数系的扩充

数系的构造与逐步扩充：自然数系——整数系和分数系——实数系——复数系

从自然数到有理数，两个方向的需求：

（1）作为度量工具的有理数，度量时间、长度、面积、体积等能任意细分的量：度量单位——分数单位——分数。

问题1

：为什么把叫做“有理数”？“有理”在哪里？——因为它的加法和乘法与自然数的加法和乘法有同样的规律！只要我们按照如下定义行事

bd bc ad d c b a +=+，bd ac d c b a =⋅，1=a a ，b a bc ac =。 在此定义下，就可以证明：自然数的算术基本规律，即交换律、结合律、分配律等，在有理数范围内仍然成立。

问题2：为什么不把加法定义为d b c a d c b a ++=+？

逻辑上允许，但从创造一个恰当的度量工具的角度看，没有意义。例如，4

22121=+，从度量的角度看是不合适的。 （2）数学内部的需求：自然数集中，加法和乘法的“逆运算”不能通行。为此，需要引进符号0以及―1，―2，―3，……，并定义a ＜b 时，a －b ＝－(b －a )，以及在“使算术运算的运算律保持不变”的原则下，定义(－1)×(－1)＝1。

问题3：为什么不是(－1)×(－1)＝－1？

与引入0和负整数的数学需求类似，分数的引进使得除

法消除了障碍：定义符号b a ，称为分数，它服从b ×b a =a （b

≠0）。

这样，全体有理数——整数和分数、正数和负数——的纯算术意义就清楚了。在这一扩展了的数的范围内，不仅形式上的运算律成立，而且保证加、减、乘、除的封闭性——这个封闭的数的范围叫做域。

上述数的范围的扩充过程，反映了数学推广过程的一个重要特性——使得在原来范围内成立的规律在更大的范围内仍然成立。非常幸运，从自然数到有理数的这一推广，完全满足了用数来表示度量结果的实际需要。

从有理数到无理数，也可以看成是两个方面需求的结果：

（1）度量线段中发现的存在着不可公度线段——每一条这样的线段都对应着借助于单位长度而给出的一个数，这样的数就是无理数。“这是科学史上极其重要的事件，它很可能标志着数学上严格推理的起源。肯定地说，从希腊人的时代直到今天，它一直深刻地影响着数学和哲学。”（柯朗，什么是数学，72）

（2）从数学内部的需求看，与有理数域的扩充类似，为了解像x 2=2这样的方程，需要构造一个比有理数域更广的实数域。

从实数到复数，主要是数学内部的需求：

最早要求应用复数的是为了解二次方程。16世纪，意大利数学家卡尔丹在解三次方程时使用了复数。那时，数学家们对复数的意义充满疑惑，并一直想要搞清楚复数的意义——寻找几何表示，使它“看得见”。直到十九世纪初，高斯给出了复数a+b i（a，b为实数）的几何意义，复数才有了合法地位。

引进一种新的数，就要定义它的运算；定义一种运算，就要研究它的运算律。对于引进的“虚数单位”i，它服从i2=－1，现在有

问题1：根据已有的数系扩充理论，要使符号i能像对实数那样进行加、乘运算，它应该有怎样的一般形式？

对于复数a+b i（a，b为实数），根据一以贯之的原则，即“使算术运算的运算律保持不变”，应如何定义关于它的运算？

问题2：类比用数轴上的点表示实数，如何对复数作出几何解释（复数的几何表示）？由复数的几何表示出发，你能发现和提出哪些问题？得出哪些有用的结论？（复数的模，共轭复数及其性质，复数加法的平行四边形法则，复数的“三角形不等式”，复数的三角表示，等。）