高数 大一 上学期知识要点
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总复习(上)
一、求极限的方法:
1、利用运算法则与基本初等函数的极限; ①、定理 若lim (),lim ()f x A g x B ==, 则
(加减运算) lim[()()]f x g x A B +=+ (乘法运算) lim ()()f x g x AB = (除法运算) ()0,lim
()f x A
B g x B
≠=若 推论1: lim (),lim[()][lim ()]n n n
f x A f x f x A === (n 为正整数)
推论2: lim ()[lim ()]cf x c f x =
②结论m n a x b x --+++++11结论2: ()f x 是基本初等函数,其定义区间为D ,若0x D ∈,则
0lim ()()x x
f x f x →= 2、利用等价无穷小代换及无穷小的性质;
①定义1: 若0
lim ()0x
x f x →=或(lim ()0x f x →∞
=) 则称()f x 是当0x x → (或x →∞)时的无穷小. 定义2: ,αβ是自变量在同一变化过程中的无穷小:
若lim 1β
α
=, 则称α与β是等价无穷小, 记为αβ.
②性质1:有限个无穷小的和也是无穷小.
性质2: 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.
推论1: 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论2: 有限个无穷小的乘积也是无穷小. 定理2(等价无穷小替换定理) 设~,~α
αββ'',
且lim βα''存在, 则
(因式替换原则)
常用等价无穷小:
sin ~,tan ~,arcsin ~,arctan ~,x x x x x x x x
()()2
12
1cos ~,1~,11~,ln 1~,x
x x e x x x x x μ
μ--+-+
1~ln ,x a x a -()0→x
3、利用夹逼准则和单调有界收敛准则;
①准则I(夹逼准则)若数列,,n n n x y z (n=1,2,…)满足下列条件: (1)(,,,)n n n y x z n ≤≤=123;
(2)lim lim n n
n n y z a →∞→∞
==,
则数列n x 的极限存在, 且lim n n x a →∞
=.
②准则II: 单调有界数列必有极限.
4、利用两个重要极限。
0sin lim 1x x x →= 10lim(1)x x x e →+= 1lim(1)x x e x
→∞+= 5、利用洛必达法则。
未定式为0,,,0,00∞
∞∞-∞⋅∞∞
类型.
①定理(x a →时的0
型): 设
(1)lim ()lim ()0x a
x a
f x F x →→==;
(2) 在某(,)U a δ内, ()f x 及()F x 都存在且()0F x ≠; ()(3)lim ()
x a
f x F x →''存在(或为无穷大)
()()lim
lim
()()
x a x a f x f x F x F x →→'='则,
二、求导数和微分: 1.定义
①导数:函数()y f x =在0x x =处的导数:0000000()()()()
()lim lim .x x x f x f x f x x f x f x x x x
→∆→-+∆-'==-∆
函数()y f x =在区间I 上的导函数:
0()()()lim .x f x x f x dy
f x x dx
∆→+∆-==∆
②函数的微分:().dy f x dx '=
2.导数运算法则(须记住P140导数公式)
① 函数和差积商求导法则:函数()u x 、()v x 可导,则:
(()())()()u x v x u x v x αβαβ'''+=+
(()())()()()().u x v x u x v x u x v x '''=+
(
)2
(()0)u u v uv v x v v
''-''=≠
②反函数求导法则:若()x y ϕ=的导数存在且()0y ϕ'≠,
则反函数()y f x =的导数也存在且为
1().()
f x y ϕ'=
' ③复合函数求导法则(链式法则):()u x ϕ=可导,()y f u =可导,
则(())y f x ϕ=可导,且
.dy dy du dx du dx
= ④隐函数求导法则:
⑤参数方程求导法则:
(),()x t y t ϕψ=⎧⎨=⎩
若()0t ϕ'≠则()
()
dy t dx t ψϕ'='.
2
2()()()1()t dy d d d y t dx dx dx dx dt
dt
ψϕ''=
=⋅ 3.微分运算法则
三、求积分:
1.概念:原函数、不定积分。定积分是一个数,是一个和的极限形式。
1
()lim ()n
b
i i a
i f x dx f x λξ→∞
==∆∑⎰
性质1:
()0,()()a a b
a b
a
f x dx f x dx f x dx =-=⎰⎰⎰
性质2:[()()]()()b
b
b
a
a
a
f x
g x dx f x dx g x dx +=+⎰⎰⎰ 性质3:()(),().b b
a a
kf x dx k f x dx k =⎰⎰是常数
性质4:
()()()c c
b
b
a
a
f x dx f x dx f x dx =+⎰
⎰⎰ (去绝对值, 分
段函数积分)
性质5:
b
a
dx b a =-⎰