中心极限定理的重要性体现在以下几个方面。
1. 理论基础作为统计推断的一部分，许多统计方法（如假设检验、置信区间等）都依赖于样本均值的正态性假设。
中心极限定理提供了在什么条件下可以使用正态分布的方法，使得这些统计方法具有更广泛的适用性。
2. 实际应用在实际工作中，我们通常会处理来自不同类型总体的数据。
中心极限定理使得即使底层数据不服从正态分布，我们依然可以使用基于正态分布的方法进行分析，这大大提高了数据分析过程的便利性。
3. 数据分析工具的发展许多现代数据分析工具和软件包都使用了中心极限定理作为其基础，帮助用户进行更精确的数据分析。
例如，在执行回归分析时，许多测试统计量依赖于中心极限定理，使得结果更具可信度。
中心极限定理的条件虽然中心极限定理适用于许多情况，但其成立需要满足一定条件：独立性：样本观测值必须是独立的。
中心极限定理
概率论与数理统计第四章正态分布§13 中心极限定理暨南大学电气信息学院苏保河主讲第四章正态分布§13 中心极限定理主要内容一、林德伯格—莱维中心极限定理二、棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理三、李雅普诺夫中心极限定理暨南大学电气信息学院苏保河主讲例1炮火轰击敌方防御工事100 次, 每次轰击命中的炮弹数服从同一分布, 其数学期望为2, 均方差为1.5. 若各次轰击命中的炮弹数是相互独立的, 求100 次轰击(1)至少命中180发炮弹的概率;(2)命中的炮弹数不到200发的概率.一、林德伯格—莱维中心极限定理解设X k 表示第k 次轰击命中的炮弹数,2()2,() 1.5,1,,100,k k E X D X k ==="相互独立,12100,,,X X X "苏保河主讲设X 表示100 次轰击命中的炮弹数, 由独立同分布的中心极限定理, 例1 解(续1)2()2,() 1.5,k k E X D X ==苏保河主讲1001,k k X X ==∑则2()200,()15,E X D X ==~(200,225).X N 近似地有{180}P X ≥1((180200)/15)Φ≈−−(1.33)Φ=(1)至少命中180发炮弹的概率;1( 1.33)Φ=−−0.9082.=1{180}P X =−<设X 表示100 次轰击命中的炮弹数, 由独立同分布的中心极限定理,例1 解(续2)2()2,() 1.5,k k E X D X ==苏保河主讲1001,k k X X ==∑则()200,()225,E X D X ==2~(200,15).X N 近似地有(2)命中的炮弹数不到200发的概率.{0200}P X ≤<((200200)/15)((0200)/15)ΦΦ≈−−−(0)(13.33)ΦΦ=−−0.5000.=例2检验员逐个检查某产品, 每查一个需用10秒钟. 但有的产品需重复检查一次,再用去10 秒钟. 若产品需重复检查的概率为0.5, 求检验员在8 小时内检查的产品多于1900 个的概率.解在8 小时内检查的产品多于1900 个,即检查1900 个产品所用时间小于8 小时.设X为检查1900 个产品所用的时间(秒),设Xk 为检查第k个产品所用的时间(单位为秒), k= 1, 2, …, 1900.苏保河主讲例3某车间有200 台车床独立地工作,开工率为0.6, 开工时每台耗电为r 千瓦.问供电所至少要供给这个车间多少电力,才能以99.9% 的概率保证这个车间不会因供电不足而影响生产？解设至少要供给该车间a千瓦的电力, X为开工的车床台数, 则X~ B(200, 0.6),由棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理,X~ N(120, 48) (近似),欲求a, 使{0}99.9%.P rX a≤≤=苏保河主讲李雅普诺夫中心极限定理的意义如果随机变量X 可以看成许多相的总和,互独立的起微小作用的因素Xk则X 服从或近似服从正态分布.苏保河主讲苏保河主讲1. 离散型随机变量的数学期望第三章内容小结定义1设X 是离散型随机变量, 其分布律是P {X = x k } = p k (k = 1, 2, …),如果收敛, 定义X 的数学期望1||k k k x p ∞=∑1()k k k E X x p ∞==∑一、数学期望2. 连续型随机变量的数学期望定义2设X 是连续型随机变量,()()d E X x f x x∞−∞=∫收敛, 定义X 的数学期望||()d x f x x ∞−∞∫其密度函数为f (x ), 如果苏保河主讲4. 数学期望的性质1.设C 是常数, 则E (C ) = C .4.设X , Y 独立, 则E (XY ) = E (X )E (Y ).2.若k 是常数, 则E (kX ) = kE (X ).3.E (X 1 + X 2) =E (X 1) + E (X 2).条件: X 1,X 2, …, X n 相互独立.11()().n n i i i i i i E C X C E X ===∑∑推广:11()().n n i i i i E X E X ===∏∏推广:苏保河主讲3. 方差的性质1)设a 是常数, 则D (a ) = 0.2)若a 是常数, 则D (aX ) = a 2D (X ).4)若X 1 与X 2相互独立, 则D (X 1±X 2) = D (X 1) + D (X 2).推广：若X 1, X 2, …, X n 相互独立, 则11[](),n ni i i i D X D X ===∑∑211[]().n n i i i i i i D C X C D X ===∑∑3)若a , b 是常数, 则D (aX + b ) = a 2D (X ).苏保河主讲4. 协方差的定义定义对于二维随机变量(X, Y),称E{[X-E(X)][Y-E(Y)]} 为X与Y 的协方差, 记为Cov(X, Y), 即Cov(X, Y) = E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}.5. 协方差的计算公式Cov(X,Y)=E(XY)–E(X)E(Y)推论: 若X 与Y 独立, 则Cov(X,Y) = 0.苏保河主讲6. 协方差的性质(1)Cov(X,Y)=Cov(Y,X)(2)Cov(aX,bY)=ab Cov(X,Y), a,b是常数(3)Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y)苏保河主讲若X 1, X 2, …, X n 两两独立, 则D (X +Y ) = D (X )+D (Y )+2Cov(X , Y )7. 随机变量和的方差与协方差的关系11()().n ni i i i D X D X ===∑∑11()()2Cov(,)n ni i i j i i i j D X D X X X ==<=+∑∑∑苏保河主讲9. 相关系数的性质2)|| 1.XY ρ≤0,XY ρ=1) X 和Y 独立时但其逆不真.定义对于随机变量X , 如果E (X k )( k = 1, 2, …) 存在, 则称它为X 的k 阶原点矩或k 阶矩.10. 矩和中心矩如果E {[X -E (X )]k } ( k = 1, 2, …) 存在, 则称它为X 的k 阶中心矩.苏保河主讲三、切比雪夫不等式与大数定理1. 马尔科夫不等式2. 切比雪夫不等式3. 切比雪夫大数定理4. 独立同分布下的大数定理5. 伯努利大数定理苏保河主讲用X 表示n 重伯努利试验中事件A 出现(成功)的次数, 其分布律称r.v. X 服从参数为n 和p 的二项分布, 注当n = 1 时, 称X 服从参数为p 的伯努利分布，或0-1 分布.1. 二项分布{}(1),k k n k n P X k C p p −==−0,1,,k n ="记作X ~ B (n , p ).苏保河主讲四、几个重要的随机变量苏保河主讲(),()(1).E X np D X np p ==−如果X ~ B (n , p ),结论：{}(1),k k n k n P X k C p p −==−0,1,,,k n ="2. 超几何分布定义将N个元素分为2 类, M个属于第一类, N－M个属于第二类, 从中按不放回抽样随机取n个元素. 令X表示这n 个元素中第一类元素的个数, 则称X服从超几何分布, 记为X h n N M~(,,)苏保河主讲。
中心极限定理几个
中心极限定理几个
中心极限定理是概率论中非常重要的一个定理，它可以帮助我们
理解随机现象背后的规律性。
该定理表明，随机变量的和或均值在一
定条件下，随着随机变量个数的增多，其分布趋近于正态分布，从而
更容易进行概率推断。
其中，最为著名的包括以下几个中心极限定理：
1. 切比雪夫定理：当一个随机变量的期望和方差都存在时，任何
一个k倍于标准差的差异的概率都不会超过1/k^2。
这个定理可以帮助我们衡量随机变量的离散程度，从而更好地理解样本总体的性质。
2. 中心极限定理：对于任意独立随机变量的序列，它们的和在一
定条件下服从正态分布。
这个定理是概率论中最著名的定理之一，它
告诉我们，大多数随机现象都可以用正态分布来近似，这对于实际问
题的解决有着重要意义。
3. 林德伯格-列维定理：对于一组独立同分布的随机变量，均值
的标准化值（即均值与总体均值的差除以标准误差）在一定条件下会
趋向于标准正态分布。
这个定理可以帮助我们通过样本均值来推断总
体的性质，进而做出概率性的决策。
总之，中心极限定理是概率论中最为重要的一个定理之一，从中
我们可以看到随机现象的规律性，这对科学研究和决策的制定都有着
非常重要的意义。
中心极限定理三个公式简单
中心极限定理三个公式简单中心极限定理啊，这可是统计学里一个相当重要的概念。
咱们今儿就来聊聊其中的三个公式，不过在这之前，我先跟您讲讲我之前遇到的一件小事儿。
有一次，我去参加一个集市。
那个集市上有个小游戏，就是扔飞镖扎气球。
摊主设定了一个规则，如果在连续十次投掷中，扎破气球的总数超过某个特定的值，就能得到一个大奖。
我在旁边观察了一会儿，发现参与的人不少，但大多数都没能达到那个标准。
这时候，我就开始琢磨了。
这不就和中心极限定理有点儿关系嘛！每个参与者每次扔飞镖扎破气球的概率其实都不太一样，有的准，有的不太准。
但是当参与的人数多起来，把每个人扎破的气球数加总起来，这个总数的分布就会呈现出一定的规律。
咱们先来说说中心极限定理的第一个公式。
它大致是说，如果从一个总体中抽取样本量为 n 的随机样本，并且当 n 足够大时，样本均值的抽样分布将近似服从正态分布。
这个公式就好像是在告诉我们，尽管单个样本的情况可能千差万别，但当我们把大量的样本平均一下，它们就会变得“听话”，乖乖地符合一定的规律。
比如说一个班级里学生的考试成绩。
每次考试的难度、每个学生的状态都不一样，但是如果我们抽取很多次考试的成绩，计算每次的平均成绩，你就会发现这些平均成绩的分布会接近正态分布。
再来说第二个公式。
它涉及到样本均值的标准差，也就是抽样分布的标准差。
这个公式告诉我们，抽样分布的标准差会随着样本量的增大而减小。
这意味着样本量越大，我们对总体均值的估计就越准确。
还是拿考试成绩来说事儿，如果我们只抽取几个学生的成绩来估计全班的平均成绩，可能误差会比较大。
但如果抽取一大半甚至全班学生的成绩，那估计的误差就会小很多。
最后是第三个公式。
它主要是用于计算样本均值与总体均值之间差异的概率。
通过这个公式，我们可以知道在给定的置信水平下，样本均值与总体均值之间的差距在多大范围内是合理的。
就好比我们要估计全校学生的平均身高，通过抽取一部分学生测量身高，然后利用这个公式，我们就能知道我们估计的全校平均身高有多大的把握是准确的。
中心极限定理及其应用
中心极限定理及其应用中心极限定理（Central Limit Theorem，CLT）是统计学中的一个重要定理，它描述了当随机变量具有一定的条件下，独立同分布的随机变量之和近似服从正态分布的现象。
具体来说，中心极限定理包括以下两个主要形式：1.林德伯格-列维中心极限定理（Lindeberg–Lévy CLT）：对于从任意分布中独立同分布抽取的n个随机变量的和，当n趋于无穷大时，这个和的标准化形式近似服从标准正态分布。
即使原始随机变量不是正态分布，这一定理仍然成立。
2.德梅勒-拉普拉斯中心极限定理（De Moivre–Laplace CLT）：对于二项分布或渐进服从二项分布的离散随机变量，经过适当的标准化处理，当抽样量n趋于无穷大时，其近似服从标准正态分布。
中心极限定理的应用广泛，以下是一些常见的应用场景：1.抽样分布的近似：当抽样量较大时，根据中心极限定理，我们可以使用正态分布来近似描述抽样分布，从而简化计算和推断统计。
2.参数估计与假设检验：中心极限定理可用于估计未知总体分布的参数，并进行统计推断。
例如，使用样本均值的抽样分布的近似可以进行置信区间估计和假设检验。
3.统计模型的诊断与推断：利用中心极限定理，我们可以对统计模型的残差进行正态性检验，以验证模型的合理性，并进行参数估计、模型比较和推断分析。
4.投资与金融分析：中心极限定理可以用于模拟股票价格、利率等金融变量的分布，从而帮助分析风险、定价衍生品等。
总之，中心极限定理是统计学中非常重要和有用的一个定理，它为我们提供了一种近似描述随机变量和抽样分布的方法，广泛应用于统计推断、参数估计、模型诊断和金融分析等领域。
概率论与数理统计§中心极限定理
• 引言 • 中心极限定理的基本概念 • 中心极限定理的证明 • 中心极限定理的应用 • 中心极限定理的扩展与推广 • 案例分析与实践应用 • 总结与展望
01
引言
主题简介
中心极限定理是概率论与数理统计中的重要概念，它描述了在独立同分布的随机 变量序列下，无论这些随机变量的分布是什么，它们的平均值的分布将趋近于正 态分布。
03
中心极限定理的证明
证明方法概述
方法一：基于特征函数的 证明
方法二：基于概率密度函 数的证明
ABCD
通过对特征函数的性质进 行分析，利用泰勒展开和 收敛性质，证明中心极限 定理。
通过分析概率密度函数的 性质，利用大数定律和收 敛定理，证明中心极限定 理。
重要极限公式
公式一： $lim_{{n to infty}} frac{S_n}{sqrt{n}} = N(0,1)$
中心极限定理的应用范围广泛，不仅限于金融、保险、医学等领域，还涉来研究的展望
01
随着大数据时代的到来，中心极限定理在处理大规模数据和复杂 随机现象方面的应用价值将更加凸显。未来研究可以进一步探索 如何优化中心极限定理的应用，提高其在实际问题中的适用性和 准确性。
02
随着数学和其他学科的交叉融合，中心极限定理与其他理 论或方法的结合应用将成为一个重要的研究方向。例如， 如何将中心极限定理与机器学习、人工智能等新兴技术相 结合，以解决更加复杂和具体的问题。
03
中心极限定理的理论基础和证明方法仍有进一步完善的空 间。未来研究可以深入探讨中心极限定理的数学原理，发 现新的证明方法和技巧，推动概率论与数理统计理论的进 一步发展。
07
总结与展望
中心极限定理课件
期值来检验总体的假设。
在金融数学中的应用
1 2
资产收益率分估投资组合的风险。
风险评估
中心极限定理可以用来评估投资组合的风险，通 过计算资产收益率的方差和相关性。
3
资本资产定价模型（CAPM）
中心极限定理是资本资产定价模型的基础，用于 评估资产的预期收益率和风险。
详细描述
当独立同分布的随机变量数量趋于无 穷时，这些随机变量的平均值的分布 趋近于正态分布，不论这些随机变量 的分布本身是什么。
弱收敛和依概率收敛
总结词
这是中心极限定理的两种收敛方式，弱收敛强调的是分布函数之间的收敛，而依概率收敛则关注事件发生的概率 。
详细描述
弱收敛是指当独立同分布的随机变量数量趋于无穷时，这些随机变量的平均值的分布函数趋近于正态分布函数。 依概率收敛则是指当独立同分布的随机变量数量趋于无穷时，这些随机变量的平均值以概率1趋近于某个常数。
05 中心极限定理的扩展和展 望
中心极限定理的推广和改进
推广到多元分布
将中心极限定理从一元分布推广到多元分布，研究多维随机变量 的分布性质。
考虑非独立随机变量
研究非独立随机变量的中心极限定理，探索它们之间的依赖关系对 极限分布的影响。
考虑不同收敛速度
研究不同收敛速度下的中心极限定理，以更准确地描述随机变量的 分布特性。
资产配置。
人口统计学
中心极限定理用于研究人口增长、 人口普查数据的分布等，帮助科学 家了解人口变化的规律。
生物学和医学
中心极限定理用于研究生物变异、 遗传基因频率的变化以及医学中的 临床试验和流行病学调查等。
02 中心极限定理的数学表述
独立同分布的中心极限定理
总结词
中心极限定理
浪的冲击看作一次试验,
并假设各次试验是独立的,
在90 000次波浪冲击中纵摇角大于 3º的次数为 X, 则 X 是一个随机变量, 且 X ~ b(90000, 1).
3
分布律为
P{ X
k}
90 000
1
k
2 90000k
,
k 3 3
所求概率为
k 1,,90000.
P{29500 X 30500}
30500
90000
1
k
2
90000
k
.
k29501 k 3 3
直接计算很麻烦，利用德莫佛－拉普拉斯定理
P{29500 X 30500}
P
29500
其他: 某个城市的用电总量；
某次大型考试的平均分等.
二、基本定理
独立同分布的中心极限定理
设随机变量 X1, X2 ,, Xn ,相互独立, 服从
同一分布, 且具有数学期望和方差：E( Xk ) ,
D( Xk ) 2 0 (k 1,2,), 则随机变量之和的
n Xk E n Xk
解：用 Xi=1表示第i台机床正常工作, 反之记为Xi=0.
又记Y=X1+X2+…+X200，则 E(Y)=140，Var(Y)=42.
设供电量为y, 则从
P{15Y
y}
y
/15
0.5 140 42
0.95
中解得 y 2252.
第二节--中心极限定理
四、拉普拉斯中心极限定理
例3 100台车床独立工作，每台实际工作时间占全部 工作时间的80%. 求任一时刻有70至86台车床工作的 概率.
解：设
Xi
0, 1,
第i台床不工作 第i台床工作
i 1, 2,
,100
则 Xi B(1, 0.8)
100
100
依题意， E( X ) E( Xi ) E( Xi ) 80
设随机变量序列{ Xi }(i 1, 2, )独立同分布，
EXi , DXi 2 , i 1, 2, ，则
lim
n
P
n i 1
n
Xi E( Xi )
i 1
n
D( Xi )
i 1
x
lim P n
n i 1
Xi n n 2
x
1
x t2
e 2 dt ( x)
2
设随机变量序列{ Xi }(i 1, 2, )独立同0-1分布，即
n
Xi B(1, p), EXi p, DX i pq, i 1, 2, ， X i nA，
i 1
n
n
lim n
P
i 1
Xi E( Xi )
i 1
n
D( Xi )
i 1
x
lim
n
P
nA np npq
x
近似
Xi N (n，n 2 ),
i 1
X
1 n
n
近似
X i N (， 2
i 1
n)
n
近似
~ Xi独立同0 - 1分布 Xi nA N (np，npq)
i 1
大数定律与中心极限定理
§5.3 中心极限定理
80 − 10 P ( 20000 × 8 ≤ 2000 X ) = 1 − P ( X ≤ 80) = 1 − Φ( ) 9.995 = 1 − Φ( 22.1) = 0
(2)应求概率 应求概率
20 − 10 P ( 20000 × 8 − 2000 X > 12000) = P ( X ≤ 20) = Φ( ) 9.995 = Φ( 3.16) = 0.9993
X n = ∑ n =1 Yk ~ B( n, p ). k
又因为
E (Yk ) = p, D(Yk ) = pq ≠ 0, k = 1,2,L,
由(5.9)式得 式得
X n ~ N ( np, npq ).
则当n很大时 很大时, 推论 设随机变量X ~ B( n, p ), 则当 很大时 从而可得近似公式: 近似地有 X ~ N ( np, npq )， 从而可得近似公式
n i =1
记S n = ∑ X i，则
n i =1
S n = ∑ Xi ~ N(nµ, nσ 2 ), (2)
n i =1
•
X= ∑
1 n
n k =1
X i , 则得近似公式
X ~ N(µ,
σ2
n
) ，
(3)
它表明,不论 原来分布情况如何， 它表明 不论 X k 原来分布情况如何，其n σ2 项平均值 X 总是可以近似认为服从 N ( µ , )， 这在数理统计中是很有用处的.正因为如此正 这在数理统计中是很有用处的 正因为如此正 态分布在概率统计中占有极为重要的地位. 态分布在概率统计中占有极为重要的地位
(3)对于概率 P (a ≤ X < b ), P (a < X < b ), 对于概率 均可用(5.15)进行计算 因为 很大 进行计算,因为 P (a ≤ X ≤ b ) 均可用 进行计算 因为n很大 的值都很小,可以忽略不 时, P ( X = a ), P ( X = b) 的值都很小 可Yn实际上是随机变量 S n = ∑n=1 X i i 的标准化.(5.9)式亦可记成 式亦可记成 的标准化
中心极限定理
分布, 只要满足定理的条件, 那么它们的和 X k
k 1
当 n 很大时,近似地服从正态分布.
定理三(德莫佛－拉普拉斯中心极限定理)
设随机变量n (n 1,2,) 服从参数为n, p
(0 p 1)的二项分布, 则 对于任意x, 恒有
lim P n
n np
np(1 p)
x
x
1
t2
并假设各次试验是独立的,在90 000次波浪冲击中
纵摇角大于 3º的次数为 X,
则 X 是一个随机变量,
且
X
~
b 90000,
1 3
.
分布律为
P{ X
k}
90 000
1
k
2 90000k
,
k 3 3
k 1,,90000.
所求概率为
P{29500
X
30500}
k
30500
2.321
1 (2.321) 0.01 .
例4对于一个学生而言, 来参加家长会的家长人数是
一个随机变量. 设一个学生无家长、1名家长、 2名
家长来参加会议的概率分别为0.05，0.8，0.15. 若
学校共有400名学生, 设各学生参加会议的家长数相
互独立, 且服从同一分布. (1) 求参加会议的家长数
29501
90000 k
1 3
k
2 3
90000
k
.
直接计算很麻烦，利用德莫佛－拉普拉斯定理
P{29500 X 30500}
P
29500
np(1
np p)
X np np(1 p)
30500 np(1
中心极限定理三个公式
中心极限定律公式是什么？公式如下图：
在概率论中，把研究在什么条件下，大量独立的随机变量之和的分布以正态分布为极限这一类定理称为中心极限定理。
扩展资料
中心极限定理是概率论中最重要的一类定理，它支撑着和置信区间相关的T检验和假设检验的计算公式和相关理论。
如果没有这个定理，之后的推导公式都是不成立的。
事实上，以上对于中心极限定理的两种解读，在不同的场景下都可以对A/B测试的指标置信区间判定起到一定作用。
对于属于正态分布的指标数据，我们可以很快捷地对它进行下一步假设检验，并推算出对应的置信区间；而对于那些不属于正态分布的数据，根据中心极限定理，在样本容量很大时，总体参数的抽样分布是趋向于正态分布的，最终都可以依据正态分布的检验公式对它进行下一步分析。
中心极限定理 证明
中心极限定理证明中心极限定理（Central Limit Theorem）是概率论中的一个重要定理，指的是当样本容量足够大时，样本均值的分布逼近于正态分布。
这一定理的证明可以从两个方面入手，一是通过独立随机变量的和的特点，二是通过特征函数的性质。
下面将依次介绍这两种证明方法。
首先从独立随机变量的和的特点进行证明。
设X1, X2, ..., Xn为独立同分布的随机变量序列，其期望和方差分别为μ和σ^2，定义Sn = (X1 + X2 + ... + Xn) / n为这n个随机变量的均值。
根据大数定理，当n趋向于无穷大时，Sn的极限为μ，即Sn依概率收敛于μ。
根据协方差的性质，有Var(Sn) = Var((X1 + X2 + ... + Xn) / n) = (1/n^2) * (Var(X1) + Var(X2) + ... + Var(Xn))。
由于X1,X2, ..., Xn为独立同分布的随机变量，它们的方差都相等，即Var(X1) = Var(X2) = ... = Var(Xn) = σ^2，所以Var(Sn) = σ^2 / n。
根据切比雪夫不等式，对于任意ε > 0，有P(|Sn - μ| ≥ ε) ≤ Var(Sn) / ε^2 = σ^2 / (nε^2)。
当n趋向于无穷大时，右边的概率趋近于0，即Sn依概率收敛于μ。
接下来，我们通过特征函数的性质进行证明。
设X1, X2, ..., Xn 为独立同分布的随机变量序列，其特征函数分别为φ(t) = E(e^itX1)，则Sn的特征函数为φ(t/n)^n。
根据独立随机变量和的特征函数的性质，有φ(t/n)^n = φ(t/n) * φ(t/n) * ... * φ(t/n)，其中有n个φ(t/n)相乘。
考虑到φ(t)的级数展开形式为φ(t) = 1 + itμ - (t^2σ^2)/ 2 + R(t)，其中R(t)为误差项。
将φ(t/n)带入展开形式得到：φ(t/n) = 1 + itμ/n - (t^2σ^2) / (2n^2) + R(t/n)。
中心极限定理 30个样本
中心极限定理 30个样本
中心极限定理（central limit theorem, CLT）是概率论中的一个重要定理，指的是当样本容量足够大时，一组独立同分布的随机变量的和的分布近似地服从正态分布。
具体来说，中心极限定理表明，对于一个独立同分布的随机变量序列X1, X2,..., Xn，其均值的分布（即样本均值）服从正态分布，即
lim(n->∞) P((X1+X2+...+Xn - nμ)/√(nσ^2)) ≤ x) =
Φ(x)
其中，μ是随机变量的期望，σ是随机变量的标准差，Φ(x)是标准正态分布的累积分布函数。
根据中心极限定理，当样本容量n足够大时，其样本均值的分布近似于正态分布。
这意味着，对于较大的样本量，即使原始数据并不服从正态分布，其样本均值的分布也会趋近于正态分布。
在中心极限定理中，并没有明确给出样本量需要达到多少才能满足近似正态分布的条件，一般认为当样本容量n大于30时，中心极限定理适用性较好。
因此，当我们有30个独立同分布的样本时，可以认为样本均值的分布近似服从正态分布。
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ｍ－ 相依序列的一个情形 。 对 ｍ－ 相 依 序 列 的 中 心极限定理 ， 将给出一个新的 、 更容易的证明 。 还
） （ ； ０， １ ｎ → #） → Ｎ （
２ 反之 ， 如果当 ｎ → # 时 ， ｍ ａ ｘ σ ｎ ｎ ｊ≤ｎ ｊ →０及 ｚ
Ｌ
Ｌ ２ ，则Ｓｎ → Ｎ （ 。 ２∑σ ０， σ） ０ ｉ ｉ＝１ ｎ 槡
ｍ
＝
∑Ｘ
ｎ ｊ
）， 则Ｌ ０， １ ｉ ｎ ｄ ｅ ｂ ｅ ｒ → Ｎ （ ｇ 条件成立 。
Ｌ
证明 因为
定理 ３ Ｌ 多变量情形 ｉ ｎ ｄ ｅ ｂ ｅ ｒ Ｆ ｅ ｌ ｌ ｅ ｒ定 理 ， － ｇ …） ， ， 设 Ｘｎ ｎ ＝ １， ２， 对每一个 ｎ（ ｎ ｊ １ ≤ｊ ≤ ｋ 是一列独立的 ， 在 Ｒ 空 间 中 取 值 的 随 机 向 量， 满
ｐ
σ 烄 ０ ０ Ｙ１烌 烄
第１ ３卷 第４期 ２ ０ １ ３年１ ２ 月
上 海 应 用 技 术 学 院 学 报（ 自 然 科 学 版） Ｊ ＯＵＲＮＡＬ Ｏ Ｆ ＳＨＡＮＧＨＡ Ｉ Ｉ Ｎ Ｓ Ｔ Ｉ ＴＵＴ Ｅ Ｏ Ｆ Ｔ Ｅ ＣＨＮＯ Ｌ ＯＧＹ（ ＮＡＴＵＲＡＬ Ｓ Ｃ Ｉ ＥＮＣ Ｅ）
Ｖ ｏ ｌ ． １ ３ Ｎ ｏ ． ４ ｅ ｃ ． ２ ０ １ ３ Ｄ
ｎ
#时
ｊ＝１
２ 其中 ， ｛ Ｉ｛ ｜Ｘｎ Ｘｎ ｜＞ε｝） Ｘｎ ｜＞ε｝ ｜ ｜ → ０， ｊ ｜Ｉ ｊ ｊ ∑Ｅ （
１， ｜Ｘｎ ＞ε ｊ｜ 是示性函数 ， 则 ｚｎ ＝ ＝ ｊ ∑Ｘｎ 其他 ０，
值 的 ｍ － 相 依 序 列， Ｓｎ ＝
｛
ｉ＝１
∑Ｙ
ｉ
。记 σ ０ ｊ ＝
２ （ ， …， ｃ ｏ ｖ Ｙｉ ， Ｙｉ＋ｊ） １， ｍ ，且 σ ＝σ ｊ ＝ ０， ０ ０ ＋
Ａ ｎ Ｉ ｎ ｔ ｒ ｏ ｄ ｕ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ ｔ ｏ ｔ ｈ ｅ Ｃ ｅ ｎ ｔ ｒ ａ ｌ Ｌ ｉ ｍ ｉ ｔ Ｔ ｈ ｅ ｏ ｒ ｅ ｍ ｓ
ＷＡＮＧ Ｚ ｈ ｕ ｕ ａ ｎ － ｊ
（ ， ， ） Ｓ ｃ ｈ ｏ ｏ ｌ ｏ ｆ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ ｓ Ｓ ｈ ａ ｎ ｈ ａ ｉ Ｉ ｎ ｓ ｔ ｉ ｔ ｕ ｔ ｅ ｏ ｆ Ｔ ｅ ｃ ｈ ｎ ｏ ｌ ｏ Ｓ ｈ ａ ｎ ｈ ａ ｉ ２ ０ １ ４ １ ８， Ｃ ｈ ｉ ｎ ａ ｇ ｇ ｙ ｇ
大数定律和中心极限定理是统计学的两大基 前者确保了统 计 推 断 至 少 在 样 本 增 大 时 可 以 石， 无限接近真相 ， 而后者则给出了大多数统计量分 布的正态近 似
［ ］ １ ２ －
由多个独立的小误差所造成的结果 。 存在着许多 情形 ， 观 察 并 不 受 误 差 影 响， 但 是， 正态分布的合 理性仍然可 以 用 中 心 极 限 定 理 来 保 证 。 例 如 ， 一 定年龄的成年人的身高的分布可以被认为是正态 的， 因为身高可以 被 看 作 是 许 多 独 立 的 微 小 影 响 ， 的总和 。 正态分布并不是起源于 Ｇ 至 少， 它 ａ ｕ ｓ ｓ 零散地出现在 Ｄ 他证明了 ｐ＝ ｅ Ｍ ｏ ｖ ｉ ｅ的工作中 ， １ 时的贝努利场合 （ 即： 第ｎ 个随机变量是投掷硬 ２ 币的结果 ） 的中心极限定理 。 在概率论中 ， 中心极 限定理给出一定的条件 ， 在这些条件下 ， 足够多的
ｊ＝１
（ ）对每个 ε ＞ ０， 当 ｎ → #时 ， ２
（ ｖ ａ ｒ Ｓｎ ）＝
ｉ＝１ ｊ＝１
（ ｏ ｖ Ｙ ∑ ∑ｃ
ｉ
， Ｙｊ）＝
第４期
ｎ
王筑娟 ： 中心极限定理介绍
讨论了经典中心 极 限 定 理 的 某 些 改 进 ， 其中包括 Ｂ ｅ ｒ ｒ Ｅ ｓ ｓ ｅ ｎ 界和 Ｅ ｄ ｅ ｗ ｏ ｒ ｔ ｈ 展式 。 － ｙ ｇ
１ 独立序列的中心极限定理
１． １ 独立同分布序列的中心极限定理 …是独立同分布的 定理 １ Ｃ Ｌ Ｔ 设 Ｘ１ ， Ｘ２ ， 随机向量 ， 均 值 为 ０， 且具有有限的协方差矩阵 。 则槡 ｎＸｎ →Ｎ （ ０， Σ， Σ） １． ２ 独立不同分布序列的中心极限定理 单变量情形 定理 ２ Ｌ ｉ ｎ ｄ ｅ ｂ ｅ ｒ Ｆ ｅ ｌ ｌ ｅ ｒ定 理 ， － ｇ 设
： ， Ａ ｂ ｓ ｔ ｒ ａ ｃ ｔ Ａ ｃ ｏ ｎ ｃ ｉ ｓ ｅ ｉ ｎ ｔ ｒ ｏ ｄ ｕ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ ｔ ｏ ｔ ｈ ｅ ｃ ｅ ｎ ｔ ｒ ａ ｌ ｌ ｉ ｍ ｉ ｔ ｔ ｈ ｅ ｏ ｒ ｅ ｍ ｓ ｗ ａ ｓ ｍ ａ ｄ ｅ ｉ ｎ ｃ ｌ ｕ ｄ ｉ ｎ ｔ ｈ ｅ ｃ ｌ ａ ｓ ｓ ｉ ｃ ａ ｌ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｏ ｎ ｇ ， ， Ｉ Ｉ Ｄ ｓ ａ ｍ ｌ ｅ ｓ Ｌ ｉ ｎ ｄ ｅ ｂ ｅ ｒ Ｆ ｅ ｌ ｌ ｅ ｒ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｏ ｎ ｆ ｏ ｒ ｉ ｎ ｄ ｅ ｅ ｎ ｄ ｅ ｎ ｔ ｌ ｂ ｕ ｔ ｎ ｏ ｔ ｉ ｄ ｅ ｎ ｔ ｉ ｃ ａ ｌ ｌ ｄ ｉ ｓ ｔ ｒ ｉ ｂ ｕ ｔ ｅ ｄ ｓ ｅ ｕ ｅ ｎ ｃ ｅ ｓ ａ ｎ ｄ ｔ ｏ － ｐ ｇ ｐ ｙ ｙ ｑ ａ ｉ ｖ ｅ ｎ， ｒ ｏ ｏ ｆ ｒ ｏ ｖ ｉ ｄ ｅ ｄ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｏ ｎ ｆ ｏ ｒ ｍ－ ｄ ｅ ｅ ｎ ｄ ｅ ｎ ｔ ｓ ｅ ｕ ｅ ｎ ｃ ｅ ｓ ｗ ａ ｓ ｆ ｏ ｒ ｗ ｈ ｉ ｃ ｈ ａ ｎ ｅ ｗ ａ ｎ ｄ ｅ ｓ ａ ｔ ｏ ｆ ｏ ｌ ｌ ｏ ｗ ｗ ａ ｓ － － ｇ ｐ ｐ ｐ ｑ ｙ ， ， ｗ ｅ ｌ ｌ ． Ｍ ｏ ｒ ｅ ｏ ｖ ｅ ｒ ｓ ｏ ｍ ｅ ｉ ｍ ｒ ｏ ｖ ｅ ｍ ｅ ｎ ｔ ｏ ｆ ｔ ｈ ｅ ｃ ｌ ａ ｓ ｓ ｉ ｃ ａ ｌ ｃ ｅ ｎ ｔ ｒ ａ ｌ ｌ ｉ ｍ ｉ ｔ ｔ ｈ ｅ ｏ ｒ ｅ ｍ ｓ ｗ ａ ｓ ａ ｌ ｓ ｏ ｄ ｉ ｓ ｃ ｕ ｓ ｓ ｅ ｄ ｉ ｎ ｃ ｌ ｕ ｄ ｉ ｎ ａ ｓ ｐ ｇ Ｂ ｅ ｒ ｒ Ｅ ｓ ｓ ｅ ｎ Ｂ ｏ ｕ ｎ ｄ ｓ ａ ｎ ｄ Ｅ ｄ ｅ ｗ ｏ ｒ ｔ ｈ ｅ ｘ ａ ｎ ｓ ｉ ｏ ｎ ｓ ． － ｙ ｇ ｐ ： ； Ｋ ｅ ｗ ｏ ｒ ｄ ｓ ｍ－ ｄ ｅ ｅ ｎ ｄ ｅ ｎ ｔ ｓ ｔ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ａ ｒ ｃ ｅ ｎ ｔ ｒ ａ ｌ ｌ ｉ ｍ ｉ ｔ ｔ ｈ ｅ ｏ ｒ ｅ ｍ； Ｂ ｅ ｒ ｒ Ｅ ｓ ｓ ｅ ｎ ｂ ｏ ｕ ｎ ｄ ｓ Ｅ ｄ ｅ ｗ ｏ ｒ ｔ ｈ ｅ ｘ ａ ｎ ｓ ｉ ｏ ｎ ｓ － ｙ ｐ ｙ； ｙ ｇ ｐ
ｎ
（ 是一个随 机 变 量 的 三 角 形 阵 列 。 其 中 Ｘｎ ｊ ｎ ＝ …， …， 是具有均值为０和方差为 １， ２， ２， ｎ） ｊ＝１，
ｎ
并且满足 σ 的独立随机变 量 序 列 ，
２ ｎ ｊ
ｊ＝１
∑σ
２ ｎ ｊ
＝ １。
如果 Ｌ 即对于 当ｎ → ｉ ｎ ｄ ｅ ｂ ｅ ｒ ε ＞０， ｇ条件成立 ，
ｋ ｎ
ｋ ｎ
ｊ＝１
｜Ｘ ∑Ｅ （
Ｌ
ｎ ｊ
２ Ｉ｛ ｜ Ｘｎ ｜＞ε｝） ｜ →０ ｊ
则
ｊ＝１
∑Ｘ
ｎ ｊ
。 ０， → Ｎ （ Σ）
对定理 ２ 和 ３， 要验证 Ｌ ｉ ｎ ｄ ｅ ｂ ｅ ｒ ｇ 条件常常并 而下述定理 ４ 的条件却是容易验证的 ， 但 不容易 ， 是条件更强 。 定理 ４ Ｌ ａ ｕ ｎ ｏ ｖ 中 心 极 限 定 理 设 Ｘ１ ， ｙ ｐ …， 是 一 列 独 立 的 随 机 变 量， 满 足 Ｅ（ Ｘ２ ， Ｘｎ ） ＝
］ ， 该定理见文献 ［ 但是 ， 本文的证明是全新 理， ３ ４ － 的， 且其特点是比原有的证明更简单易懂 。 如 果 对 任 意 给 定 的 ｋ， 随机向量（ Ｘｔ＋１ ， …， 的联 合 分 布 与 ｔ 无 关 ， 则称序列 Ｘｔ＋２ ， Ｘｔ＋ｋ ） …， 是严平稳的 。 如果只要 ｊ－ 有 Ｘ１ ， Ｘ２ ， ｉ＞ｍ ， （ …， …） 和（ 独 立， 则称严 Ｘ１ ， Ｘ２ ， Ｘｉ） Ｘｊ ， Ｘｊ＋１ ， 平稳序列 ｛ 为 ｍ－ 相依的 。 Ｘｎ ｝ …） 定理 ５ 设 Ｙｉ（ 是一个具有０均 ｉ＝１， ２，
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
。正态分布在历史上称为误差
律， 被Ｇ 因 此， 它 ａ ｕ ｓ ｓ用作天 文 观 测 误 差 的 模 型 ， 通常被称为 Ｇ 自然 ” ａ ｕ ｓ ｓ分布 。Ｇ ａ ｕ ｓ ｓ考虑某些 “ 的误差分布的假设 ， 例如观察值的算术平均是 “ 最 被观测到 的 数 量 ， 导 出 了 正 态 分 布， 而不是 可能 ” 作为一些独 立 随 机 变 量 和 的 极 限 。 如 今 ， 中心极 使得可以用正态分布来拟合那些 限定理 （ Ｃ Ｌ Ｔ）
收稿日期 ： ２ ０ １ ２ ０ ２ １ ９ － － ） 基金项目 ： 上海应用技术学院科技发展基金资助项目 （ Ｋ Ｊ ２ ０ ０ ８ １ ５ － ， ： 作者简介 ： 王筑娟 （ 女， 副教授 ， 主要研究方向为统计学 ． １ ９ ６ ５ Ｅ－ｍ ａ ｉ ｌ ｗ ａ ｎ ｚ ｉ ｔ ． ｅ ｄ ｕ． ｃ ｎ －） ＠ｓ ｇ ｊ
（ ） 文章编号 ： １ ６ ７ １ ７ ３ ３ ３ ２ ０ １ ３ ０ ４ ０ ３ ２ ５ ０ ４ － － －
中心极限定理介绍
王筑娟
（ ） 上海应用技术学院 理学院 ， 上海 ２ ０ １ ４ １ ８
摘要 ： 包括独立 同 分 布 样 本 的 经 典 中 心 极 限 定 理 ， 独立但 对中心极限定理作了简明的介绍 ， 不同分布的 Ｌ ｉ ｎ ｄ ｅ ｂ ｅ ｒ Ｆ ｅ ｌ ｌ ｅ ｒ中心极限定理和 ｍ－ 相依序列的中心极限定 理 。 特 别 对 ｍ－ 相 － ｇ 依序列中心极限定理 ， 给出了一个新的 、 更为简单易懂的证明 。 还讨论了对经典中心极限定理 包括 Ｂ 的近似的改进 ， ｅ ｒ ｒ Ｅ ｓ ｓ ｅ ｎ 界和 Ｅ ｄ ｅ ｗ ｏ ｒ ｔ ｈ 展式 。 － ｙ ｇ 关键词 ： Ｂ ｅ ｒ ｒ Ｅ ｓ ｓ ｅ ｎ界 ； Ｅ ｄ ｅ ｗ ｏ ｒ ｔ ｈ 展式 ｍ－ 相依平稳序列 ；中心极限定理 ； － ｙ ｇ 中图分类号 ：Ｏ２ １ ２． １ 文献标志码 ： Ａ