函数与四边形综合类型题教案(带答案)

由 解得： （不合题意，舍去）．因此，当 时，四边形 为平行四边形．
②设直线 与 轴交于点 ，由 可得： ∵
即 ．
例3、在平面直角坐标系中，已知抛物线经过 ， ， 三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点 为第三象限内抛物线上一动点，点 的横坐标为 ， 的面积为 ．求 关于 的函数关系式，并求出 的最大值．（3）若点 是抛物线上的动点，点 是直线 上的出相应的点 的坐标．
②若记四边形 的面积为 ，求 关于 的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
2）显然，当 时，四边形 即梯形 ，请问，当 在线段 的其他位置时，以 为顶点的四边形能否成为梯形？若能，求出所有满足条件的 的值；若不能，请说明理由．
（1）①由题意得∠BAO=30°，AC⊥BD∵AB=2∴OB=OD=1，OA=OC= ∴OP=
例12、如图，在平面直角坐标系 中，点 关于 轴的对称点为 ， 与 轴交于点 ，将△ 沿 翻折后，点 落在点 处．（1）求点 、 的坐标；（2）求经过 、 、 三点的抛物线的解析式；
（3）若抛物线的对称轴与 交于点 ，点 为线段 上一点，过点 作 轴的平行线，交抛物线于点 ．
①当四边形 为等腰梯形时，求出点 的坐标；②当四边形 为平行四边形时，直接写出点 的坐标.
函数与四边形综合类型题教案
教师姓名
辅导科目
授课时间
教材版本
教辅材料
苏
初四数学
人教版
教师选印
教学目标
1、学会对函数综合题如何分析的一般规律。掌握二次函数与四边形综合题的解题思路及分析方法。
授课纲要及重、难点提示
通过对典型二次函数综合题的剖析，使其掌握一般的解题分析方法及技巧，提高综合分析解决问题的能力。
②过点E作EH⊥BD，则EH为△COD的中位线，∴ ∵DQ=x∴BQ=2-x
∴
（2）能成为梯形，分三种情况：当PQ∥BE时，∠PQO=∠DBE=30°∴
即 ∴x= 此时PB不平行QE，∴x= 时，四边形PBEQ为梯形.
当PE∥BQ时，P为OC中点∴AP= ，即 ∴ 此时，BQ=2-x= ≠PE，∴x= 时，四边形PEQB为梯形.当EQ∥BP时，△QEH∽△BPO∴ ∴
（3） 的取值范围是 .
例6、
例6图例8图
（二）、与菱形相关
例7、如图，平行四边形ABCD在平面直角坐标系中， 若 、 的长是关于 的一元二次方程 的两个根，且 （1）求 的值．
（2）若 为 轴上的点，且 求经过 、 两点的直线的解析式，并判断 与 是否相似？
（3）若点 在平面直角坐标系内，则在直线 上是否存在点 使以 、 、 、 为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出 点的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）求 的面积 与 的函数关系式；并求以 为顶点的四边形是梯形时 的值及 的最大值．
（1）Ｃ（４，１）（2）当∠MDR＝45０时，ｔ＝2,点Ｈ（2，0）当∠DRM＝45０时，ｔ＝3,点Ｈ（3，0）
（３）Ｓ＝－ ｔ２＋２ｔ（０＜ｔ≤４）；（1分）Ｓ＝ ｔ２－２ｔ（ｔ＞４） 当ＣＲ∥ＡＢ时，ｔ＝ ，
Ｓ＝ 当ＡＲ∥ＢＣ时，ｔ＝ ，Ｓ＝ 当ＢＲ∥ＡＣ时，ｔ＝ ，Ｓ＝ ）
（3）设抛物线的对称轴与直线 的交点为 为线段 上一点，直接写出 的取值范围．
解：（1）点C的坐标为 .-∵点A、B的坐标分别为 ，∴可设过A、B、C三点的抛物线的解析式为 .将 代入抛物线的解析式，得 .∴过A、B、C三点的抛物线的解析式为 .
（2）可得抛物线的对称轴为 ，顶点D的坐标为 ，设抛物线的对称轴与x轴的交点为G.
（3）D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段AB上是否存在一点P，使得四边形DCEP是平行四形？若存在，请求出此时P点的坐标；若不存在，请说明理由.
例1图例3图
例2、抛物线 与 轴相交于 、 两点（点 在 的左侧），与 轴相交于点 ，顶点为 .
（1）直接写出 、 、 三点的坐标和抛物线的对称轴；
解：（1）解 得 ，所以OA大于OB, 在 中，由勾股定理有 ,
（2）∵点 在 轴上， , , , 由已知可知D（6，4）
设 当 时有, 解得 , ,同理 时， 在 中， ,在 中， ,
， 。（3）满足条件的点有四个
例8、
（三）、与梯形相关
例9、直线 与坐标轴分别交于 、 两点， 、 的长分别是方程 的两根（ ），动点 从 点出发，沿路线 → → 以每秒1个单位长度的速度运动，到达 点时运动停止．
（2）连接 ，与抛物线的对称轴交于点 ，点 为线段 上的一个动点，过点 作 交抛物线于点 ，设点 的横坐标为 ：①用含 的代数式表示线段 的长，并求出当 为何值时，四边形 为平行四边形？
②设 的面积为 ，求 与 的函数关系式．
解：（1）A（-1，0），B（3，0），C（0，3），抛物线的对称轴是：x=1．
（2）①设直线BC的函数关系式为：y=kx+b．把B（3，0），C（0，3）分别代入得：
解得：k=-1，b=3．所以直线BC的函数关系式为： ．
当x=1时，y=-1+3=2，∴E（1，2）．当 时， ，
∴P（m， m+3）．在 中，当 时， ∴
当 时， ∴ ∴线段DE=4-2=2，线段 ∵ ∴当 时，四边形 为平行四边形．
直线BC的解析式为 ，设点P的坐标为 .
解法一：如例5图，作OP∥AD交直线BC于点P，连结AP，作PM⊥x轴于点M.∵OP∥AD，
∴∠POM=∠GAD，tan∠POM=tan∠GAD.∴ ，即 .
解得 .经检验 是原方程的解.此时点P的坐标为 .
但此时 ，OM＜GA.∵
∴OP＜AD，即四边形的对边OP与AD平行但不相等，∴直线BC上不存在符合条件的点P.
①当点 在 上时，四边形 为等腰梯形.∵ ∥ ∥ ， 与 不平行，∴四边形 为梯形.要使梯形 为等腰梯形，只需满足 .∵ ,∴点 在 上.
由 、 求得直线 的解析式为 .又∵点 在抛物线上，∴ .解得 （与点 重合，舍）.∴ 点横坐标为 .
由 、 求得直线 的解析式为 .
∵点 在 上，∴ ．∴ ．
②当点 在 上时，四边形 为平行四边形，此时 点坐标为 .综上所述，当 时， 为等腰梯形；当 时， 为平行四边形．
重难点是灵活掌握二次函数大型综合题的解题思路及分析方法的掌握。
教学过程
一、复习
二、典例分析
（一）、与平行四边形相关
例1．如图，已知二次函数图象的顶点坐标为C(1,0)，直线 与该二次函数的图象交于A、B两点，其中A点的坐标为(3,4)，B点在轴 上.
（1）求 的值及这个二次函数的关系式；
（2）P为线段AB上的一个动点（点P与A、B不重合），过P作 轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E点，设线段PE的长为 ，点P的横坐标为 ，求 与 之间的函数关系式，并写出自变量 的取值范围；
提交时间：教务审批：
解：（1）如图所示，∵点 关于 轴的对称点为 ， 与 轴交于点 ，∴ ⊥ 轴于 ， ，
．∴ ．∴ ，
由题意可知 ， ．∴ ．过点 作 轴于 ， 轴于 ，在 中， , ．由矩形 得 ．
∵点 在第四象限∴ ．
（2）设经过 、 、 三点的抛物线的解析式为 .依题意得
解得 ∴此抛物线的解析式为 ．
（3）∵ ，∴点 为抛物线的顶点．∴直线 为抛物线的对称轴，交 于 ，由题意可知 ， ，∴ ，∴ ，∴ ，∴ 是等边三角形， ．∴ ．
（1）直接写出 、 两点的坐标；
（2）设点 的运动时间为 (秒)， 的面积为 ，求 与 之间的函数关系式（不必写出自变量的取值范围）；
（3）当 时，直接写出点 的坐标，此时，在坐标轴上是否存在点 ，使以 、 、 、 为顶点的四边形是梯形？若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
解：. (1) .
∴x=1（x=0舍去）此时，BQ不平行于PE，∴x=1时，四边形PEQB为梯形.
综上所述，当x= 或 或1时，以P，B，E，Q为顶点的四边形是梯形.
例11、如图， 为正方形 的对称中心， ， ，直线 交 于 ， 于 ，点 从原点 出发沿 轴的正半轴方向以1个单位每秒速度运动，同时，点 从 出发沿 方向以 个单位每秒速度运动，运动时间为 ．求：（1） 的坐标为；（2）当 为何值时， 与 相似？
(2)∵ ， ，∴
当点 在 上运动时， ，
当点 在 上运动时，作 于点 ，
有
∵ ，∴ ∴
（3）当 时， ， ，此时，过 各顶点作对边的平行线，与坐标轴无第二个交点，所以点 不存在，当 时， ， ，此时， 、 。
例10、如图，在菱形 中， ， ， 为 边中点，点 从点 开始沿 方向以每秒 cm的速度运动，同时，点 从点 出发沿 方向以每秒 的速度运动，当点 到达点 时， 同时停止运动，设运动的时间为 秒．（1）当点 在线段 上运动时．①请用含 的代数式表示 的长度；
解法二：如图9，取OA的中点E，作点D关于点E的对称点P，作PN⊥x轴于
点N.则∠PEO=∠DEA，PE=DE.可得△PEN≌△DEG．由 ，可得E点的坐标为 .
NE=EG= ，ON=OE－NE= ，NP=DG= .∴点P的坐标为 .∵x= 时， ，
∴点P不在直线BC上.∴直线BC上不存在符合条件的点P.
例4、
解（1）略。
例5、已知：如图，在平面直角坐标系 中，直线 与 轴、 轴的交点分别为 ，将 对折，使点 的对应点 落在直线 上，折痕交 轴于点
（1）直接写出点 的坐标，并求过 三点的抛物线的解析式；（2）若抛物线的顶点为 ，在直线 上是否存在点 ，使得四边形 为平行四边形？若存在，求出点 的坐标；若不存在，说明理由；