概率论与数理统计同济大学第3章
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概率论与数理统计课件第三章ppt
Y X
y1
y2
...
yj
… pi·
x1 p11 p12 … p1 … p1·
x... 2 p... 21 x... i p... i1
p· p·1
p... 22 p... i2
p·2
…j
… p2
… j...
… …
p...pi·jj
… … … …
…
p... 2· p... i ·
1
j
例1.设袋中有五个同类产品，其中有两个 是次品，每次从袋中任意抽取一个，
设(X,Y)为连续型随机变量，其联合分布函 数和联合概率密度分别为F(x,y)和 f(x,y),则
f X
(x)
d dx
FX
(x)
f (x, y)dy
fY
( y)
d dy
FY
(
y)
f
(x,
y)dx
分别称为(X,Y)关于X和Y的边缘概率密度
函数，简称边缘概率密度。
例2. 设(X,Y)的分布密度是
e(xy) , x 0, y 0
3.1
例1.甲乙掷色子,观察点数。
w1i={甲掷i点} w2j={乙掷j点}
X,Y (i, j)
i,j=(1,2,…,6)
二维随机变量的定义
对于随机试验E，Ω是其样本空间。X(w) 和 Y(w)是定义在样本空间Ω上的两个随机变量, 由它们构成的向量(X,Y)称为二维随机变量 或二维随机向量。
y
w.
Y X
y1
y2
...
yj
…
x1 p11 p12 x... 2 p... 21 p... 22
x... i p... i1 p... i2
概率论与数理统计第三章
FX ( x) P( X x) P( X x, Y y) F ( x, ) FY ( y) P(Y y) P(Y y, X x) F (, y)
二维离散型随机变量的边缘分布密度
设（X,Y）为离散型随机变量，
P( X ai , Y b j ) pij ,
条件分布是一种概率分布，它具有概率 分布的一切性质. 正如条件概率是一种概率， 具有概率的一切性质.
例如：P ( X xi | Y y j ) 0, i=1,2, …
P( X x
i 1
i
|Y yj) 1
例1 已知（X,Y）的分布密度如下，分别求在 X=1和X=0条件下，Y的分布密度。 Y 1 0 X
若对于不同的(ai,bj)，Z ( X , Y ) 有相同的值，则应取这些相同值对应的概率之和。
例1：设（X,Y）联合概率分布为： X Y -1 2
-1
0
1
2
1/5 3/20 1/10 3/10 1/10 0 1/10 1/20
求X+Y,XY的概率分布。
例2：设（X,Y）相互独立，其分布密度为
常见的二维随机变量的分布
◆均匀分布 设G为平面区域， G的面积为A(0 A ), 若( X , Y )的分布密度为
1 ( x, y ) G A f ( x, y ) 其它 0 则称( X , Y )在G上服从均匀分布。
例2：设（X,Y）在区域G（0≤y≤2x,0 ≤x ≤2)上 服从均匀分布，求 (1)（X,Y）的分布密度、分布函数。 (2)概率P(Y>X2)
一般地，我们称n个随机变量的整体 X=(X1, X2, …，Xn)为n维随机变量或随 机向量.
二维离散型随机变量的边缘分布密度
设（X,Y）为离散型随机变量，
P( X ai , Y b j ) pij ,
条件分布是一种概率分布，它具有概率 分布的一切性质. 正如条件概率是一种概率， 具有概率的一切性质.
例如：P ( X xi | Y y j ) 0, i=1,2, …
P( X x
i 1
i
|Y yj) 1
例1 已知（X,Y）的分布密度如下，分别求在 X=1和X=0条件下，Y的分布密度。 Y 1 0 X
若对于不同的(ai,bj)，Z ( X , Y ) 有相同的值，则应取这些相同值对应的概率之和。
例1：设（X,Y）联合概率分布为： X Y -1 2
-1
0
1
2
1/5 3/20 1/10 3/10 1/10 0 1/10 1/20
求X+Y,XY的概率分布。
例2：设（X,Y）相互独立，其分布密度为
常见的二维随机变量的分布
◆均匀分布 设G为平面区域， G的面积为A(0 A ), 若( X , Y )的分布密度为
1 ( x, y ) G A f ( x, y ) 其它 0 则称( X , Y )在G上服从均匀分布。
例2：设（X,Y）在区域G（0≤y≤2x,0 ≤x ≤2)上 服从均匀分布，求 (1)（X,Y）的分布密度、分布函数。 (2)概率P(Y>X2)
一般地，我们称n个随机变量的整体 X=(X1, X2, …，Xn)为n维随机变量或随 机向量.
概率论与数理统计课件 第三章1
0, 其他.
求 (1) 边缘概率密度 pX ( x), pY ( y);
(2) P{ X＋Y ２}
y
(1,1)
y 1 x
2019/4/3
O x 1 x e2 x
第三章 多维随机变量及其分布
28
例3 设二维随机变量 ( X , Y ) 具有概率密度
Ce(3x4 y) , x 0, y 0,
(x, y)
2019/4/3
第三章 多维随机变量及其分布
23
3.说明
几何上, z p( x, y) 表示空间的一个曲面.
p( x, y)d x d y 1,
表示介于 p (x, y)和 xoy 平面之间的空间区域的 全部体积等于1.
P{( X ,Y )G} p( x, y) d x d y, G
19
2019/4/3
第三章 多维随机变量及其分布
20
2019/4/3
第三章 多维随机变量及其分布
21
四、二维连续型随机变量
1.定义
对于二维随机变量 ( X ,Y ) 的分布函数 F ( x, y), 如果存在非负的函数 p( x, y) 使对于任意 x, y 有
yx
F ( x, y)
p(u, v) d ud v ,
记 P{X xi , Y yj } pij , i, j 1, 2,
称此为二维离散型随机变量 ( X ,Y ) 的分布律, 或随机变量 X 和 Y 的联合分布律.
其中 pij 0,
pij 1.
i1 j1
2019/4/3
第三章 多维随机变量及其分布
13
二维随机变量 ( X,Y ) 的分布律也可表示为
1 ( arctan x)
概率论与数理统计第三章习题及答案
概率论与数理统计习题 第三章 多维随机变量及其分布习题3-1 盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球.以X 表示取到黑球的只数，以Y 表示取到红球的只数，求X 和Y 的联合分布律.（X ，Y ）的可能取值为(i , j )，i =0，1，2，3， j =0，12，i + j ≥2，联合分布律为 P {X=0, Y=2 }=351472222=C C C P {X=1, Y=1 }=35647221213=C C C C P {X=1, Y=2 }=35647122213=C C C C P {X=2, Y=0 }=353472223=C C C P {X=2, Y=1 }=351247121223=C C C C P {X=2, Y=2 }=353472223=C C C P {X=3, Y=0 }=352471233=C C C P {X=3, Y=1 }=352471233=C C C P {X=3, Y=2 }=0习题3-2 设随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧<<<<--=其它,0,42,20),6(),(y x y x k y x f（1） 确定常数k ； （2） 求{}3,1<<Y X P （3） 求{}5.1<X P ； （4） 求{}4≤+Y X P . 分析：利用P {(X , Y)∈G}=⎰⎰⎰⎰⋂=oD G Gdy dx y x f dy dx y x f ),(),(再化为累次积分，其中⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧<<<<=42,20),(y x y x D o解：（1）∵⎰⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞---==2012)6(),(1dydx y x k dy dx y x f ，∴81=k （2）83)6(81)3,1(321⎰⎰=--=<<dy y x dxY X P （3）3227)6(81),5.1()5.1(425.10=--=∞<≤=≤⎰⎰dy y x dx Y X P X P （4）32)6(81)4(4020=--=≤+⎰⎰-dy y x dxY X P x习题3-3 将一枚硬币掷3次，以X 表示前2次出现H 的次数，以Y 表示3次中出现H 的次数，求Y X ,的联合分布律以及),(Y X 的边缘分布律。
概率论与数理统计3章
VS
概率密度函数
描述连续随机变量在任意一点处的概率的 函数。
随机变量的期望与方差
期望
方差
数学期望或均值，是随机变量取值的平均数， 反映了随机变量的中心趋势。对于离散随机 变量，期望是所有可能取值的概率与其对应 的值的乘积之和；对于连续随机变量，期望 是积分概率密度函数在定义域内的值。
度量随机变量取值与其期望之间的偏离程度， 即各取值偏离其均值的大小。方差越小，各 取值越接近均值；方差越大，各取值越分散。
03
统计推断
参数估计
01
02
03
04
参数估计方法
根据样本数据，通过适当的方 法估计总体参数的过程。
点估计
用单一数值表示总体参数的估 计值，如算术平均数、中位数
等。
区间估计
给出总体参数的可能取值范围 ，如置信区间。
估计量的评选标准
无偏性、有效性和一致性。
假设检验
假设检验的基本思想
根据样本数据对总体参数作出推断，通过检验假设是 否成立来作出决策。
离散随机变量及其分布
离散概率分布
描述离散随机变量取各个可能值的概率的分布。常见的离散概率分布有二项分布、泊松分布等。
概率质量函数
描述离散随机变量取每一个可能值的概率的函数。
连续随机变量及其分布
连续概率分布
描述连续随机变量在某个区间内取值的 概率的分布。常见的连续概率分布有正 态分布、均匀分布、指数分布等。
定义
指数平滑法是一种时间序列预测方法，通过计算 时间序列的加权平均值来预测未来的值。
计算公式
指数平滑法的计算公式为`预测值 = α*当前值 + (1-α)*上期预测值`，其中α是平滑系数，取值范 围为0到1。
同济大学概率论与数理统计第三章
定 义： 称 A 、 B 、 C 是相互独立的，如果有
P AB P A P B ， P BC P B P C ， P AC P A P C ，
P ABC P A P B P C
四个等式都成立。
定义可以推广到n个事件上去
由题意 1-(0.4)n ≧0.99
解出n ≧5.027,即至少需要6门炮才能以 99%的把握命中敌机。
三 独立性在可靠性问题中的应用
一个产品或一个元件、一个系统的可靠 性可以用可靠度来刻划，所谓可靠度指的是 产品能正常工作的概率。 以下讨论中，假定一个系统中的各个元 件能否正常工作都是相互独立的。
例1，盒中装有16个球，6个玻璃球，其 中2个红色4个兰色；10个木质球，其中3个 红色7个兰色。现从中任取一球，记 A={取到玻璃球}，B={取到兰色球} 则 P（A）=6/16，P（B）=11/16。 AB={取到兰色玻璃球}， P（AB）=4/16
问“如果已知取到的是兰色 球，那么它是玻璃球的概率”是 多少？
例 3 中， P A2 B 0.4138
例4． 某厂生产的产品不合格率为 0.1%， 但是没有适当的仪器进行检验。有人声称 发明了一种仪器可以用来检验，误判的概 率仅 5%，试问厂长能否采用他发明的仪器？
定义 设Ａ１，Ａ２，…Ａn满足下面的 条件： （１）Ａ１，Ａ２，…Ａn两两互不相容； （２）Ａ１∪Ａ２∪…∪Ａn=Ω 则称Ａ１，Ａ２，…Ａn构成样本空间Ω的一 个划分（或称构成一个完备事件组）．
全概公式：如果随机事件 A1 , A2 ,
, An 构成
完备事件组，且都具有正概率，则对任一 事件 B 皆有
P B P Ai P B Ai
同济大学版概率论和数理统计修改版答案解析
概率论与数理统计练习题系 专业 班 姓名 学号第一章 随机事件及其概率（一）一．选择题1．对掷一粒骰子的试验，在概率论中将“出现奇数点”称为 [ C ]（A ）不可能事件 （B ）必然事件 （C ）随机事件 （D ）样本事件2．下面各组事件中，互为对立事件的有 [ B ]（A ）1A ={抽到的三个产品全是合格品} 2A ={抽到的三个产品全是废品}（B ）1B ={抽到的三个产品全是合格品} 2B ={抽到的三个产品中至少有一个废品}（C ）1C ={抽到的三个产品中合格品不少于2个} 2C ={抽到的三个产品中废品不多于2个}（D ）1D ={抽到的三个产品中有2个合格品} 2D ={抽到的三个产品中有2个废品}3．下列事件与事件A B -不等价的是 [ C ]（A ）A AB - （B ）()A B B ⋃- （C ）A B （D ）A B4．甲、乙两人进行射击，A 、B 分别表示甲、乙射中目标，则A B ⋃表示 [ C]（A ）二人都没射中 （B ）二人都射中（C ）二人没有都射着 （D ）至少一个射中5．以A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对应事件A 为. [ D]（A ）“甲种产品滞销，乙种产品畅销”； （B ）“甲、乙两种产品均畅销”；（C ）“甲种产品滞销”； （D ）“甲种产品滞销或乙种产品畅销6．设{|},{|02},{|13}x x A x x B x x Ω=-∞<<+∞=≤<=≤<，则AB 表示 [ A]（A ）{|01}x x ≤< （B ）{|01}x x <<（C ）{|12}x x ≤< （D ）{|0}{|1}x x x x -∞<<⋃≤<+∞7．在事件A ，B ，C 中，A 和B 至少有一个发生而C 不发生的事件可表示为 [ A]（A ）C A C B ； （B ）C AB ；（C ）C AB C B A BC A ； （D ）A B C .8、设随机事件,A B 满足()0P AB =，则 [ D ]（A ）,A B 互为对立事件 (B) ,A B 互不相容(C) AB 一定为不可能事件 (D) AB 不一定为不可能事件二、填空题1．若事件A ，B 满足AB φ=，则称A 与B 互不相容或互斥 。
概率论与数理统计第三章
(x, y) (X, Y)
☺ 说明
(x1, y2)
(x2, y2)
(x1, y1)
(x2, y1)
x
由上面的几何解释,易见: 由上面的几何解释,易见: 随机点(X, 落在矩形区域 落在矩形区域: 随机点 Y)落在矩形区域: {x1<X≤x2, y1<Y≤y2} 内的概率 P{x1<X≤x2 , y1<Y≤y2} =F(x2, y2)-F(x2, y1)- F(x1, y2)+F(x1, y1)
•
计算机科学学院
•
裘国永
第三章 多维随机变量及其分布
二维随机变量 边缘分布 条件分布 相互独立的随机变量 两个随机变量的函数的分布
本章内容是第二章内容的推广 一维随机变量及其分布
多维随机变量及其分布
由于从二维推广到多维一般无实质性的困难， 由于从二维推广到多维一般无实质性的困难， 我们重点讨论二维随机变量。 我们重点讨论二维随机变量。
二、联合分布函数 X和Y的联合分布函数（Joint distribution） 和 的联合分布函数（ ）
F( x, y) = P{( X ≤ x) I(Y ≤ y)}
= P { X ≤ x,Y ≤ y}
一维随机变量X 一维随机变量
∆
−∞ < x , y < ∞
X的分布函数 的分布函数
F( x) = P{ X ≤ x}
的分布律。 求(X,Y)的分布律。 的分布律
解：
A2 P{ X = 1, Y = 1} = 2 2 A5
2× 3 P{ X = 1, Y = 0} = 2 A5
3× 2 P{ X = 0, Y = 1} = 2 A5
A P{ X = 0, Y = 0} = A
概率论与数理统计教程(答案及课件)chapter3
,
则有
1 PZ x 2
e
x
du x
故
于是
Z
X
~ N 0 , 1 .
X ~ N , 2
X x FX x P X x P x
根据定理1,只要将标准正态分布的分布函数制 成表，就可以解决一般正态分布的概率计算问题.
2
设 X~ N ( , 2 ) ,
X 的分布函数是
2σ 2
F x
x 1 e 2πσ
( t μ )2
dt , x
正态分布由它的两个参数μ和σ唯一确定， 当μ和
σ不同时，是不同的正态分布。 下面我们介绍一种最重要的正态分布
标准正态分布
3
标准正态分布
7 （3）求P 1 X 2
解
kx , x f ( x ) 2 , 2 0,
0 x3 3 x4 其它
(1) 由
0
1 f ( x )dx 1得k 6
3
4
x
F x
x
f t dt , x
x2 x1
f ( x )dx
利用概率密度可确 定随机点落在某个 范围内的概率
4
若 f (x) 在点 x 处连续 , 则有
F ( x ) f ( x ).
5. 对连续型 r.v X , 有
P (a X b) P (a X b) P (a X b) P (a X b)
F(x) = P(X x) x<0 时，{ X x } = ， 故 F(x) =0 0 x < 1 时， 1 F(x) = P{X x} = P(X=0) = 3
同济大学《概率论与数理统计》PPT课件
随机事件 D=“出现的点数超过 6”= ，即一定不会发生的不可能事件。
同济大学数学系 & 人民邮电出版社
四、随机事件之间的关系与运算
第1章 随机事件与概率 10
（1）事件的包含
若事件 A 的发生必然导致事件 B 的发生, 则称事件A 包含在事件 B 中. 记作 A B .
BA
A B
同济大学数学系 & 人民邮电出版社
3
某快餐店一天内接到的订单量；
4
航班起飞延误的时间；
5
一支正常交易的A股股票每天的涨跌幅。
二、样本空间
第1章 随机事件与概率 6
一个随机试验，每一个可能出现的结果称为一个样本点，记为
全体样本点的集合称为样本空间, 记为 , 也即样本空间是随机试验的一切可能结果组成
的集合, 集合中的元素就是样本点. 样本空间可以是有限集, 可数集, 一个区间（或若干区间的并集）.
01 在相同的条件下试验可以重复进行;
OPTION
02 每次试验的结果不止一个, 但是试验之前可以明确;
OPTION
03 每次试验将要发生什么样的结果是事先无法预知的.
OPTION
一、随机试验
例1
随机试验的例子
第1章 随机事件与概率 5
1 抛掷一枚均匀的硬币，有可能正面朝上，也有可能反面朝上；
2
抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数；
（互斥）.
同济大学数学系 & 人民邮电出版社
2、随机事件之间的运算
第1章 随机事件与概率 12
（1）事件的并
事件 A 或 B至少有一个发生时, 称事件 A 与事件B 的并事件发生, 记为 A U B .
（2）事件的交（积）
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四、随机事件之间的关系与运算
第1章 随机事件与概率 10
（1）事件的包含
若事件 A 的发生必然导致事件 B 的发生, 则称事件A 包含在事件 B 中. 记作 A B .
BA
A B
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3
某快餐店一天内接到的订单量；
4
航班起飞延误的时间；
5
一支正常交易的A股股票每天的涨跌幅。
二、样本空间
第1章 随机事件与概率 6
一个随机试验，每一个可能出现的结果称为一个样本点，记为
全体样本点的集合称为样本空间, 记为 , 也即样本空间是随机试验的一切可能结果组成
的集合, 集合中的元素就是样本点. 样本空间可以是有限集, 可数集, 一个区间（或若干区间的并集）.
01 在相同的条件下试验可以重复进行;
OPTION
02 每次试验的结果不止一个, 但是试验之前可以明确;
OPTION
03 每次试验将要发生什么样的结果是事先无法预知的.
OPTION
一、随机试验
例1
随机试验的例子
第1章 随机事件与概率 5
1 抛掷一枚均匀的硬币，有可能正面朝上，也有可能反面朝上；
2
抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数；
（互斥）.
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2、随机事件之间的运算
第1章 随机事件与概率 12
（1）事件的并
事件 A 或 B至少有一个发生时, 称事件 A 与事件B 的并事件发生, 记为 A U B .
（2）事件的交（积）
概率论与数理统计同济大学第3章
密度函数;(2) X , Y 的边缘密度函数;(3) X 与Y 相互独立吗?为什么?(4) f X Y ( x 1) 与 f X Y ( x y ) ,其 y 2 ;(5)
P( X 2 Y 1) .
第三章 连续型随机变量及其分布
9
学号
专业
姓名
作业号
3.16
设随机变量 X E(1) .当已知 X x 时, Y R(0, x) ,其中 x 0 .试求 X 与Y 的联合密度函数.
3.20 设随机变量 X N(0,1),试求 Y X 的密度函数．
3.17 设 X 与Y 相互独立,X 服从集合{1,2,3}上的离散型均匀分布,即 P ( X k ) 1/ 3, k 1, 2,3, Y R(0, 4). 试求 P ( X Y 4 X 1) 与P(X Y 4) .[提示:用全概率公式计算后一个概率.]
第三章 连续型随机变量及其分布
7
学号Hale Waihona Puke 专业姓名作业号
3.1
设随机变量 X 服从二项分布 B(2,0.4) ．试求 X 的分布函数,并作出它的图像.
3.5
设随机变量 X 服从区间(—1,4)上的均匀分布． Y 表示对 X 作三次独立重复观测中事件 { X 2}出现的次
数.试求 P(Y 1) .
3.3
设 X 与Y 是独立同分布的随机变量,它们都服从 N(0,1) .试求 Z X2 Y 2 的分布函数与密度函数.
第三章 连续型随机变量及其分布
8
学号
专业
姓名
作业号
3.9
设某幢建筑物的使用寿命(单位： 年) X 服从正态分布 N (50,100) .(1)试求它能被使用 60 年的概率;(2)
概率论与数理统计教程第四版课后答案第三章.ppt
E( X ) 0 3 1 9 2 9 3 1 0.3
4 44 220 220
E( X 2 ) 02 3 12 9 22 9 32 1 0.409
4
44
220
220
D( X ) E( X 2 ) E 2 ( X ) 0.319 X D( X ) 0.565
1
t 2dt
0
0
2
A a3 2
t
1 2
e
t
dt
0
a3 A
2
(
3 2
)
a3 1 A
a3 A
1
22
4
4 A
a3
E( X ) 4
x e dx
x2 3 a2
x2 a2t
4
a3t
3 2
et
a
t
1
2 dt
a3 0
a3 0
2
2a tetdt 2a (2) 2a
0
20
E( X 2 ) 4
i
j
（2）设二维连续随机变量(X,Y)的联合概率密度为f(x, y)，则
随机变量X及Y 的数学期望分别定义如下：假定积分绝对收敛.
EX
xf
x,
ydxdy,
EY
yf x, ydxdy.
EX
xf X x dx,
EY
yfY y dy.
2
三、一维随机变量函数的数学期望
j
ij
6
连续型随机变量X ,Y ,
DX
x
EX
2
fX
xdx
x
EX
2
f
x,
y dxdy,
DY
[笔记]概率论与数理统计第三章课后习题参考答案同济大学出版社林伟初
![[笔记]概率论与数理统计第三章课后习题参考答案同济大学出版社林伟初](https://img.taocdn.com/s3/m/2f117a3cbc64783e0912a21614791711cc797999.png)
第三章1．解：考虑分5次取产品，每次取一个。
设随机变量X 表示取出的5个产品中的次品数，引入随机变量X i 表示第i 次取产品的结果：1 0 i i X i i ⎧=⎨⎩，第次取到次品（=1,2,3,4,5)，第次取到合格品则有12345X X X X X X =++++易知，X i 有相同的分布律：14109951001{1}10i C P P P X ⨯===， 19{0}11010i X P ==-=则911()01101010i X E =⨯+⨯= ，于是51234511()()()50.510i i E X E X X X X X E X ==++++==⨯=∑ 。
注意：随机变量X 并不服从二项分布，这是因为每次取产品的结果不是相互独立的，前面取产品的结果会影响到后面取产品的结果。
为了理解这一点，可以考虑求任意取出的20个产品中次品数的期望值；或者改成100个产品中有2个次品，求任意取出的5个产品中次品数的期望值；注意在这两种情形下，随机变量X 的可能取值。
2．解：设随机变量X 表示3人中生日在第一季度的人数，由于每个人生日在各个月份的机会是同样的，并且每个人的生日应该相互独立，因此(,)13 4X B ，那么3人中生日在第一季度的平均人数为().130754E X np ==⨯=。
3．略。
4．解：由于()X P λ ，因此(),()E X D X λλ==，再由公式()()[()]22D X E X E X =-，可求得()()[()]222E X D X E X λλ=+=+。
由数学期望的性质，有[()()][]()()22221232 32 32 22E X X E X X E X E X λλλλλ--=-+=-+=+-+=-+则可得到关于λ的方程2221λλ-+=亦即2210λλ-+=容易求得1λ=。
5．解：（1）设随机变量X 表示发生故障的设备台数，则依题意可知(,.)20 001X B ，由于20n =较大，.001p =较小，因此(.)02X P 近似。
概率论与数理统计课件 第三章2
(2) 设连续型随机变量( X ,Y )的联合概率密度为 p( x, y), 边缘概率密度分别为 pX ( x), pY ( y),则有
X 和 Y 相互独立 p( x, y) pX ( x) pY ( y).
2019/4/3
第三章 多维随机变量及其分布
14
例1 设两个独立的随机变量 X 与Y 的分布律为
因此 ( X ,Y ) 的联合分布律为
Y X
2
4
1 0.18 0.12
3 0.42 0.28
2019/4/3
第三章 多维随机变量及其分布
16
例2 已知 ( X ,Y ) 的分布律为
( X ,Y ) (1,1) (1,2) (1,3) (2,1) (2,2)
111 1
pij
6
9 18
3
(1) 求 与 应满足的条件;
2019/4/3
第三章 多维随机变量及其分布
11
例2 设数 X 在区间 (0,1) 上随机地取值,当观察到 X x (0 x 1) 时,数 Y 在区间 (0, x) 上随机地取 值.求 Y 的概率密度 fY ( y).
2019/4/3
第三章 多维随机变量及其分布
12
三、随机变量的独立性
1.定义
3
2.二维正态分布
若二维随机变量 ( X,Y ) 具有概率密度
p( x, y)
1
e 1 2(1 ρ2
)
(
x
μ1 σ12
)2
2
ρ(
x
μ1 )( σ1σ2
y
μ2
)
(
y
μ2 σ22
)2
2πσ1σ2 1 ρ2
其中μ1, μ2 , σ1, σ2 , ρ 均为常数,且σ1 0, σ2 0, 1 ρ 1.
X 和 Y 相互独立 p( x, y) pX ( x) pY ( y).
2019/4/3
第三章 多维随机变量及其分布
14
例1 设两个独立的随机变量 X 与Y 的分布律为
因此 ( X ,Y ) 的联合分布律为
Y X
2
4
1 0.18 0.12
3 0.42 0.28
2019/4/3
第三章 多维随机变量及其分布
16
例2 已知 ( X ,Y ) 的分布律为
( X ,Y ) (1,1) (1,2) (1,3) (2,1) (2,2)
111 1
pij
6
9 18
3
(1) 求 与 应满足的条件;
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第三章 多维随机变量及其分布
11
例2 设数 X 在区间 (0,1) 上随机地取值,当观察到 X x (0 x 1) 时,数 Y 在区间 (0, x) 上随机地取 值.求 Y 的概率密度 fY ( y).
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第三章 多维随机变量及其分布
12
三、随机变量的独立性
1.定义
3
2.二维正态分布
若二维随机变量 ( X,Y ) 具有概率密度
p( x, y)
1
e 1 2(1 ρ2
)
(
x
μ1 σ12
)2
2
ρ(
x
μ1 )( σ1σ2
y
μ2
)
(
y
μ2 σ22
)2
2πσ1σ2 1 ρ2
其中μ1, μ2 , σ1, σ2 , ρ 均为常数,且σ1 0, σ2 0, 1 ρ 1.
概率论与数理统计第三章
华东师范大学
第三章 多维随机变量及其分布
第18页
解: P{ X<2, Y<1}
2 1
{x 2, y 1}
y
p( x, y )dxdy
1 2
dx 6e ( 2 x 3 y ) dy
0 0
6 e dx e dy
2 x 3 y 0 0
2
1
{x<2, y<1}
y 1 x2
x y 1
2 2
y
其 它
-1 1 x
当|x|>1时，p(x, y)=0，所以 p(x)=0 当|x|≤1时,
p ( x)
1 x2
1 2 2 d y 1 x 1 x2
y 1 x2
不是均匀分布
6 December 2014
华东师范大学
华东师范大学
第三章 多维随机变量及其分布
第22页
二、多维超几何分布
口袋中有 N 只球，分成 r 类 。 第 i 种球有 Ni 只， N1+N2+……+Nr = N. 从中任取 n 只， 记 Xi 为取出的n 只球中第i 种球的只数. 则 (X1, X2, ……, Xr)的联合分布列为：
P146 例3.1.5
注意： P (X ,Y ) D p( x, y)dxdy
D
在
偏导数存在的点上有
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6 December 2014
第三章 多维随机变量及其分布
第15页
例3.1.2
Ae (2 x 3 y ) , x 0, y 0 若 (X, Y) ～ p( x, y ) 0, 其 它
概率论与数理统计第三章
F(x, y) P(X x,Y y)
称为二维随机变量(X，Y)的联合分布函数， 简称为(X，Y)的分布函数。
几何意义：F(x,y)表示随机点 落入以(x,y)为顶点而位于 该点左下方的无穷矩形区 域D内的概率。（如图阴 影部分）
随机点(X,Y) 落在矩形区域：x1 x x2, y1 y y2 内的概率为
设二维随机变量 (X,Y) 的分布函数为 F(x,y)，分别记关 于 X 和 Y 的边缘分布函数为 Fx(x)和 Fy(y)，由于 Fx(x)=P(X≤x,Y<+∞ )=F(x,+∞ ), 同理，有 Fy(y)=F(+∞ ,y). 由此看出，边缘分布函数Fx(x)，Fy(y)完全由联合分布 函数 F(x,y) 来确定。
y)
1/ 0
A ,
,
(x, y)G 其他
则称( X, Y )服从区域G上的均匀分布
与第2章中服从区间[a, b]上的均匀分布类似，服从区域 G 上的均 匀分布 (X, Y) 落在 G 中任一区域 D的概率只与的 D 面积成正比，
而与 D 的位置和形状无关。 P(X ,Y ) D m(D)
m(G)
第三章 多维随机变量及其分布
我们开始学习——多维随机变量 它是第二章内容的推广. 一维随机变量及其分布
多维随机变量及其分布 由于从二维推广到多维一般无实质性的 困难，我们重点讨论二维随机变量 .
到现在为止，我们只讨论了一维r.v及其分布. 但 有些随机现象用一个随机变量来描述还不够，而需 要用几个随机变量来描述.
y
.
（1）求(X, Y)的分布函数 F(x, y)； （2）求 P(0<X≤3，0<Y≤4)。
解 （1）F (x, y)
称为二维随机变量(X，Y)的联合分布函数， 简称为(X，Y)的分布函数。
几何意义：F(x,y)表示随机点 落入以(x,y)为顶点而位于 该点左下方的无穷矩形区 域D内的概率。（如图阴 影部分）
随机点(X,Y) 落在矩形区域：x1 x x2, y1 y y2 内的概率为
设二维随机变量 (X,Y) 的分布函数为 F(x,y)，分别记关 于 X 和 Y 的边缘分布函数为 Fx(x)和 Fy(y)，由于 Fx(x)=P(X≤x,Y<+∞ )=F(x,+∞ ), 同理，有 Fy(y)=F(+∞ ,y). 由此看出，边缘分布函数Fx(x)，Fy(y)完全由联合分布 函数 F(x,y) 来确定。
y)
1/ 0
A ,
,
(x, y)G 其他
则称( X, Y )服从区域G上的均匀分布
与第2章中服从区间[a, b]上的均匀分布类似，服从区域 G 上的均 匀分布 (X, Y) 落在 G 中任一区域 D的概率只与的 D 面积成正比，
而与 D 的位置和形状无关。 P(X ,Y ) D m(D)
m(G)
第三章 多维随机变量及其分布
我们开始学习——多维随机变量 它是第二章内容的推广. 一维随机变量及其分布
多维随机变量及其分布 由于从二维推广到多维一般无实质性的 困难，我们重点讨论二维随机变量 .
到现在为止，我们只讨论了一维r.v及其分布. 但 有些随机现象用一个随机变量来描述还不够，而需 要用几个随机变量来描述.
y
.
（1）求(X, Y)的分布函数 F(x, y)； （2）求 P(0<X≤3，0<Y≤4)。
解 （1）F (x, y)
概率论与数理统计(第三章第1节)
该概率值与区域 D 的形状、位置等均无关, 只与 D的面积有关。
24
回忆在第二章的 “一维均匀分布” 中, 随机点落入子区间的概率只与子区间的长 度有关, 像这种借助于几何度量指标（长 度, 面积, 体积等）计算概率, 可建立所谓 的 “几何概型” 。
25
几何概型的基本特点是: 基本事件等 可能, 总个数无限, 基本事件的总和（） 及其任意部分（事件A）都可以用同一个 几何指标 () 及 (A) 描述。 在几何概型中, 任意事件 A 的概率为
y
( x, y)
o x
8
(4) 对任意的实数 x1≤x2, y1≤y2, 有
F(x2, y2)－F(x1, y2)－F(x2, y1) + F(x1, y1)≥0
实际上, 上式 是随机点( X, Y ) 落入下面 区域内的概率。 y2
y1 x1 x2
9
如果有二元函数 F( x, y ) 满足上述四 个性质, 则它是某个二维随机变量的联合 分布函数。 从联合分布函数 F( x, y ) 的性质, 有 ◆由联合分布函数 F( x, y ) 可以确定边 缘分布函数 FX( x ) 和 FY( y ) 。 但是, 仅仅由边缘分布不能确定联合 分布。
p
i 1 j 1
ij
1
(3) 联合分布函数 F( x, y ) =
xi x y j y
p
ij
13
◆联合分布律与边缘分布律的关系
联合分布律可以确定边缘分布律, 有 如下公式:
P{ X xi } pi y j } pij
i 1
16
3. 二维连续型随机变量及联合概率密度 定义4. 设 F( x, y ) 是二维随机变量 ( X, Y ) 的分布函数, 如果存在非负函数 f ( x, y ), 使得对任意的实数对( x, y ) , 都有 F( x, y ) = 则称 ( X, Y ) 是二维连续型随机变量, 函数 f ( x, y ) 称为 ( X, Y ) 的联合概率密度。
24
回忆在第二章的 “一维均匀分布” 中, 随机点落入子区间的概率只与子区间的长 度有关, 像这种借助于几何度量指标（长 度, 面积, 体积等）计算概率, 可建立所谓 的 “几何概型” 。
25
几何概型的基本特点是: 基本事件等 可能, 总个数无限, 基本事件的总和（） 及其任意部分（事件A）都可以用同一个 几何指标 () 及 (A) 描述。 在几何概型中, 任意事件 A 的概率为
y
( x, y)
o x
8
(4) 对任意的实数 x1≤x2, y1≤y2, 有
F(x2, y2)－F(x1, y2)－F(x2, y1) + F(x1, y1)≥0
实际上, 上式 是随机点( X, Y ) 落入下面 区域内的概率。 y2
y1 x1 x2
9
如果有二元函数 F( x, y ) 满足上述四 个性质, 则它是某个二维随机变量的联合 分布函数。 从联合分布函数 F( x, y ) 的性质, 有 ◆由联合分布函数 F( x, y ) 可以确定边 缘分布函数 FX( x ) 和 FY( y ) 。 但是, 仅仅由边缘分布不能确定联合 分布。
p
i 1 j 1
ij
1
(3) 联合分布函数 F( x, y ) =
xi x y j y
p
ij
13
◆联合分布律与边缘分布律的关系
联合分布律可以确定边缘分布律, 有 如下公式:
P{ X xi } pi y j } pij
i 1
16
3. 二维连续型随机变量及联合概率密度 定义4. 设 F( x, y ) 是二维随机变量 ( X, Y ) 的分布函数, 如果存在非负函数 f ( x, y ), 使得对任意的实数对( x, y ) , 都有 F( x, y ) = 则称 ( X, Y ) 是二维连续型随机变量, 函数 f ( x, y ) 称为 ( X, Y ) 的联合概率密度。
同济大学概率论与数理统计
条件概率也是概率，满足概率的公理化 定义中的三条公理，即
公理1. P（A│B）≥0； 公理2. P（Ω│B）=1； 公理3. P（∪Ai│B）=∑P（Ai│B）
且有同样的性质。注意在同一个条件下使用。
比如：
1. P A B 1 P A B
2. P A B C P A C P AB C
P(AB)=P(A)P(B)
思考： 相互独立与互不相容有何区别？
上式即等价于
PB A PB，（当P A 0）
它的直观意义是一个事件的发生不影响另一 个事件发生的概率。上式也等价于
P A B P A，（当 p(B)>0）
.
独立性往往蕴涵在事物的内部。
一副扑克牌共52张，现从中随机地抽取一张， A={抽到K}，B={抽到红桃}，可以验证事件A,B 是相互独立的.
定理：若下列四对事件 A与B； A与B；A与B；A与B 中有一对相互独立，则另外三对也独立。
例1中我们也可以这样来求：
P AU B 1 P A U B 1 P AB
1 P A P B 1 0.4 0.5 0.8
定义：称 A 、 B 、 C 是相互独立的，如果有
P AB P A PB ， PBC PB PC， P AC P A PC ， P ABC P A PB PC
A={取到玻璃球}，B={取到兰色球}
则
P（A）=6/16，P（B）=11/16。
AB={取到兰色玻璃球}，
P（AB）=4/16
问“如果已知取到的是兰色 球，那么它是玻璃球的概率”是 多少？
上述概率可以记为P（A│B） P（A│B）=4/11
事实上这时的样本空间已经发生变化，变 成为{11个兰色球}，n=11
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0 x 2 ,2 y 4 其余
，试确定常数 c 的值，并由此求
出 P X Y 4 与 P X 1 X Y 4
3.15
已知 X 与Y 的联合密度函数 f ( x, y ) 如下.(1) X 与Y 相互独立吗?为什么?(2) P( X 1, Y 2) ;
3.27 设 X1, X2,..., Xn 是独立同分布的随机变量,它们都服从指数分布 E( ).记 U max X i ,(1)试求 U 的密 度函数;(2)记 V min X i , 试证 V E ( n ) ．[提示：先求 V 的密度函数.]
1i n
理 3.9.]
3.25
第三章 连续型随机变量及其分布
8
学号
专业
姓名
作业号
3.9
设某幢建筑物的使用寿命(单位： 年) X 服从正态分布 N (50,100) .(1)试求它能被使用 60 年的概率;(2)
已知这幢建筑物已经被使用了 30 年,试求它还能被使用 30 年的概率.
3.13
c 6 x y 设 X , Y 的密度函数为 f x, y 0
密度函数;(2) X , Y 的边缘密度函数;(3) X 与Y 相互独立吗?为什么?(4) f X Y ( x 1) 与 f X Y ( x y ) ,其 y 2 ;(5)
P( X 2 Y 1) .
第三章 连续型随机变量及其分布
9
学号
专业
姓名
作业号
3.16
设随机变量 X E(1) .当已知 X x 时, Y R(0, x) ,其中 x 0 .试求 X 与Y 的联合密度函数.
P ( X 0.5) ;(3)当 X 是连续型随机变量时,试求 X 的密度函数.
求该种晶体管不能工作 150 小时的概率;(2)一台仪器中装有 4 只此种晶体管,试求工作 150 小时后至少有 1 只失效的概率．假定这 4 只晶体管是否失效是互不影响的.
cx3, 0 x 1; 3.4 已知随机变量 X 的密度函数为 f (x) 确定常数 c 的值,并求出 P(1 X 0.5) 与分布函数. 余 . 0, 其
第三章 连续型随机变量及其分布
7
学号
专业
姓名
作业号
3.1
设随机变量 X 服从二项分布 B(2,0.4) ．试求 X 的分布函数,并作出它的图像.
3.5
设随机变量 X 服从区间(—1,4)上的均匀分布． Y 表示对 X 作三次独立重复观测中事件 { X 2}出现的次
数.试求 P(Y 1) .
3.3
设 X 与Y 是独立同分布的随机变量,它们都服从 N(0,1) .试求 Z X2 Y 2 的分布函数与密度函数.
3.7
设随机变量 X N (1,16) ．试求 P(2 X 5), P( X 3)与P( X 1) .
3.8 设随机变量 X N (0,1) .试对下列各种情形分别求出常数 c ,并把它用分位数记号表示.(1)
P( X c ) =0.9;(2) P( X c ) =0.9;(3) P( X c ) =0.9;(4) P( X c ) =0.9.
(3) f X Y ( x 1) 与 f X Y ( x y ) ,其中 y 0 ;(4) X 与Y 的联合分布函数.
2e(x2y), x 0, y 0; f (x, y) 其 余 Y ) 服从区域 G 上的均匀分布,其中 G 由直线 y x, y x与x 2 所围成.试求(1) X 与Y 的联合
已知随机变量 X 的分布函数如下.(1)当 a,b 取何值时 F ( x) 为连续函数?(2)当 F ( x) 连续时,试求
0, x 1; F ( x) a b arcsin x, 1 x 1; 1, x 1.
3.6
100x2, x 100; 设某种晶体管的寿命(单位：小时)是一个随机变量 X ,它的密度函数为 f (x) (1)试 0, 其 余 .
3.23 设 X 与Y 是独立同分布的随机变量,它们都服从均匀分布 R(0,1) .试求 Z X Y 的分布函数与密度 函数．
3.19 设随机变量 X N(,2) ,试求 Y eX 的密度函数.
第三章 连续型随机变量及其分布
10
学号
专业
姓名
1i n
作业号
3.24
设 X 与Y 相互独立, X N(2,1),Y N(1,2) ,试求 Z 2 X Y 3 的密度函数．[提示：利用定理 3.8 与定
3.20 设随机变量 X N(0,1),试求 Y X 的密度函数．
3.17 设 X 与Y 相互独立,X 服从集合{1,2,3}上的离散型均匀分布,即 P ( X k ) 1/ 3, k 1, 2,3, Y R(0, 4). 试求 P ( X Y 4 X 1) 与P(X Y 4) .[提示:用全概率公式计算后一个概率.]