二次函数压轴题之新定义问题(一)(讲义及答案)

二次函数压轴题之新定义问题（一）（讲义） 知识点睛
新定义问题是在已学知识基础上，以未接触过的新定义为载
体，现学现用，侧重考查理解、分析、应用等能力的问题。

此类问题的一般思路：
①结合图形，理解新定义关键词；
②借助题目正反举例，理解新定义实质，尝试“化生为熟”；
③结合背景信息，借助新定义求解．
精讲精练
1.如图，边长为8的正方形OABC的两边在坐标轴上，以C为
顶点的抛物线经过点A，P是抛物线上点A，C间的一个动点（含端点），过点P作PF⊥BC于点F．点D，E的坐标分别为(0，6)，(-4，0)，连接PD，PE，DE．
（1）请直接写出抛物线的解析式．
（2）小明探究点P的位置发现：当点P与点A或点C重合时，PD与PF的差为定值．进而猜想：对于任意一点P，PD与PF的差为定值．请你判断该猜想是否正确，并说明理由．（3）小明进一步探究得出结论：若将使△PDE的面积为整数的点P记作“好点”，则存在多个“好点”，且使△PDE的周长最小的点P也是一个“好点”．请直接写出所有“好点”的个数，并求出△PDE的周长最小时“好点”的坐标．
2.已知抛物线2y ax bx c =++，若a ，b ，c 满足b =a +c ，则称抛
物线2y ax bx c =++为“恒定”抛物线．
（1）求证：“恒定”抛物线2y ax bx c =++必过x 轴上的一个定点A ；
（2）已知“恒定”抛物线233y x =-的顶点为P ，与x 轴的另一个交点为B ，是否存在以Q 为顶点，与x 轴另一个交点为C 的“恒定”抛物线，使得以PA ，CQ 为边的四边形是平行四边形？若存在，求出抛物线解析式；若不存在，请说明理由．
3.如图1，P 为∠MON 的平分线上一点，以P 为顶点的角的两
边分别与射线OM ，ON 交于点A ，B ，如果∠APB 绕点P 旋转时始终满足2OA OB OP ⋅=，我们就把∠APB 叫做∠MON 的智慧角．
（1）如图2，已知∠MON =90°，P 为∠MON 的平分线上一点，以P 为顶点的角的两边分别与射线OM ，ON 交于点A ，B ，且∠APB =135°，求证：∠APB 是∠MON 的智慧角；
（2）如图1，已知∠MON =α（0°<α<90°），OP =2，若∠APB 是∠MON 的智慧角，连接AB ，用含α的式子分别表示∠APB 的度数和△AOB 的面积；
（3）如图3，C 是函数30y x x
=>（）的图象上一点，过点C 的直线与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，且BC =2AC ，请求出∠AOB 的智慧角∠APB 的顶点P 的坐标．
图1
图2
图3
4.在平面直角坐标系中，我们不妨将横坐标、纵坐标均为整数
的点称之为“中国结”．
（1）求函数32y x =+的图象上的所有“中国结”的坐标；
（2）若函数0k y k k x
=≠（，为常数）的图象上有且只有两个“中国结”，试求出常数k 的值与相应“中国结”的坐标；（3）若二次函数2222(32)(241)y k k x k k x k k =-++-++-（k 为常数）的图象与x 轴相交得到两个不同的“中国结”，则该函数的图象与x 轴所围成的平面图形中（含边界），一共包含多少个“中国结”？
【参考答案】
1.（1）2188
y x =-+（2）为定值2；
（3）“好点”个数为11，当△PDE 的周长最小时，“好点”坐标为：(-4，6)
2.
（1）必过点(-1，0)（2）存在；234333y x x =++或233y x =-+3.（1）证明略
（2）∠APB =180°2α-
；△AOB 的面积为2sin α（3）3232(
)22，或33()22-，4.（1）(0，2)
（2）k =1时，“中国结”的坐标为(1，1)，(-1，-1)；k =-1时，“中国结”的坐标为(-1，1)，(1，-1)；
（3）一共包含6个“中国结”：(-2，0)，(-3，0)，(-1，0)，(-1，1)，(0，0)，(1，0)。