中国科学院2014年数学分析高等代数考研试题

··· ··· .. .
a1
bm−1 · · ·
b1
b0
3. 已知 c2 − 4ab ̸= 0 ,计算行列式 c b a c .. . a .. . b .. c b 4. A为m × n 矩阵， Rank (A) = k ,证明: . a c .
(1)若 A = A1 + A2 + · · · + Al , 且 Rank (Ai ) = 1, i = 1, 2, . . . , l.则 l ≥ k ; (2)存在秩为 1 的矩阵 A1 , A2 , . . . , Ak 使得 A = A1 + A2 + · · · + Ak . 5. 证明:任何一个复矩阵可以表为两个对称矩阵的乘积,且其中一个为可逆 矩阵.
(1)存 在 次 数 低 于 n的 多 项 式 u(x) 与 次 数 低 于 m 的 多 项 式 v (x) 使 得 u(x)f (x) + v (x)g (x) = res(f (x), g (x)); (2) (f (x), g (x)) = 1 当且仅当 res(f (x), g (x)) ̸= 0. 注：对任意的多项式 f (x) = an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0 , g (x) = bm xm + bm−1 xm−1 + b1 x + b0 , 我们定义 f (x)g (x) 的结式 res(f (x), g (x))为 由两多项式系数形成的Sylvester矩阵的行列式: an b m bm−1 · · · .. .. . . bm an an−1 .. . ··· .. . ··· .. . an−1 b1 .. . a1 .. . b0 .. . a0 .. . .. . a0 ,
的收敛性和一致收敛性.
9. (1)函数 u(x) 在 [0, 1] 连续, 且 u′ (x) 绝对可积, 求证: ∫1
x∈[0,1]
∫1 |u(x)|dx +
0
sup |u(x)| ≤
0
|u′ (x)|; dx
(2)二元函数 u(x, y ) 在 Ω = {(x, y )|0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ x ≤ 1} 上连续, 且偏导数
Ω
1
√ an−1 + 6, 求极限 lim an .
n→∞
∫∫ (sinx2 + cosy 2 )dxdy ≤
√ 2.
其中 Ω = {(x, y )|0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ x ≤ 1}. 7. 求由 z = x + y 和 z = x2 + y 2 围成的几何体体积. 8. 讨论函数项级数
∞ ∑ n=0 (x2 +x+1)n n(n+1)
∂u ∂u ∂ 2 u , , ∂x ∂y ∂x∂y
绝对可积. 求证: ∫∫ ∫∫ ( |u|dxdy +
Ω Ω
(x,y )∈Ω
sup |u| ≤
∂u ∂u + ∂x ∂y
) dxdy +
∫∫
Ω
∂2u dxdy. ∂x∂y
1 2014年中科院高等代数
1
1
2014年中科院高等代数
1. 多项式 f (x) = f0 (xn ) + xf1 (xn ) + . . . + xn−1 fn−1 (xn ) , 且 xn−1 + xn−2 + . . . + x + 1 整除 f (x) . 求证: f ′ (0) = 0 . 2. f (x), g (x) 分别是 m次和 n 次多项式(原题中 m = 2, n = 3),证明：源自2 2014年中科院数学分析
3
2
sin n→∞
2014年中科院数学分析
π π sin 2 n n+ 1 2
n 1. 计算极限 lim ( n+1 +
+ ··· +
sin π 1 n+ n
).(不知道原题是不是这样的，
图片里这给出第一项和最后一项.) 2. 已知函数 f (x) = (1 + x) x , 计算 f (i) (0), i = 1, 2, 3. 3. 已知函数 f (x) 的反函数是 φ(y ) ,写出用 f ′ , f ′′ , f ′′′ 表示 φ′ , φ′′ , φ′′′ 的表 达式. 4. 函数 f (x) 在 [0, 1] 上连续, (0, 1) 上可导, f (0) = 0, f (1) = 1/2. 证明: 存 在 ξ, η ∈ (0, 1) 使得 f (ξ ) + f ′ (η ) = ξ + η. 5. 已知 a0 > 0, an = 6. 证明: 1≤
1 2014年中科院高等代数 6. x ̸= 0 ,矩阵 A= 计算极限 lim lim (An − E ).
x→0 n→∞
2
(
1
x −n
x n
) ,
1
7. 矩阵 A = (aij )n×n , B = (bij )n×n , 定义 C = (aij bij )n×n . 证明:若 A, B 半正定, 则 C 半正定. 8. 对 u 为Euclid空间 R5 中的单位向量, 定义 Tu (x) = x − 2(x, u)x. 现设 α, β 是 R5 中线性无关的两个单位向量, 问当 α, β 满足什么条件时, 存在正 整数 k 使得 (Tα Tβ )k 为单位映射.