轴对称最值问题

轴对称最值问题（线段和最小或差最大）

1.已知A和B两地在一条河的两岸，现要在河上建造一座桥MN，使从A到B的路径AM-MN-NB最短（假定河的两岸是平行直线，桥要与河岸垂直）

2.如图，已知A（1，3），B（5，1），长度为2的线段PQ在x轴上平行移动，当AP+PQ+QB的值最小时，点P的坐标为( )

3.在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A，B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点．若E，F为边OA上的两个动点，且EF=2，则当四边形CDEF的周长最小时，点F的坐标为( )

4.如图，当四边形PABN的周长最小时，a的值为( )

5.如图，两点A，B在直线MN的同侧，A到MN的距离AC=8，B到MN的距离BD=6，CD=4，P在直线MN上运动，则的最大值为( )

6.已知两点A，B在直线的异侧，A到直线的距离AC=6，B到直线的距离BD=2，CD=3，点P在直线上运动，则的最大值为( )

7.在平面直角坐标系中，已知A（0，1），B（3，-4），在x轴上有一点P，当的值最大时，点P的坐标是( )

利用展开图求立体图形表面上小虫的最短路线问题。通过展开立体图形的表面或侧面，化立体为平面，化曲线或折线为直线，利用两点之间线段最短解决问题。

1.台阶问题

（1）如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm ，3cm 和1cm ，A 和B 是这个台阶的两个相对的端点，A 点上有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物.请你想一想，这只蚂蚁从A 点出发，沿着台阶面爬到B 点，最短线路是多少？

析：展开图如图所示，

AB=1312522=+cm

（2）如图，在一个长为2米，宽为1米的矩形草地上，如图堆放着一根长方

体的木块，它的棱长和场地宽AD 平行且＞AD ，木块的正视图是边长为0.2

米的正方形，一只蚂蚁从点A 处，到达C 处需要走的最短路程是 米．（精

确到0.01米）

分析：解答此题要将木块展开，然后根据两点之间线段最短解答．

解：由题意可知，将木块展开，相当于是AB+2个正方形的宽，

∴长为2+0.2×2=2.4米；宽为1米．

于是最短路径为：

=2.60米．

2.圆柱问题 、点在圆柱中可将其侧面展开求出最短路程 将圆柱侧面展成长方形，圆柱体展开的底面周长是长方形的长，圆柱的高是长方形的宽．可求出最短路程

（1）如图所示，是一个圆柱体，ABCD 是它的一个横截面，AB=

，BC=3，一只

蚂蚁，要从A 点爬行到C 点，那么，最近的路程长为（ ）

A ．7

B ．

C ．

D ．5 分析：要求蚂蚁爬行的最短距离，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果． 解：将圆柱体展开，连接A 、C ，

∵==•π•=4，BC=3，

根据两点之间线段最短，AC=

=5． 故选D ．

（2）有一圆形油罐底面圆的周长为24m ，高为6m ，一只老鼠从距底面1m 的A 处爬行到对角B 处吃食物，它爬行的最短路线长为多少？

析：展开图如图所示，

AB=1312522=+m

变式1

：有一圆柱形油罐，已知油罐周长是12m

，高AB 是5m ，要从点A 处开始绕油罐一周建造梯子，正好到达A 点的正上方B 处，问梯子最短有多长？

析：展开图如图所示，AB=1312522=+m

A B A

B c