高数 大一 上学期知识要点

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总复习(上)

一、求极限的方法:

1、利用运算法则与基本初等函数的极限; ①、定理 若lim (),lim ()f x A g x B ==, 则

(加减运算) lim[()()]f x g x A B +=+ (乘法运算) lim ()()f x g x AB = (除法运算) ()0,lim

()f x A

B g x B

≠=若 推论1: lim (),lim[()][lim ()]n n n

f x A f x f x A === (n 为正整数)

推论2: lim ()[lim ()]cf x c f x =

②结论m n a x b x --+++++11结论2: ()f x 是基本初等函数,其定义区间为D ,若0x D ∈,则

0lim ()()x x

f x f x →= 2、利用等价无穷小代换及无穷小的性质;

①定义1: 若0

lim ()0x

x f x →=或(lim ()0x f x →∞

=) 则称()f x 是当0x x → (或x →∞)时的无穷小. 定义2: ,αβ是自变量在同一变化过程中的无穷小:

若lim 1β

α

=, 则称α与β是等价无穷小, 记为αβ.

②性质1:有限个无穷小的和也是无穷小.

性质2: 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.

推论1: 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论2: 有限个无穷小的乘积也是无穷小. 定理2(等价无穷小替换定理) 设~,~α

αββ'',

且lim βα''存在, 则

(因式替换原则)

常用等价无穷小:

sin ~,tan ~,arcsin ~,arctan ~,x x x x x x x x

()()2

12

1cos ~,1~,11~,ln 1~,x

x x e x x x x x μ

μ--+-+

1~ln ,x a x a -()0→x

3、利用夹逼准则和单调有界收敛准则;

①准则I(夹逼准则)若数列,,n n n x y z (n=1,2,…)满足下列条件: (1)(,,,)n n n y x z n ≤≤=123;

(2)lim lim n n

n n y z a →∞→∞

==,

则数列n x 的极限存在, 且lim n n x a →∞

=.

②准则II: 单调有界数列必有极限.

4、利用两个重要极限。

0sin lim 1x x x →= 10lim(1)x x x e →+= 1lim(1)x x e x

→∞+= 5、利用洛必达法则。

未定式为0,,,0,00∞

∞∞-∞⋅∞∞

类型.

①定理(x a →时的0

型): 设

(1)lim ()lim ()0x a

x a

f x F x →→==;

(2) 在某(,)U a δ内, ()f x 及()F x 都存在且()0F x ≠; ()(3)lim ()

x a

f x F x →''存在(或为无穷大)

()()lim

lim

()()

x a x a f x f x F x F x →→'='则,

二、求导数和微分: 1.定义

①导数:函数()y f x =在0x x =处的导数:0000000()()()()

()lim lim .x x x f x f x f x x f x f x x x x

→∆→-+∆-'==-∆

函数()y f x =在区间I 上的导函数:

0()()()lim .x f x x f x dy

f x x dx

∆→+∆-==∆

②函数的微分:().dy f x dx '=

2.导数运算法则(须记住P140导数公式)

① 函数和差积商求导法则:函数()u x 、()v x 可导,则:

(()())()()u x v x u x v x αβαβ'''+=+

(()())()()()().u x v x u x v x u x v x '''=+

(

)2

(()0)u u v uv v x v v

''-''=≠

②反函数求导法则:若()x y ϕ=的导数存在且()0y ϕ'≠,

则反函数()y f x =的导数也存在且为

1().()

f x y ϕ'=

' ③复合函数求导法则(链式法则):()u x ϕ=可导,()y f u =可导,

则(())y f x ϕ=可导,且

.dy dy du dx du dx

= ④隐函数求导法则:

⑤参数方程求导法则:

(),()x t y t ϕψ=⎧⎨=⎩

若()0t ϕ'≠则()

()

dy t dx t ψϕ'='.

2

2()()()1()t dy d d d y t dx dx dx dx dt

dt

ψϕ''=

=⋅ 3.微分运算法则

三、求积分:

1.概念:原函数、不定积分。定积分是一个数,是一个和的极限形式。

1

()lim ()n

b

i i a

i f x dx f x λξ→∞

==∆∑⎰

性质1:

()0,()()a a b

a b

a

f x dx f x dx f x dx =-=⎰⎰⎰

性质2:[()()]()()b

b

b

a

a

a

f x

g x dx f x dx g x dx +=+⎰⎰⎰ 性质3:()(),().b b

a a

kf x dx k f x dx k =⎰⎰是常数

性质4:

()()()c c

b

b

a

a

f x dx f x dx f x dx =+⎰

⎰⎰ (去绝对值, 分

段函数积分)

性质5:

b

a

dx b a =-⎰

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