第20讲 第十一章 动量矩定理分析
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动力学
动量矩定理
§10-1 质点和质点系的动量矩 §10-2 动量矩定理 §10-3 刚体绕定轴的转动微分方程 §11-4 刚体对轴的转动惯量
第20讲的内容、要求、重难点 教学内容：
质点、质点系动量矩的定义及求解，动量矩定理、 动量矩守恒定律及其应用。
教学要求：
1、了解动量矩定理在工程和生活实际中的某些运用。 2、 理解平动、平面运动刚体对固定点的动量矩的计算 3、 掌握动量矩定理、动量矩守恒定律及其应用。
于轴 z 和转动半径 rz，且指向转动前进的一方。
ω
若用 m 表示该质点的质量，则其动量对
转轴 z 的动量矩为
O rz
mv
A
Mz(mv) = rz ·m( r z )= mrz2
(b)
从而整个刚体对轴 z 的动量矩
17-9
Lz = ∑Mz(mivi) = ∑miriz2 = Jz
即，作定轴转动的刚体对转轴的动量矩，等于刚体对该轴的 转动惯量与角速度的乘积。为了计算方便，人为规定从轴的正 向往负向看，逆针向为正。
vA m2 ω2
A
P
ω0
Ⅱ
r2
2
r1
r2 r2
0
（2）求轮II对轴O的动量矩
Oα
r1
Ⅰ
LO rC mvC LC
(r1 r2 ) m2vA J A2
§11-1 动 量 矩
例3 长度为l，质量不计的杆OA与半径为R、质量为m的 均质圆盘B在A处铰接。杆OA有角速度ω ，轮B有相对杆OA 的角速度ω （逆时针向）。求圆盘对轴O的动量矩。
重点：动量矩计算、动量矩定理、动量矩守恒定律
难点：平面运动刚体对固定点的动量矩 学时安排：2
ห้องสมุดไป่ตู้ 第十一章 动量矩定理
观
察
猫
的
自
由
下
落
应用动量定理只能分析出其质心加速度
第十一章 动量矩定理
几个实际问题
§11-1 动 量 矩
质点的动量矩 质点系的动量矩 平动刚体对固定点的动量矩 定轴转动刚体对其转轴的动量矩 质点系对固定点的动量矩的另一种表示
LO = ∑MO(mivi) =∑r mivi
2. 对轴的动量矩
质点系对某轴 的动量矩为质点系内各质点对各坐标轴的
动量矩的代数和：
Lx = ∑Mx(mivi)
Ly = ∑My(mivi)
Lz = ∑Mz(mivi)
§11-1 动 量 矩
三、平动刚体对固定点O的动量矩
设刚体以速度 v 平动，刚体内任一点 A 的矢径是 ri ,该点的 质量为mi，速度大小是 vi 。
该质点对点O 的动量矩为： MO(mivi) = ri ×mivi 从而整个刚体对点O 的动量矩：
A mivi
LO =∑ MO(mivi) = ∑ ri ×mivi = ∑(miri )×vC
= ∑mi ∙rC ×vC =rC× ∑mi vC =rC× m vC
因为刚体平动： vi= v= vC
m ri
解：根据质点系对固定点的动量矩公式
O
ω
θ
l
B
vA
A
LO rC mvC LC 则动量矩的大小为：
LO l mvA LA
l ml J AA
ml 2 1 mR2 2
O
又因为： ∑miri = ∑mi ∙rC
平动刚体对某固定
点的动量矩，可归结 为集中了所有质点质 量的质心动量对该固 定点的动量矩。
§11-1 动 量 矩
四、定轴转动刚体对其转轴的动量矩
设刚体以角速度 绕固定轴 z 转动，刚体内任一点 A 的转
动半径是 rz 。
z
该点的速度大小是 v = rz ，方向同时垂直
mO(mv) mv rsin(r，mv)
动量矩的大小和方向是随矩心的改变而改变的，动量矩 MO(mv)必须从矩心O画出。和力对点之矢矩一样是定位矢。
3、单位：动量矩的单位是kg∙m2/s。
§11-1 动 量 矩
二、质点系的动量矩
1. 对点的动量矩
质点系内各质点对某点 O 的动量矩的矢量和，称为质点 系对该点 的动量主矩，简称动量矩。用 LO 表示：
§11-1 动 量 矩
五、质点系对固定点O的动量矩的另一种表示
过固定点O建立固定坐标系Oxyz，以质点系的质心 C 为原点，
取平动坐标系 Cx y z , 质点系对固定点O的动量矩为
LO rC mvC LC
LC = (r'i mivir )
z
z'
mi vir
A vi
LC —— 质点系相对质心C 的动量矩
vO rω
（２）求圆盘对水平面上O1点的动量矩：
y'
LO1 LO rO mvO
LO
JOω
1 2
mr 2
rO mvO mrO vO = m（rO vO）sin（rO ,vO）
O vO x '
r
y
I rO
O1
x
=mr rω=mr2ω
则
LO1
3 2
mr 2ω
方法二：计算 rO mvO 可以与力矩的计算类比，过O点向动量 mvO作垂线段长，动量臂为r rO mvO mvO r
§11-1 动 量 矩
思考 题 1
思考题
一半径为R、质量为m1的匀质圆盘与一长为l、质量为m2 的匀质细杆相固连，以角速度在铅直面转动。试求该系统
对O轴的动量矩。
解: 系统做定轴转动，该系统对O轴的动
量矩
LO
JO
[
1 3
m2
l
2
1 2
m1
R
2
m1 (R l)2 ]
顺时针。
l
m2
C R m1
C
vie
上式即平面运动刚体对固 定点O的动量矩计算公式
rC x'
O
mvC
y' y
x
思考：平面问题中动量矩是矢量还是标量？ §11-1 动 量 矩
例题1：一半径为r的匀质圆盘在水平面上纯滚动，如图所示。
已知圆盘对质心的转动惯量为JO，角速度为。试求圆盘对水
平面上O1点的动量矩。
解:(1)求质心O点的速度为vO 。圆盘以I为瞬心做瞬时转动：
§11-1 动 量 矩
一、质点的动量矩
z
1. 定义： 质点A的动量 mv 对
点 O 的矩，定义为质点A 对点 O 的动量 矩。
MO(mv) = r mv
2、大小方向：
MO(mv)
O x
mv
n
A
M O( F )
r
y
x
z
B
F
rAO A
O
y
方向垂直于矢径r与动量mv所形成的平面，指向按右手法 则确定，其大小为:
§11-1 动 量 矩
例2：行星齿轮机构在水平面内运动。质量为m1的均质曲柄 OA带动行星齿轮II在固定齿轮I上纯滚动。齿轮II的质量为m2， 半径为r2。定齿轮I的半径为r1。求轮II对轴O的动量矩。
解:(1）求行星齿轮的角速：齿轮II作平面运动,与齿轮I
接触点P为瞬心
vA (r1 r2 ) O r22
动量矩定理
§10-1 质点和质点系的动量矩 §10-2 动量矩定理 §10-3 刚体绕定轴的转动微分方程 §11-4 刚体对轴的转动惯量
第20讲的内容、要求、重难点 教学内容：
质点、质点系动量矩的定义及求解，动量矩定理、 动量矩守恒定律及其应用。
教学要求：
1、了解动量矩定理在工程和生活实际中的某些运用。 2、 理解平动、平面运动刚体对固定点的动量矩的计算 3、 掌握动量矩定理、动量矩守恒定律及其应用。
于轴 z 和转动半径 rz，且指向转动前进的一方。
ω
若用 m 表示该质点的质量，则其动量对
转轴 z 的动量矩为
O rz
mv
A
Mz(mv) = rz ·m( r z )= mrz2
(b)
从而整个刚体对轴 z 的动量矩
17-9
Lz = ∑Mz(mivi) = ∑miriz2 = Jz
即，作定轴转动的刚体对转轴的动量矩，等于刚体对该轴的 转动惯量与角速度的乘积。为了计算方便，人为规定从轴的正 向往负向看，逆针向为正。
vA m2 ω2
A
P
ω0
Ⅱ
r2
2
r1
r2 r2
0
（2）求轮II对轴O的动量矩
Oα
r1
Ⅰ
LO rC mvC LC
(r1 r2 ) m2vA J A2
§11-1 动 量 矩
例3 长度为l，质量不计的杆OA与半径为R、质量为m的 均质圆盘B在A处铰接。杆OA有角速度ω ，轮B有相对杆OA 的角速度ω （逆时针向）。求圆盘对轴O的动量矩。
重点：动量矩计算、动量矩定理、动量矩守恒定律
难点：平面运动刚体对固定点的动量矩 学时安排：2
ห้องสมุดไป่ตู้ 第十一章 动量矩定理
观
察
猫
的
自
由
下
落
应用动量定理只能分析出其质心加速度
第十一章 动量矩定理
几个实际问题
§11-1 动 量 矩
质点的动量矩 质点系的动量矩 平动刚体对固定点的动量矩 定轴转动刚体对其转轴的动量矩 质点系对固定点的动量矩的另一种表示
LO = ∑MO(mivi) =∑r mivi
2. 对轴的动量矩
质点系对某轴 的动量矩为质点系内各质点对各坐标轴的
动量矩的代数和：
Lx = ∑Mx(mivi)
Ly = ∑My(mivi)
Lz = ∑Mz(mivi)
§11-1 动 量 矩
三、平动刚体对固定点O的动量矩
设刚体以速度 v 平动，刚体内任一点 A 的矢径是 ri ,该点的 质量为mi，速度大小是 vi 。
该质点对点O 的动量矩为： MO(mivi) = ri ×mivi 从而整个刚体对点O 的动量矩：
A mivi
LO =∑ MO(mivi) = ∑ ri ×mivi = ∑(miri )×vC
= ∑mi ∙rC ×vC =rC× ∑mi vC =rC× m vC
因为刚体平动： vi= v= vC
m ri
解：根据质点系对固定点的动量矩公式
O
ω
θ
l
B
vA
A
LO rC mvC LC 则动量矩的大小为：
LO l mvA LA
l ml J AA
ml 2 1 mR2 2
O
又因为： ∑miri = ∑mi ∙rC
平动刚体对某固定
点的动量矩，可归结 为集中了所有质点质 量的质心动量对该固 定点的动量矩。
§11-1 动 量 矩
四、定轴转动刚体对其转轴的动量矩
设刚体以角速度 绕固定轴 z 转动，刚体内任一点 A 的转
动半径是 rz 。
z
该点的速度大小是 v = rz ，方向同时垂直
mO(mv) mv rsin(r，mv)
动量矩的大小和方向是随矩心的改变而改变的，动量矩 MO(mv)必须从矩心O画出。和力对点之矢矩一样是定位矢。
3、单位：动量矩的单位是kg∙m2/s。
§11-1 动 量 矩
二、质点系的动量矩
1. 对点的动量矩
质点系内各质点对某点 O 的动量矩的矢量和，称为质点 系对该点 的动量主矩，简称动量矩。用 LO 表示：
§11-1 动 量 矩
五、质点系对固定点O的动量矩的另一种表示
过固定点O建立固定坐标系Oxyz，以质点系的质心 C 为原点，
取平动坐标系 Cx y z , 质点系对固定点O的动量矩为
LO rC mvC LC
LC = (r'i mivir )
z
z'
mi vir
A vi
LC —— 质点系相对质心C 的动量矩
vO rω
（２）求圆盘对水平面上O1点的动量矩：
y'
LO1 LO rO mvO
LO
JOω
1 2
mr 2
rO mvO mrO vO = m（rO vO）sin（rO ,vO）
O vO x '
r
y
I rO
O1
x
=mr rω=mr2ω
则
LO1
3 2
mr 2ω
方法二：计算 rO mvO 可以与力矩的计算类比，过O点向动量 mvO作垂线段长，动量臂为r rO mvO mvO r
§11-1 动 量 矩
思考 题 1
思考题
一半径为R、质量为m1的匀质圆盘与一长为l、质量为m2 的匀质细杆相固连，以角速度在铅直面转动。试求该系统
对O轴的动量矩。
解: 系统做定轴转动，该系统对O轴的动
量矩
LO
JO
[
1 3
m2
l
2
1 2
m1
R
2
m1 (R l)2 ]
顺时针。
l
m2
C R m1
C
vie
上式即平面运动刚体对固 定点O的动量矩计算公式
rC x'
O
mvC
y' y
x
思考：平面问题中动量矩是矢量还是标量？ §11-1 动 量 矩
例题1：一半径为r的匀质圆盘在水平面上纯滚动，如图所示。
已知圆盘对质心的转动惯量为JO，角速度为。试求圆盘对水
平面上O1点的动量矩。
解:(1)求质心O点的速度为vO 。圆盘以I为瞬心做瞬时转动：
§11-1 动 量 矩
一、质点的动量矩
z
1. 定义： 质点A的动量 mv 对
点 O 的矩，定义为质点A 对点 O 的动量 矩。
MO(mv) = r mv
2、大小方向：
MO(mv)
O x
mv
n
A
M O( F )
r
y
x
z
B
F
rAO A
O
y
方向垂直于矢径r与动量mv所形成的平面，指向按右手法 则确定，其大小为:
§11-1 动 量 矩
例2：行星齿轮机构在水平面内运动。质量为m1的均质曲柄 OA带动行星齿轮II在固定齿轮I上纯滚动。齿轮II的质量为m2， 半径为r2。定齿轮I的半径为r1。求轮II对轴O的动量矩。
解:(1）求行星齿轮的角速：齿轮II作平面运动,与齿轮I
接触点P为瞬心
vA (r1 r2 ) O r22