第2章随机信号与噪声

2020/6/8
通信原理
6
第2章 随机信号与噪声分析
概括：
随机过程X(t)的含义／属性有三点： （1）X(t)是t 的函数。 （2）X(t)在任一时刻 t1上的取值X(t1)不是确定的，是一个 随机变量。
（3） X(t)的任一实现xi (t)是一个确定函数，随机性体现在 某一样本出现的随机上。
概率论：随机变量分析－－分布函数、概率密度和数字特征 研究内容－－随机过程统计描述：
可见：（1）其均值与t无关，为常数a；
（2）自相关函数只与时间间隔有关，为R(τ)。
2020/6/8
通信原理
20
第2章 随机信号与噪声分析
严平稳随机过程的数字特征： （1）其均值与t无关，为常数a；
（2）自相关函数只与时间间隔有关。
4.广义平稳随机过程 把同时满足（1）和（2）的随机过程定义为广义平稳随机
2020/6/8
通信原理
9
第2章 随机信号与噪声分析
（3）随机过程X (t)的多维描述 ●n维分布函数
Fn ( x1, x2 ,L , xn ;t1, t2 ,L tn )
P X (t1 ) x1, X (t2 ) x2 ,L , X (tn ) xn
● n维概率密度函数
Байду номын сангаас
fn
( x1，x2，L
2020/6/8
通信原理
5
第2章 随机信号与噪声分析
角度1：对应不同随机试验 结果的随机函数（时间过程） 的集合。 角度2：随机过程是随机变 量概念的延伸。
x1 (t) x2 (t)
xn (t)
t1
t2
t
图2-1 n台接收机的输出波形
讨论： ●随机过程在任意时刻t1的值X(t1)是一个随机变量。 ●因此，又可把随机过程看作是在时间进程中处于不同时刻的 随机变量的集合。
●一维分布函数
F1(x1,t1) P[X (t1) x1]
P[X (t1) x1] 表示随机变量X(t1)小于或等于某一数值x1的概率。 ●一维概率密度函数
f1(x1, t1)
F1(x1, t1) x1
若上式中的偏导存在的话。
2020/6/8
通信原理
8
第2章 随机信号与噪声分析
（2）随机过程X(t)的二维描述---反映随机过程在不同时刻取 值之间的关联程度。 ●二维分布函数
－－随机过程在任意给定时刻t的数学期望。
2020/6/8
通信原理
13
第2章 随机信号与噪声分析
E[X (t)] xf1(x，t)dx 记为 a(t)
X (t)的均值是时间的确定函数，常记作a ( t )，它表示随机过程 的n个样本函数曲线的摆动中心，故又常被称为统计平均或均 值。
X(t)
x1(t) x2(t)
通信原理
第2章 随机信号与噪声分析
西北工业大学
2019.3
第2章 随机信号与噪声分析
第2章 随机信号与噪声分析
－－本章是本课程的重要数学基础。 研究内容：
2.1 引言 2.2 随机过程的基本概念 2.3 平稳随机过程 2.4 高斯随机过程 2.5 平稳随机过程通过线性系统 2.6 窄带随机过程 2.7 正弦波加窄带随机过程 2.8 高斯白噪声和带限白噪声
X(t) ={x1(t), x2(t), …, xn(t)} ●每一条曲线xi(t)都是随机过程 的一个实现/样本－－为确定的时 间函数。
角度1：对应不同随机试验结果的随机函数（时间过程）的集合。 角度2：随机过程是随机变量概念的延伸。
●在某一特定时刻t1观察各台接收机的输出噪声值xi(t1) ，发现 他们的值是不同的－－ 是一个随机量（随机变量）。
19
第2章 随机信号与噪声分析 fn (x1,x2 , ,xn ；t1,t2 , ,tn ) fn (x1, x2 , , xn；t1 ,t2 , ,tn )
2.性质－－该定义表明：平稳随机过程的统计特性不随时间
的推移而改变。特别是：
●一维分布函数与时间t无关：
f1 (x1,t1 ) f1 (x1 )
●而二维分布函数只与时间间隔 = t2 – t1有关：
3.数字特征
f2 (x1, x2 ;t1,t2 ) f2 (x1, x2 ; )
E X (t)
x1 f1(x1)dx1 a
R(t1,t2 ) E[ X (t1) X (t1 )]
x1x2 f2 (x1, x2 ; )dx1dx2 R( )
通信原理
16
第2章 随机信号与噪声分析
R(t1,t2 ) E[X (t1)X (t2 )]
B(t1,t2 ) E{[X (t1) a(t1)][X (t2) a(t2)]} 相关函数和协方差函数之间的关系：
B(t1,t2 ) R(t1,t2 ) a(t1) a(t2 )
●特别：若a(t) =0，则 B(t1, t2) = R(t1, t2) （C）互相关函数－－两个不同随机过程X(t)、Y(t)的相关程度
f2 (x1, x2; t1, t2) － X (t)的二维概率密度函数。 可以看出，R(t1, t2)是两个变量t1和t2的确定函数。 （B）协方差函数
2020/6/8
B(t1，t2 ) E{[ X (t1) a(t1)][ X (t2 ) a(t2 )]}
[x1 a(t1)][x2 a(t2 )] f2 (x1，x2；t1，t2 )dx1dx2
2020/6/8
通信原理
11
第2章 随机信号与噪声分析
2.随机过程的数字特征
引言
●问题：随机过程的分布函数（或概率密度）族能够完善地 刻画随机过程的统计特性。但实际中：难；不必。
●措施：用随机过程的数字特征来描绘随机过程的统计特性， 更简单方便。
●方法：求随机过程数字特征的方法有“统计平均”和“时 间平均”两种。
xn (t)
同的波形！
t1
t2
t
2020/6/8
图2-1 n台接收机的输出波形
通信原理
4
第2章 随机信号与噪声分析
x1 (t ) x2 (t)
xn (t)
t1
t2
t
图2-1 n台接收机的输出波形
讨论：
●每一个记录xi(t)都是一个随机 起伏的时间函数－－随机函数。
●全部随机函数的集合－－随机 过程：
随机过程X(t)在任意给定时刻t1的取值X (t1)是一个随机变量， 其数学期望为
E X (t1) x1 f1(x1,t1)dx1
式中 f1 (x1, t1) － X(t1)的概率密度函数。 由于t1是任取的，所以可以把 t1 直接写为t， x1改为x，这样
E X (t)
xf1(x,t)dx
=E[X 2 (t)] a2 (t)
x2
f1
( x,
t )dx
[ a(t )]2
X(t) x1(t) x2(t)
xn(t) a(t)
均方值
均值平方
0
t1
t2
t
所以，方差等于均方值与均值平方之差，它表示随机过程在时
刻 t 相对于均值a ( t )的偏离程度。
2020/6/8
通信原理
15
第2章 随机信号与噪声分析
BXY (t1,t2 ) E{[X (t1) aX (t1)][Y (t2) aY (t2)]} 0
则称X(t)和Y(t)互不相关。 ●统计独立的两个随机过程是不相关的。 问：统计独立、互不相关、正交的关系。
2020/6/8
通信原理
18
第2章 随机信号与噪声分析
2.3 平稳随机过程
2.3.1 平稳随机过程的概念
1.定义 若一个随机过程X(t)，它的任意n维分布或概率密度函数与时 间起点无关，即对于任意的正整数n和所有实数，有
fn (x1,x2 , ,xn ；t1,t2 , ,tn ) fn (x1, x2 , , xn；t1 ,t2 , ,tn )
则称X(t)是平稳随机过程。
2020/6/8
通信原理
RXY (t1,t2 ) E[ X (t1)Y (t2 )]
●相应地：R(t1, t2)称为自相关函数。
●特别：
RXY (t1,t2 ) E[ X (t1)Y (t2 )] E[ X (t1)]E[Y (t2 )] --统计独立时
RXY (t1,t2 ) E[ X (t1)Y (t2 )] 0
随机过程
2020/6/8
通信原理
2
第2章 随机信号与噪声分析
2.1 引 言
通信----是在噪声背景下信号通过通信系统的过程，分析与研究通 信系统，总是离不开对信号和噪声的分析。
●随机信号：通信系统中用于表述信息的信号不可能是单一的、确 定的，而是具有不确定性和随机性。
●随机噪声：通信中存在的各种干扰和噪声，其波形更是随机的、 不可预测的。
2.2 随机过程的基本概念
2.2.1 随机过程的概念 考察：
假设有n台性能相同的接收机，在同样条件下不加信号测试 其输出。（n--足够大的正整数）
得到一系列噪声波形—记录x1(t)、x2(t)、x3(t)、...、xn(t) 。 结果：理想时，波形似乎应该一致，但实际不然。
x1 (t)
x2 (t)
找不到两个完全相
●随机过程：尽管随机信号和随机噪声是不可预测的、随机的，但 它们具有一定的统计规律。从统计学的观点看，均可表示为随机过 程。
随机过程是一类随时间作随机变化的过程，它不能用确切的时间 函数描述。
统计学中的有关随机过程的理论可以运用到随机信号和噪声分析 中来。
2020/6/8
通信原理
3
第2章 随机信号与噪声分析
任意给定时刻t1 、t2，X (t1) x1 和 X (t2 ) x2 同时成立的概率：
F2 (x1, x2;t1,t2 ,) P X (t1) x1, X (t2 ) x2
●二维概率密度函数
f2
(x1,
x2;t1,t2 )
2F2 (x1, x2;t1,t2 ) x1 x2
若上式中的偏导存在的话。
xn(t)
a (t )
2020/6/8
0
t1
t2
t
通信原理
14
第2章 随机信号与噪声分析
（2）方差
D[ X (t)] E{[ X (t) a(t)]2}
方差常记为 2( t )。这里也把任意时刻t1直接写成了t 。
因为
D X t E X 2 t 2a t X t a2 t
E[X 2 (t)] 2a t E X t a2 (t)
●显然，n 越大，对随机过程的描述越充分。
统计独立: 对于任何n个随机变量X(t1)，X(t2)，...，X(tn)，如果下式成
立 fn(x1, x2, ..., xn；t1, t2, ..., tn) = f1(x1, t1)f1(x2, t2)...f1(xn, tn)
则称这些变量是统计独立的，否则就是不独立的或相关的。 意义？
统计平均：对随机过程 X(t)某一特定时刻取值X(ti)－－随 机变量 ，用统计方法得出的种种平均值叫统计平均。
时间平均：对随机过程X(t)的某一特定实现xi(t) ，用数学 分析方法对时间求平均得出的种种平均值叫时间平均。
2020/6/8
通信原理
12
第2章 随机信号与噪声分析
（1）随机过程的数学期望（均值）
（3）相关函数与协方差－－随机过程不同时刻取值之间的相 互关系
假定：X(t1)和X(t2)分别是在t1和t2时刻观测得到的随机变量。 （A）自相关函数－－同一随机过程的相关程度
R(t1,t2 ) E[ X (t1) X (t2 )]
x1x2 f2 (x1, x2;t1,t2 )dx1dx2 =R( t,τ)
1. 随机过程的分布函数 2. 随机过程的数字特征
2020/6/8
通信原理
7
第2章 随机信号与噪声分析
1. 随机过程的分布函数
设X (t)表示一个随机过程，它在任意时刻t1的值X (t1)是一个随 机变量，根据概率论的知识，随机过程X(t)的---（1）随机过程X(t)的一维描述----反映随机过程在任一时刻取 值（随机变量！）的统计特性。
，xn；t1，t2，L
，tn
)
n Fn
(x1，x2，L ，xn；t1，t2，L x1x2 L xn
，tn
)
2020/6/8
通信原理
10
第2章 随机信号与噪声分析
目的/意义： ●可以把随机过程X(t)当作一个多元的随机变量来看待，
而用这个多元随机变量[X(t1)，X(t2)，...，X(tn)]的分布函数或 概率密度来描述随机过程的统计特性。
--相互正交
2020/6/8
通信原理
17
第2章 随机信号与噪声分析
（D）互协方差函数
BXY (t1,t2 ) E{[ X (t1) aX (t1)][Y (t2 ) aY (t2 )]} RXY (t1,t2 ) aX (t1)aY (t2 )
●显然：若aX(t)或aY(t) =0，则 BXY(t1, t2) = RXY (t1, t2) ●特别：若