容斥原理及公式的证明

已知全班每名学生都至少参观了三个场 中的一个,那么,三个场馆都参观的学生有 少人?
解:参观了丹麦馆或法国馆或西班牙馆 人数为50人(即班级人数50人,N=50人) 28+24+18=70人, 10+8+5=23人, 70-23=47人, 50-47=3人(即Nabc=3) 如果直接套用左边的公式,就是: =50-(28+24+18)+(10+8+5) =3(人)
证明:设Na,Nb,Nc分别表示图A,B,C覆
B N1 Na N4 Nab N2 Nb
面积;Nab,Nbc,Nca分别表示图A和B,B和C,
A共同覆盖的面积;Nabc表示图A,B,C共同覆盖
积.再设N1,N2,N3,N4,N5,N6,N7分别表示 总和. 则:N1=Na-Nab-Nca+Nabc, N2=Nb-Nab-Nbc+Nabc, N3=Nc-Nbc-Nca+Nabc N4=Nab-Nabc N5=Nbc-Nabc N6=Nca-Nabc N7=Nabc N=(N1+N2+N3)+(N4+N5+N6)+N7Baidu Nhomakorabea
容斥问题 某班50名学生前往上海世博会 参观丹麦,法国,西班牙三个场馆. 参观丹麦,法国,西班牙场馆的人数 分别是28,24,18人,其中既参观 丹麦馆又参观法国馆的10人,既参观 丹麦馆又参观西班牙馆的8人,既参 观法国馆又参观西班牙馆的5人. 已知全班每名学生都至少参观 了三个场馆中的一个,那么,三个场 馆都参观的学生有多少人?
A Na Nab Nabc Nbc Nca Nc C Nb
容斥原理是国家公务员考试的一个难点,很多考生都觉得无从下手 很多考生都觉得无从下手,其实,容斥原理关键内容就是两个公 要把这两个公式灵活掌握就可全面应对此类题型. ∩B|,或:N=Na+Nb-Nab. 1,两个集合的容斥关系公式:|A∪B|=|A|+|B|-|A∩B|
丹麦馆 Na=28人 Nab= 10人
法国馆 Nb=24人
题目:某班50名学生前往上海世博会参 丹麦,法国,西班牙三个场馆.参观丹麦, 国,西班牙场馆的人数分别是28,24,18人 其中既参观丹麦馆又参观法国馆的10人,既 观丹麦馆又参观西班牙馆的8人,既参观法国 又参观西班牙馆的5人.
Nabc Nbc Nca= =8人 5人 Nc=18人 西班牙馆
互不覆盖区域的面积;N表示7个互不覆盖区域的面
Nabc N7 Nbc Nca N5 N6 Nc N3 C
:
∪C|=|A|+|B|+|C|-|A∩B|-|B∩C|-|C∩A|+|A∩B∩C|
=(Na+Nb+Nc-2Nab-2Nbc-2Nca+3Nabc)+( +Nbc+Nca-3Nabc)+Nabc
N=(Na+Nb+Nc)-(Nab+Nbc+Nca)+Nabc
:
∪C|=|A|+|B|+|C|-|A∩B|-|B∩C|-|C∩A|+|A∩B∩C|
Nabc=N-(Na+Nb+Nc)+(Nab+Nbc+Nc
N=(Na+Nb+Nc)-(Nab+Nbc+Nca)+Nabc
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