空间角的计算-课件

A B 1 ( 1 ， 0 ， 1 ) ， A C ( 1 ， 1 ， 0 )
设 平 面 A B 1 C 的 法 向 量 为 n ( x ， y ， z )A
D1
C1
y
D
则 n A B 1 0 ， n A C 0
B
C
所以xxzy00，取x =1，
得y = z =-1，故n=(1，-1，-1)，cos
总之，空间的角最终都可以转化为两相交直线所成的角。 因此我们可以考虑通过两个向量的夹角去求这些空间角。
一、线线角：
异面直线所成角的范围：
0,
2
思考：来自百度文库
C
D
C D ,A B 与 的 关 系 ？
A
D1
B
D C ,A B 与 的 关 系 ？
设 直 线 C D 的 方 向 向 量 为 a ， A B 的 方 向 向 量 为 b
空间向量的引入为代数方法处理立体 几何问题提供了一种重要的工具和方法， 解题时，可用定量的计算代替定性的分析， 从而避免了一些繁琐的推理论证。求空间 角与距离是立体几何的一类重要的问题， 也是高考的热点之一。我们主要研究怎么 样用向量的办法解决空间角的问题。
空间的角：
空间的角常见的有：线线角、线面角、面面角。
ABCD
n2
一进一出， 二面角等于
法向量的夹
角；
同进同出，
二面角等于
n1
l
法向量夹角 的补角。
n2
l
n1
cos cosn1,n2
cos cosn1,n2
1、已知 A B =(2,2,1),A C =(4,5,3),则平面
ABC的一个法向量是______ .
2、如果平面的一条斜线与它在这个平面上的射 影的方向向量分别是 n1=（1，0，1）， n2 =（0， 1，1），那么这条斜线与平面所成的角是 ______ . 3. 三棱锥P-ABC PA⊥ABC,PA=AB=AC, E为PC中点 ,
空间两条异面直线所成的角可转化为两条相 交直线所成的锐角或直角。故我们研究线线角 时，就主要求[ 0 , ]范围内 的角；
斜线与平面所2 成的角是指斜线与它在面内 的射影所成锐角，再结合与面垂直、平行或在 面内这些特殊情况，线面角的范围也是 [ 0 , ] ；
2
两个平面所成的角是用二面角的平面角来 度量。它的范围是 [ 0 , ] 。
By
在 Rt CC1B中，CE1BE
CC
2 1
BC 2
b2 a2
1 2
x
DA
即E分有向线段
C
1
B
的比为
1 2
E(0, 1 , 2 ) 33
EC(0,1, 2) 33
由于BDAC且 CC1 面ABC，所以 BDC1D
在
Rt C1BD中，同理可求
F
(0,
1 2
,
2) 4
∴ FD( 3,1, 2)
z C1
解：以点C为坐标原点建立空间直角坐标 z
系 C ,如xy图z 所示，设 则C：C1 1
A(1,0,0),B(0,1,0), F1(12,0,1),D1(12,12,1) A 1
所以：AF1
(1,0,1), 2
11
BD1
(, 2
,1) 2
A
C1
F1
D1
C
B1
By
x
cosAF 1,BD 1
|
AF1 BD1 AF1 || BD1
BAC900 ,则PA与BE所成角的余弦值为_________ .
4. 直三棱柱ABC-A1B1C1中, A1A=2, BAC900 AB=AC=1, 则AC1与截面BB1CC1所成角的余弦 值为_________ .
练习:
1、已知 A B =(2,2,1),A C =(4,5,3),则平面
ABC的一个法向量是______ .
其中 A B l,A B ,C D l,C D
B
CA l
D
coscos AB,CDABCD
ABCD
例三：如图3，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的
点B处。从A，B到直线l （库底与水坝的交线）的距离AC和BD分别为
a和 b,CD的长为c, AB的长为d。求库底与水坝所成二面角的余弦值。
中点, 则二面角E-BC-A的大小是__4__5_0___
7.正三棱柱 ABC A1B1C1 中，D是AC的中点，当 AB1 BC1时，求二面角DBC 1C的余弦值。
8.已知正方体 AB C A 1B D 1 C 1D 1 的边长为2， O为AC和BD的交点，M为DD 1 的中点
（1）求证： 直线B1O 面MAC; （2）求二面角 B1MA C的余弦值.
3a,1a,b) 22
BC 1 (0,a,b)
AB1 BC1,
则A 可B1设BC a1= 11 2 ，ab2 b220， 则b B(02,21,a0)
z C1
B1 A1
2
C1 (0,0,
2) 2
D(
3 , 1 ,0) 44
作CEBC1于E, DFBC于1 F，
E F
则〈 EC , FD 〉即为二面角 DBC 1C的大小 C
|
1 1 4 53
30 10
所以 B D与1 A所F 1 成角的余弦值为
42 30
10
练习：在长方体 ABCDA1B1C1D 1中，AB=5， AD8,
AA1 4, M 为 B 1 C 1 上 的 一 点 , 且 B 1 M 2 ,点 N在 线 段 A1D上 ，
A1D AN. (1)求 证 ： A 1DAM .
任 取 n2(1,2,1)
cosn1,n2|nn11||nn22|36
即 所 求 二 面 角 得 余 弦 值 是6 3
小结：
1.异面直线所成角：
cos |cosa,b|
C
D
a
a
A
D1
bB
2.直线与平面所成角：
sin | cosn,AB|
B
A
n
O n
3.二面角：
B
A C l
D
coscos AB,CDABCD
x
B
C
AD(0,8,0), A1D(0,8,4),cosA D ,A 1D2 5 5
A D 与 平 面 A N M 所 成 角 的 正 弦 值 是 2 5 所以~~~~
5
练习：正方体 ABCDA1B1C1D 1的棱长为1.
求 B 1 C 1 与 面 A B 1 C 所 成 的 角 .z
设位 正正 交 方基 体底 棱， 长可 为得 1，以 A(A 0B ，0， ，A 0)D ，， BA 1(A 11 ，为 0，1单 )， A 1 C (1，1，0)，C1 (1，1，1)， 则 B1C1(0， 1， 0)，B 1
SA平 面 ABCD,SAABBC1,AD1 2,求 面 zSCD 与 面 SBA
所 成 二 面 角 的 余 弦 值 .
解 ： 建 立 空 直 角 坐 系 A -x y z 如 所 示 , S
A (0,0,0), C(-1,1,0), D (0 ,1 , 0 ),
2
S (0, 0,1)
B
C
易 知 面 S B A 的 法 向 量 n 1 A D (0 ,1 ,0 )
x
n， B1C1
010 3 1 3 3
所 以 B 1 C 1 与 面 A B 1 C 所 成 的 角 的 正 弦 值 为 3 3。
三、面面角： 二面角的范围： [0, ]
①方向向量法：
将二面角转化为二面角的两个面的方向向量 （在二面角的面内且垂直于二面角的棱）的
夹角。如图，设二面角 l 的大小为，
BAC900,E为PC中点 ,则PA与BE所成角的
余弦值为________6 _ .
6
5. 直三棱柱ABC-A1B1C1中, A1A=2, BAC900 AB=AC=1, 则AC1与截面BB1CC1所成 角的余弦值为__3 _1_0_1 _0___ .
6.正方体中ABCD-A1B1C1D1中E为A1D1的
A1D AN. (1)求 证 ： A 1DAM .
（ 2 ） 求 A D 与 平 面 A N M 所 成 的 角 . z
简解：
A1 N
由(1)知A1DAM，又A1DAN
B1 M
AM ANA，所以A1D平面AMN A
D1
C1
Dy
所以A1D是平面AMN的法向量。 A(0,0,0), A1(0,0, 4), D(0,8,0),
于是，得 2 CD A a B 2 b 2 c2 d 2
设向量 CA 与 DB 的夹角为 ， 就是库底与水坝所成的二面角。
因此
2 a cb o a 2 s b 2 c 2 d 2 .
所以 cosa2b2c2d2.
2ab
所以库底与水坝所成二面角的余弦值为
a2 b2 c2 d2 .
2ab
三、面面角： 二面角的范围： [0, ]
解：如图，A a ， C B b ， D C c ， D A d . B
B
化为向量问题 根据向量的加法法则有
C D
AB AC CD DB
A
d2A2B (A C C D D)B 2
222
A C C D B D 2 ( A C C D A C D B C D D B )
a2c2b22AC DB a2c2b22CA DB
A
2
思考：
B
O
设平面的法向量为n，则 n,BA与的关系？
A
n
A
n，BA
2
B
n，BA
B
2
n
结论：sin |cosn,AB|
例二：在长方体 ABCDA1B1C1D 1中，AB=5， AD8,
AA1 4, M 为 B 1 C 1 上 的 一 点 , 且 B 1 M 2 ,点 N在 线 段 A1D上 ，
C1
B1
D1
C1
A1
A1 M
B1
C D
B A
D O
A
C B
解法一：如图，以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz。设
底面三角形的边长为a，侧棱长为b, 则 C(0,0,0)
A(
3 a, 1 a,0) 22
B(0,a,0)
C1(0,0,b)
B1(0,a,b)D(
3 a, 1 a,0) 44
故
AB1 (
a
b
a， b |
a
b
a， b
|
结论：
|cosa,b|
例一：R tA B C 中 ， B C A 9 0 0 ,现 将 A B C 沿 着 平 面 ABC 的 法 向 量
平 移 到 A 1 B 1 C 1 位 置 ， 已 知 BCCACC1， 取 A1B1、 A1C1的 中 取 A 1B 1 、 A 1 C 1 的 中 点 D 1 、 F 1 ， 求 B D 1 与 A F 1 所 成 的 角 的 余 弦 值 .
②法向量法
n1，n 2
n1，n2
n2
n2
n1， n2
n1，n 2
n1
n1
l
l
cos cosn1,n2 cos cosn1,n2
注意法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角；
同进同出，二面角等于法向量夹角的补角
例 四 ： 如 所 示 ， ABCD是 一 直 角 梯 形 ， ABC=900,
简解：
z
A(0,0,0), A1(0,0, 4), D(0,8,0), M(5, 2, 4)
AM(5,2,4),
A1
N
B1 M
A
D1
C1
Dy
A1D(0,8,4),
B
C
AMA1D＝0A1DAM. x
（ 2 ） 求 A D 与 平 面 A N M 所 成 的 角 .
二、线面角：
直线与平面所成角的范围： [ 0 , ]
D( 3 , 1 ,0) 44
C1 (0,0,
2) 2
∴
C1D(
3,1, 44
2) 2
DB( 3,3,0) z 44
由 C1Dm,DB m得
C1
B1
31 2
33
A1
C1Dm4x4y2z0,
DBm x y0 44
解得 x 3y 6 z 所以，可取m(3, 3, 6)
2
∴∴二c面os角〈D m,nB〉C 1=Cmm的大nn小面 的n等内 情方3， 况于向3属 ，2朝〈于 二面m“ 面外,n一 角2，2〉m进 等方一 于x 向出 法C朝” 向
C D(1,1,0),SD(0,1,1) 2 x
A
Dy
设平面 S C 2 D 的 法 向 量 n 2 2 ( 面nx 1,内方y ,，向z ) 属朝,于由 面“外n 2 一， n 进2 C 方一D 向出,朝”n 2 S D ,得 ：
x y 2
y 2
z
0 0
x
z
y 2 y 2
的情况，二面角等于法向 量夹角
2、如果平面的一条斜线与它在这个平面上的射
影的方向向量分别a是 =（1，0，1），b =（0，1， 1），那么这条斜线与平面所成的角是_6_0__0__ .
3、已知两平面的法向量分别m=(0,1,0),n=(0,1,1)，
则两平面所成的钝二面角为__1_3__5_0 .
4. 三棱锥P-ABC PA⊥ABC,PA=AB=AC,
444
B1 A1
∴ cos〈 EC , FD 〉=
1
EC FD 4 2 EC FD 3 6 2
C
34
x
即二面角DBC 1C的余弦值为
2 2
E
F By
DA
解法二：同法一，以C为原点建立空间直角坐标系 C-xyz CC1B 在坐标平面yoz中 ∴可取 n＝(1,0,0)为面 CC1B 的法向量
设面 C1BD 的一个法向量为m(x, y,z) 同法一，可求 B(0,1,0)