圆柱圆台体积面积重量计算
圆台的表面积与体积计算公式
圆台的表面积与体积计算公式哎呀，说到圆台，这玩意儿可真是个有趣的家伙。
你知道，我最近在帮朋友搞装修，他那房子的天花板上就有个圆台形状的装饰。
我得说，这玩意儿看起来简单，但要算它的表面积和体积，可真是让我头疼了好一阵。
首先，让我给你讲讲圆台是啥。
圆台其实就是一个底面和顶面都是圆形，但大小不同的立体图形。
想象一下，你把一个圆柱的上半部分切掉，剩下的那部分就是圆台了。
它的上下两个圆面，一个叫底面，一个叫顶面，中间那个斜着的面，我们叫它侧面。
那天，我站在那个圆台下面，抬头看着它，心里想：“这玩意儿的表面积和体积怎么算呢？”我得算出来，因为朋友想要在圆台的侧面贴上壁纸，而且他想知道需要多少壁纸。
我拿出手机，搜了一下公式。
哦，圆台的表面积公式是：\[ A = \pi (r_1 + r_2) s + \pi r_1^2 + \pi r_2^2 \]，其中\( r_1 \)是底面半径，\( r_2 \)是顶面半径，\( s \)是斜高。
体积公式是：\[ V = \frac{1}{3} \pi h (r_1^2 + r_2^2 + r_1 r_2) \]，其中\( h \)是高。
我拿着卷尺，量了量底面和顶面的直径，然后除以2，得到了半径。
接着，我又量了量圆台的高度。
有了这些数据，我就可以开始计算了。
我先算表面积。
把数据代入公式，我得先算出斜高，这需要用到勾股定理。
斜高\( s \)可以通过\( s = \sqrt{h^2 + (r_1 - r_2)^2} \)算出来。
然后，我把斜高和半径代入表面积公式，再乘以圆周率\( \pi \)，就得到了表面积。
接着，我算体积。
把半径和高度代入体积公式，再乘以\( \frac{1}{3} \pi \)，就得到了体积。
说实话，这个过程挺繁琐的，但当我算出来的那一刻，我还是挺有成就感的。
我告诉朋友需要多少壁纸，他高兴得不得了。
最后，我站在那个装饰好的圆台下面，看着它，心想：“这圆台，虽然看起来简单，但计算起来还真是不简单啊。
圆台体积公式和表面积
圆台体积公式和表面积
圆台是指由两个同心圆面和它们之间的部分组成的几何体。
圆台有一个较小的底面、一个较大的底面和一个斜面。
它可以用以下公式计算其体积和表面积。
首先，我们来看圆台的体积公式。
假设圆台的底面半径为R，顶面半径为r，高为h。
那么它的体积公式为：
V = 1/3 * π * h * (R^2 + R*r + r^2)
其中，π是一个常数，约等于3.14159。
这个公式是通过将圆台分解为许多无穷小的圆柱体，并将它们的体积相加而得出的。
该公式的推导过程可以在数学书籍或在线数学资源中找到。
接下来，让我们看一下圆台的表面积公式。
假设圆台的底面半径为R，顶面半径为r，斜面的侧面角为α，高为h。
那么它的表面积公式为：
A = π * (R+r) * l + π * R^2 + π * r^2
其中，l是圆台的母线长度，可以使用勾股定理计算：
l = √(h^2 + (R-r)^2)
注意，圆台的表面积由三个部分组成：侧面积、底面积和顶面积。
侧面积可以通过将圆台展开成一个扇形并计算弧长来计算。
底面积和顶面积则分别为一个圆的面积。
圆台体积计算公式
圆台体积计算公式
计算圆台体积是一个常见的数学问题。
圆台是一种几何体，其形状类似于圆柱的上半部分，其体积可以由以下公式计算：
圆台体积= π × 底面半径 × 底面半径 × 圆台高度
其中，π是圆周率，底面半径是圆台底面半径，圆台高度是圆台高度，单位由使用者决定。
首先，在使用该公式计算圆台体积之前，我们必须准备好三个参数：圆台底面半径、圆台高度以及圆周率π。
圆台底面半径和圆台高度容易获得，只要测量出圆台底面半径以及高度就可以了。
而圆周率π，通常这个参数可以从数学书中查找到，一般来说，π的值大约是3.14。
然后，根据上述公式，只要将三个参数代入公式，就可以计算出圆台的体积了。
比如，如果圆台的底面半径是5厘米，高度是6厘米，则圆台的体积可以用以下公式计算：
圆台体积= π × 5 × 5 × 6 = 282.8 厘米³
最后，在计算圆台体积时，请确保使用正确的参数以及单位，以免出现误差。
此外，圆台不仅可以用于计算体积，还可以用于求解其他几何问题，例如求解圆台的表面积等，有兴趣的读者可以自行探索。
高中数学必修二 19-20 第8章 8 3 2 第1课时圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积
8.3.2圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积第1课时圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积学习目标核心素养1.通过对圆柱、圆锥、圆台的研究，掌握圆柱、圆锥、圆台的表面积与体积的求法．(重点)2．会求与圆柱、圆锥、圆台有关的组合体的表面积与体积．(难点、易错点)1.借助圆柱、圆锥、圆台的表面积、体积的计算，培养数学运算素养．2．通过对圆柱、圆锥、圆台的体积的探究，提升逻辑推理的素养.1．圆柱、圆锥、圆台的表面积圆柱底面积：S底＝πr2侧面积：S侧＝2πrl表面积：S＝2πrl＋2πr2圆锥底面积：S底＝πr2侧面积：S侧＝πrl表面积：S＝πrl＋πr2圆台上底面面积：S上底＝πr′2下底面面积：S下底＝πr2侧面积：S侧＝πl(r＋r′)表面积：S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)2.圆柱、圆锥、圆台的体积公式 V 圆柱＝πr 2h (r 是底面半径，h 是高)， V 圆锥＝13πr 2h (r 是底面半径，h 是高)，V 圆台＝13πh (r ′2＋r ′r ＋r 2)(r ′、r 分别是上、下底面半径，h 是高)．1．判断正误(1)圆柱的表面积就是侧面积．( )(2)在一个圆锥中，母线长度不一定相同．( ) (3)圆台是用平行于底面的平面截圆锥得到的．( ) [答案] (1)× (2)× (3)√2．圆柱的侧面展开图是长12 cm ，宽8 cm 的矩形，则这个圆柱的体积为( ) A.288π cm 3 B.192π cm 3 C.288π cm 3或192π cm 3D ．192π cm 3C [圆柱的高为8 cm 时，V ＝π×⎝ ⎛⎭⎪⎫122π2×8＝288π cm 3，当圆柱的高为12 cm时，V ＝π×⎝ ⎛⎭⎪⎫82π2×12＝192π cm 3.]3．圆台的上、下底面半径分别为3和4，母线长为6，则其表面积等于( ) A ．72 B ．42π C ．67πD ．72πC [表面积S ＝π(3＋4)×6＋π×32＋π×42＝67π.]圆柱、圆锥、圆台的表面积【例面积的比是( )A.1＋2π2πB.1＋4π4πC.1＋2ππD.1＋4π2π(2)已知圆台的上、下底面半径分别是2,6，且侧面面积等于两底面面积之和． ①求圆台的母线长． ②求圆台的表面积．(1)A [设圆柱底面半径为r ，则高为2πr ， 表面积∶侧面积＝[(2πr )2＋2πr 2]∶(2πr )2＝1＋2π2π.](2)[解] ①设圆台的母线长为l ，则由题意得 π(2＋6)l ＝π×22＋π×62， ∴8πl ＝40π，∴l ＝5， ∴该圆台的母线长为5. ②由①可得圆台的表面积为 S ＝π×(2＋6)×5＋π·22＋π×62 ＝40π＋4π＋36π ＝80π.圆柱、圆锥、圆台的表面积的求解步骤解决圆柱、圆锥、圆台的表面积问题，要利用好旋转体的轴截面及侧面展开图，借助于平面几何知识，求得所需几何要素，代入公式求解即可，基本步骤如下：(1)得到空间几何体的平面展开图． (2)依次求出各个平面图形的面积． (3)将各平面图形的面积相加．1．轴截面是正三角形的圆锥称作等边圆锥，则等边圆锥的侧面积是底面积的( )A ．4倍B ．3倍C .2倍D ．2倍D [由已知得l ＝2r ，S 侧S 底＝πrl πr 2＝lr ＝2，故选D.]圆柱、圆锥、圆台的体积【例2】 圆锥的过高的中点且与底面平行的截面把圆锥分成两部分的体积之比是( )A ．1∶1B ．1∶6C ．1∶7D ．1∶8C [如图，设圆锥底半径OB ＝R ，高PO ＝h ， ∵O ′为PO 中点，∴PO ′＝h2， ∵O ′A OB ＝PO ′PO ＝12，∴O ′A ＝R 2， ∴V 圆锥PO ′＝13π·⎝ ⎛⎭⎪⎫R 22·h2＝124πR 2h .V 圆台O ′O ＝π3·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫R 22＋R 2＋R 2·R ·h 2＝724πR 2h . ∴V 圆锥PO ′V 圆台O ′O＝17，故选C.]求几何体体积的常用方法2．圆台上、下底面面积分别是π、4π，侧面积是6π，这个圆台的体积是()A.233π B．2 3 C.736π D.733πD[S1＝π，S2＝4π，∴r＝1，R＝2，S侧＝6π＝π(r＋R)l，∴l＝2，∴h＝ 3.∴V＝13π(1＋4＋2)×3＝733π.故选D.]组合体的表面积与体积【例3】如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，在平面ABCD内过点C作l⊥CB，以l为轴旋转一周．求旋转体的表面积和体积．[解]如题图，在梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，∴CD＝BC－ADcos 60°＝2a，AB＝CD sin 60°＝3a，∴DD′＝AA′－2AD＝2BC－2AD＝2a，∴DO＝12DD′＝a.由于以l为轴将梯形ABCD旋转一周后形成的几何体为圆柱中挖去一个倒放的与圆柱等高的圆锥．由上述计算知，圆柱母线长3a，底面半径2a，圆锥的母线长2a，底面半径a.∴圆柱的侧面积S1＝2π·2a·3a＝43πa2，圆锥的侧面积S2＝π·a·2a＝2πa2，圆柱的底面积S3＝π(2a)2＝4πa2，圆锥的底面积S4＝πa2，∴组合体上底面积S5＝S3－S4＝3πa2，∴旋转体的表面积S＝S1＋S2＋S3＋S5＝(43＋9)πa2.又由题意知形成的几何体的体积为一个圆柱的体积减去一个圆锥的体积．V 柱＝Sh＝π·(2a)2·3a＝43πa3，V锥＝13S′h＝13·π·a2·3a＝33πa3，∴V＝V柱－V锥＝43πa3－33πa3＝1133πa3.如果将例题的梯形绕着BC边所在直线旋转一周，如何求旋转体的表面积和体积？表面积和体积又分别为多少？[解]如图所示旋转体为一个圆锥和与它同底的一个圆柱组成，由条件可得：AD＝BO＝OC＝a，DO＝AB＝3a，DC＝2a，所以该旋转体的表面积为：S＝S圆柱底＋S圆柱侧＋S圆锥侧＝π·(3a)2＋2π3a·a＋π·3a·2a＝3πa2＋23πa2＋23πa2＝(3＋43)πa2，该旋转体的体积为V＝V圆锥＋V圆柱＝12·a＋π(3a)2a3π(3a)＝4πa3.求组合体的表面积和体积，首先要认清组合体是由哪些简单几何体构成的．组合体的表面积是可见的围成组合体的所有面的面积之和，但不一定是组成组合体的几个简单几何体的表面积之和；组合体的体积是构成组合体的几个简单组合体的体积之和(差)．1．圆柱、圆锥、圆台的侧面积分别是它们侧面展开图的面积，因此弄清侧面展开图的形状及侧面展开图中各线段与原旋转体的关系，是掌握它们的侧面积公式及解有关问题的关键．2．计算柱体、锥体和台体的体积，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，要充分运用多面体的有关截面及旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题．1．若圆锥的高等于底面直径，则它的底面积与侧面积之比为()A．1∶2B．1∶ 3C ．1∶ 5 D.3∶2C [设圆锥底面半径为r ，则高h ＝2r ，∴其母线长l ＝5r .∴S 侧＝πrl ＝5πr 2，S 底＝πr 2.则S 底∶S 侧＝1∶ 5.]2．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为( )A ．7B ．6C ．5D ．3A [设圆台较小底面半径为r ，则另一底面半径为3r .由S ＝π(r ＋3r )·3＝84π，解得r ＝7.]3．已知圆台上、下底面半径分别为1,2，高为3，则圆台体积为 ． 7π [由已知圆台上、下底面积分别为 S 上＝π，S 下＝4π.则V 圆台＝13·(π＋π·4π＋4π)·3＝7π.]4．一个高为2的圆柱，底面周长为2π，该圆柱的表面积为 ． 6π [由底面周长为2π可得底面半径为1.S 底＝2πr 2＝2π，S 侧＝2πr ·h ＝4π，所以S 表＝S 底＋S 侧＝6π.]5．已知圆锥的底面半径为2，高为5，求这个圆锥的体积． [解] 由题意V 锥体＝13Sh ＝13πr 2·h ＝20π3.。
8.3.2 第一课时 圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积
8.3.2圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积第一课时圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积课标要求素养要求1.知道圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积的计算公式.2.能用公式解决简单的实际问题.在计算圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积的过程中，要把实际问题转化为数学问题，并进行计算，发展学生的数学建模、数学运算素养和直观想象素养.教材知识探究如图是工厂生产的各种金属零件，被广泛应用于工业领域的各个方面.问题(1)如果已知制作零件的金属的密度，如何求出这些零件的质量？(2)如图所示的零件都是旋转体，其侧面都是曲面，如何求其表面积？提示(1)先求出金属零件的体积，再求其质量.(2)求其侧面展开图的面积，再加上底面面积就是其表面积.1.圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积图形表面积和体积圆柱S圆柱＝2πr(r＋l)(r是底面半径，l是母线长)V圆柱＝πr2h(r是底面半径，h是高)圆锥S 圆锥＝πr (r ＋l )(r 是底面半径，l 是母线长)V 圆锥＝13πr 2h (r 是底面半径，h 是高) 圆台S 圆台＝π(r ′2＋r 2＋r ′l ＋rl )(r ′，r 分别是上、下底面半径，l 是母线长)V 圆台＝13πh (r ′2＋r ′r ＋r 2)(r ′，r 分别是上、下底面半径，h 是高)2.柱体、锥体、台体的体积公式 V 柱体＝Sh (S 为底面面积，h 为柱体高)；V 锥体＝13Sh (S 为底面面积，h 为锥体高)；V 台体＝13(S ′＋S ′S ＋S )h (S ′，S 分别为上、下底面面积，h 为台体高).教材拓展补遗[微判断]1.圆锥的侧面展开图为扇形，其中扇形的弧长为圆锥底面圆的周长.(√)2.若圆柱的底面圆的直径与圆柱的高相等，则圆柱的侧面展开图是正方形.(×)3.求圆台的表面积和体积时，常用“还台为锥”的思想方法.(√)提示 2.设圆柱的底面圆的半径为r ，所以圆柱的侧面展开图的两边分别为2πr ，2r ，二者不相等，故侧面展开图不是正方形. [微训练]1.若圆锥的底面半径为3，高为1，则圆锥的体积为( ) A.π3B.π2C.πD.2π解析 V ＝13Sh ＝13×π×3×1＝π. 答案 C2.一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积的比是( ) A.1＋2π2πB.1＋2π4πC.1＋2ππD.1＋4π2π解析 设底面圆半径为r ，母线长为h ，∴h ＝2πr ，则S 表S 侧＝2πr 2＋2πrh 2πrh ＝r ＋h h ＝r ＋2πr2πr＝1＋2π2π. 答案 A [微思考]求圆柱、圆锥、圆台的表面积时，关键是什么？提示 求圆柱、圆锥的表面积时，关键是求其母线长与底面的半径；求圆台的表面积时，关键是求其母线长与上、下底面的半径.题型一 求圆柱、圆锥、圆台的表面积【例1】 圆锥的高和底面半径相等，它的一个内接圆柱的高和圆柱底面半径也相等.求圆柱的表面积和圆锥的表面积之比. 解 如图所示，设圆柱和圆锥的底面半径分别为r ，R ，则有r R ＝R －r R ，即r R ＝12， ∴R ＝2r ，圆锥的母线长l ＝2R ， ∴S 圆柱表S 圆锥表＝2πr 2＋2πr 2πR ·2R ＋πR 2＝4πr 2（2＋1）πR 2 ＝4r 2（2＋1）4r 2＝12＋1＝2－1. 规律方法 求旋转体表面积的要点(1)因为轴截面联系着母线、底面半径、高等元素，因此处理好轴截面中边角关系是解题的关键；(2)对于圆台问题，要重视“还台为锥”的思想方法；(3)在计算圆柱、圆锥、圆台的侧面积或表面积时，应根据已知条件先计算出它们的母线和底面圆半径的长，而求解这些未知量常常需要列方程.【训练1】圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的表面积为574π，则圆台较小的底面半径为________.解析设圆台较小的底面半径为r，那么较大的底面半径为3r，由已知得π(r＋3r)×3＋πr2＋9πr2＝574π，解得r＝7.答案7题型二求圆柱、圆锥、圆台的体积求底面半径和高是关键【例2】(1)设圆台的高为3，如图，在轴截面中母线AA1与底面直径AB的夹角为60°，轴截面中的一条对角线垂直于腰，则圆台的体积为________.解析设上、下底面半径，母线长分别为r，R，l.作A1D⊥AB于点D，则A1D＝3，∠A1AB＝60°，又∠BA1A＝90°，∴∠BA1D＝60°，∴AD＝A1Dtan 60°＝3，∴R－r＝ 3.BD＝A1D·tan 60°＝33，∴R＋r＝33，∴R＝23，r＝3，而h＝3.∴V 圆台＝13πh (R 2＋Rr ＋r 2)＝13π×3×[(23)2＋23×3＋(3)2]＝21π. ∴圆台的体积为21π. 答案 21π(2)在Rt △ABC 中，AB ＝3，BC ＝4，∠ABC ＝90°，把△ABC 绕其斜边AC 所在的直线旋转一周后，所形成的几何体的体积是多少？解 由题意，所形成的几何体为两个圆锥的组合体，如图所示，两个圆锥的底面半径为斜边上的高BD ，且BD ＝AB ·BC AC ＝125，两个圆锥的高分别为AD 和DC ， 所以V ＝V 1＋V 2＝13πBD 2·AD ＋13πBD 2·CD ＝13πBD 2·(AD ＋CD )＝13πBD 2·AC ＝13π×⎝ ⎛⎭⎪⎫1252×5＝485π.故所形成的几何体的体积是485π.规律方法 求圆柱、圆锥、圆台的体积的关键是求其底面面积和高，其中高一般利用几何体的轴截面求得，一般是由母线、高、半径组成的直角三角形中列出方程并求解.【训练2】 若一个圆柱与圆锥的高相等，且轴截面面积也相等，那么圆柱与圆锥的体积之比是( )A.1B.1∶2C.3∶2D.3∶4解析 设圆柱、圆锥的高都为h ，底面半径分别为r ，R ，则有12·2Rh ＝2rh ，所以R ＝2r ，V 圆锥＝13πR 2h ＝43πr 2h ，V 圆柱＝πr 2h ，故V 圆柱∶V 圆锥＝3∶4. 答案 D题型三 求组合体的表面积和体积分割为规则的几何体求其表面积、体积之和，保证不重不漏【例3】 如图所示，在边长为4的正三角形ABC 中，E ，F 依次是AB ，AC 的中点，AD ⊥BC ，EH ⊥BC ，FG ⊥BC ，D ，H ，G 为垂足，若将正三角形ABC 绕AD 旋转180°，求阴影部分形成的几何体的表面积和体积.解 由题意知，旋转后几何体是一个圆锥，从下面挖去一个圆柱，且圆锥的底面半径为2，高为23，圆柱的底面半径为1，高为 3.所求旋转体的表面积由三部分组成：圆锥的底面、侧面，圆柱的侧面. S 圆锥底面＝4π，S 圆锥侧＝8π， S 圆柱侧＝23π，故所求几何体的表面积为： 4π＋8π＋23π＝12π＋23π.所求旋转体的体积为大圆锥的体积减去里面小圆柱的体积， 即V 旋转体＝13×π×22×23－π×12×3＝533π， 故所求旋转体的体积为533π.规律方法 组合体体积与表面积的求解策略：(1)首先应弄清它的组成，其表面有哪些底面和侧面，各个面应怎样求其面积，然后把这些面的面积相加或相减；求体积时也要先弄清组成，求出各简单几何体的体积，然后再相加或相减.(2)在求组合体的表面积、体积时要注意“表面(和外界直接接触的面)”与“体积(几何体所占空间的大小)”的定义，以确保不重复、不遗漏.【训练3】如图所示，在梯形ABCD中，∠ABC＝π2，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2，将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为()A.53π B.43π C.23π D.2π解析由题意，旋转而成的几何体是圆柱，挖去一个圆锥(如图)，该几何体的体积为π×12×2－13×π×12×1＝53π.答案 A一、素养落地1.通过了解几何体的结构特征，从而计算圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积，培养数学运算素养，提升直观想象和数学建模素养.2.柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系二、素养训练1.若圆锥的底面半径为1，高为3，则圆锥的表面积为()A.πB.2πC.3πD.4π解析 设圆锥的母线长为l ，则l ＝3＋1＝2，所以圆锥的表面积为S ＝π×1×(1＋2)＝3π. 答案 C2.圆台的体积为7π，上、下底面的半径分别为1和2，则圆台的高为( ) A.3B.4C.5D.6解析 由题意知V ＝13(π＋2π＋4π)h ＝7π，故h ＝3. 答案 A3.设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S 1，S 2，体积分别为V 1，V 2.若它们的侧面积相等，且S 1S 2＝94，则V 1V 2的值是________.解析 设两个圆柱的底面半径和高分别为r 1，r 2和h 1，h 2.由S 1S 2＝94，得πr 21πr 22＝94，∴r 1r2＝32.由圆柱的侧面积相等，得2πr 1h 1＝2πr 2h 2， 即r 1h 1＝r 2h 2. ∴V 1V 2＝πr 21h 1πr 22h 2＝r 1r 2＝32.答案 324.圆柱有一个内接长方体AC 1，长方体体对角线长是10 2 cm ，圆柱的侧面展开平面图为矩形，此矩形的面积是100π cm 2，求圆柱的体积. 解 设圆柱底面半径为r cm ，高为h cm.如图所示，则圆柱轴截面长方形的对角线长等于它的内接长方体的体对角线长，则⎩⎪⎨⎪⎧（2r ）2＋h 2＝（102）2，2πrh ＝100π，∴⎩⎪⎨⎪⎧r ＝5，h ＝10.∴V 圆柱＝Sh ＝πr 2h ＝π×52×10 ＝250π(cm 3).∴圆柱体积为250π cm 3.基础达标一、选择题1.一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半，且侧面积是32π，则母线长为( ) A.2B.2 2C.4D.8解析 圆台的轴截面如图，由题意知，l ＝12(r ＋R )，S 圆台侧＝π(r ＋R )·l ＝π·2l ·l ＝32π， ∴l ＝4. 答案 C2.将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是( ) A.4πB.3πC.2πD.π解析 底面圆半径为1，高为1，侧面积S ＝2πrh ＝2π×1×1＝2π.故选C. 答案 C3.如图，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3，则该几何体的体积为( )A.5πB.6πC.20πD.10π解析用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱，如图，则圆柱的体积为π×22×5＝20π，故所求几何体的体积为10π.答案 D4.若一个圆台如图所示，则其侧面积等于()A.6B.6πC.35πD.65π解析∵圆台的母线长为（2－1）2＋22＝5，∴S圆台侧＝π(1＋2)·5＝35π.答案 C5.半径为R的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为()A.324πR3 B.38πR3C.524πR3 D.58πR3解析设圆锥底面圆的半径为r，高为h，则有2πr＝πR，则r＝12R.又由已知，得圆锥母线长为R，所以圆锥的高h＝R2－r2＝32R，故体积V＝13πr2h＝324πR3.答案 A二、填空题6.现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个.若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为________.解析设新的底面半径为r，则有13×πr2×4＋πr2×8＝13×π×52×4＋π×22×8，解得r ＝7. 答案 7 7.一个圆柱和一个圆锥的轴截面分别是边长为a 的正方形和正三角形，则它们的表面积之比为________. 解析 S 圆柱＝2·π⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＋2π· a 2·a ＝32πa 2， S 圆锥＝π⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＋π·a 2·a ＝34πa 2， ∴S 圆柱∶S 圆锥＝2∶1.答案 2∶18.圆台上、下底面的面积分别为π，4π，侧面积为6π，则这个圆台的体积是________. 解析 由已知得两底面半径分别为r ＝1，R ＝2，又S 侧＝6π，所以π(1＋2)·l ＝6π，所以l ＝2，则h ＝l 2－（R －r ）2＝3，所以体积V ＝13π×3×(12＋1×2＋22)＝733π.答案 733π三、解答题9.已知底面半径为 3 cm ，母线长为 6 cm 的圆柱，挖去一个以圆柱上底面圆心为顶点、下底面为底面的圆锥，求所得几何体的表面积.解 如图所示，所得几何体的表面积为S ＝S 底＋S 柱侧＋S 锥侧＝π(3)2＋2π×3×6＋π×3×3＝(3＋62＋33)π(cm 2).10.已知一个圆锥的底面半径为R ，高为H ，在其内部有一个高为x 的内接圆柱.(1)求圆柱的侧面积；(2)x 为何值时，圆柱的侧面积最大？解 (1)作圆锥的轴截面，如图所示.因为r R ＝H －x H ，所以r ＝R －R H x ，所以S 圆柱侧＝2πrx＝2πRx －2πR H x 2(0<x <H ).(2)因为－2πR H <0，所以当x ＝2πR 4πR H＝H 2时，S 圆柱侧最大.故当x ＝H 2时，即圆柱的高为圆锥高的一半时，圆柱的侧面积最大.能力提升11.体积为52的圆台，一个底面积是另一个底面积的9倍，那么截得这个圆台的圆锥的体积是( )A.54B.54πC.58D.58π解析 设上底面半径为r ，则由题意求得下底面半径为3r ，设圆台高为h 1，则52＝13πh 1(r 2＋9r 2＋3r ·r )，∴πr 2h 1＝12.令原圆锥的高为h ，由相似知识得r 3r ＝h －h 1h ，∴h ＝32h 1， ∴V 原圆锥＝13π(3r )2×h ＝3πr 2×32h 1＝92×12＝54.答案 A12.圆台的母线长为8 cm ，母线与底面成60°角，轴截面的两条对角线互相垂直，求圆台的表面积.解如图所示的是圆台的轴截面ABB1A1，其中∠A1AB＝60°，过A1作A1H⊥AB 于H，则O1O＝A1H＝A1A·sin 60°＝43(cm)，AH＝A1A·cos 60°＝4(cm).设O1A1＝r1，OA＝r2，则r2－r1＝AH＝4.①设A1B与AB1的交点为M，则A1M＝B1M.又∵A1B⊥AB1，∴∠A1MO1＝∠B1MO1＝45°.∴O1M＝O1A1＝r1.同理OM＝OA＝r2.∴O1O＝O1M＋OM＝r1＋r2＝43，②由①②可得r1＝2(3－1)，r2＝2(3＋1).∴S表＝πr21＋πr22＋π(r1＋r2)l＝32(1＋3)π(cm2).创新猜想13.(多选题)圆台的上、下底面半径分别是10和20，它的侧面展开图扇环的圆心角为180°，则圆台的()A.母线长是20B.表面积是1 100πC.高是10 2D.体积是7 00033π解析如图所示，设圆台的上底面周长为C，因为扇环的圆心角为180°，所以C＝π·SA，又C＝10×2π，所以SA＝20，同理SB＝40，故圆台的母线AB＝SB－SA＝20，高h＝AB2－（20－10）2＝103，体积V＝12＋10×20＋202)＝3π×103×(107 00033π，表面积S＝π(10＋20)×20＋100π＋400π＝1 100π，故选A，B，D.答案ABD14.(多填题)把底面半径为8 cm的圆锥放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点S滚动，当这个圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身滚动了2.5周，则圆锥的母线长为______，表面积等于________.解析设圆锥的母线长为l，如图，以S为圆心，SA为半径的圆的面积S＝πl2.又圆锥的侧面积S圆锥侧＝πrl＝8πl.根据圆锥在平面内转到原位置时，圆锥本身滚动了2.5周，∴πl2＝2.5×8πl，∴l＝20(cm).圆锥的表面积S＝S圆锥侧＋S底＝π×8×20＋π×82＝224π(cm2).答案20 cm224π cm2。
柱、锥、台体、圆的面积与体积公式
柱、锥、台体、圆的面积与体积公式（一）圆柱、圆锥、圆台的侧面积将侧面沿母线展开在平面上，则其侧面展开图的面积即为侧面面积。
1、圆柱的侧面展开图——矩形圆柱的侧面积2,,,S cl rl r l cπ==圆柱侧其中为底面半径为母线长为底面周长2、圆锥的侧面展开图——扇形圆锥的侧面积1,,,2S cl rl r l cπ==圆锥侧其中为底面半径为母线长为底面周长3、圆台的侧面展开图——扇环圆台的侧面积（二）直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积把侧面沿一条侧棱展开在一个平面上，则侧面展开图的面积就是侧面的面积。
1、柱的侧面展开图——矩形直棱柱的侧面积2、锥的侧面展开图——多个共点三角形正棱锥的侧面积3、正棱台的侧面展开图——多个等腰梯形正棱台的侧面积说明：这个公式实际上是柱体、锥体和台体的侧面积公式的统一形式①即锥体的侧面积公式；②c'＝c 时即柱体的侧面积公式；（三）棱柱和圆柱的体积,V Sh h =柱体其中S 为柱体的底面积,为柱体的高斜棱柱的体积＝直截面的面积×侧棱长（四）棱锥和圆锥的体积1,3V Sh h =锥体其中S 为锥体的底面积,为锥体的高（五）棱台和圆台的体积说明：这个公式实际上是柱、锥、台体的体积公式的统一形式：①0S =上时即为锥体的体积公式；②S 上＝S 下时即为柱体的体积公式。
（六）球的表面积和体积公式（一）简单的组合几何体的表面积和体积——割补法的应用割——把不规则的组合几何体分割为若干个规则的几何体；补——把不规则的几何体通过添补一个或若干个几何体构造出一个规则的新几何体，如正四面体可以补成一个正方体，如图：BCC 1四、考点与典型例题考点一 几何体的侧面展开图例1. 有一根长为5cm ，底面半径为1cm 的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕4圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端A 、D，则铁丝的最短长度为多少厘米？DCBA 解：展开后使其成一线段AC cm =考点二 求几何体的面积例2. 设计一个正四棱锥形的冷水塔顶，高是0.85m ，底面的边长是1.5m ，制造这种塔顶需要多少平方米铁板？（保留两位有效数字）ESO解：)m (40.313.15.1214S 2=⨯⨯⨯=⇒答：略。
圆柱重量公式(一)
圆柱重量公式(一)
圆柱重量公式
资深创作者 Yang AI
1. 圆柱的体积公式
圆柱的体积可以通过以下公式计算：
V = π * r^2 * h
其中，V代表圆柱的体积，π为圆周率（约等于），r为圆柱的
底面半径，h为圆柱的高度。
2. 圆柱的表面积公式
圆柱的表面积可以通过以下公式计算：
A = 2 * π * r * (r + h)
其中，A代表圆柱的表面积，π为圆周率，r为圆柱的底面半径，h为圆柱的高度。
3. 圆柱的重量公式
圆柱的重量可以通过以下公式计算：
W = ρ * V * g
其中，W代表圆柱的重量，ρ为圆柱的密度，V为圆柱的体积，g 为重力加速度。
举例说明
假设有一个铝制圆柱，其底面半径为5cm，高度为30cm。
已知铝的密度为g/cm³，重力加速度为m/s²。
我们可以使用上述公式计算出该铝制圆柱的重量。
首先，计算圆柱的体积：
V = π * 5^2 * 30 ≈ cm³
接下来，将体积转换为立方米：
V = cm³ = m³
然后，带入公式计算圆柱的重量：
W = g/cm³ * m³ * m/s² ≈ kg
所以，该铝制圆柱的重量约为千克。
以上就是圆柱重量的相关公式以及一个具体的计算示例。
通过掌握这些公式，我们可以方便地计算出圆柱的体积、表面积和重量等重要参数。
圆台体积计算公式
圆台体积计算公式圆台体积的计算公式如下：V=(1/3)*π*(R1^2+R2^2+R1*R2)*H其中，V为圆台的体积，π为圆周率，R1和R2分别为圆台的两个底面的半径，H为圆台的高度。
下面将详细介绍圆台体积的计算公式及其推导过程：假设圆台的上底面半径为R1，下底面半径为R2，高度为H。
首先，我们可以将圆台切割成无限多个薄片，并对每个薄片的体积进行求和，这样就可以得到整个圆台的体积。
以圆台中的一个薄片为例，其截面形状可以视为一个小圆柱体。
该小圆柱体的底面半径和高度分别为x和dy。
在坐标系中，我们以上底面中心为原点O，建立直角坐标系。
那么，该小圆柱体的体积可以用下式表示：dV = π * x^2 * dy我们可以根据圆台的形状，利用高度H和底面半径R1和R2之间的关系，将x和dy表示为关于y的函数。
圆台由两个平行的圆面和它们之间的侧面组成，所以侧面是一个曲面。
我们可利用类似于求解圆锥体积的方法来推导圆台体积的计算公式。
在这个曲面上，我们可以利用相似三角形的性质，得到以下关系式：(x-R1)/(H-y)=R1/H(x-R2)/y=R2/H将上述两个关系式进一步变化，我们可以得到：x=R1-(R1-R2)/H*ydy = d(x - R1) = (R1 - R2) / H * dy将上述等式代入小圆柱体的体积公式中，我们可以得到：dV = π * (R1 - (R1 - R2) / H * y)^2 * (R1 - R2) / H * dy整理上式，得到：dV = π * (R1^2 - 2*R1*(R1 - R2) / H * y + ((R1 - R2) / H)^2 * y^2) * (R1 - R2) / H * dy将上述等式在y轴的范围内进行积分，并利用积分的线性性质以及积分的定义和性质，我们可以得到圆台的体积公式：V = ∫(H) (R1^2 - 2*R1*(R1 - R2) / H * y + ((R1 - R2) / H)^2 * y^2) * (R1 - R2) / H dy对上述积分进行计算，可以得到：V=(1/3)*π*(R1^2+R2^2+R1*R2)*H因此，圆台的体积公式为：V=(1/3)*π*(R1^2+R2^2+R1*R2)*H总结：圆台体积的计算公式为(1/3)*π*(R1^2+R2^2+R1*R2)*H，其中R1和R2分别为圆台的上下底面半径，H为圆台的高度。
柱、锥、台、球的表面积和体积
考基联动
考向导析
规范解答
限时规范训练
迁移发散 3．已知一个凸多面体共有 9 个面，所有棱长均为 1，其平面展开 图如图所示，则该凸多面体的体积 V ＝________. 解析：该几何体形状如图所示，是一个正方体与正四棱锥的组 合体，正方体的体积是 1，正四棱柱的体积是 2 . 6 2 ，故该凸多面 6
2 2
R 3R R－ ＝ ， 4 2
2
2
1 R2 3R 3πR 3 ∴圆锥的体积 V ＝ ×π× × ＝ . 3 4 2 24 答案：A
考基联动
考向导析
规范解答
限时规范训练
2．长方体三个面的面积分别为 2、6 和 9，则长方体的体积是 A．6 3 B．3 6 C．11 D．12
(
)
解析：设长方体的三边长为 a、b、c
答案：C
考基联动 考向导析 规范解答 限时规范训练
考向三 几何的展开与折叠
【例3】 有一根长为3π cm，底面半径为1 cm的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠 绕2圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的最短长度为多 少？
解：把圆柱侧面及缠绕其上的铁丝展开，在平面上得到矩 形 ABCD(如图所示)，由题意知 BC＝3π cm，AB ＝4π cm， 点 A 与点 C 分别是铁丝的起、止位置，故线段 AC 的长度 即为铁丝的最短长度．AC＝ AB2 ＋BC2 ＝5π(cm)，故铁丝的最短长度为 5π cm. 反思感悟：善于总结，养成习惯 求立体图形表面上两点的最短距离问题，是立体几何中的一个重要题型．这类题目的 特点是：立体图形的性质和数量关系分散在立体图形的几个平面上或旋转体的侧面上． 为了便于发现它们图形间性质与数量上的相互关系，必须将图中的某些平面旋转到同 一平面上，或者将曲面展开为平面，使问题得到解决．
球体圆锥圆柱圆台的体积与表面积计算
球体圆锥圆柱圆台的体积与表面积计算球体的体积与表面积计算在几何学中，球体是一种立体图形，其外形类似于一个完全圆满的球。
球体具有独特的性质，如体积和表面积。
这篇文章将讨论如何计算球体的体积和表面积。
一、球体的体积计算球体的体积是指球体内部的三维空间大小。
为了计算球体的体积，我们需要使用球体的半径。
公式：V = (4/3)πr³其中，V代表球体的体积，π为圆周率（约为3.14159），r代表球体的半径。
例如，如果给定一个球体的半径为5米，我们可以使用上述公式计算出它的体积：V = (4/3)π(5)³ = (4/3)π(125) ≈ 523.6立方米因此，该球体的体积约为523.6立方米。
二、球体的表面积计算球体的表面积是指球体外部的三维空间大小。
要计算球体的表面积，同样需要使用球体的半径。
公式：A = 4πr²其中，A代表球体的表面积，π为圆周率（约为3.14159），r代表球体的半径。
举个例子，如果我们有一个半径为5米的球体，应用上述公式可以计算出它的表面积：A = 4π(5)² = 4π(25) ≈ 314.16平方米因此，该球体的表面积约为314.16平方米。
圆锥的体积与表面积计算圆锥是一个有圆锥体和圆锥底的几何形状。
计算圆锥的体积和表面积可能有不同的方法，具体取决于所给出的信息。
一、圆锥体的体积计算圆锥体是指圆锥的实体部分，其体积可以通过以下公式进行计算。
公式：V = (1/3)πr²h其中，V代表圆锥体的体积，π为圆周率（约为3.14159），r为圆锥底的半径，h为圆锥的高度。
例如，如果我们知道圆锥底的半径为4米，高度为6米，可以使用上述公式计算圆锥体的体积：V = (1/3)π(4)²(6) = (1/3)π(16)(6) ≈ 100.53立方米因此，圆锥体的体积约为100.53立方米。
二、圆锥的表面积圆锥的表面积计算方法取决于所给出的信息。
柱、锥、台体、圆的面积与体积公式
柱、锥、台体、圆的面积与体积公式（一）圆柱、圆锥、圆台的侧面积将侧面沿母线展开在平面上，则其侧面展开图的面积即为侧面面积。
1、圆柱的侧面展开图——矩形圆柱的侧面积2,,,S cl rl r l c π==圆柱侧其中为底面半径为母线长为底面周长2、圆锥的侧面展开图——扇形圆锥的侧面积1,,,2S cl rl r l c π==圆锥侧其中为底面半径为母线长为底面周长3、圆台的侧面展开图——扇环圆台的侧面积（二）直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积把侧面沿一条侧棱展开在一个平面上，则侧面展开图的面积就是侧面的面积。
1、柱的侧面展开图——矩形直棱柱的侧面积2、锥的侧面展开图——多个共点三角形'h侧面展开'hc正棱锥的侧面积3、正棱台的侧面展开图——多个等腰梯形c侧面展开'h,c'h正棱台的侧面积说明：这个公式实际上是柱体、锥体和台体的侧面积公式的统一形式 ①即锥体的侧面积公式；②c'＝c 时即柱体的侧面积公式；（三）棱柱和圆柱的体积,V Sh h =柱体其中S 为柱体的底面积,为柱体的高斜棱柱的体积＝直截面的面积×侧棱长（四）棱锥和圆锥的体积1,3V Sh h =锥体其中S 为锥体的底面积,为锥体的高（五）棱台和圆台的体积说明：这个公式实际上是柱、锥、台体的体积公式的统一形式： ①0S =上时即为锥体的体积公式； ②S 上＝S 下时即为柱体的体积公式。
（六）球的表面积和体积公式（一）简单的组合几何体的表面积和体积——割补法的应用割——把不规则的组合几何体分割为若干个规则的几何体；补——把不规则的几何体通过添补一个或若干个几何体构造出一个规则的新几何体，如正四面体可以补成一个正方体，如图：四、考点与典型例题考点一 几何体的侧面展开图例1. 有一根长为5cm ，底面半径为1cm 的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕4圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端A 、D ，则铁丝的最短长度为多少厘米？D CBA解：展开后使其成一线段AC 222425AB BC cm π+=+考点二 求几何体的面积例2. 设计一个正四棱锥形的冷水塔顶，高是0.85m ，底面的边长是1.5m ，制造这种塔顶需要多少平方米铁板？（保留两位有效数字）ESO解：)m (40.313.15.1214S 2=⨯⨯⨯=⇒答：略。
圆台体积公式：V=3.14×h×（R2﹢R×r﹢r2）3
圆台体积公式：V=3.14×h×（R2﹢R×r﹢r2）3
用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台，圆台同圆柱和圆锥一样也有轴、底面、侧面和母线，并且用圆台台轴的字母表示圆台。
圆台的侧棱延长后交于一点。
圆?台?体?积?公?式
圆台体积计算公式可以根据底面直径或半径和圆台高来计算体积，计算公式如下：
公式一、V=∏×h× (R2﹢R×r﹢r2)/3
V:体积∏：3.14 h：圆台高度 R：圆台大面半径 R：圆台小面半径
公式二、V=∏×h× (D2﹢d2﹢D×d)/12
V:体积∏：3.14 h：圆台高度 D：圆台大面直径 D：圆台小面直径
圆台体积公式的推导方法
假设，圆台底面半径为 R ，顶面半径为 r ，台高 h ；
则假设的大圆锥体积 V1=1/3 * π * h1 * R^2 ；
小圆锥的体积 V2=1/3 * π * h2 * r^2 ，
明显 r：R = h2：h1；
所以r=R * h2 /h1
则圆台的体积 V = 1/3 * π *（h1*R*R-h2*r*r）
将 r=R * h2 /h1 代入上式 V = 1/3 * π * ((h1^3-h2^3)/h1^2) * R^2
使用立方差公式 V = 1/3 * π * (h1-h2) *((h1^2+h1h2+h2^2)/h1^2) * R^2
= 1/3 * π * h * (1+h2/h1+h2^2/h1^2) * R^2
因为r=R * h2 /h1 所以 h2 ：h1 =R：r 代入上式 V=1/3 * π * h （R^2+Rr+r^2)。
圆台计算公式
圆台计算公式圆台，这可是个在数学世界里挺有趣的家伙！咱先来说说圆台的计算公式到底是啥。
圆台的体积公式是：V = 1/3 × π × h × (R² + r² + R × r) ，其中 V 表示体积，h 是圆台的高，R 是上底面半径，r 是下底面半径。
面积公式呢，包括侧面积和表面积。
侧面积S = π × l × (R + r) ，l 是母线长。
表面积S = π × (r² + R² + l × r + l × R) 。
那这公式咋用呢？给您举个例子。
比如说，有个圆台形状的花坛，上底面半径是 2 米，下底面半径是 3 米，高是 1.5 米。
咱来算算它的体积。
先算出上底面积是π×2² = 4π 平方米，下底面积是π×3² = 9π 平方米。
然后把数值代入体积公式，V = 1/3 × π × 1.5 × (4 + 9 + 2×3) ，经过计算就能得出这个花坛的体积啦。
我还记得有一次，我带着学生们在校园里实地测量一个圆台形状的小雕塑。
同学们那股认真劲儿，真是让人印象深刻。
有的同学拿着尺子量上底面半径，有的量下底面半径，还有的负责记录数据。
大家七嘴八舌地讨论着，“哎呀，这个尺子不太够长呢！”“咱们得量准点，不然算出来就错啦！”大家忙得不亦乐乎。
回到教室后，我们一起根据测量的数据来计算这个圆台雕塑的体积和表面积。
在计算的过程中，有的同学粗心算错了，旁边的小伙伴赶紧指出来，“你这里算错啦，再好好想想！”大家互相帮助，最终都算出了正确的结果。
通过这次实践，同学们对圆台的计算公式理解得更透彻了，也明白了数学在生活中的实际应用。
其实啊，圆台的计算公式不仅仅是一堆数字和符号的组合，它更是我们解决实际问题的有力工具。
圆柱、圆锥,圆台的表面积与体积
r O
O
圆柱的侧面展开图是一个矩形，
S圆柱表面积 2r 2 2rl 2r(r l ).
新知探究
6π
1.已知一个高为 2 的圆柱，底面周长为 2π.该圆柱的表面积为________．
解析：由底面周长为2π可得底面半径为1.S底＝2πr2＝2π，S侧＝2πr·h＝4π，所以S表＝S底
7
为574π，则圆台较小的底面半径为________．
解析：设圆台较小的底面半径为r，那么较大的底面半径为3r，由已知得π(r＋3r)×3
＋πr2＋9πr2＝574π，解得r＝7.
新知探究
1. 圆柱、圆锥、圆台的表面积
圆柱
圆锥
S
• O'
r' • O'
l
l
l
r •O
圆台
2πr
S圆柱 2 r (r l )
3
1
的底面积分别为S1，S2 , ，Sn则小锥体的体积分别为V1 S1R,
3
1
1
V2 S2 R， ，Vn S n R，
3
3
1
1
1
V球 V1 V2 Vn S1R S2 R S n R
3
3
3
1
1
1
（S1 S2 Sn）R S球 R 4 R 2 • R
各面面积之和
柱体、锥体、台体的体积
棱柱
棱锥
棱台
的体
积
棱柱
V Sh
棱台
1
V ( S S S S )h
3
棱锥
1
V Sh
3
新知探究
柱、锥、台表面积体积公式
圆柱体体积公式
圆柱体体积公式
$V = pi r^{2}h$
解释
其中，$V$表示圆柱体的体积，$pi$是圆周率，$r$是底面圆的半径，$h$是圆柱的高。
棱柱体表面积公式
棱柱体表面积公式
根据棱柱的形状和尺寸有所不同，需 要具体问题具体分析。
解释
棱柱体的表面积由底面和顶面的面积 以及侧面的面积组成，具体计算方法 需要根据棱柱的具体形状和尺寸来确 定。
03
台体表面积体积公式
圆台体表面积公式
总结词
圆台体表面积公式是计算圆台侧面积和两个底面积的总和。
详细描述
圆台体表面积公式为 S = π * (r1 + r2) * l，其中 r1 和 r2 分别为圆台上下底面的半径， l 为圆台母线长度。
圆台体体积公式
总结词
圆台体体积公式是计算圆台所占三维空间的 大小。
物理学
在计算物体之间的相互作用力、热传导、电磁波的传播等物理现象 时，需要使用表面积和体积公式来描述物体的大小和形状。
化学工程
在化学工程领域，表面积和体积的计算对于反应器设计、传热传质计 算等方面具有重要意义。
表面积和体积公式的推导过程
要点一
柱体
柱体的表面积由底面和侧面组成，侧面 面积是高乘以底面周长，底面周长是 2πr（r为底面半径），所以侧面面积 是2πrh（h为高），底面面积是πr^2， 所以柱体表面积是2πrh+πr^2，体积 是底面积乘以高，即πr^2h。
棱台体体积公式
总结词
棱台体体积公式是计算棱台所占三维空间的 大小。
详细描述
棱台体体积公式为 V = (1/3) * (a1 + a2) * l * h，其中 a1 和 a2 分别为棱台上下底面的边
圆柱、圆锥、圆台的体积和面积公式。
圆柱、圆锥、圆台的体积和面积公式。
圆柱、圆锥、圆台的体积公式：
圆柱的体积：V= πr 2h 或 V=
Sh
（r 为圆柱的底面半径，h 为圆柱的高，S 为圆柱的底面积）
圆锥的体积：V=31πr 2h 或 V=3
1Sh
（r 为圆锥的底面半径，h 为圆锥的高，S 为圆锥的底面积）
圆台的体积：V=31πh （R 2+r 2+Rr)
（R 为圆台的底面半径，r 为圆台的顶面半径，h 为圆台的高） 圆柱、圆锥、圆台的面积公式：
圆柱的表面积公式： S=2πr 2+2πrh
圆柱的侧面积公式： S=2πrh
（r 为圆柱的底面半径，h 为圆柱的高）
圆锥的表面积公式： S=πr 2+πr l
圆锥的侧面积公式： S=πr l
（r 为圆锥的底面半径，h 为圆锥的高，l 圆锥的母线）
圆台的表面积公式： S=πr2+πR2 +πR l+πr l
=π(r2+R2 +R l+r l）
圆台的侧面积公式： S=πR l+πr l
（R为圆台的底面半径，r为圆台的顶面半径，h为圆台的高，l圆台的母线）。
数学-圆柱圆锥圆台球的表面积和体积
圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积高中数学 1.了解圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积的计算公式.2.理解并掌握侧面展开图与几何体的表面积之间的关系，并能利用计算公式求几何体的表面积与体积．导语 在前面我们已经学习了棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积，那么对于圆柱、圆锥、圆台等旋转体，它们的表面积和体积又该如何计算呢？一、圆柱、圆锥、圆台的表面积问题1 如何根据圆柱的侧面展开图，求圆柱的表面积？提示 圆柱的侧面展开图是矩形，长是圆柱底面圆的周长，宽是圆柱的高(母线)．设圆柱的底面半径为r ，母线长为l ，则S 圆柱侧＝2πrl ，S 圆柱表＝2πr (r ＋l )，其中r 为圆柱底面半径，l为母线长．问题2 如何根据圆锥的侧面展开图，求圆锥的表面积？提示 圆锥的侧面展开图为一个扇形，半径是圆锥的母线长，弧长等于圆锥底面圆的周长，侧面展开图扇形的面积为×2πrl ＝πrl ，∴S 圆锥侧＝πrl ，S 圆锥表＝πr (r ＋l )，其中r 为圆锥底12面半径，l为母线长．问题3 如何根据圆台的侧面展开图，求圆台的表面积？提示 圆台的侧面展开图是一个扇环，内弧长等于圆台上底面圆的周长，外弧长等于圆台下底面圆的周长，如图，＝，解得x ＝l ，S 扇环＝S 大扇形－S 小扇形＝(x ＋l )xx ＋l rR rR －r 12×2πR －x ·2πr ＝π[(R －r )x ＋Rl ]＝π(r ＋R )l ，所以S 圆台侧＝π(r ＋R )l ，S 圆台表12＝π(r 2＋rl ＋Rl ＋R 2)．知识梳理 图形表面积公式圆柱底面积：S 底＝2πr 2；侧面积：S 侧＝2πrl ；表面积：S ＝2πr (r ＋l )圆锥底面积：S 底＝πr 2；侧面积：S 侧＝πrl ；表面积：S ＝πr (r ＋l )旋转体圆台上底面面积：S 上底＝πr ′2；下底面面积：S 下底＝πr 2；侧面积：S 侧＝π(r ′l ＋rl )；表面积：S ＝π(r ′2＋r 2＋r ′l ＋rl )例1 (1)若某圆锥的高等于其底面直径，则它的底面积与侧面积之比为( )A ．1∶2 B ．1∶ C ．1∶ D.∶2353答案 C解析 设圆锥底面半径为r ，则高h ＝2r ，∴其母线长l ＝r ，∴S 侧＝πrl ＝πr 2，S 底55＝πr 2，S 底∶S 侧＝1∶.5(2)已知某圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为7，圆台的侧面积为84π，则该圆台较小底面的半径为( )A ．7 B ．6 C ．5 D ．3答案 D解析 设圆台较小底面的半径为r ，则另一底面的半径为3r .由S 侧＝7π(r ＋3r )＝84π，解得r ＝3.反思感悟 圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展开为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．跟踪训练1 圆柱的一个底面积是S ，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是( )A ．4πSB ．2πSC ．πS D.πS233答案 A解析 设底面半径为r ，则πr 2＝S ，∴r ＝，S π∴底面周长为2πr ＝2π，Sπ又侧面展开图为一个正方形，∴侧面积是2＝4πS .(2πSπ)二、圆柱、圆锥、圆台的体积问题4 我们以前学习过圆柱、圆锥的体积公式，即V 圆柱＝πr 2h (r 是底面半径，h 是高)，V 圆锥＝πr 2h (r 是底面半径，h 是高)．13你能由圆台的定义，利用圆锥的体积公式推导出圆台的体积公式吗？提示 V 圆台＝πh (r ′2＋r ′r ＋r 2)．13知识梳理 几何体体积说明圆柱V 圆柱＝Sh ＝πr 2h 圆柱底面圆的半径为r ，面积为S ，高为h圆锥V 圆锥＝Sh ＝πr 2h 1313圆锥底面圆的半径为r ，面积为S ，高为h圆台V 圆台＝(S ＋＋S ′)h ＝13SS ′π(r 2＋rr ′＋r ′2)h13圆台上底面圆的半径为r ′，面积为S ′，下底面圆的半径为r ，面积为S ，高为h例2 (1)(多选)圆柱的侧面展开图是长12 cm ，宽8 cm 的矩形，则这个圆柱的体积可能是( )A. cm 3 B. cm 3288π192πC ．288π cm 3 D ．192π cm 3答案 AB解析 当圆柱的高为8 cm 时，V ＝π×2×8＝(cm 3)，当圆柱的高为12 cm 时，V ＝π×2(122π)288π(82π)×12＝(cm 3)．192π(2)已知圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，母线长为10，则圆台的体积为________．答案 224π解析 设上底面半径为r ，则下底面半径为4r ，高为4r ，如图．∵母线长为10，∴102＝(4r )2＋(4r －r )2，解得r ＝2.∴下底面半径R ＝8，高h ＝8，∴V 圆台＝π(r 2＋rR ＋R 2)h ＝224π.13反思感悟 求圆柱、圆锥、圆台的体积的关键是求其底面面积和高，其中高一般利用几何体的轴截面求得，一般是由母线、高、半径组成的直角三角形中列出方程并求解．跟踪训练2 圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积是16π，则圆锥的体积是( )2A. B. C ．64π D ．128π64π3128π32答案 A解析 作圆锥的轴截面，如图所示，由题意知，在△PAB 中，∠APB ＝90°，PA ＝PB .设圆锥的高为h ，底面半径为r ，则h ＝r ，PB ＝r .2由S 侧＝π·r ·PB ＝16π，2得πr 2＝16π，所以r ＝4.则h ＝4.22故圆锥的体积V 圆锥＝πr 2h ＝.1364π3三、球的表面积与体积问题5 设球的半径为R ，你能类比圆的面积公式推导方法，推导出球的体积公式吗？提示 分割、求近似和，再由近似和转化为准确和，得出球的体积公式．知识梳理 1．球的表面积公式S ＝4πR 2(R 为球的半径)．2．球的体积公式V ＝πR 3.43例3 (1)球的体积是，则此球的表面积是( )32π3A ．12π B ．16π C. D.16π364π3答案 B解析 设球的半径为R ，∴πR 3＝π，∴R ＝2，43323∴S 球＝4πR 2＝16π.(2)长、宽、高分别为2，，的长方体的外接球的表面积为( )35A ．4π B ．12π C ．24π D ．48π答案 B解析 该长方体的体对角线长为＝2，外接球的半径为R ，22＋(3)2＋(5)23∴2R ＝2，∴R ＝，33∴S 球＝4πR 2＝12π.反思感悟 计算球的表面积与体积，关键是确定球心与半径．跟踪训练3 (1)已知正方体的内切球的体积是π，则正方体的棱长为( )823A ．2 B. C. D.2223423433答案 A解析 设正方体的棱长为a ，其内切球的半径为R ，则a ＝2R ，又πR 3＝π，∴R 3＝2，∴R ＝，∴a ＝2.43823222(2)将两个半径为1的小铁球熔化后铸成一个大球，则这个大球的半径R 为________．答案 32解析 V 小球＝·π·13＝π，4343V 大球＝πR 3，43依题意πR 3＝π×2＝π，434383∴R 3＝2，∴R ＝.321．知识清单：(1)圆柱、圆锥、圆台的表面积．(2)圆柱、圆锥、圆台的体积．(3)球的表面积和体积．2．方法归纳：公式法．3．常见误区：平面图形与立体图形切换不清楚．1．若圆锥的底面半径为1，高为，则圆锥的表面积为( )3A ．π B ．2π C ．3π D ．4π答案 C解析 设圆锥的母线长为l ，则l ＝＝2，所以圆锥的表面积为S ＝π×1×(1＋2)＝3π.3＋12．圆台的体积为7π，上、下底面的半径分别为1和2，则圆台的高为( )A ．3 B ．4 C ．5 D ．6答案 A解析 设圆台的高为h ，由题意知V ＝π(12＋1×2＋22)h ＝7π，故h ＝3.133．一个圆柱的侧面展开图是一个边长为2的正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积的比值是( )A. B.1＋2π2π1＋2π4πC.D.1＋2ππ1＋4π2π答案 A解析 设圆柱的底面圆半径为r ，∴2πr ＝2，∴r ＝，1π∴S 侧＝4，S 底＝πr 2＝，∴＝＝.1πS 表S 侧4＋2×1π41＋2π2π4．如图所示，一个底面半径为R 的圆柱形量杯中，装有适量的水，若放入一个半径为r 的实心铁球，水面高度恰好升高r ，则＝________.Rr答案 233解析 依题意πr 3＝πR 2·r ，∴＝＝.43Rr 23233课时对点练1．两个球的体积之比为8∶27，那么这两个球的表面积之比为( )A ．2∶3 B ．4∶9C.∶ D.∶23827答案 B解析 由两球的体积之比为8∶27，可得半径之比为2∶3，故表面积之比是4∶9.2．轴截面是正三角形的圆锥称为等边圆锥，则等边圆锥的侧面积是底面积的( )A ．4倍 B ．3倍 C.倍 D ．2倍2答案 D解析 设该等边圆锥的半径为R ，则母线l ＝2R ，∴S 底＝πR 2，S 侧＝πRl ＝2πR 2，∴S 侧＝2S 底．3．我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径．“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V ，求其直径d 的一个近似公式d ≈.如果球的半径为，根据“开立圆术”的方法求得的球的体积约为( )316V913A. B. C. D.π8π648116答案 D解析 由题意，得r ＝，d ＝，1323所以≈，解得V ≈.23316V9164．已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )A. B. C ．2π D ．4π22π342π322答案 B解析 绕等腰直角三角形的斜边所在的直线旋转一周形成的曲面围成的几何体为两个底面重合，等体积的圆锥，如图所示．每一个圆锥的底面半径和高都为，故所求几何体的体积2V ＝2××2π×＝.13242π35．(多选)圆台的上、下底面半径分别为10和20，它的侧面展开图扇环的圆心角为180°，则圆台的( )A ．母线长是20 B ．表面积为1 100πC ．高是10D ．体积是27 0003π3答案 ABD解析 如图所示，设圆台的上底面周长为C ，因为扇环的圆心角为180°，所以C ＝π·SA ，又C ＝10×2π，所以SA ＝20，同理SB ＝40，故圆台的母线AB ＝SB －SA ＝20，高h ＝＝10，AB 2－(20－10)23体积V ＝π×10×(102＋10×20＋202)＝，1337 0003π3表面积S ＝π(10＋20)×20＋100π＋400π＝1 100π.6．玉琮是中国古代玉器中重要的礼器，神人纹玉琮王是新石器时代良渚文化的典型玉器，1986年出土于浙江省余杭市反山文化遗址．玉琮王通高8.8 cm ，孔径4.9 cm 、外径17.6 cm.琮体四面各琢刻一完整的兽面神人图象，兽面的两侧各浅浮雕鸟纹，器形呈扁矮的方柱体，内圆外方，上下端为圆面的射，中心有一上下垂直相透的圆孔．试估计该神人纹玉琮王的体积约为(单位：cm 3)( )A ．6 250B ．3 050C ．2 850D ．2 350答案 D解析 由题意知，该神人纹玉琮王的体积为底面边长为17.6 cm ，高为8.8 cm 的正方体的体积减去底面直径为4.9 cm ，高为8.8 cm 的圆柱的体积．则V ＝17.6×17.6×8.8－π×2×8.8≈2 560 (cm 3)．(4.92)结合该神人纹玉琮王外面方形偏低且去掉雕刻部分，可估计该神人纹玉琮王的体积约为2 350 cm 3.7．体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为________．答案 12π解析 由正方体的体积为8可知，正方体的棱长a ＝2.又正方体的体对角线是其外接球的一条直径，即2R ＝a (R 为正方体的外接球半径)，所以R ＝，故所求球的表面积33S ＝4πR 2＝12π.8．一个圆柱和一个圆锥的轴截面分别是边长为a 的正方形和正三角形，则圆柱和圆锥的表面积之比为________，其体积之比为________．答案 2∶1 2∶13解析 S 圆柱＝2·π2＋2π··a ＝a 2.(a 2)a 23π2S 圆锥＝π2＋π··a ＝a 2.(a 2)a23π4∴S 圆柱∶S 圆锥＝2∶1.V 圆柱＝π2·a ＝a 3，(a2)π4V 圆锥＝·π2·a ＝a 3，13(a 2)323π24∴V 圆柱∶V 圆锥＝a 3∶a 3＝2∶1.π43π2439．如图，在底面半径为2，母线长为4的圆锥中内接一个高为的圆柱，求圆柱的表面3积．解 设圆锥的底面半径为R ，圆柱的底面半径为r ，高为h ，表面积为S .则R ＝OC ＝2，AC ＝4，AO ＝＝2，h ＝AO －AE ＝.42－2233如图所示，易知△AEB ∽△AOC ，∴＝，AEAO EBOC 即＝，∴r ＝1，323r2S 圆柱底＝2πr 2＝2π，S 圆柱侧＝2πr ·h ＝2π.3∴S ＝S 圆柱底＋S 圆柱侧＝2π＋2π＝(2＋2)π.3310．某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图中r ＝1，l ＝3，试求该组合体的表面积和体积．解 该组合体的表面积S ＝4πr 2＋2πrl ＝4π×12＋2π×1×3＝10π.该组合体的体积V ＝πr 3＋πr 2l 43＝π×13＋π×12×3＝.4313π311.如图，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3，则该几何体的体积为( )A ．5πB ．6πC ．20πD ．10π答案 D解析 用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱，如图，则圆柱的体积为π×22×5＝20π，故所求几何体的体积为10π.12．正方体的内切球与其外接球的体积之比为( )A ．1∶B ．1∶33C ．1∶3D ．1∶93答案 C解析 设正方体的棱长为a ，则其内切球的半径为，a2∴V 内＝π3＝，43(a2)πa 36正方体的外接球的半径为a ，32∴V 外＝π3＝，43(32a )3πa 32∴V 内∶V 外＝1∶3.313．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水，天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸，若盆中积水深九寸，则平地降雨量是( )(注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸)A ．2寸B ．3寸C ．4寸D ．6寸答案 B解析 由已知得天池盆盆口半径为14寸，盆底半径为6寸，则盆口面积为196π，盆底面积为36π，又盆深18寸，盆中水深9寸，则积水水面的半径为＝10(寸)，14＋62∴积水水面面积为100π，∴积水的体积V ＝×(36π＋＋100π)×9＝588π，1336π×100π∴平地降雨量为＝3(寸)．588π196π14．如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为________．答案 3∶1∶2解析 设球的半径为R ，则V 圆柱＝πR 2·2R ＝2πR 3，V 圆锥＝πR 2·2R ＝πR 3，1323V 球＝πR 3，43故V 圆柱∶V 圆锥∶V 球＝2πR 3∶πR 3∶πR 3＝3∶1∶2.234315．把底面半径为8 cm 的圆锥放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点S 滚动，当这个圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身滚动了2.5周，则圆锥的母线长为________ cm ，表面积等于________ cm 2.答案 20 224π解析 设圆锥的母线长为l ，如图，以S 为圆心，SA 为半径的圆的面积S ＝πl 2.又圆锥的侧面积S 圆锥侧＝πrl ＝8πl .根据圆锥在平面内转到原位置时，圆锥本身滚动了2.5周，∴πl 2＝2.5×8πl ，∴l ＝20 cm.圆锥的表面积S ＝S 圆锥侧＋S 底＝π×8×20＋π×82＝224π(cm 2)．16.如图所示，一个圆锥形的空杯子上放着一个直径为8 cm 的半球形的冰淇淋，请你设计一种这样的圆锥形杯子(杯口直径等于半球形的冰淇淋的直径，杯子壁厚度忽略不计)，使冰淇淋融化后不会溢出杯子，怎样设计最省材料？材料最省为多少？解 要使冰淇淋融化后不会溢出杯子，则必须有V 圆锥≥V 半球，而V 半球＝××43，V 圆锥＝π×42×h ，124π313则有π×42×h ≥××43，解得h ≥8，13124π3即当圆锥形杯子的高大于或等于8 cm 时，冰淇淋融化后不会溢出杯子．又因为S 圆锥侧＝4π，h 2＋16所以当高为8 cm 时，制作的杯子最省材料，材料最省为16π cm 2.5。