技术经济学第三章 资金时间价值与等值变换

（P/F，i，n）称为一次支付现值系数（Present-Worth Factor， Single Payment），或称贴现系数，可理解为已知F，i，n求现 值P，其经济涵义是n期（年）后1元资金的现值。它和一次支付 终值系数（F/P，i，n）互为倒数关系。
【例3－6】 某人计划5年后从银行提取l万元，如果银行利率 为10%，问现在应存入银行多少钱？ 解：画现金流量图，如图3－4。
F＝1万元
0 P＝？
1
2
3
4
5
解：
或P＝F（P/F，i，n）＝1×（P/F，10%，5） ＝1×0.620 9＝0.620 9（万元） 所以，需现在存款0.6209万元才能达到预期目标。
【例3－6】 某厂预备进行分期投资，第一年年初为2 000万元，第 二年年初为1 200万元，第三年年初为1 000万元，若年利率为 0 1 2 10%，则其投资的现值应为多少？ 解：画现金流量图，如图所示（见右图）。
同样是一笔年利率为10%，20 000元两年期的贷款，用复利计算 支付的利息比单利支付多24 200－24 000＝200（元）利息。这200 元利息正好是第一年所得利息2 000元在第二年间所产生的利息。 用式（3-2）的复利计算公式即为： F2＝P（1＋i）2＝20 000×（l＋10%） 2＝24 200（元）
n 5
或 F= P ( F / P , i , n ) 100 (F/P,10% , 5) 100 1.61051161.051( 万 元 )
(二)一次支付现值公式
一次支付现值公式现金流量图
F 0 n
P=？
1
2
3
4
n-1
一次支付现值公式为：
P F 1
1 i
n
F P / F , i, n
lim (1 r / n ) 1 e 1
n r n
【例3－4】某工业企业向银行存款200万元，年利率10%， 试用间断计息和连续计息法分别计算5年后的本利和。 解：按间断计息计算 n 5 F P (1 i ) 200 (1 0.1) 200 1.611 322.2 万 元 按连续计息计算
【例3－5】某企业为开发新产品，向银行借款100万元， 年利率为10%，借期5年，问5年后一次归还银行的本 利和是多少？
解：5年后归还银行的本利和与现在的借款金额等值，折 现率为银行利率。
F P (1 i ) 100 (1 10% ) 100 1.61051 161.051( 万 元 )
第三章
学习内容
资金时间价值与等值变换
第一节 资金时间价值与资金等值 第二节 利息、利率及其计算 第三节 资金的等值计算
学习要求与目标：
1. 2. 3. 4. 理解资金时间价值的含义、掌握资金时间价值的衡量方法 理解掌握资金等值的概念与意义 熟练掌握资金等值变换的普通复利计算原理、方法与运用 掌握利息与利率、名义利率与实际利率含义的概念与计算
表3－4以12%和24%的名义利率为例给出了不同计息周期名义利 率与实际利率的对应关系。
表3-4 名义利率、实际利率的比较
12%的年名义利率（r）/% 计息周期利率 实际年利率 12 12 6 3 1 0.230 8 0.032 9 — 12.36 12.550 9 12.682 5 12.734 1 12.747 5 12.749 7 24%的年名义利率（r） 计息周期利率 实际年利率 24 24 12 6 2 0.461 5 0.065 8 — 25.44 26.247 7 26.824 2 27.054 7 27.114 9 27.124 9 计息 一年内计 周期 息次数（m） 年 半年 季 月 周 日 连续 1 2 4 12 52 365 ∞
第二节 利息、利率及其计算
一、利息与利率
利息（Interest）和盈利（Profit）是指放弃资金使用 权所得的报酬或占用资金所付出的代价，体现了资金时间 价值绝对量的多少； 利率（Interest rate）和收益率（Rate of Return）是指 资金在单位时间内产生的增值（利润或利息）与投入的资 金额（本金）之比（记作i），它是使用资金的报酬率，反 映了资金时间价值相对量的大小。i越大，表明资金增值越 快。
以上两终值的差异1.6元是前半年的利息（1000×4%＝40元）在第二 个半年中的利息。1年中的计息次数越多，在给定1年的年末的本利和 就越大。
【例3－3】 设季度为计息期，i为2 %，年初存款 800元的年末终值为多少？ 解： F
8 0 0 (1 2 % ) 8 6 6 ( 元 ）
（二）复利法
复利计算的本利和公式为： Fn =P（1＋i）n 复利法计算公式的推导：
wenku.baidu.com表3－2
0 1 2 3 … n
复利法本利和的推导
年末利息 年末本利和 0 Pi P(1+i)i P(1+i)2i … P(1+i)n-1i P P(1+i) P(1+i)2 P(1+i)3 … p(1+i)n P 0 0 0 … 0
二、等额支付系列
（一）等额支付终值公式 等额支付终值公式现金流量图
F= ？
0
1
2 A
n-1
n
计算公式：
式中， 或（A/F，i，n）称为等额分付终值系数（Futurei Worth Factor，Uniform Series）或年金终值系数，可理解为己知A，i， n，求F。其经济涵义是1元资金在连续n年年末支付后的终值（本利和）
影响资金时间价值的因素： （1）投资盈利率或收益率 （2）通货膨胀补偿率 （3）风险补偿率
二、资金等值
资金等值（Capital Equivalence）是指在时间因素的作 用下，不同时点上数额不等的资金在一定利率条件下其 有相等的价值。
影响资金等值变换的主要因素： （1）资金金额的大小； （2）资金发生的时间； （3）计算的利率。
二、单利法与复利法
（一）单利法
单利的本利和计算公式为： Fn＝P（l＋ni）， I = P·n i· 单利法的计算公式的推导过程：
表3－1 单利法本利和的推导（i，年利率）
期限（年末） 借贷资金 年末利息 年末本利和 0 1 2 3 … n P 0 0 0 … 0 0 Pi Pi Pi … Pi P P(1+i) P(1+2i) P(1+3i) … p(1+ni)
1200 1000 2000
3
第一年的投资现值P1＝2 000（万元）， P＝？ 第二年的投资现值P2＝1200×（P/F，10%，1） ＝1200×0.9091＝1090.92（万元）， 第三年的投资现值P3＝1000×（P/F，10%，2） ＝1000×O.826 4＝826.4（万元）， 总投资的现值P＝P1＋P2＋P3＝2 000＋1090.92＋826.4 ＝3917.32（万元）。
学习重点与难点：
1.利息、利率及其计算 2.资金等值计算及复利表的应用
第一节
资金时间价值与资金等值
一、资金时间价值
资金时间价值（Time Value of Money）是指资金在用于 生产、流通过程中，将随时间的推移而不断发生增值。
资金的时间价值理解： （1）将资金用做某项投资，在资金的运动过程（流通—生 产—流通）中可获得一定的收益或利润，即资金有了增 值。 （2）如果放弃资金的使用权力，相当于失去收益的机会， 也就相当于付出了一定的代价。
P
n
F P (1 i )
P ( F / P , i, n )
式中：P——本金或现值； F——本利和或终值，或将来值； i——利率； n——计算期，或方案寿命期。 n 式中，(1 i ) 称为一次支付终值系数（Future-Worth Factor，Single Payment），可用符号（F/P，i，n）表示，其经济涵义是1元资金（本金）在n年 后的本利和。
4 4
i 年 实 1 2 % ) 8 .2 4 % （ F 8 0 0 (1 8 .2 4 % ) 8 6 6 ( 元 ）
年名义利率r＝4×2%＝8%。
四、间断计息与连续计息
连续复利的一次性支付计算公式
ie 1 r / n ) 1
n
lim
n

（四）终值 终值（Future Value）是现值在未来时点上的等值资金， 资金的未来值或者本利和，用符号F表示。 （五）等差递增（减）年值 等差递增（减）年值是指现金流量逐期等差递增（减） 时相邻两期资金的差额，用符号G表示。 （六）等比递增（减）率 等比递增（减）率是指等比序列现金流量逐期递增 （减）的百分比，用符号g表示。
【例3－1】一笔20000元借款，单利年利率为10%，借期 2年。 解：2年后应付利息为： I＝P·n＝20000×10%×2=4000（元） i· 2年后应偿还的总金额为： F=P＋I＝20000＋4000=24000（元）
应注意，20000 元1年末应付的利息为： I=20000×10%×l＝2000（元） 在第2年末应付的利息为4000元，而第1年新增的利息 2000元并未产生利息。
F=P e
m
200 e
0.1 5
329.774( 万 元 )
第三节
资金的等值计算
一、一次支付系列
一次支付又称整收或整付，是指所分析的现金 流量无论是流入还是流出，均在某一时点上收入 或支付。
（一）一次支付终值公式
一次支付终值公式现金流量图
0 1 2 3 4 n-1
F=？
n
一次支付终值公式为：
（二）名义利率与实际利率的计算
设i为计息周期利率；一年内的计息周期数为n；名义利率为r；实 际利率为ie；则： 名义利率的计算公式为：r＝i×n 实际利率ie计算公式为： ie＝（F－P）/P＝（l＋i）n－l 名义利率r与实际利率ie的关系为： ie＝(1+r/n)n-1 从式中，可以分析得出： 当n＝1时，r＝ie，即名义利率等于实际利率； 当n >1时，r＜ie， 且n越大，即一年中复利的计算次数越多，其 实际利率相对于名义利率就越大。
资金随时间的变化规律
Fn 复利
单利
F2 0 1 2 3 4 5 6 n
图3-1
资金随时间的变化规律曲线
三、名义利率和实际利率
（一）名义利率和实际利率的概念
名义利率（Nominal Interest Rate）是计息周期的利率 与一年内的计息次数之乘积。 实际利率（Effective Interest Rate）是指一年内按复利计 息的利息总额与本金的比率，或以计息周期利率为基 数，在一年内的复利有效利率。
资金等值的相关概念：
（一）贴现与贴现率 把将来某一时点的资金金额换算成另一时点的等值金额称为贴现 （Discount）。贴现时所用的利率称贴现率或折现率（Discount Rate） （二）现值 发生在时间序列起点处的资金值称为资金的现值（present value）， 常用符号P表示。 （三）年值 年值（Annual Value）是指分期等额收支的资金，表示在连续每期期 末等额支出或者收入的每一期资金支出或收入额。由于各期间隔通常为 一年，且各年金额相等，故又称之为年金，用符号A表示。
期限（年末） 借贷资金
仍以借期2年，20 000元贷款，年利率10%为例。当以复利计算 时，其计算如表3－3所示。 表3-3 复利的计算 （单位：元）
年份 年初所欠金额 应付利息 1 2 20 000 22 000 年末所欠金额 20 000×10%=2 000 20 000＋2000=22 000 22 000×10%=2 200 22 000＋2200=24 200
从表3－4分析可知：实际利率与名义利率的差异随着计息次数的增 大而增大，差异最大值为连续复利率之差。
【例3－2】 半年计算1次利息，利率为4%，1年计息周期数为2，则 年名义利率为4%×2=8%。通常为称为“年利率为8%，按半年计 息”。这里的年利率8%，就是名义利率。 如果将1000元存入银行，年利率8%，那么第l年年末的本利和是： F＝1000×（l＋8%）＝1080（元） 若假定计息期是半年，则半年后，储户得到的利率是4%，而不是 8%。存款在第1年年末的本利和是： F＝1000×（1＋8%/2）2＝1081.6（元）