中心极限定理

收稿日期 ： ２ ０ １ ２ ０ ２ １ ９ － － ） 基金项目 ： 上海应用技术学院科技发展基金资助项目 （ Ｋ Ｊ ２ ０ ０ ８ １ ５ － ， ： 作者简介 ： 王筑娟 （ 女， 副教授 ， 主要研究方向为统计学 ． １ ９ ６ ５ Ｅ－ｍ ａ ｉ ｌ ｗ ａ ｎ ｚ ｉ ｔ ． ｅ ｄ ｕ． ｃ ｎ －） ＠ｓ ｇ ｊ
ｋ ｎ
ｋ ｎ
ｊ＝１
｜Ｘ ∑Ｅ （
Ｌ
ｎ ｊ
２ Ｉ｛ ｜ Ｘｎ ｜＞ε｝） ｜ →０ ｊ
则
ｊ＝１
∑Ｘ
ｎ ｊ
。 ０， → Ｎ （ Σ）
对定理 ２ 和 ３， 要验证 Ｌ ｉ ｎ ｄ ｅ ｂ ｅ ｒ ｇ 条件常常并 而下述定理 ４ 的条件却是容易验证的 ， 但 不容易 ， 是条件更强 。 定理 ４ Ｌ ａ ｕ ｎ ｏ ｖ 中 心 极 限 定 理 设 Ｘ１ ， ｙ ｐ …， 是 一 列 独 立 的 随 机 变 量， 满 足 Ｅ（ Ｘ２ ， Ｘｎ ） ＝
ｎ
#时
ｊ＝１
２ 其中 ， ｛ Ｉ｛ ｜Ｘｎ Ｘｎ ｜＞ε｝） Ｘｎ ｜＞ε｝ ｜ ｜ → ０， ｊ ｜Ｉ ｊ ｊ ∑Ｅ （
１， ｜Ｘｎ ＞ε ｊ｜ 是示性函数 ， 则 ｚｎ ＝ ＝ ｊ ∑Ｘｎ 其他 ０，
值 的 ｍ － 相 依 序 列， Ｓｎ ＝
｛
ｉ＝１
∑Ｙ
ｉ
。记 σ ０ ｊ ＝
２ （ ， …， ｃ ｏ ｖ Ｙｉ ， Ｙｉ＋ｊ） １， ｍ ，且 σ ＝σ ｊ ＝ ０， ０ ０ ＋
Ｌ
证明 因为
定理 ３ Ｌ 多变量情形 ｉ ｎ ｄ ｅ ｂ ｅ ｒ Ｆ ｅ ｌ ｌ ｅ ｒ定 理 ， － ｇ …） ， ， 设 Ｘｎ ｎ ＝ １， ２， 对每一个 ｎ（ ｎ ｊ １ ≤ｊ ≤ ｋ 是一列独立的 ， 在 Ｒ 空 间 中 取 值 的 随 机 向 量， 满
ｐ
σ 烄 ０ ０ Ｙ１烌 烄
大数定律和中心极限定理是统计学的两大基 前者确保了统 计 推 断 至 少 在 样 本 增 大 时 可 以 石， 无限接近真相 ， 而后者则给出了大多数统计量分 布的正态近 似
［ ］ １ ２ －
由多个独立的小误差所造成的结果 。 存在着许多 情形 ， 观 察 并 不 受 误 差 影 响， 但 是， 正态分布的合 理性仍然可 以 用 中 心 极 限 定 理 来 保 证 。 例 如 ， 一 定年龄的成年人的身高的分布可以被认为是正态 的， 因为身高可以 被 看 作 是 许 多 独 立 的 微 小 影 响 ， 的总和 。 正态分布并不是起源于 Ｇ 至 少， 它 ａ ｕ ｓ ｓ 零散地出现在 Ｄ 他证明了 ｐ＝ ｅ Ｍ ｏ ｖ ｉ ｅ的工作中 ， １ 时的贝努利场合 （ 即： 第ｎ 个随机变量是投掷硬 ２ 币的结果 ） 的中心极限定理 。 在概率论中 ， 中心极 限定理给出一定的条件 ， 在这些条件下 ， 足够多的
Ａ ｎ Ｉ ｎ ｔ ｒ ｏ ｄ ｕ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ ｔ ｏ ｔ ｈ ｅ Ｃ ｅ ｎ ｔ ｒ ａ ｌ Ｌ ｉ ｍ ｉ ｔ Ｔ ｈ ｅ ｏ ｒ ｅ ｍ ｓ
ＷＡＮＧ Ｚ ｈ ｕ ｕ ａ ｎ － ｊ
（ ， ， ） Ｓ ｃ ｈ ｏ ｏ ｌ ｏ ｆ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ ｓ Ｓ ｈ ａ ｎ ｈ ａ ｉ Ｉ ｎ ｓ ｔ ｉ ｔ ｕ ｔ ｅ ｏ ｆ Ｔ ｅ ｃ ｈ ｎ ｏ ｌ ｏ Ｓ ｈ ａ ｎ ｈ ａ ｉ ２ ０ １ ４ １ ８， Ｃ ｈ ｉ ｎ ａ ｇ ｇ ｙ ｇ
： ， Ａ ｂ ｓ ｔ ｒ ａ ｃ ｔ Ａ ｃ ｏ ｎ ｃ ｉ ｓ ｅ ｉ ｎ ｔ ｒ ｏ ｄ ｕ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ ｔ ｏ ｔ ｈ ｅ ｃ ｅ ｎ ｔ ｒ ａ ｌ ｌ ｉ ｍ ｉ ｔ ｔ ｈ ｅ ｏ ｒ ｅ ｍ ｓ ｗ ａ ｓ ｍ ａ ｄ ｅ ｉ ｎ ｃ ｌ ｕ ｄ ｉ ｎ ｔ ｈ ｅ ｃ ｌ ａ ｓ ｓ ｉ ｃ ａ ｌ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｏ ｎ ｇ ， ， Ｉ Ｉ Ｄ ｓ ａ ｍ ｌ ｅ ｓ Ｌ ｉ ｎ ｄ ｅ ｂ ｅ ｒ Ｆ ｅ ｌ ｌ ｅ ｒ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｏ ｎ ｆ ｏ ｒ ｉ ｎ ｄ ｅ ｅ ｎ ｄ ｅ ｎ ｔ ｌ ｂ ｕ ｔ ｎ ｏ ｔ ｉ ｄ ｅ ｎ ｔ ｉ ｃ ａ ｌ ｌ ｄ ｉ ｓ ｔ ｒ ｉ ｂ ｕ ｔ ｅ ｄ ｓ ｅ ｕ ｅ ｎ ｃ ｅ ｓ ａ ｎ ｄ ｔ ｏ － ｐ ｇ ｐ ｙ ｙ ｑ ａ ｉ ｖ ｅ ｎ， ｒ ｏ ｏ ｆ ｒ ｏ ｖ ｉ ｄ ｅ ｄ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｏ ｎ ｆ ｏ ｒ ｍ－ ｄ ｅ ｅ ｎ ｄ ｅ ｎ ｔ ｓ ｅ ｕ ｅ ｎ ｃ ｅ ｓ ｗ ａ ｓ ｆ ｏ ｒ ｗ ｈ ｉ ｃ ｈ ａ ｎ ｅ ｗ ａ ｎ ｄ ｅ ｓ ａ ｔ ｏ ｆ ｏ ｌ ｌ ｏ ｗ ｗ ａ ｓ － － ｇ ｐ ｐ ｐ ｑ ｙ ， ， ｗ ｅ ｌ ｌ ． Ｍ ｏ ｒ ｅ ｏ ｖ ｅ ｒ ｓ ｏ ｍ ｅ ｉ ｍ ｒ ｏ ｖ ｅ ｍ ｅ ｎ ｔ ｏ ｆ ｔ ｈ ｅ ｃ ｌ ａ ｓ ｓ ｉ ｃ ａ ｌ ｃ ｅ ｎ ｔ ｒ ａ ｌ ｌ ｉ ｍ ｉ ｔ ｔ ｈ ｅ ｏ ｒ ｅ ｍ ｓ ｗ ａ ｓ ａ ｌ ｓ ｏ ｄ ｉ ｓ ｃ ｕ ｓ ｓ ｅ ｄ ｉ ｎ ｃ ｌ ｕ ｄ ｉ ｎ ａ ｓ ｐ ｇ Ｂ ｅ ｒ ｒ Ｅ ｓ ｓ ｅ ｎ Ｂ ｏ ｕ ｎ ｄ ｓ ａ ｎ ｄ Ｅ ｄ ｅ ｗ ｏ ｒ ｔ ｈ ｅ ｘ ａ ｎ ｓ ｉ ｏ ｎ ｓ ． － ｙ ｇ ｐ ： ； Ｋ ｅ ｗ ｏ ｒ ｄ ｓ ｍ－ ｄ ｅ ｅ ｎ ｄ ｅ ｎ ｔ ｓ ｔ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ａ ｒ ｃ ｅ ｎ ｔ ｒ ａ ｌ ｌ ｉ ｍ ｉ ｔ ｔ ｈ ｅ ｏ ｒ ｅ ｍ； Ｂ ｅ ｒ ｒ Ｅ ｓ ｓ ｅ ｎ ｂ ｏ ｕ ｎ ｄ ｓ Ｅ ｄ ｅ ｗ ｏ ｒ ｔ ｈ ｅ ｘ ａ ｎ ｓ ｉ ｏ ｎ ｓ － ｙ ｐ ｙ； ｙ ｇ ｐ
ｊ＝１
（ ）对每个 ε ＞ ０， 当 ｎ → #时 ， ２
（ ｖ ａ ｒ Ｓｎ ）＝
ｉ＝１ ｊ＝１
（ ｏ ｖ Ｙ ∑ ∑ｃ
ｉ
， Ｙｊ）＝
第４期
ｎ
王筑娟 ： 中心极限定理介绍
３ ２ ６
上海应用技术学院学报 （ 自然科学版 ）
第１ ３卷
具有有限均值和方差的随机变量的均值近似服从 正态分布 。 本文将给出中 心 极 限 定 理 的 简 明 介 绍 ： 包括 经典的独立同分 布 样 本 的 情 形 ， 独立但不同分布 ） 序列的林德伯 格 费 勒 （ 情 形， 和 Ｌ ｉ ｎ ｄ ｅ ｂ ｅ ｒ Ｆ ｅ ｌ ｌ ｅ ｒ － ｇ
］ ， 该定理见文献 ［ 但是 ， 本文的证明是全新 理， ３ ４ － 的， 且其特点是比原有的证明更简单易懂 。 如 果 对 任 意 给 定 的 ｋ， 随机向量（ Ｘｔ＋１ ， …， 的联 合 分 布 与 ｔ 无 关 ， 则称序列 Ｘｔ＋２ ， Ｘｔ＋ｋ ） …， 是严平稳的 。 如果只要 ｊ－ 有 Ｘ１ ， Ｘ２ ， ｉ＞ｍ ， （ …， …） 和（ 独 立， 则称严 Ｘ１ ， Ｘ２ ， Ｘｉ） Ｘｊ ， Ｘｊ＋１ ， 平稳序列 ｛ 为 ｍ－ 相依的 。 Ｘｎ ｝ …） 定理 ５ 设 Ｙｉ（ 是一个具有０均 ｉ＝１， ２，
…
σ ０ ｍ
…
０
…烌 ０
σ ０ ０

σ ０ ｍ σ ０ ０

ｃ ｏ ｖ Ｙ２ ＝ σ ０ ｍ ０ σ 烆 烎 ０ ｍ 烆 所以对 ｎ≥ｍ
ｎ ｎ
（ ） 。 足Ｅ 如果 Ｘｎ ｏ ｖ Ｘｎ ｎ ｊ ＝ ０ 且协方差矩阵 Σ ｊ ＝ｃ ｊ
ｋ ｎ
０
烎
（ ）当 ｎ → # 时 ， Σｎ １ ∑ ｊ → Σ；
讨论了经典中心 极 限 定 理 的 某 些 改 进 ， 其中包括 Ｂ ｅ ｒ ｒ Ｅ ｓ ｓ ｅ ｎ 界和 Ｅ ｄ ｅ ｗ ｏ ｒ ｔ ｈ 展式 。 － ｙ ｇ
１ 独立序列的中心极限定理
１． １ 独立同分布序列的中心极限定理 …是独立同分布的 定理 １ Ｃ Ｌ Ｔ 设 Ｘ１ ， Ｘ２ ， 随机向量 ， 均 值 为 ０， 且具有有限的协方差矩阵 。 则槡 ｎＸｎ →Ｎ （ ０， Σ， Σ） １． ２ 独立不同分布序列的中心极限定理 单变量情形 定理 ２ Ｌ ｉ ｎ ｄ ｅ ｂ ｅ ｒ Ｆ ｅ ｌ ｌ ｅ ｒ定 理 ， － ｇ 设
ｎ
（ 是一个随 机 变 量 的 三 角 形 阵 列 。 其 中 Ｘｎ ｊ ｎ ＝ …， …， 是具有均值为０和方差为 １， ２， ２， ｎ） ｊ＝１，
ｎ
并且满足 σ 的独立随机变 量 序 列 ，
２ ｎ ｊ
ｊ＝１
∑σ
２ ｎ ｊ
＝ １。
如果 Ｌ 即对于 当ｎ → ｉ ｎ ｄ ｅ ｂ ｅ ｒ ε ＞０， ｇ条件成立 ，
—
Ｌ
１ Ｘｋ －μｋ ２ ＋ δ ∑Ｅ ｓ ｎ ｋ＝１ 成立 ， 则
ｎ
２ ＋ δ
# →０
ｎ→
Ｓｎ － Ｅ Ｓｎ Ｌ ） ０， １ → Ｎ （ ｓ ｎ
１． ３ 平稳 ｍ－ 相依序列的中心极限定理 本节讨论 平 稳 ｍ － 相 依 序 列 的 中 心 极 限 定
Ｘ１ １ Ｘ２ １ Ｘ３ １ … Ｘ２ ２ Ｘ３ ２ Ｘ３ ３
（ ） 文章编号 ： １ ６ ７ １ ７ ３ ３ ３ ２ ０ １ ３ ０ ４ ０ ３ ２ ５ ０ ４ － － －
中心极限定理介绍
王筑娟
（ ） 上海应用技术学院 理学院 ， 上海 ２ ０ １ ４ １ ８
摘要 ： 包括独立 同 分 布 样 本 的 经 典 中 心 极 限 定 理 ， 独立但 对中心极限定理作了简明的介绍 ， 不同分布的 Ｌ ｉ ｎ ｄ ｅ ｂ ｅ ｒ Ｆ ｅ ｌ ｌ ｅ ｒ中心极限定理和 ｍ－ 相依序列的中心极限定 理 。 特 别 对 ｍ－ 相 － ｇ 依序列中心极限定理 ， 给出了一个新的 、 更为简单易懂的证明 。 还讨论了对经典中心极限定理 包括 Ｂ 的近似的改进 ， ｅ ｒ ｒ Ｅ ｓ ｓ ｅ ｎ 界和 Ｅ ｄ ｅ ｗ ｏ ｒ ｔ ｈ 展式 。 － ｙ ｇ 关键词 ： Ｂ ｅ ｒ ｒ Ｅ ｓ ｓ ｅ ｎ界 ； Ｅ ｄ ｅ ｗ ｏ ｒ ｔ ｈ 展式 ｍ－ 相依平稳序列 ；中心极限定理 ； － ｙ ｇ 中图分类号 ：Ｏ２ １ ２． １ 文献标志码 ： Ａ
２ （ ｖ ａ ｒ Ｘｎ ） ＝ ０。 令 σ ｎ， ｎ ＜ # 并且至少有一个σ ｎ＞ μ Ｓｎ ＝ Ｘ１ ＋ Ｘ２ ＋ … ＋ Ｘｎ 且 ２ ２ ２ （ ｓ ｖ ａ ｒ Ｓｎ ）＝ 槡 σ ｎ ＝ 槡 １ ＋σ ２ ＋ … ＋σ ｎ 对某个δ＞０， 如果 Ｌ ａ ｕ ｎ ｏ ｖ 条件 ｙ ｐ
ｍ－ 相依序列的一个情形 。 对 ｍ－ 相 依 序 列 的 中 心极限定理 ， 将给出一个新的 、 更容易的证明 。 还
第１ ３卷 第４期 ２ ０ １ ３年１ ２ 月
上 海 应 用 技 术 学 院 学 报（ 自 然 科 学 版） Ｊ ＯＵＲＮＡＬ Ｏ Ｆ ＳＨＡＮＧＨＡ Ｉ Ｉ Ｎ Ｓ Ｔ Ｉ ＴＵＴ Ｅ Ｏ Ｆ Ｔ Ｅ ＣＨＮＯ Ｌ ＯＧＹ（ ＮＡＴＵＲＡＬ Ｓ Ｃ Ｉ ＥＮＣ Ｅ）
Ｖ ｏ ｌ ． １ ３ Ｎ ｏ ． ４ ｅ ｃ ． ２ ０ １ ３ Ｄ
） （ ； ０， １ ｎ → #） → Ｎ （
２ 反之 ， 如果当 ｎ → # 时 ， ｍ ａ ｘ σ ｎ ｎ ｊ≤ｎ ｊ →０及 ｚ
Ｌ
Ｌ ２ ，则Ｓｎ → Ｎ （ 。 ２∑σ ０， σ） ０ ｉ ｉ＝１ ｎ 槡
ｍ
＝
∑Ｘ
ｎ ｊ
）， 则Ｌ ０， １ ｉ ｎ ｄ ｅ ｂ ｅ ｒ → Ｎ （ ｇ 条件成立 。
。正态分布在历史上称为Байду номын сангаас差
律， 被Ｇ 因 此， 它 ａ ｕ ｓ ｓ用作天 文 观 测 误 差 的 模 型 ， 通常被称为 Ｇ 自然 ” ａ ｕ ｓ ｓ分布 。Ｇ ａ ｕ ｓ ｓ考虑某些 “ 的误差分布的假设 ， 例如观察值的算术平均是 “ 最 被观测到 的 数 量 ， 导 出 了 正 态 分 布， 而不是 可能 ” 作为一些独 立 随 机 变 量 和 的 极 限 。 如 今 ， 中心极 使得可以用正态分布来拟合那些 限定理 （ Ｃ Ｌ Ｔ）