2-1.1(一阶、二阶和三阶行列式)
二阶和三阶行列式
二阶和三阶行列式
（1-5） 为二阶矩阵A的行列式，简称二阶行列式．其中aij（i，j=1， 2）的第一个下标i表示元素所在行，称为行标，第二个下标j表示 元素所在列，称为列标，则aij就是位于构成行列式的数表第i行与 第j列交叉位置的数，称为行列式的元素．
二阶和三阶行列式
从式（1-5）可以看出，二阶行列 式实际上是一个算式，即从左上角到右 下角的对角线（主对角线）上两个元素 相乘以后减去从右上角到左下角的对角 线（副对角线）上两个元素的乘积，这 就是计算二阶行列式的对角线法则．
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二阶和三阶行列式
【例1-2】
求下列各二阶行列式的值.
二阶和三阶行列式
二阶和三阶行列式
二阶和，简称三阶行列 式．三阶行列式的展开式 也可以用对角线法则得到， 三阶行列式的对角线法则 如图1-3所示．
图1-3 三阶行列式的对角线法则
二阶和三阶行列式
其中每条实线上三个元素的乘积带 正号，每条虚线上三个元素的乘积带负 号，所得六项的代数和就是三阶行列式 的展开式．
二阶和三阶行列式
二阶和三阶行列式
在中学时已通过求解二元、三元一次线性方程组 的问题引出了二阶、三阶行列式的定义.在此，再进行 简单的复习．
设有二元一次线性方程组
该方程组用矩阵形式可表示为AX=b，其中
二阶和三阶行列式
当a11a22－a12a21≠0时，方程组有唯一解：
上述结论可作为公式使用，但这种公式解的表达式比较 复杂，应用起来也不方便，为方便记忆，我们引进新的记号 来表示这个结果，就是行列式的概念．
矩阵论基础1.1二阶和三阶行列式
矩阵论基础1.1⼆阶和三阶⾏列式第⼀节⼆阶和三阶⾏列式在介绍⾏列式概念之前，我们先构造⼀个数学玩具：把4个数放在⼀个正⽅形的四个⾓上，在加上两条竖线，即，规定这个玩具对应于⼀个结果：两个对⾓线上的数的乘积之差。
即例如所在⽅向的对⾓线称为主对⾓线，所在⽅向的对⾓线称为副对⾓线。
定义1 4个数称为⼀个⼆阶⾏列式；所在的⾏称为第⼀⾏，记为（r来源于英⽂row），所在的列称为第⼆列，记为（c来源于英⽂column），因其共有两⾏两列，所以称为⼆阶⾏列式，是第⼆⾏第⼀列的元素。
⼀般地⽤表⽰第i⾏第j列的元素，i是⾏标，j是列标。
可叙述为：⼆阶⾏列式的对应值等于主对⾓线上两元素之积减去的副对⾓线上⼆元素之积所得的差, 这⼀计算法则称为对⾓线法则.此玩具的⽤途在于：求解⽅程组⽤消元法，先消去所在的项，⽅程(2)´a11，⽅程(1)´a21得（3）-（4），得再消去所在的项，⽅程(2)´a12，⽅程(1)´a22得（5）-（6），得我们发现其规律为：若记是⽅程组的系数⾏列式，则是⽤常数项替代D中的第⼀列所得的⾏列式；是⽤常数项替代D中的第⼆列所得的⾏列式。
若D≠0，⽅程组的恰好是：,此规律被称为Cramer定理。
例1 求解⼆元线性⽅程组解：,,,因此 , .同理类推，⽤对⾓线法则可以定义3阶⾏列式如下：其中来⾃三条主对⾓线上三个元素的乘积，前⾯加正号；来⾃三条副对⾓线上三个元素的乘积，前⾯加负号。
例2 计算3阶⾏列式解：D=1×2×2+3×1×1+3×1×（-1）-1×2×3-（-1）×1×1-2×1×3=-7D1=6×2×2+4×1×1+11×1×（-1）-1×2×11-（-1）×1×6-2×1×4=-7D2=1×4×2+3×11×1+3×6×（-1）-1×4×3-（-1）×11×1-2×6×3=-14D3=1×2×11+3×1×6+3×1×4-6×2×3-4×1×1-11×1×3=--21实际上，D，D1，D2，D3来⾃线性⽅程组。
行列式
第一章 行列式行列式的理论起源于线性方程组，是线性代数中的重要概念之一.在数学的许多分支和工程技术中有广泛的应用.本章主要介绍n 阶行列式的概念、性质、计算方法及其用行列式解n 元线性方程组的克莱姆（Cramer ）法则.1.1 n 阶行列式1.1.1 二阶、三阶行列式在许多实际问题中，人们常常会遇到求解线性方程组的问题，我们在初等数学中曾学过如何求解二元一次线性方程组和三元一次线性方程组.例如对于以12,x x 为未知元的二元一次线性方程组11112212112222,.a x a x b a x a x b +=⎧⎨+=⎩ (1.1) 利用消元法，得112212211122122112212212112121(),().a a a a xb a a b a a a a x a b b a -=--=-当112212210a a a a -≠时，方程组（1.1）有唯一解122122*********b a a b x a a a a -=-,112121211221221a b b a x a a a a -=-. （1.2）根据这个解的特点得到启发，为了简明的表达这个解，引入了二阶行列式的概念. 定义1.1 记号11122122a a a a 表示代数和11221221a a a a -，称为二阶行列式，即1112112212212122a a a a a a a a =-.其中数11122122,,,a a a a 叫做行列式的元素，横排叫行，竖排叫列.元素ij a 的第一个下标i 叫做行标，表明该元素位于第i 行，第二个下标j 叫做列标，表明该元素位于第j 列.由上述定义可知，二阶行列式是由4个数按一定的规律运算所得的代数和.这个规律性表现在行列式的记号中就是“对角线法则”.如下图1-1，把11a 到22a 的实连线称为主对角线，把12a 到21a 的虚连线称为副对角线.于是，二阶行列式等于主对角线上两元素的乘积减去副对角线上两元素的乘积.11122122a a a a 图1-1由上述定义得，112122122222b a b a a b b a =-，111112121212.a ba b b a a b =-若记11122122a a D a a =，1121222b a D b a =，1112212a b D a b =.则方程组（1.1）的解可用二阶行列式表示为1212,D Dx x D D==. （1.3） 注 从形式上看，这里分母D 是由方程组（1.1）的系数所确定的二阶行列式（称为系数行列式），1x 的分子1D 是用常数项1b ，2b 替换D 中的第一列所得的行列式，2x 的分子2D 是用常数项1b ，2b 替换D 中的第二列所得的行列式.本节后面讨论的三元一次线性方程组的解也有类似的特点，请读者学习时注意比较.总之，当（1.1）式中未知量的系数排成的行列式0D ≠时，方程组（1.1）的解可由（1.3）式给出.例1.1 解线性方程组12122313,54 2.x x x x +=⎧⎨-=-⎩ 解 因为232(4)3523054D ==⨯--⨯=-≠-，而113313(4)3(2)4624D ==⨯--⨯-=---，22132(2)1356952D ==⨯--⨯=--.所以1146223D x D -===-， 2269323D x D -===-. 现在来看三元一次线性方程组：111122133121122223323113223333,,.a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ （1.4） 同样，由消元法可得，当111213212223112233122331132132313233a a a D a a a a a a a a a a a a a a a ==++ 1322311221331123320a a a a a a a a a ---≠时，（1.4）的解为1122331223313232132231223312332211233123311321313231121331123331122312231121321223112213112321(),1(),1().x b a a a a b a b a a a b a b a b a a D x a b a b a a a a b a b a b a a a a b D x a a b a b a b a a b a a a a b a b a D ⎧=++---⎪⎪⎪=++---⎨⎪⎪=++---⎪⎩（1.5） 同前面一样，为方便记忆，我们引入三阶行列式的概念：定义1.2 记号111213212223313233a a a a a a a a a 表示代数和 112233122331132132132231122133112332a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++---称为三阶行列式，即111213212223112233122331132132313233a a a a a a a a a a a a a a a a a a =++ 132231122133112332a a a a a a a a a ---.注 这个行列式含有三行、三列，其展开式是6个项的代数和.这6个项中的每一项都是由不同行不同列的三个元素的乘积再冠以正号或负号构成的.我们可用一个简单的规律来记忆，就是所谓三阶行列式的对角线规则：111213212223313233a a a a a a a a a 图1-2即实线上三个元的乘积构成的三项都冠以正号，虚线上三个元的乘积都冠以负号.例1.2 计算三阶行列式212431235-. 解 按对角线法则，有2124312351122(4)32321(4)5231235-=⨯⨯+⨯⨯+⨯-⨯-⨯⨯-⨯-⨯-⨯⨯302241220610=+--+-=.有了三阶行列式后，（1.5）可以很有规律的表示为312123,,.D D Dx x x D D D===其中1121312222333233b a a D b a a b a a =，1111322122331333a b a D a b a a b a =，1112132122231323a ab D a a b a a b =，111213212223313233a a a D a a a a a a =上面三式右边居分母的位置的三个行列式都是D ，它是线性方程组（1.4）的系数按原有相对位置而排成的三阶行列式，也称为方程组（1.4）的系数行列式，而在123,,x x x 的表达式中的分子分别是把系数行列式D 中第1,2,3列换成常数项123,,b b b 而得到的三阶行列式.依次记为1D ，2D ，3D .这与二元线性方程组的解具有相同的规律.不仅如此，以后我们还可以看到：n 元线性方程组的解也同样可以用“n 阶行列式”来表达，其情况与二元、三元线性方程组解的表达式完全类似.例1.3 解线性方程组123123123241,532,1.x x x x x x x x x -+=⎧⎪-+=⎨⎪-+=-⎩ 解 因为24115380111--=-≠-， 114125311111D -=-=--，22111239111D ==-，32411526111D -=-=--.故有11118D x D ==-，2298D x D ==-，3334D x D ==-. 1.1.2 n 阶行列式通过前面的讨论，对于二阶和三阶行列式可用对角线法则定义，但是对于n 阶行列式如果用对角线法则来定义，当3n >时，它将与二阶、三阶行列式没有统一的运算性质，因此，对一般的n 阶行列式要用其它的方法来定义，在线性代数中有不同的定义方式，我们在本书中采用下面的递推法来定义.从二阶、三阶行列式的展开式中，可发现它们都遵循着相同的规律——可按第一行展开.即1112112212212122a a D a a a a a a ==-，111213222321232122212223111231323331333132313233a a a a a a a a a D a a a a a a a a a a a a a a a ==-+ （1.6）111112121313a M a M a M =-+.其中2223113233a a M a a =，2123123133a a M a a =，2122133132a a M a a =.11M 是原来三阶行列式D 中划掉元素11a 所处的第1行和第1列的所有元素后剩下的元素按原来的次序排成的低一阶的行列式.称11M 为元素11a 的余子式.同理，12M 和13M 分别是12a 和13a 的余子式.为了使三阶行列式的表达式更加规范化，令111111(1)A M +=-，121212(1)A M +=-，131313(1)A M +=-，111213,,A A A 分别称为元素111213,,a a a 的代数余子式.因此，式（1.6）即为111112121313D a A a A a A =++， （1.7）同样，111211221221111112122122a a D a a a a a A a A a a ==-=+. （1.8）其中11112222(1)A a a +=-=，12122121(1)A a a +=-=-.注 定义一阶行列式1111a a =（不要把一阶行列式11a 与11a 的绝对值相混淆）. 如果把式（1.8）和式（1.7）作为二阶、三阶行列式的定义，那么这种定义的方法是统一的，它们都是利用低一阶的行列式来定义高一阶的行列式.因此，我们自然而然地会想到，用这种递推的方式来定义一般的n 阶行列式.这样定义的各阶行列式就会有统一的运算性质，下面我们具体给出n 阶行列式的递推法定义，定义1.3 由2n 个数组成的n 阶行列式111212122212n n n n nna a a a a a D a a a =是一个计算式.当1n =时，定义1111D a a ==；当2n ≥时，定义1111121211111nn n j j j D a A a A a A a A ==+++=∑， （1.9）其中111(1)jj j A M +=-，1j M 是原来n 阶行列式D 中划掉元素1j a 所处的第1行和第j 列的所有元素后剩下的元素按原来的次序排成的低一阶的行列式.即212121231313131111j j n j j n j n nj nj nna a a a a a a a M a a a a -+-+-+=，(1,2,,)j n =.在D 中, 1122,,,nn a a a 所在的对角线称为行列式的主对角线，另外一条对角线称为行列式的副对角线.由定义可见，二阶行列式的展开项共有2!项，三阶行列式的展开项共有3!项，n 阶行列式的展开项共有!n 项，其中每一项都是不同行不同列的n 个元素的乘积，在!n 项中，带正号的项和带负号的项各占一半.例1.4 计算下三角形行列式（主对角线以上所有的元素全为零的行列式称为下三角形行列式）11212212000n n nna a a D a a a =.解 行列式第一行的元素121310n a a a ====，由定义得1111D a A =.11A是1n -阶下三角形行列式，则334344112234000n n nna a a A a a a a =.依次类推，不难求出1122nn D a a a =，即下三角形行列式等于主对角线上各元素的乘积.注 主对角线下方所有的元素全为零的行列式称为上三角形行列式，除了主对角线上元素之外其余元素全为零的行列式，称为主对角形行列式.特别地，有1122112200000nn nna a D a a a a ==.例1.5 证明1(1)2122121112100000(1).n n n nn n n n n n nn nna a a D a a a a a a a ----==-证 行列式第一行的元素111213110n a a a a -=====，由定义得1212123231111112112100000000(1)n n n n n n n n n nn n nn nnn nn nn a a a a a a D a A a a a a a a a a ----+---===-.依次类推，不难求出(1)21211(1)n n n n n D a a a --=-.特别地，有1(1)21212111000000(1).0n n n n n n n n a a D a a a a ---==-例1.6 计算四阶行列式0004004304334333D =.解 由例1.6知43200040043(1)444425604334333D ⨯==-⨯⨯⨯=.习题 1.11. 计算下列二阶行列式. （1）1314； （2）22a b ab； （3）22111x xx x -++.2. 计算下列三阶行列式.（1）123312231； （2）111314895； （3）xyx y yx y x x y yy+++.3. 当x 为何值时，314000xx x x=.1.2行列式的性质上一节已经介绍了行列式的定义,从定义中我们可以看出一个n 阶行列式的展开式共有!n 项,而且每一项都是n 个元素的乘积.因此直接用定义来计算行列式一般是比较困难的.为了简便地计算行列式的值,我们给出行列式的性质,利用这些性质简化行列式的计算. 1.2.1 行列式的性质定义1.4 设111212122212n n n n nn a a a a a a D a a a =，如果把它的行变成列，就得到了一个新的行列式112111222212n n T nnnna a a a a a D a a a =，此时，T D 称为D 的转置行列式，记为T D （或'D ）.例如，令321124236D =，那么D 的转置行列式就是312223146T D =.性质1 行列式与它的转置行列式相等，即TD D =.注 由性质1知，行列式中行和列具有相同的地位，行列式的行具有的性质，它的列也同样具有.反之亦然.性质2 互换行列式的两行（列），行列式变号.推论1 行列式中如果有两行（列）的对应元素相等，则此行列式的值为零. 证 互换行列式中相同的两行（列），有D D =-，故0D =. 性质3 用数k 乘行列式的某一行（列），等于用数k 乘此行列式，即1112111121112121212n ni i in i i in n n nnn n nna a a a a a D ka ka ka k a a a kD a a a a a a ===. 推论2 行列式某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面. 推论3 如果行列式的某一行（列）的元素全为零，则此行列式的值为零. 推论4 行列式中如果有两行（列）的元素对应成比例，则此行列式的值为零.例1.7 设1112132122233132331a a a D a a a a a a ==，求11121321222331323362233a a a a a a a a a ----. 解 11121311121321222321222331323331323362233(2)333a a a a a a a a a a a a a a a a a a ----=----111213212223313233(2)(3)6a a a a a a a a a =--=. 性质4 若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，设11121112212ni i i i in in n n nna a a Dbc b c b c a a a =+++， 则D 等于两个行列式之和11121111211212121212nni i in i i in n n nnn n nna a a a a a Db b bc c c D D a a a a a a =+=+. 注 （ⅰ）上述结论可推广到有限个行列式的情形.（ⅱ）行列式1D 、2D 的第i 行是把D 的第i 行拆成两行，其它的1n -行与D 的各对应的行完全一样.（ⅲ）当行列式的某一行（列）的元素为两数之和时，行列式关于该行（列）可分解成两个行列式.若n 阶行列式的每个元素都表示成两数之和，则它可分解成2n个行列式. 性质5 把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一个数然后加到另外一行（列）对应的元素上去，则行列式的值保持不变.例如，以数k 乘第j 列加到第i 列上，有1111111111121222212222111i j n i j j n i j n i j j n n ninjnnn ni njnjnna a a a a a ka a a a a a a a a ka a a D D a a a a a a ka a a ++===+.证1111111111212i 22212221115i j n j j n j n j j n n ninjnnn njnjnna a a a a ka a a a a a a a ka a a D a a a a a ka a a +性质40D D +=性质.高阶行列式计算比较复杂，因此我们考虑是否将其化为较低阶的行列式进行计算.在1.1节n 阶行列式的定义中，已经包含了这一思想，相当于按第一行展开.实际上，n 阶行列式可以根据需要按照任何一行任何一列进行展开.定义1.5 在n 阶行列式D 中，去掉元素ij a 所在的第i 行和第j 列后，余下的元素按原来的次序排成的1n -阶行列式称为D 中元素ij a 的余子式，记为ij M .再记(1)i jij ij A M +=-，称ij A 为元素ij a 的代数余子式.引理 一个n 阶行列式，如果其中第i 行所有元素除ij a 外都为零，那么这个行列式等于ij a 与它的代数余子式的乘积.即ij ij D a A =.证明从略.定理1.1 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即1122,i i i i in in D a A a A a A =+++ (1,2,).i n =或1122,j j j j nj nj D a A a A a A =+++ (1,2,).j n =证明从略.这个定理叫做行列式按行（列）展开法则.利用这一法则并结合行列式的性质，可以简化行列式的计算.特别地当行列式中某一行或某一列中含有较多零时比较实用.推论 行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.即11220,i j i j in jn a A a A a A +++= ().i j ≠或11220,i j i j ni nj a A a A a A +++= ().i j ≠1.2.3 行列式的计算利用前面行列式几个关于行和列的性质，我们可以把行列式化为上三角形行列式，从而计算行列式的值.今后为了表示方便，记i r 表示第i 行，i c 表示第i 列；i j r r ↔()i j c c ↔表示互换第i 行（列）和第j 行（列）的元素；i j r kr +()i j c kc +表示第j 行（列）的元素乘以k 加到第i 行（列）上去.例1.8 计算行列式0113110212302110D -=-.解 3112411102110201130113(1)(1)12300132221100314r r D r r r r ---↔-------32344211211020*******(1)004100213300213041r r r r r r --+-↔-----43110201132500021325r r -+=---.例1.9 计算行列式3111131111311113D =.解 注意到行列式各行（列）的元素之和为6，故可把第2行，第3行，第4行的元素同时加到第一行，提出公因子6，然后每一行减去第一行化为上三角形行列式来计算.1234666611111311131161131113111131113D r r r r +++=2131411111020064800200002r r r r r r --=-.注 仿照上述方法，可到更一般的结果：1[(1)]()n a b b bb a b ban b a b b b a b bbba-=+--.例1.10 计算行列式1122330000001111a a a a D a a --=-.解 根据行列式的特点，可把第1列加到第2列，然后第2列加到第3列，再将第3列加到第4列，使行列式中的零元素增多.112222132333300000000000000012111231a a a a a D c c c c a a a a -++--1243123300000040001234a a c c a a a a +=.例1.11 解方程1231112311223112321123110n n n n n n n n nn n n a a a a a a a a x a a a a a a a xa a a a a a a xa a a a a a a x-------+-+-=+-+-，其中10a ≠.解 对左端的行列式，从第二行开始每一行都减去第一行得：12311211212100000000()()()00000n n n n n a a a a a a x a x a a x a x a x a x a x------=-----.即1121()()()0n a a x a x a x ----=.解得方程的1n -个根112211,,,n n x a x a x a --===.例1.12 计算五阶行列式52112112112112D --=--.解 方法一 把5D 化为上三角形行列式521322121551122121212112551211211212D r r r r ----------435421215511221251212115122952929111212701229r r r r ----------5122970270.251229=⨯⨯⨯⨯=方法二 把5D 按第1行展开,建立递推关系.544311212212112D D D D --=+=+-，继续用递推关系，得5433233222(2)52D D D D D D D D =+=++=+ 212215(2)2125.D D D D D =++=+而221512D -==，122D ==.故51255270D =⨯+⨯=.习题1.21. 用行列式的性质计算下列行列式.（1）34215352152809229092； （2）1111111111111111------；（3）ab acae bd cdde bf cfef---. 2. 利用行列式的性质计算下列行列式（1）1234234134124123； （2）1200340000511111.3.用行列式的性质证明下列行列式.（1）111111112222222233333233a kb bc c a b c a kb b c c a b c a kb b c c a b c ++++=++； (2) 22322(b)111a ab b aa b b a +=-4. 解方程2211231223023152319x x -=-.1.3 克莱姆法则本节将应用行列式讨论一类线性方程组的求解问题，这里只讨论未知量个数和方程的个数相等的情形，至于一般情形留到第三章讨论.在1.1节中我们给出了二阶行列式求解二元线性方程组的方法，把这个方法推广到利用n 阶行列式求解n 元线性方程组，这个法则就是著名的克莱姆（Cramer ）法则. 设含有n 个未知量，n 个方程的线性方程组为11112211211222221122,,n n n n n n nn n na x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ （1.10）称为n 元线性方程组，当其右端的常数项12,,n b b b 不全为零时，线性方程组（1.10）称为非齐次线性方程组；当其右端的常数项12,,n b b b 全为零时，称为齐次线性方程组，即1111221211222211220,0,0.n n n n n n nn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ （1.11）线性方程组（1.10）的系数ij a 构成的行列式，称为该方程组的系数行列式，记为D .即111212122212n n n n nna a a a a a D a a a =.定理（克莱姆法则）若线性方程组（1.10）的系数行列式0D ≠，则线性方程组（1.10）有唯一解，其解为j j D x D=， (1,2,,)j n =，其中j D (1,2,,)j n =是把D 中第j 列元素12,,,j j nj a a a 对应地换成常数列12,,,n b b b ，而其余的各列保持不变所得到的行列式，即11111111111j j nj n nj nnj nna ab a a D a a b a a -+-+=.证明从略.推论 如果线性方程组（1.10）无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零. 注 克里姆法则虽然给出了一种求解线性方程组的方法，但有其局限性.首先它只能解决方程个数和未知量个数相同的方程组，其次它的计算量比较大，需要计算1n +个n 阶行列式，当未知量的个数较多时就不太实用，最后要求系数行列式不等于零，对于系数行列式为零的情况就失去作用了.例1.13 解线性方程组12341242341234258,369,225,4760.x x x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪--=⎪⎨-+=-⎪⎪+-+=⎩ 解 该线性方程组的系数矩阵为215107513751313061306212021202127712147607712D -------===-------3533301027072772---=--==≠-----.从而由克莱姆法则知，方程组有唯一解.且1815193068152120476D ---==---，22851190610805121076D --==----，32181139********46D --==--，4215813092702151470D --==---. 于是得113D x D ==，224D x D ==-，331D x D ==-，441Dx D==. 对于齐次线性方程组（1.11）易见120n x x x ====一定是该方程组的解，称其为齐次线性方程组的零解.如果一组不全为零的数是齐次线性方程组（1.11）的解，则称这种解为齐次线性方程组的非零解.定理1.2 如果齐次线性方程组（1.11）的系数行列式0D ≠，则它仅有零解. 定理1.3 如果齐次线性方程组（1.11）有非零解，则它的系数行列式必为零.注 定理1.3说明系数行列式0D =是齐次线性方程组有非零解的必要条件，在后面我们还会证明这个条件还是充分的.例1.14 问λ为何值时齐次线性方程组123123123(1)240,2(3)0,(1)0x x x x x x x x x λλλ--+=⎧⎪+-+=⎨⎪++-=⎩有非零解?解 由定理1.2知，若所给齐次线性方程组有非零解，则其系数行列式0D =. 而124231(2)(3)111D λλλλλλ--=-=⋅-⋅--.如果齐次线性方程组有非零解，则(2)(3)0D λλλ=⋅-⋅-=. 即0λ=或2λ=或3λ=时，齐次线性方程组有非零解.习题1.31. 用克莱姆法则解下列线性方程组. （1）251,372;x y x y +=⎧⎨+=⎩（2）20,230,0;bx ay ab cy bz bc cx az -+=⎧⎪-+-=⎨⎪+=⎩2. 判断齐次线性方程组123123123220,240,5820x x x x x x x x x +-=⎧⎪++=⎨⎪+-=⎩是否只有零解?总习题一1.填空题. （1）sin cos cos sin x x xx-= .（2）210341102-= .（3）232323232122313341445155= . （4）已知1112132122233132332a a a a a a a a a =，则212223111213311132123313222333a a a a a a a a a a a a =+++ .（5）当k = 时，方程组12312312330,230,0x x kx kx x x x kx x -+=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有非零解.2. 选择题.（1）12410221λλ-=-，则λ=（ ）. （A ）3λ=- （B ）10λ= （C ）3λ=-或2λ= （D ）3λ=-或10λ=（2）四阶行列式112233440000000a b a b b a b a 的值等于（ ）. （A ）12341234a a a a b b b b - （B ）12341234a a a a b b b b + （C ）()()12123434a a bb a a b b -- （D ）()()23231414a a b b a a bb -- （3）已知n 阶行列式n D ，则0n D =的必要条件是（ ）. （A ）n D 中有一行（或列）的元素全为零 （B ）n D 中有两行（或列）的元素对应成比例（C ）n D 中至少有一行的元素可用行列式的性质全化为零 （D ）n D 中各列的元素之和为零（4）已知线性方程组1223132,23,0,bx ax ab cx bx bc cx ax -=-⎧⎪-+=⎨⎪+=⎩则（ ）.（A ）当0a =时，方程组无解（B ）当0b =时，方程组无解 （C ）当0c =时，方程组无解（D ）当,,a b c 取任意实数时，方程组均有解 3. 计算下列行列式的值.（1）a b a b a b a b+--+； （2）111xy zxy z xyz+++; （3）4111141111411114； （4）100110011001a b c d ---.4. 解下列方程.（1）1212110111x x x +-+=-+； （2）2222333311110x a b c x a b c x a b c =.5. 用克莱姆法则解线性方程组.12342341242342348,3,30,73 5.x x x x x x x x x x x x x -+-=⎧⎪-+=-⎪⎨++=⎪⎪-++=⎩ 6. 已知非齐次线性方程组12312312334,231,325x x x x x x x x x μ-+=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有多个解，求μ的值.7. 问λ为何值时，齐次线性方程组()()123123123(1)240,230,10x x x x x x x x x λλλ--+=⎧⎪+-+=⎨⎪++-=⎩有非零解.8. 已知齐次线性方程组1231123213222,533,2x x x tx x x x tx x x tx-+=⎧⎪-+=⎨⎪+=-⎩只有零解，求参数t .。
二阶和三阶行列式
a11 D
a12
a13 a23 a33 a43
a12
a14 a24 a34 a44
a13 a23 a33
a21 a22 a31 a32 a41 a42
a11
a21 a23 M 12 a31 a33 a41 a43
1 2
a24 a34 a44
A12 1 M 12 M 12
M 44 a21 a22 a31 a32
a41 a42 a43 a44
a 32 的代数余子式 A32 ( 1)32 M 32 a13 的代数余子式 A ( 1)13 M 13 13
a21 a31 a41
完
a22b1 a12 a21b1 x2 a11a22 a12a21
a11 a12 D a11a22 a12a21 , a21 a22
a12 a22
主对角线 a11 a21 称 D 为二阶行列式。 副对角线
(-)
a13 a11 a33 a31
(+)
a12 a32
(+) (+)
a23 a21 a22
(-)
(-)
三元线性方程组
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 设有三元线性方程组 a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 , a x a x a x b 31 1 32 2 33 3 3
解 计算二阶行列式
D
2 1 3 2
7 , D1
5 11
1 2
21 , D2
2
5
3 11
7 .
由 D 7 0 知方程组有唯一解：
D1 D2 x1 3 , x2 1. D D
二阶与三阶行列式分析
二阶与三阶行列式分析二阶行列式分析：二阶行列式是由两行两列元素组成的方阵。
例如，一个二阶行列式可以表示为：abcd其中a、b、c、d是实数。
二阶行列式的计算方法是将对角线上的元素相乘，然后减去另一条对角线上的元素相乘。
根据这个定义，二阶行列式的值可以表示为：abc d ， = ad - bc其中ad表示a和d的乘积，bc表示b和c的乘积。
三阶行列式分析：三阶行列式是由三行三列元素组成的方阵。
例如，一个三阶行列式可以表示为：abcdefghi其中a、b、c、d、e、f、g、h、i是实数。
三阶行列式的计算方法可以通过展开定理来计算。
展开定理指出，三阶行列式可以按照第一行或第一列展开为两个二阶行列式的乘积。
根据展开定理，三阶行列式的值可以表示为：abcdefg h i ， = aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh其中aei、bfg、cdh分别表示第一行的元素与其对应的代数余子式的乘积，ceg、bdi、afh分别表示第一列的元素与其对应的代数余子式的乘积。
行列式的应用：行列式在线性代数中起着重要的作用，具有广泛的应用。
以下是几个行列式的应用示例：1.解线性方程组：通过求解行列式的值，可以确定线性方程组的解的排列情况和数量。
2.计算面积和体积：通过行列式的计算，可以求得平面上一组向量所围成的面积，或者三维空间中一组向量所围成的体积。
3.判断向量的线性相关性：使用行列式可以判断一组向量是否线性相关，通过计算行列式的值，若行列式为0则表示向量线性相关，否则线性无关。
4.矩阵的逆、行列式的转置：行列式的性质可以用于计算矩阵的逆矩阵和行列式的转置。
总结：二阶行列式可以通过对角线元素的乘积减去反对角线元素的乘积来计算。
三阶行列式可以通过展开定理，将其展开为两个二阶行列式的乘积。
行列式在线性代数中有广泛的应用，包括解线性方程组、计算面积和体积、判断向量的线性相关性等。
行列式的性质可以用于计算矩阵的逆矩阵和行列式的转置。
线性代数§1.1二阶、三阶行列式
线性代数§1.1⼆阶、三阶⾏列式本章说明与要求⾏列式的理论是⼈们从解线性⽅程组的需要中建⽴和发展起来的，它在线性代数以及其他数学分⽀上都有着⼴泛的应⽤。
在本章⾥我们主要讨论下⾯⼏个问题：(1) ⾏列式的定义；(2) ⾏列式的基本性质及计算⽅法；(3) 利⽤⾏列式求解线性⽅程组(克莱姆法则)。
本章的重点：是⾏列式的计算，要求在理解n阶⾏列式的概念，掌握⾏列式性质的基础上，熟练正确地计算三阶、四阶及简单的n阶⾏列式。
计算⾏列式的基本思路是：按⾏(列)展开公式，通过降阶来计算．但在展开之前往往先利⽤⾏列式性质通过对⾏列式的恒等变形，使⾏列式中出现较多的零和公因式，从⽽简化计算。
常⽤的⾏列式计算⽅法和技巧：直接利⽤定义法，化三⾓形法，降阶法，递推法，数学归纳法，利⽤已知⾏列式法。
⾏列式在本章的应⽤：求解线性⽅程组(克莱姆法则)．要掌握克莱姆法则并注意克莱姆法则应⽤的条件。
本章的重点：⾏列式性质；⾏列式的计算。
本章的难点：⾏列式性质；⾼阶⾏列式的计算；克莱姆法则。
==============================================§1.1 ⼆阶、三阶⾏列式⾏列式的概念起源于解线性⽅程组，它是从⼆元与三元线性⽅程组的解的公式引出来的。
因此我们⾸先讨论解⽅程组的问题。
设有⼆元线性⽅程组()()------1 ------2ax by c dx ey f +=+=?? ⽤消元法求解：()()12:e b - ()ae bd x ce bf -=-?，ce bf x ae bd-=-， ()()21:a d - ()ae bd y af dc -=-?，af dc y ae bd-=-。
即得⽅程组的解：ce bf x ae bd af dc y ae bd -?=??-?-?=?-?。
这就是⼀般⼆元线性⽅程组的解公式。
但这个公式很不好记忆，应⽤时⼗分不⽅便。
由此可想⽽知，多元线性⽅程组的解公式肯定更为复杂。
1、二阶、三阶行列式
4、克拉默法则。
Ynu hyq
5
线性代数 二阶、三阶行列式
Ynu hyq
6
线性代数 二阶、三阶行列式
一、二阶行列式
1、引入
一元一次方程 ax = b 当 a≠0 时， x a 1b 例 解二元线性方程组 2 x1 3 x 2 22 x 2 x 10 2 1 得 于是 二元 （三元）线性方程组
1
线性代数 二阶、三阶行列式
a11 a21 a31 a n1
a12 a22 a32 an 2
a13 a1n a23 a3 n a33 a3 n an 3 ann
Ynu hyq
2
线性代数 二阶、三阶行列式
1、知道n 阶行列式的定义，熟练掌握行列式 的基本性质及展开定理，掌握计算行列式 的一般方法，熟悉范德蒙行列式，了解行 列式的乘法定理及某些特殊分块矩阵行列 式的计算方法； 2、正确使用克拉默（Cramer）法则解线性方 程组。
Ynu hyq
22
线性代数 二阶、三阶行列式
3、三元线性方程组 a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 , a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 , a x a x a x b ; 31 1 32 2 33 3 3
a11 若系数行列式 D a21 a31 b1 a12 a13 a11 D1 b2 a22 a23 , D2 a21 b3 a32 a33 a31
Ynu hyq
3
线性代数 二阶、三阶行列式
本章要点
• 1、n 阶行列式的定义及基本性质，展开 定理，行列式的乘法定理，某些特殊分块 矩阵的行列式，范德蒙行列式； 2、克莱姆（Cramer）法则。
2-1_二阶_三阶行列式的性质
三阶行列式的性质
根据已经证明的关于2阶行列式的性质，3阶行列式也有同样的性质 性质 行列互换，3阶行列式的值不变，即 = 证明：等式左端的行列式按照第1列展开利用性质1可得
等式右端
■
性质 两行 (列) 互换，3阶行列式的值变号. (只给出行列式的前 2行变换的情形，其他情形类似). =
证明：把等式左端的行列式按第 3 行展开再利用性质3可得 = + + = 等式右端 ■
例0.4：计算下列行列式： （1） （2）
（3）
解：（1）
( 3) r1 r 2
解：（2）
( r 2 r 3) r1
c1 c2 c1 c3
注：此题的做法，对所有行(列)和相等的行列式均适用.
解：（3）
c1 c2 c1 c3
本讲小结
1、转置不变（行列等价） 2、行(列)加法拆项法则 3、行(列)倍乘 4、对换取反 5、倍加不变 6、行列展开公式 行(列)初等变换，产生尽量多的0元素. 初等变换，是行列式 计算中最常用的方法.
称为三阶行列式对其第一行的展开公式.
= = ( ) ( ) ( )
=
因此，我们已经有
类似地，我们也可以得到
以上三个式子分别称为三阶行列式对其第一、二、三行的展开公式.
同样也有三阶行列式对其一、二、三列的展开公式，即
易知，2阶行列式也满足这个结论，故我们就证明了以下的定理. 定理 2、3阶行列式等于它的任一行 (或列) 元素与自己的代数余子式 乘积之和.
■
性质2 若二阶行列式中某行(列)每个元素分成两个数之和，则该行列 式可关于该行(列)拆开成两个行列式之和，拆开时其他行均保持不变， 即 = + 证明： = ( = + ■
2-1二阶、三阶行列式
a11
a12
a13 a23 a33
D = a21 a22 a31 a32
a11
a12
a13 a23 a33
b1 D1 = b2 b3 a11
a12 a22 a32 a12
a13 a23 , a33 b1 b2 . b3
D = a21 a22 a31 a32
a11
b1
a13 a23 , a33
D2 = a21 b2 a31 b3
1 × 1 × 4 2 × ( 2 ) × ( 2 ) ( 4 ) × 2 × ( 3 )
= 4 6 + 32 4 8 24 = 14.
1 1
例3 解
1 x = 0. 2 x
求解方程
方程左端
2 3 4 9
D = 3 x 2 + 4 x + 18 9 x 2 x 2 12 = x 2 5 x + 6,
若记 系数行列式
D=
a11
a12
a21 a22
,
a11 x1 + a12 x2 = b1 , a21 x1 + a22 x2 = b2 .
D= a11 a12 ,
a21 a22
a11 x1 + a12 x2 = b1 , a21 x1 + a22 x2 = b2 .
D1 =
b1 b2
a12 a22
a11 a12 D = a21 a22 a31 a32
a13 a23 .列标 a33 行标
三阶行列式的计算方法： 三阶行列式的计算方法：
对角线法则： 对角线法则： a11 a12
a13
a21 a31
a22 a32
a23 = a11a22a33+ a12a23a31 + a13a21a32 a a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32.
二阶三阶行列式
二阶三阶行列式1.引言1.1 概述二阶行列式和三阶行列式是线性代数中常见的概念。
行列式是一个整数或实数的方阵，它具有很多重要的性质和应用。
二阶行列式是一个2×2的方阵，而三阶行列式是一个3×3的方阵。
在本文中，我们将介绍二阶行列式和三阶行列式的定义以及计算方法，并总结它们的特点和重要性。
在二阶行列式部分，我们将详细介绍二阶行列式的定义和计算方法。
二阶行列式的定义是由其中的四个元素按一定的规则相乘再相减得到的一个数值。
计算二阶行列式可以使用简单的公式，即将对角线上的两个元素相乘再相减。
我们将提供详细的计算示例，并讨论二阶行列式在几何学和线性方程组中的应用。
在三阶行列式部分，我们将进一步介绍三阶行列式的定义和计算方法。
三阶行列式的计算比较复杂，需要按一定的规则进行乘法和加减运算。
我们将解释这些规则，并提供实际的计算例子。
此外，我们还将探讨三阶行列式在向量空间和线性方程组中的应用，以及它们与二阶行列式之间的关系。
通过本文的学习，读者将能够理解二阶行列式和三阶行列式的概念和计算方法。
同时，他们还将认识到行列式在数学和实际应用中的重要性。
了解行列式可以帮助我们解决各种问题，包括求解线性方程组、计算向量的正交性和计算面积和体积等。
行列式是线性代数中的基础知识，对于进一步学习和应用线性代数的内容具有重要的意义。
1.2文章结构1.2 文章结构本文将首先介绍二阶行列式的概念和定义，详细阐述其计算方法。
然后，我们将进一步探讨三阶行列式的定义和计算方法。
在分析和比较二阶行列式与三阶行列式的异同之后，我们将总结这两者的特点和应用。
本文的主要目的是通过对二阶和三阶行列式的研究，帮助读者更好地理解和应用行列式的相关概念和计算方法。
具体来说，本文的内容安排如下：2. 正文2.1 二阶行列式2.1.1 定义在这一部分中，我们将引入二阶行列式的概念，并详细解释其定义。
通过具体的例子，我们将展示如何构建并计算二阶行列式。
行列式的定义
(2)正项：123, 231, 312为偶排列
负项：132, 213, 321为奇排列
于是 , ．
定义： 个数 ,称
为 阶行列式,它表示数值
,
其中,求和式中共有 项．
注意：①每一项均为位于不同行不同列的 个不同元素乘积。
②按此定义的二阶行列式与对角线法则定义二阶行列式一致。
课题
§1.1二阶与三阶行列式-§1.3 阶行列式的定义
教学内容
二阶与三阶行列式，全排列与逆序数， 阶行列式的定义
教学目标
理解 阶行列式的定义；掌握几个特殊行列式的求法。
教学重点
阶行列式的定义
教学难点
阶行列式的定义
教学手段、措施
行列式是研究方程组解的问题的重要工具之一。本次课主要介绍行列式的定义。
教学过程及教学设计
注：四阶以上行列式不能用对角线法则。
练习：
一般行列式定义的基础。
会求给定排列的逆序数，会判定排列的奇偶性。
理解n阶行列式的定义。
练习：
提问：三阶行列式
掌握上（下）三角行列式的求法。
记住主对角和次对角行列式的值。
1．全排列： 个不同元素排成一列，叫做这 个元素的全排列。
例如,自然数1,2,3构成的不同排列有3!=6种．
123，231，312，132，213，321．
同理有 互异元素 构成的不同排列有 种．
2．标准次序： 个不同的自然数规定从小到大次序．
3．逆序数：
(1)某两个数（元素）的先后次序与标准次序不同时,称这两个数（元素）
之间有1个逆序．
(2)排列 中逆序的总和称为排列的逆序数,记作 ．
自考本科线性代数(经管类)知识汇总
自考高数线性代数笔记第一章行列式1.1 行列式的定义（一）一阶、二阶、三阶行列式的定义（1）定义：符号叫一阶行列式，它是一个数，其大小规定为：。
注意：在线性代数中，符号不是绝对值。
例如，且；（2）定义：符号叫二阶行列式，它也是一个数，其大小规定为：所以二阶行列式的值等于两个对角线上的数的积之差。
（主对角线减次对角线的乘积）例如（3）符号叫三阶行列式，它也是一个数，其大小规定为例如=0三阶行列式的计算比较复杂，为了帮助大家掌握三阶行列式的计算公式，我们可以采用下面的对角线法记忆方法是：在已给行列式右边添加已给行列式的第一列、第二列。
我们把行列式左上角到右下角的对角线叫主对角线，把右上角到左下角的对角线叫次对角线，这时，三阶行列式的值等于主对角线的三个数的积与和主对角线平行的线上的三个数的积之和减去次对角线三个数的积与次对角线的平行线上数的积之和。
例如：（1）=1×5×9+2×6×7+3×4×8-3×5×7-1×6×8-2×4×9=0（2）（3）（2）和（3）叫三角形行列式，其中（2）叫上三角形行列式，（3）叫下三角形行列式，由（2）（3）可见，在三阶行列式中，三角形行列式的值为主对角线的三个数之积，其余五项都是0，例如例1 a 为何值时，[答疑编号10010101：针对该题提问]解因为所以8-3a=0，时例2 当x 取何值时，[答疑编号10010102：针对该题提问]解：.解得0<x<9所以当0<x<9 时，所给行列式大于0。
（二）n 阶行列式符号：它由n 行、n 列元素（共个元素）组成，称之为n 阶行列式。
其中，每一个数称为行列式的一个元素，它的前一个下标i 称为行标，它表示这个数在第i 行上；后一个下标j 称为列标，它表示这个数在第j 列上。
所以在行列式的第i 行和第j 列的交叉位置上。
1.1n阶行列式1.1.1二阶、三阶行列式n阶行列式的概念来源
此行列式可简记 (aij) 或 D 。aij n
记一阶行列式 a11 ；a11
例1.5 三角形行列式（或对角形行列式）等于 主对角线上n个元素的乘积。
a11 a12 a1n
0 D
a22
a2n
a11a22 ann ；
0 0 ann
例1.6 负三角形行列式
j1 j2 jn
(1) (i1i2 in )
； (1) a a a ( j1 j2 jn )
i1 j1
i2 j2
in jn
j1 j2 jn
D aij n (1) ( j1 j2 i jn )
(1) a a a (i1i2 in )
i1 j1
i2 j2
in jn
i1i2 in
定义: 称
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
= a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a11a23a32 a12a21a33
为三阶行列式。
例如
304 112 210 0 0 411 41 2 3 21 0 . 10
例如:自然数1，2，3的排列共有六种：
123，132，213，231，312，321．
为了方便起见，今后把自然数 1,2,视为n n个不
同的元素的代表。用 表示这np个i 不同的元素中
的一个
，(且pi 1,2时,, n于) 是 i j 便是pi p j
的一个p1排p2列p3 。 pn
1,2, n
b1a22
a11a22 a11b2
a11a22
a12b2
a12a21 b1a21
二阶三阶行列式计算方法
二阶三阶行列式计算方法在线性代数中，行列式是一个与矩阵相关的重要概念。
行列式具有许多重要的性质和应用，例如计算矩阵的逆、解线性方程组、计算几何体的体积等。
在本文中，我将介绍二阶和三阶行列式的计算方法。
1.二阶行列式的计算方法二阶行列式指的是一个由2x2矩阵组成的行列式。
一个二阶矩阵可以表示为：abcd二阶行列式的计算方法可以使用下面的公式：det(A) = ，a*d - b*c其中，a、b、c、d分别表示矩阵中的元素。
2.三阶行列式的计算方法三阶行列式指的是一个由3x3矩阵组成的行列式。
一个三阶矩阵可以表示为：abcdefghi三阶行列式的计算方法可以使用下面的公式：det(A) = a*(e*i - h*f) - b*(d*i - g*f) + c*(d*h - g*e)在这个公式中，每个元素与其所在行号和列号有关。
元素a与第一行第一列的乘积乘以一个二阶行列式，这个二阶行列式的元素是除去第一行第一列之后的所有元素。
元素b与第一行第二列的乘积乘以一个二阶行列式，这个二阶行列式的元素是除去第一行第二列之后的所有元素，以此类推。
最后，根据正负规律，将所有乘积相加得到最终的结果。
3.示例计算让我们通过一个具体的示例来计算一个二阶和一个三阶行列式。
a)计算二阶行列式：2345使用二阶行列式的公式，我们可以计算：det(A) = 2*5 - 3*4 = 10 - 12 = -2所以这个二阶行列式的结果是-2b)计算三阶行列式：123456789使用三阶行列式的公式，我们可以计算：det(A) = 1*(5*9 - 8*6) - 2*(4*9 - 7*6) + 3*(4*8 - 7*5)=1*(45-48)-2*(36-42)+3*(32-35)=-3+12-9=0所以这个三阶行列式的结果是0。
通过以上示例，我们可以理解二阶和三阶行列式的计算方法。
对于更高阶的行列式，可以使用类似的方法进行计算，但公式会变得更加复杂。
二阶、三阶行列式及n阶行列式的概念
( ji ) (ij ) 1
(2)不相邻对换
ik1 ks j jk1 ksi
需要进行 2s+1 次相邻对换. 所以对换改变排列的奇偶性.
定理2 全部 n(2)阶排列中奇偶排列 各占一半. 证 设 n !个 n 阶排列中有s(t)个奇(偶)排列
s t n!
D3 D1 D2 x1 , x2 , x2 D D D
3 0 4 1 1 2 4 1 1 4 1 2 3 2 1 2 1 0 10
问题：4 阶行列式应如何定义?
a11 a21 a31 a41 a12 a22 a32 a42 a13 a23 a33 a43 a14 a24 a34 a44
a11 a12 a a a a 0 D 11 22 12 21 a21 a22
b1 a12 D1 b1a22 a12b2 b2 a22
a11 b1 D2 a11b2 b1a21 a21 b2
当系数行列式 D 0时,则方程组有 唯一解,其解可表示为: D1 D2 x1 , x2 D D
为 3！项代数和; 每项为取自不同行列的3个元素之积; 行按自然顺序取时,每项符号由列标排 列的奇偶性决定.
n阶行列式定义: 定义
a11 a21 an1 a12 a22 an 2 a1n a2 n ann
j1 j2 jn
(1)
( j1 j2 jn )
a1 j1 a2 j2 anjn
此行列式可简记为 de t (aij )nn 或 det(aij ).
归纳如下：
为 n!项代数和; 每项为取自不同行列的n个元素之积; 行按自然顺序取时,每项符号由列标排 列的奇偶性决定. 注 用定义只能计算一些简单的行列式.