矩阵的初等变换与线性方程组练习题

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矩阵的初等变换与线性方程组习题

即对n2n矩阵(A|E), 施行初等行变换, 当把A变成 E时, 原来的E就变成了A-1.
五、行阶梯形矩阵
特点是: 可画出一条阶梯线, 线的下方全为0; 每个台阶只有一行, 台阶数即是非零行的行数, 阶梯线的竖线(每段竖线的长度为一行)后面的第一个元素为非零元,也就是非零行的第一个非零元.
六、行最简形矩阵
习题课
一、初等变换
三种初等变换都是可逆的, 且其逆变换是同一类型的初等变换.
初等变换
逆变换
换法变换倍法变换消法变换
ri r j (ci c j) ri r j (ci c j)
ri k(ci k)
r
i
1 k
(ci
1 k
)
ri k r j(ci k c j) ri (k)r j(ci (k)c j)
5 5 2 0 2
r1–r2 2 3 1 1 1
r4–r2
1 0
0 0
1 0
0 0
00
r1–2r4 r4r1
1 5
0 5
1 2
0 0
20
2 3 1 1 1
0 0
0 0
0 0
0 0
00
1
r2+5r1
r3+2r1
0 0 0 0
0 5 3 0 0
1 7 3 0 0
0 0 1 0 0
20 1 00
x1 2 x2 3 x3 x4 1
3 x1 2 x1
2 3
x2 x2
x3 x4 1 x3 x4 1
2 x1 2 x2 2 x3 x4 1
5 x1 5 x2 2 x3
2
解: 对方程组的增广矩阵B行初等行变换, 使其成

第三章矩阵的初等变换与线性方程组作业及答案

第三部分矩阵的初等变换与线性方程组作业（一）选择题1.设111213212223313233a a a A a a a a a a ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，212223233132333311121313a a ka a B a a ka a a a ka a +⎛⎫ ⎪=+ ⎪ ⎪+⎝⎭，1010001100P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， 210001001P k ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则A 等于(A) 1112P BP -- (B) 1121P BP -- (C) 1112P P B -- (D) 1112BP P --2.设有齐次线性方程组Ax=0和Bx=0, 其中A,B 均为n m ⨯矩阵，现有4个命题： (1)若Ax=0的解均是Bx=0的解，则秩(A)≥秩(B)； (2)若秩(A)≥秩(B)，则Ax=0的解均是Bx=0的解； (3)若Ax=0与Bx=0同解，则秩(A)=秩(B)； (4)若秩(A)=秩(B)，则Ax=0与Bx=0同解. 以上命题中正确的是（）(A) (1)(2) (B) (1)(3)(C) (2)(4) (D) (3)(4)3.n 元非齐次线性方程组Ax b =与其对应的齐次线性方程组0Ax =满足（）（A ）若0Ax =有唯一解，则Ax b =也有唯一解，（B ）若Ax b =有无穷多解，则0Ax =也有无穷多解，（C ）若0Ax =有无穷多解，则Ax b =只有零解，（D ）若0Ax =有唯一解，则Ax b =无解.4.要使12100 121ξξ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，都是线性方程组0Ax =的解，只要系数矩阵A 为（）（A ）()211- （B ）201011-⎛⎫ ⎪⎝⎭ （C ）102011-⎛⎫ ⎪-⎝⎭ （D ）011422011-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭ 5.线性方程组123232321,32, (3)(4)(2).x x x x x x x λλλλλλ+-=-⎧⎪-=-⎨⎪-=--+-⎩有无穷多解，则λ=（）(A)1(B) 2(C)3(D)46.非齐次线性方程组Ax b =中未知量个数为n ，方程个数为m ，系数矩阵A 的秩为r ，则（）(A) r m =时，方程组Ax b =有解 (B) r n =时，方程组Ax b =有惟一解 (C) m n =时，方程组Ax b =有惟一解 (D) r n <时，方程组Ax b =有无穷多个解（二）填空题1．设线性方程组 1231231232202020x x x x x x x x x λ-+=⎧⎪-+=⎨⎪+-=⎩，的系数矩阵为A ，且存在三阶矩阵0B ≠，使得0AB =，则λ=_________________。

矩阵的初等变换和线性方程组

换前后的方程组是同解的。
2、在上述变化过程中，实际上，只对方程组的系数与常数进行运算，未知量并未参加运算。因此，若记
B =(A
⎛ 2 −1 −1 1 2⎞
b
)
⎜ ⎜ ⎜
1 4
1 −6
−2 2
1 −2
4
⎟ ⎟
4⎟
⎜ ⎝
3
6
−9
7
9
⎟ ⎠
那么上述对方程组的变换完全可以转换为对矩阵 B 的变换。把方程组的上述三种初等变换移植到矩阵上，可得矩阵的三种初等变换。
⎪⎪0 ⎨⎪0
x1 x1
+ +
x2 − x3 + 0x4 = 3, (2) 0x2 + 0x3 + x4 = −3, (3)
②
⎪⎩0x1 + 0x2 + 0x3 + 0x4 = 0.(4)
方程组②是 4 个未知量 3 个有效方程的方程组，应有一个自由未知量，由于方程
组②呈阶梯形，可把每个台阶的第一个未知量（即 x1, x2, x4 ）选为非自由未知量，
解：
⎧x1 + x2 − 2x3 + x4 = 4, (1)
①
⎯(⎯1()3↔)÷⎯(22)⎯→
⎪⎪2 ⎨⎪2
x1 x1
− x2 − x3 + x4 = 2, (2) − 3x2 + x3 − x4 = 2, (3)
⎪⎩3x1 + 6x2 − 9x3 + 7x4 = 9.(4)
⎧x1 + x2 − 2x3 + x4 = 4, (1)
元素不等于零，不妨设 a11 ≠ 0 （如 a11 = 0 ，可以对矩阵 A 施以第（1）种初等

第三章矩阵的初等变换与线性方程组参考答案

第三章矩阵的初等变换与线性方程组参考答案习题A1. 3)(,1800002010013201~=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--A R A 2.⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=-10001000100011a a a A 3. ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----−→−000007579751076717101r B ，故原方程通解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛007576107971017571214321c c x x x x ),(21R c c ∈注：还有其他解的形式，不一一赘述。

习题B一、1.141-；2.0；3.0；R(A)<n,0≠,n b A R A R ==)()( ；4. R t t x x x ∈⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛,14525002321 5.非零解二、ABCAA三、1. ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=000000400014030012111003014030000000121110030116030242201211A⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→000000100031001031020100000010003134010*********00001000313401001211R(A)=32. 由⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---−→−2000000003621011111x y x x A r，及2)(=A r 故2,0==y x 。

3.⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+------→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=32000110010101111111111111112k k k k k k k k k k kA 因为3)(=A r ，所以01,0322≠-=+--k k k ，所以3-=k4. ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=-4613513411A5. 方程组可写为b AX =，故⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---==-0013212141813413231511b A x 6. ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------=521004101021001301131111462011~A43)~()(<==A r A r ，所以方程组有无穷多解。

线性代数习题[第三章] 矩阵的初等变换与线性方程组

线性代数习题[第三章]矩阵的初等变换与线性方程组(总6页)-本页仅作为预览文档封面，使用时请删除本页-习题 3-1 矩阵的初等变换及初等矩阵1.用初等行变换化矩阵102120313043A-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦为行最简形.2.用初等变换求方阵321315323A⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦的逆矩阵.3.设412221311A-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦,32231-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦1B=,求X使AX B=.4.设A是n阶可逆矩阵,将A的第i行与第j行对换后得矩阵B.(1) 证明B可逆 (2)求1AB-.习题 3-2 矩阵的秩1.求矩阵的秩:(1)310211211344 A⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦(2)111212122212nnn n n na b a b a ba b a b a bBa b a b a b⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦1,2,,i ia bi n≠⎡⎤⎢⎥=⎣⎦2.设12312323kA kk-⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦问k为何值,可使(1)()1R A=; (2)()2R A=; (3)()3R A=.3. 从矩阵A 中划去一行,得矩阵B ,则)(A R 与)(B R 的关系是 ..()()a R A R B = .()()b R A R B <；.()()1c R B R A >-； .()()() 1.d R A R B R A ≥≥-4. 矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-------815073*********的秩R= . ; b . 2; c . 3; d . 4.5. 设n (n ≥3)阶方阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=111 a a a a a a a a a A 的秩R (A )=n -1,则a = . a . 1; b . n -11; c . –1; d . 11-n .6.设A 为n 阶方阵,且2A A =,试证:()()R A R A E n +-=习题 3-3线性方程组的解1. 选择题(1)设A 是m n ⨯矩阵,0Ax =是非齐次线性方程组Ax b =所对应的齐次线性方程组,则下列结论正确的是( ).A. 若0Ax =仅有零解,则Ax b =有唯一解B. 若0Ax =有非零解,则Ax b =有无穷多个解C. 若Ax b =有无穷多个解,则0Ax =仅有零解D. 若Ax b =有无穷多个解,则0Ax =有非零解,(2)对非齐次线性方程组m n A x b ⨯=,设()R A r =,则( ).A.r m =时,方程组Ax b =有解B.r n =时,方程组Ax b =有唯一解C.m n =时,方程组Ax b =有唯一解D.r n <时,方程组Ax b =有无穷多解（3）设齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++0003213213221x x x x x x x x x λλλλ的系数矩阵为A ,且存在三阶方阵B ≠0,使AB =0,则 .2.-=λa 且0=B ; 2.-=λb 且0≠B ;C. 1=λ且0=B ; d . 1=λ且0≠B .（4）设非齐次线性方程组AX=b 的两个互异的解是21,X X ，则是该方程组的解. 121212121.;.;.();..22X X a X X b X X c X X d -+-+2.解下列方程组:(1)12341234123420363051050x x x x x x x x x x x x ++-=⎧⎪+--=⎨⎪++-=⎩(2)21 422221x y z wx y z wx y z w+-+=⎧⎪+-+=⎨⎪+--=⎩3.设123123123(2)2212(5)42 24(5)1x x xx x xx x xλλλλ-+-=⎧⎪+--=⎨⎪--+-=--⎩问λ为何值时,此方程组有唯一解,无解或有无穷多解并在有无穷多解时求其通解.4. 设线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000222z c y b x a cz by ax z y x (1) a,b,c 满足何种关系时,方程组仅有零解(2) a,b,c 满足何种关系时,方程组有无穷多解求出其解.5.设,,,,,515454343232121a x x a x x a x x a x x a x x =-=-=-=-=-证明这个方程组有解的充分必要条件为051=∑=j j a ,且在有解的情形,求出它的一般解.。

第3章矩阵的初等变换与线性方程组复习题

第3章矩阵的初等变换与线性方程组复习题1、选择题：（1）设矩阵，，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=4124434431323334122232421121311444434241343332312423222114131211a a A a a a a a a a a a a a a a a a B a a a a a a a a a a a a a a a ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=00010100001010001P ，，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=10000010010000012P 其中A 可逆，则1-B 等于（）（A ）211P P A -；（B ）211P A P -；（C ）121-A P P ；（D ）112P A P -.（2）设矩阵，，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+++=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=133312321131131211232221333231232221131211a a a a a a a a a a a a B a a a a a a a a a A ,101010001,10000101021⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=P P 则必有（）（A ）B P AP 21=；（B ）B P AP 12=；（C ）B A P P 21=；（D ）B A P P 12=.（3）设矩阵，，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+++=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=131312113333231323232212333231232221131211ka ka ka a a a a a a a a a B a a a a a a a a a A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1k 0010001,00110001021P P 则A 等于（）（A ）1211B --P P ；（B ）1112B --P P ；（C ）B 1211--P P ；（D ）1211B --P P . （4）设A ，B 矩阵均为n 阶矩阵，A 与B 等价，则下列命题中错误的是（）. （A ）；，则若0B 0A >> （B ）也可逆；，则若B 0A ≠（C ）等价；与等价，则与若E B E A （D ）.B PAQ Q P =，使得，存在可逆矩阵2、把下列矩阵化为行最简形矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=000ED r.（1）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--021123211；（2）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----174034301320；（3）.34732038234202173132⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------ 3、解矩阵方程：设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡120102341100012001X 100001010，求X. 4、设矩阵，，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=011101110B 111011001A 矩阵X 满足，E BXA AXB BXB AXA =+=+其中E 是三阶单位矩阵，试求矩阵X.5、设矩阵，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=022*********A 试求A 的全部三阶子式，并求r(A).6、设A 为n 阶矩阵，r(A)=1，证明：[].a A 2121n n b b b a a ，，， ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡= 7、求矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=00572301852370323812A 的秩，并求一个最高阶非零子式. 8、设矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------=213311*********A μλ，其中μλ，为参数.求矩阵A 秩的最大值和最小值.9、用消元法解下列方程组：（1）⎪⎩⎪⎨⎧=--=++=-+0430252032321321321x x x x x x x x x ；（2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-=+-+=-++=+-+07420634072305324321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x ；（3）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-=-+-=+-=++69413283542432z y x z y x z y x z y x ；（4）.08978-82-2324335324321432143214321⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=++=+++=+++x x x x x x x x x x x x x x x x 10、确定a ，b 的值使下列非齐次线性方程组有解，并求其解.（1）；⎪⎩⎪⎨⎧-=-++=+-=++b x b bx ax x x b x bx ax 23)1(0)1(1232132321 （2）．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=+-+=--=+-+b5a312222432143214324321x x x x x x x x x x x x x x x11、λ取何值时，下列非齐次线性方程组有唯一解、无解或有无穷多解？并在有无穷多解时求出其解.（1）；⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++23213213211λλλλλx x x x x x x x x （2）.1)5(4224)5(21222321321321⎪⎩⎪⎨⎧--=-+--=--+=-+-λλλλx x x x x x x x x ）（12、设A 是，，而的秩为矩阵，且⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⨯301020201B 2A 34求r(AB).13、设四阶方阵A 的秩为2，求其伴随矩阵*A 的秩.14、问λ为何值时，线性方程组有解？并求出解的⎪⎩⎪⎨⎧+=+++=++=+324x x 6x 22x x 4x x x 32132131λλλ一般形式.15、设线性方程组..a a a a a a a a 34324241333232313232222131321211⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=++=++=++x x a x x x a x x x a x x x a x ，，，（1）证明：若4321a a a a ，，，两两不相等，则此线性方程组无解；（2）设214231k k ββ，，且已知，-====a a a a 是该方程组得两个解.其中，，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=11111121ββ写出此方程组得通解.参考答案：1、（1）C ；（2）C ；（3）A ；（4）A.2、（1）；⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100010001（2）；⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡000000100001（3）.00000001000001000001⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡ 3、.124347102⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----- 4、.100210521⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡ 5、27、秩为3，三阶子式.7023855023085570=-=-8、当 4.r(A)-452r(A)45的最大值时时，，；当的最小值是时，，≠≠-==μλμλ9、（1）零解；（2）；⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====0004321x x x x （3）；⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-021112k （4）无解. ；，，时应，有唯一解：，）当、（1)1(212)1(510a 110321+-=+-=+-=±≠≠b b x b x b a b x b ；，，时，有无穷多解：，当0)1(10321==-==≠x c x a c x b a ；，，＝时，有无穷多解：，当１011b 0a 32====x x c x .343150321=-====x x c x b a ，，时，有无穷多解：，当（2）当a=1，b=-1时，有无穷多个解：).(14c x 21241321221R c c c x c x c c x ∈⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==++=-=，11、（1）当时，无解；时，有唯一解；当，221-=-≠λλ当解为时，有无穷多个解，通1=λ).(0011010112121R k k k k ∈⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-，（2）当时，无解；时，有唯一解；当且10101=≠≠λλλ当时，有无穷多解，解为＝1λ).(0011020122121R k k k k ∈⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-， 12、2.13、⎪⎩⎪⎨⎧<===*.1-n A 01-n A 1n A n A 时），当秩（时，），当秩（时，），当秩（14、当时，无解；1≠λ当解为时，有无穷多个解，通1=λ).(011121R k k ∈⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡- 15、.k )111()202(k )111()202(k T T T T 为任意常数，其中，，，，或，，，，-+--+-。

矩阵的初等变换与线性方程组知识题含答案解析

第三章矩阵的初等变换与线性方程组3.4.1 基础练习1．已知121011251-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭A ，求()R A .2．已知32101032100000200000-⎛⎫⎪-⎪= ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭B ，求()R B .3．若矩阵,,A B C 满足=A BC ，则（）. (A)()()R R =A B (B) ()()R R =A C(C)()()R R ≤A B (D) ()max{(),()}R R R ≥A B C4．设矩阵X 满足关系2=+AX A X ，其中423110123⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭A ，求X .5．设矩阵101210325⎛⎫⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭A ，求1()--E A .6．A 是m n ⨯矩阵，齐次线性方程组0=Ax 有非零解的充要条件是 . 7．若非齐次线性方程组=Ax b 中方程个数少于未知数个数，那么( ). (A) =Ax b 必有无穷多解； (B) 0=Ax 必有非零解； (C) 0=Ax 仅有零解； (D) 0=Ax 一定无解. 8．求解线性方程组（1）12312312312333332x x x x x x x x x +-=⎧⎪+-=⎨⎪-+=⎩，（2）72315532151011536x y z x y z x y z ++=⎧⎪-+=⎨⎪-+=⎩（3）12341234123420202220x x x x x x x x x x x x ++-=⎧⎪++-=⎨⎪+++=⎩9．若方程组 12323232132(3)(4)(2)x x x x x x x λλλλλλ+-=-⎧⎪-=-⎨⎪-=--+-⎩有无穷多解，则λ= .10．若12(1,0,2),(0,1,1)T T==-αα都是线性方程组0=Ax 的解，则=A ( ).(A)()2,1,1- (B)201011-⎡⎤⎢⎥⎣⎦ (C)102011-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦ (D)011422010-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎣⎦3.4.2 提高练习1．设A 为5阶方阵，且()3R =A ，则*()R A = .2．设矩阵12332354445037a a -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦A ，以下结论正确的是( ).(A)5a =时，()2R =A (B) 0a =时，()4R =A (C)1a =时，()5R =A (D) 2a =时，()1R =A3．设A 是43⨯矩阵，且()2R =A ，而102020103⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭B ，则()R =AB .4．设12243311t-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭A ，B 为3阶非零矩阵，且0=AB ，则t = . 5．设12312323k k k -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭A , 问k 为何值，可使（1）()1R =A （2）()2R =A （3）()3R =A .6．设矩阵111111111111k k k k ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎪⎝⎭A ，且()3R =A ，则k = . 7．设133143134⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A ，试将A 表示为初等矩阵的乘积. 8．设n 阶方阵A 的个行元素之和均为零，且()1R n =-A ，则线性方程组0=Ax 的通解为 .9．设11121314212121213132333441424344a a a a a a a a a a a a aa a a ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎝⎭A ，14131211242322213433323144434241a a a a a a a a a a a a a a a a ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎝⎭B ，10001010000101000⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎪⎝⎭P 21000001001000001⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎪⎝⎭P ，其中A 可逆，则1-=B .10．设n 阶矩阵A 与B 等价，则必有（）.（A ）当(0)a a =≠A 时，a =B （B ）当(0)a a =≠A 时，a =-B （C ）当0≠A 时，0=B （D ）当0=A 时，0=B11．设a b b b a b b b a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，若*()1R =A ，则必有（）.（A ）a b =或20a b += （B ）a b =或20a b +≠ （C ）a b ≠或20a b += （D ）a b ≠或20a b +≠12．齐次线性方程组2123123123000x x x x x x x x x λλλλ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩的系数矩阵记为A ，若存在三阶矩阵0≠B ，使得0=AB ，则（）.（A ）2λ=-且0=B （B ）2λ=-且0≠B（C ）1λ=且0=B （D ）1λ=且0≠B13．设A 是三阶方阵，将A 的第一列与第二列交换得到B ，再把B 的第二列加到第三列得到C ，则满足=AQ C 的可逆矩阵Q 为（）.（A ）010100101⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ （B ）010101001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ （C ）010100011⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ （D ）011100001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭14．已知12324369t ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭Q ，P 为三阶非零矩阵，且0=PQ ，则（）.（A ）6t =时，()1R =P （B ）6t =时，()2R =P （C ）6t ≠时，()1R =P （D ）6t ≠时，()2R =P15．若线性方程组121232343414x x a x x a x x a x x a +=-⎧⎪+=⎪⎨+=-⎪⎪+=⎩有解，则常数1234,,,a a a a 应满足条件 .16．设方程组123111111112a x a x a x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭有无穷多个解，则a = .17．设n 阶矩阵A 与n 维列向量α，若()0TR ⎛⎫=⎪⎝⎭A A αα，则线性方程组（）.（A ）=Ax α必有无穷多解（B ）=Ax α必有唯一解（C ）00T⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭A x y αα仅有零解（D ）00T ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭Ax y αα必有非零解.18．设A 为m n ⨯矩阵，B 为n m ⨯矩阵，则线性方程组()0=AB x （）. （A ）当n m >时仅有零解（B ）当n m >时必有非零解（C ）当m n >时仅有零解（D ）当m n >时必有非零解19．求λ的值，使齐次线性方程组 123123123(3)20(1)03(1)(3)0x x x x x x x x x λλλλλλ+++=⎧⎪+-+=⎨⎪++++=⎩有非零解，并求出通解.20．设 123123123(2)2212(5)4224(5)1x x x x x x x x x λλλλ-+-=⎧⎪+--=⎨⎪--+-=--⎩问λ为何值时，此方程组有唯一解，无解或无穷多解？并在有无穷多解时，求其通解.21．问,a b 为何值时，线性方程组 123423423412340221(3)2321x x x x x x x x a x x b x x x ax +++=⎧⎪++=⎪⎨-+--=⎪⎪+++=-⎩有唯一解、无解、有无穷多解？并求出有无穷多解时的通解.22．问λ为何值时，线性方程组131231234226423x x x x x x x x λλλ⎧+=⎪++=+⎨⎪++=+⎩有解，并求通解.23．已知3阶矩阵A 的第一行为(,,)a b c ，,,a b c 不全为零，矩阵12324636k ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭B ，k 为常数.若0=AB ，求线性方程组0=Ax 的通解.24．设A 是n 阶可逆方阵，将A 的第i 行和第j 行对换后得到的矩阵记为B . （1）证明B 可逆；（2）求1-AB .第三章参考答案3.4.1 基础练习1．()2R =A ． 2．()3R =B ． 3．因为()min{(),()}R R R ≤A B C 故选C ．4．由已知(2)-=A E X A ，因为100386(2,)0102960012129r--⎛⎫ ⎪-−−→-- ⎪ ⎪-⎝⎭A E A 故1386(2)2962129---⎛⎫⎪=-=-- ⎪ ⎪-⎝⎭X A E A ．5．100231342100⎛⎫- ⎪⎪ ⎪--- ⎪⎪- ⎪ ⎪⎝⎭． 6．()R n <A ． 7．B ．8．（1）无解；（2）211x y z ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（3）12349,43x x c c R x ⎛⎫⎛⎫ ⎪- ⎪⎪=∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭．9．有无穷多解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩且小于未知数的个数得3λ=。

线性代数习题册(第三章矩阵的初等变换与线性方程组参考答案)

(B) 若 A B ，则 R( A) = R(B) ；
(C ) 若 P,Q 可逆，则 R(PAQ) = R( A) ； (D) R( A + B) ≥ R( A) + R(B) .
分析：本题是考察矩阵秩的性质。（A）、（B）、（C）都是正确的。如
R(= PAQ) R= ( AQ) R( A) ，所以（C）是正确的。（D）不正确。因为
（ X）（X）
3. 若矩阵 A 所有的 k 阶子式全为 0 ，则 R( A) < k .
（ √）
4. 初等变换不改变矩阵的秩.
（√）
5. 设矩阵 A, B 分别为线性方程组相应的系数矩阵和增广矩阵，则线性方程组 Ax = b 有唯
一解当且仅当 R( A) = R(B).
（X）
6. 若 A 是 m × n 矩阵，且 m ≠ n ，则当 R( A) = n 时，齐次线性方程组 Ax = 0 只有零解.
( x j − xi ) ≠ 0

1≤i< j≤n
1
xn

x n−1 n
故齐次线性方程组只有唯一的零解，即 a=1 a=2 = a=n 0 。
13. 设 A 为 m × n 矩阵，且 R( A=) m < n ，则（
）.
( A) 若 AB = O ，则 B = 0 ；
(B) 若 BA = O ，则 B = 0 ；

1
1 0
0
0

a11 a21
a12 a22
a13 a23

=

a21 a11
a22 a12
a23 a13

0 0 1 a31 a32 a33 a31 a32 a33

线性代数矩阵的初等变换与线性方程组习题课

二、矩阵的秩及其求法
1、定义： A的秩就是A中最高阶非零子式的阶数.记作R(A)=r.
2.矩阵秩的性质设A: m n 型矩阵,则:
(1)0 R( A) min(m, n);
0, k 0
(2) R( AT ) R( A);
(3) R(kA) R( A),k 0
(4)行阶梯形矩阵的秩等于该矩阵非零行的行数．
7.当A等于(
)时,
CH3 初等变换与方程组
a11 a12 a13 a11 3a31 a12 3a32 a13 3a33
Aa21
a22
a23

a21
a22
a23

a31 a32 a33 a31
a32
a33
1 0 0
1 0
A 0 1 0 (B) 0 1
A11 A21 A31 A41

A*

A12

A13 A14
A22 A23 A24
A32 A33 A34
0 A42

A43 A44

R( A* ) 0
例5 设A是n阶矩阵,且A2=E, 证明R(A+E)+R(A-E)=n
证明：由A2=E得： A2 E ( A E)( A E) 0
t
0

0 4 5 2
1 2 －1 1 0 －4 t 2 2 0 0 3 t 0
1 2 1 1 0 4 t 2 2 0 4 5 2
r(A)=2 3 t =0, 即 t =3
例3 设线性方程组
为A的伴随矩阵，且

[小学]第三章矩阵的初等变换练习题参考答案

第三章矩阵的初等变换练习题参考答案一、判断题（）1．设A 是n 阶可逆方阵，则齐次线性方程组0Ax =只有零解。

（）2．若n 阶矩阵A 可逆，则()R A n =。

（ × ）3．n 元非齐次线性方程组Ax b =有解的充分必要条件()R A n =。

（）4. 两个n 阶矩阵A ，B 行等价的充要条件是存在n 阶可逆矩阵P 使得B PA =。

（ × ）5. 任何矩阵都可以经过有限次初等行变换化为行阶梯形矩阵，并且化为的行阶梯形矩阵是唯一确定的。

（ × ）6. 若n 阶矩阵A 的秩为1n -，则A 的所有1n -阶子式均不为零。

（）7. 可逆矩阵A 总可以只经过有限次初等行变换化为单位矩阵E 。

（）8. 设矩阵A 的秩为r ，则A 中所有1+r 阶子式必为零。

（ × ）9.设A 为)n m (n m <⨯矩阵，则Ax b =有无穷多解。

（ × ）10. 只有行等价的矩阵才具有相同的秩，列等价的矩阵不具有相同的秩.二、填空题1. 矩阵102120313043-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭的行最简形矩阵为100000100001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭。

2. 设A 是5阶方阵，且满足2A A E +=，则()R A E += 5 。

3．非齐次线性方程组的增广矩阵为B =21011101400000122000(1)1k k k kk --⎛⎫ ⎪⎪⎪-- ⎪--⎝⎭，则当k =0时方程组无解；当k =1时方程组有无穷解。

4．设线性方程组的增广矩阵为132331234102420210400130000a a a a a a a a a +⎛⎫⎪-⎪ ⎪- ⎪⎪+--⎝⎭，则该方程组有解的充要条件是12340a a a a +--=。

5. 设矩阵A 经初等行变换可化为行阶梯形矩阵B 。

若A 的秩为3，则B 中非零行的行数为 3 。

6. 设矩阵121348412363A k -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，当k =____9___时，()1R A =。

《线性代数》第三章矩阵的初等变换与线性方程组精选习题及解答

例 3.10
求齐次线性方程组
⎧ ⎪ ⎨
x1 x1
− −
x2 x2
− +
x3 x3
+ x4 = 0 − 3x4 = 0
的通解.
⎪⎩x1 − x2 − 2x3 + 3x4 = 0
解系数矩阵经过初等变换得
⎡1 −1 −1 1 ⎤
⎡1 −1 0 −1⎤
A = ⎢⎢1 −1 1 −3⎥⎥ ⎯r⎯→ ⎢⎢0 0 1 −2⎥⎥
阶梯形的非零行数判断矩阵的秩.
2
⎛1 3 1 4⎞
解
A
⎯r⎯→
⎜ ⎜
0
6
−4
4
⎟ ⎟
，故
R(
A)
=
2
.
⎜⎝ 0 0 0 0⎟⎠
⎡1 1 2 2 3 ⎤
例 3.2
设A=
⎢⎢0 ⎢2
1 3
1 a+2
−1 3
−1 a+6
⎥ ⎥ ⎥
，则
A
的秩
R(
A)
=
(
).
⎢⎣4 0 4 a + 7 a +11⎥⎦
(A) 必为 2
6
⎡ 1 1 0 −2 1 −1⎤
⎡1 0 0 2 −1 −1⎤
( A | b) = ⎢⎢−2 −1
1
−4 2
1
⎥ ⎥
⎯r⎯→
⎢⎢0
1
0
−4
2
0
⎥ ⎥
⎢⎣−1 1 −1 −2 1 2 ⎥⎦
⎢⎣0 0 1 −4 2 −1⎥⎦
R( A) = R( A | b) = 3 < 5 ，所以方程组有无穷多解，令 x4 = c1, x5 = c2 ，得

矩阵的初等变换及线性方程组习题课共33页

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27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·罗兰
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28、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。——孔子
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29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良。—，倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
谢谢！
33
矩阵的初等变换及线性方程组习题课
11、不为五斗米折腰。 12、芳菊开林耀，青松冠岩列。怀此贞秀姿，卓为霜下杰。
13、归去来兮，田蜀将芜胡不归。 14、酒能祛百虑，菊为制颓龄。 15、春蚕收长丝，秋熟靡王税。
▪
26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭

第3章-72矩阵初等变换与线性方程组作业解答

第3章矩阵初等变换与线性方程组 (作业1)一. 填空题：设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=532111363A , ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=532010363B , 则由A 变换为B 的一个初等变换为( r 2–31r 1 ); 由B 变换为A 的一个初等变换为( r 2+31r 1 ). 二. 选择题：设A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----441221442, B =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-000000221, 其中矩阵B 是矩阵A 的行最简形, 以下5组初等变换及其次序: ① r 1↔r 2, r 2–2r 1, r 3+2r 1; ② r 3+r 1, r 1⨯1/2, r 2–r 1; ③ r 1–2r 2, r 3+2r 2, r 1↔r 2; ④ r 3+r 1, r 1–2r 2, r 1↔r 2; ⑤ r 3+r 1, r 1–r 2, r 2–r 1. 其中有( D )是由A 变换为B 的初等变换.(A) 2组; (B) 3组; (C) 4组; (D) 5组.三. 把矩阵⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------=12433023221453334311A 化为行最简形矩阵.解:⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------=12433023221453334311A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------1010500663008840034311⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----22100221002210034311 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---00000000002210034311 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---00000000002210032011 四. 利用矩阵的初等变换求方阵A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--113122214的逆阵. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--100113010122001214 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---100113010122101101 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----403210212320101101 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----614100403210101101 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----614100825010513001, 所以，A –1＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----614825513.r 1+r 2⨯(–1) r 2+r 1⨯(–3) r 3+r 1⨯(–2) r 4+r 1⨯(–3) r 2÷(–4) r 2÷(–3)r 2÷(–5)r 3+r 2⨯(–1) r 4+r 2⨯(–1) r 1+r 3⨯(–1) r 2+r 1⨯(–2) r 3+r 1⨯(–3) r 2+r 3⨯(–2) r 2↔r 3r 2+r 3⨯(2)r 1+r 3⨯(–1) r 3÷(–1)五. 已知AX + 2E = X +B , 其中⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=221001323A , ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=112221015B ，求矩阵X . 解: 由AX + 2E = X +B 得, (A –E ) X = B –2E , X =(A –E )–1(B –2E ),⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--100121010011001322 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--110110010011021340 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--021340110110010011⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--461100110110010011 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----461100351010341001所以, X =(A –E )–1(B –2E ) =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----461351341⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---312201013=⎪⎪⎭⎫⎝⎛----051142141.六. k 取何值时矩阵A =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-11100001k 可逆, 并在A 可逆的条件下求A –1.解: 显然|A |=k , 故A 可逆当且仅当k ≠0. 以下求A –1.方法一: (A :E )=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-10011101000001001k ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1011100/10010001001k ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1/111000/10010001001k k , 所以A –1=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1/110/10001k k . 方法二: 将矩阵A 分块, A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-11100001k =⎪⎭⎫⎝⎛231A A O A由分块矩阵逆矩阵的有关结论有: A –1=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----121131211A A A A O A ,易得⎪⎭⎫ ⎝⎛=-k A /100111, )1(12=-A , ())1,1(10011,1)1(11312k k A A A -=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=---, 所以A –1=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1/110/10001k k .r 1+r 2⨯(–2) r 3+r 2⨯(1) r 1↔r 2 r 2↔r 3 r 3+r 2⨯(–4) r 3÷(–1) r 2+r 3⨯(–2) r 2↔r 3 r 3+r 1⨯(–1) r 2÷(k ) r 3+r 2⨯(1)第3章矩阵初等变换与线性方程组 (作业2)一. 填空：1. 设⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n n n n n n b a b a b a b a b a ba b a b a b a A 212221212111，其中a i ≠ 0, b i ≠ 0( i = 1, 2, …, n )，则R (A ) = 1 .解: A =(a 1, a 2, ⋅⋅⋅, a n )T (b 1, b 2, ⋅⋅⋅, b n ), R (A )≤R ((a 1, a 2, ⋅⋅⋅, a n )T )R ((b 1, b 2, ⋅⋅⋅, b n ))=1⨯1=1,而a i ≠ 0, b i ≠ 0( i = 1, 2, …, n ), 故A ≠ O , R (A )≥1, 所以R (A )=1.2. 当齐次线性方程组Ax = 0的方程个数大于未知量个数时, 则方程组不一定有非零解. 解: 由条件知, 系数矩阵A 的行数m 大于列数n , 因此R (A )=n 可能成立.3. 设B 为非齐次线性方程组Ax = b 的增广矩阵, 则Ax = b 有解的充分必要条件是 R (A )与R (B ) 相等 .解: 根据非齐次线性方程组有解的充分必要条件. 二. 选择题：1. 从矩阵A 中划去一行得到矩阵B ，则矩阵A , B 的秩的关系为( C ).(A)R (A ) = R (B ) +1; (B) R (A ) > R (B ); (C) R (A ) ≥ R (B ) ≥ R (A ) –1; (D) R (B ) > R (A ) –1. 解: 结论(A)(B)(D)都是不能确定的(可以举反例), 而(C)结论是正确的. 2. 矩阵A 的秩为r , 则下列结论正确的是（ A ）.(A) A 的所有阶数大于r 的子式全等于零; (B) A 没有r – 1阶的非零子式; (C) A 的所有r 阶子式都不为零; (D) A 的所有r – 1阶子式都不为零. 解: 由矩阵秩和最高阶非零子式的概念可得.3. 设非齐次线性方程组Ax = b 有n 个未知量, m 个方程, 且R (A ) = r , 则此方程组( A )。

矩阵的初等变换及线性方程组习题(2024版)

【例3】设矩阵
3 A 1
00
4，0
0 0 3
E
1 0
,则10逆00矩阵
0 0 1
分析本题可利用初等行变换法求逆矩阵．
解
1 1 2
0 12
0 0
．
0 0 1
第10页，共31页。
( A 2.E) 1
【例4】设 4 阶方阵A 的秩为2，则其伴随矩阵的秩A*为 .
分析本题是考查矩阵和伴随矩阵秩之间的关系．由
1 1 1 1 1 1 0 2 2 4 B ~ 0 1 1 1 3 ~ 0 1 1 1 3
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
同解方程组为
x1
x
2
2 x3 x3
2 x 4， x4
4
通解为
3
x1 2 2 4
x2 x3 x4
k1
1 1 0
k
2 0
2 3 1
3
1
0
.
(C)
0
4
2
3 4 0
2 1 . 3
1 2 6
(D) 0 1 8 【】
2 3 0 .
第13页，共31页。
分析本题是考查初等方阵的性质．由于
E为3用(2)F乘 2
矩阵 F的第三行，故应选 . (A)
解选 (A).
【例3】设线性方程组
A55 x5有1 唯b一解，则必有
初等矩阵．
2．三种初等矩阵 E(i，, j) E[，i(k)] E[i,. j(k)] 作用：“左乘变行，右乘变列．”
行列式： | E(i, j) | ，1 | E[i(k)]，| k | E[i, j(.k)]| 1

(完整版)线性代数习题[第三章]矩阵的初等变换与线性方程组

习题3-1 矩阵的初等变换及初等矩阵1.用初等行变换化矩阵102120313043A-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦为行最简形.2.用初等变换求方阵321315323A⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦的逆矩阵.3.设412221311A-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦,32231-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦1B=,求X使AX B=.4.设A是n阶可逆矩阵,将A的第i行与第j行对换后得矩阵B.(1) 证明B可逆(2)求1AB-.习题 3-2 矩阵的秩1.求矩阵的秩:(1)310211211344A ⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦(2)111212122212n n n n n n a b a b a b a b a b a b B a b a b a b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦L L L L L L L 01,2,,i i a b i n ≠⎡⎤⎢⎥=⎣⎦L2.设12312323k A k k -⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦问k 为何值,可使 (1)()1R A =; (2)()2R A =; (3)()3R A =.3. 从矩阵A 中划去一行,得矩阵B ,则)(A R 与)(B R 的关系是 ..()()a R A R B = .()()b R A R B <；.()()1c R B R A >-； .()()() 1.d R A R B R A ≥≥-4. 矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-------815073*********的秩R= . a.1; b . 2; c . 3; d . 4.5. 设n (n ≥3)阶方阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=111ΛΛΛΛΛΛΛΛa a a a a a a a a A 的秩R (A )=n -1,则a = . a . 1; b . n -11; c . –1; d . 11-n .6.设A 为n 阶方阵,且2A A =,试证:()()R A R A E n +-=习题 3-3线性方程组的解1. 选择题(1)设A 是m n ⨯矩阵,0Ax =是非齐次线性方程组Ax b =所对应的齐次线性方程组,则下列结论正确的是( ).A. 若0Ax =仅有零解,则Ax b =有唯一解B. 若0Ax =有非零解,则Ax b =有无穷多个解C. 若Ax b =有无穷多个解,则0Ax =仅有零解D. 若Ax b =有无穷多个解,则0Ax =有非零解,(2)对非齐次线性方程组m n A x b ⨯=,设()R A r =,则( ).A.r m =时,方程组Ax b =有解B.r n =时,方程组Ax b =有唯一解C.m n =时,方程组Ax b =有唯一解D.r n <时,方程组Ax b =有无穷多解（3）设齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++0003213213221x x x x x x x x x λλλλ的系数矩阵为A ,且存在三阶方阵B ≠0,使AB =0,则 .2.-=λa 且0=B ; 2.-=λb 且0≠B ;C. 1=λ且0=B ; d . 1=λ且0≠B .（4）设非齐次线性方程组AX=b 的两个互异的解是21,X X ，则是该方程组的解.121212121.;.;.();..22X X a X X b X X c X X d -+-+2.解下列方程组: (1)12341234123420363051050x x x x x x x x x x x x ++-=⎧⎪+--=⎨⎪++-=⎩(2)21 422221x y z wx y z wx y z w+-+=⎧⎪+-+=⎨⎪+--=⎩3.设123123123(2)2212(5)42 24(5)1x x xx x xx x xλλλλ-+-=⎧⎪+--=⎨⎪--+-=--⎩问λ为何值时,此方程组有唯一解,无解或有无穷多解?并在有无穷多解时求其通解.4. 设线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000222z c y b x a cz by ax z y x(1) a,b,c 满足何种关系时,方程组仅有零解?(2) a,b,c 满足何种关系时,方程组有无穷多解?求出其解.5.设,,,,,515454343232121a x x a x x a x x a x x a x x =-=-=-=-=-证明这个方程组有解的充分必要条件为051=∑=j j a,且在有解的情形,求出它的一般解.。

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第三章矩阵的初等变换与线性方程组
3.4 独立作业
3.4.1 基础练习
1．已知1210
1125
1-⎛⎫
⎪
= ⎪ ⎪-⎝
⎭
A ，求()R A . 2. 设矩阵X 满足关系2=+A X A X ，其中4
231
1012
3⎛⎫
⎪
= ⎪ ⎪-⎝⎭
A ，求X . 3. 设矩阵1012
1032
5⎛⎫
⎪
= ⎪ ⎪--⎝
⎭
A ，求1()--E A . 4. A 是m n ⨯矩阵，齐次线性方程组0=A x 有非零解的充要条件是 . 5. 若非齐次线性方程组=A x b 中方程个数少于未知数个数，那么( ).
(A) =A x b 必有无穷多解； (B) 0=A x 必有非零解； (C) 0=A x 仅有零解； (D) 0=A x 一定无解. 6. 若方程组 123232321
32(3)(4)(2)x x x x x x x λλλλλλ+-=-⎧⎪
-=-⎨⎪-=--+-⎩
有无穷多解，则λ= .
7．若12(1,0,2),(0,1,1)T T
==-αα都是线性方程组0=A x 的解，则=A ( ).
(A)()2,1,1- (B)2010
1
1-⎡⎤⎢
⎥⎣⎦ (C)1
020
1
1-⎡⎤
⎢⎥-⎣⎦
(D)0114
220
1
0-⎡⎤
⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎣⎦
8. 求解线性方程组
1234
234
124
2342344,3,331,73 3.
x x x x x x x x x x x x x -+-=⎧⎪
-+=-⎪
⎨
+-=⎪⎪-++=-⎩
3.4.2 提高练习
1. 设A 为5阶方阵，且()3R =A ，则*()R A = .
2. 设1231
232
3k k k -⎛⎫
⎪
=-- ⎪ ⎪-⎝
⎭
A , 问k 为何值，可使（1）()1R =A （2）()2R =A （3）()3R =A .
3. 设n 阶方阵A 的每行元素之和均为零，且()1R n =-A ，则线性方程组0=A x 的通解为 .
4．设n 阶矩阵A 与B 等价，则必有（）.
（A ）当(0)a a =≠A 时，a =B （B ）当(0)a a =≠A 时，a =-B （C ）当0≠A 时，0=B （D ）当0=A 时，0=B
5．设方程组1231111
1111
2a
x a x a x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪
= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝
⎭⎝⎭⎝⎭
有无穷多个解，则a = . 6．设4阶方阵()()234234,,,,,,,,A B αγγγβγγγ==其中234,,,,αβγγγ均为4维列
向量，且已知行列式4,3,A B ==求行列式.A B +。