《线性代数》(经科社2013版)习题解答chap.2
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《线性代数》(经科社2013版)习题解答
山东财经大学 数学院 王继强∗
说明 : ::::::::::::::::::::::::::::: 本解答仅为同学们解 题时 参考 使用 , :::::::::::: 切 勿 照 抄 照 搬 ,:::::::::::::: 否则有悖我心。
2013.10.18
第 2章 矩 阵
习题 2.1
略.
习 题 2.2
5.(1)待定系数法. 仿教材例2.2.6. (2)见《线性代数学习指导》P45例2. 6.(1)直接计算. (2)先计算A , A , 猜测A =
2 3 n
(
1 0
3n 1
) , 再用数学归纳法证明.
(3)要牢记此一结论 . :::::::::::::: (4)直接计算. (5)直接计算得, A = 4E, A = 4A, A = 4 E . 因此, A =
2 3 4 2 n
{
2n E, 2
n −1
n为偶数
A, n为奇数
.
(6)见《线性代数学习指导》P47例5. 7. A2 的第k 行l列的元素= A的第k 行· A的第l列 n ∑ = ak1 a1l + ak2 a2l + · · · + akn anl = aki bil . AAT 的第k 行l列的元素= A的第k 行· AT 的第l列= A的第k 行· A的第l行 n ∑ = ak1 al1 + ak2 al2 + · · · + akn aln = aki bli . AT A的第k 行l列的元素= AT 的第k 行· A的第l列= A的第k 列· A的第l列 n ∑ = a1k a1l + a2k a2l + · · · + ank anl = aik bil .
i=1 i=1 i=1
注: :::::::::::::::::::::::::::::::::: 要牢记矩阵乘法的口诀“前行乘后列”.
习题 2.3
4. aij = −aji = =⇒ aii = 0. 5. 见《线性代数学习指导》P46例4.
∗ Email:
i=j
wangjq@sdufe.edu.cn; sdcdmcm@126.com/QQ: 1072736595.
1
习题 2.4
4. 直接验证(E − A)(E + A + A2 + · · · + Ak−1 ) = E . 注: :::::::::::::: 要牢记此一结论. 7. 直接验证. 注: :::::::::::::: 要牢记此一结论. 8. ABA−1 = BA−1 +3E ⇒ ABA−1 − BA−1 = 3E ⇒ (A − E )BA−1 = 3E ⇒ B = (A − E )−1 · 3E · A =
1 1 ∗ ∗ −1 = |A |A| A · A = E ⇒ (A ) | A. 1 −1 1 1 −1 ∗ ∗ ∗ |(3A) − 2A | = | 3 A − 2A | = | 3 · |A| A − 2A∗ | ∗ ∗ 2 1 ∗ ∗ |A| A , |A |
5. A2 − 2A − 4E = O ⇒ A2 − 2A − 3E = E ⇒ (A + E )(A − 3E ) = E . 因此, (A + E )−1 = (A − 3E ).
3(A − E )−1 A = 3(A−1 (A − E ))−1 = 3(E − A−1 )−1 , 其中A−1 = 9. AA∗ = |A|E ⇒ 10.
= |A|n−1 (n = 4).
4 3 4 3 16 ∗ ∗ 2 = |− 4 3 A | = (− 3 ) |A | = (− 3 ) |A| = − 27 .
11. |BA | = |B | · |A | = (−|A|) · |A| .
12.(3)利用“初等变换和初等方阵”解此题将较为简捷(见§2.6).
习 题2.5
2.(1)利用结论:
[
= . O B O B −1 注: :::::::::::::: 要牢记此一结论. ] [ ]−1 [ O A O B −1 = . (2)利用结论: A−1 O B O 见《线性代数学习指导》P51例12. 注: :::::::::::::: 要牢记此一结论. 4. 将P 按 列 分 块 : P = (α1 , α2 , · · · , αn ), 则AP = P Λ ⇒ A(α1 , α2 , · · · , αn ) = (α1 , α2 , · · · , αn ) λ1 λ2 ⇒ (Aα1 , Aα2 , · · · , Aαn ) = (λ1 α1 , λ2 α2 , · · · , λn αn ) ⇒ Aαi = λi αi , i = 1, 2, · · · , n. .. . λ2 5. 见教材P109第9题、《线性代数学习指导》P55例20. 6. 仿教材例2.5.6.
A
O
]−1
[
A−1
O
]
习 题2.6
0 0 ··· 0 0 an a1 0 ··· 0 0 0 0 a2 ··· 0 0 0
. . 2.(4)(A.E ) =
··· ··· ··· ··· ··· ···
0 0 ··· an−2 0 0
0 0 ··· 0 an−1 0
. . . 1 . . . 0 . . . ··· . . . 0 . . . 0 . . . 0
0 1 ··· 0 0 0
0 0 ··· 0 0 0
··· ··· ··· ··· ··· ···
0 0 ··· 0 1 0 0 ··· 0 0 1 0
2
初等行变换 − − − − − − − − −→ an 0 0 ··· 0 0 0 a1 0 ··· 0 0 0 0 a2 ··· 0 0 0 0 1 ··· 0 0
··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ···
0 0 0 ··· an−2 0 0 0 0 ··· 1 0
0 0 0 ··· 0
0 1 1 0 0 0 初等行变换 − − − − − − − − −→ ··· ··· 0 0 0 0 注: 见教材P68第2.(2)题.
an−1 . 0 . . 0 . 1 0 . . a1 . 0 . . 0 . ··· . . ··· . 0 . . 0 . 1 . . 0
. . . 0 . . . 1 . . . 0 . . . ··· . . . 0 . . . 0 0 0
1 a2
0 0 1 ··· 0 0 0 0 0 ··· 0 0
0 0 0 ··· 0 0 ··· ··· ··· ··· ··· ···
··· ··· ··· ··· ··· ··· 0 0 0 ··· 0
1 an−1
0 0 0 ··· 0 1
1 an
0 0 ··· 0 0 . −1 = (E . .A ). 1 0 0
1
0 0 ··· 0 0 0 0
··· 0 0
1
−1 −1 −1 −1 3. AP1 = B, P2 B = E ⇒ P2 AP1 = E ⇒ A = P2 EP1 = P2 P1 = −1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 −1 −1 −1 −1 = − 1 0 1 , 其中P1 , P2 由“初等方阵的逆矩阵”得到, P1 P2 由“初等变换和初等方阵之间 0 1 0 的关系”得到. 注: ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 求逆矩阵、矩阵的乘法等问题如能利用“初等变换和初等方阵”解决,::::::::::::::: 就不要直接计算.
习 题2.7
1 2 3 1 1
3 k − 1 15 (阶梯形矩阵). 0 1 0 0 1 2 3 1 0 1 1 3 显然, k = 1. 此时, A → 0 0 0 1 , r(A) = 3. 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 3 0 0 0 3. 直接计算: A2 = 0 0 0 0 , A = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4. 因|B | = 10 ̸= 0 ⇒ B 可逆, 故r(AB ) = r(A) = 2.
0 1 初等行变换 2. A − − − − − − − − −→ 0 0 0 0 0 0
1
0 , 故r(A) = 1. 0 0
3
习题2
1.(1)伴随矩阵法; 初等行变换法; 利用结论: (2)利用教材P60第7题的结论. A11
[
O B
A O
]−1 =
[
O A−1
B −1 O −a21 −a22 −a23
] .
(4)Aij + aij = 0 ⇒ Aij = −aij ⇒ A12 A22 A13 A23 ∗ T 2 |A | = | − A | ⇒ |A| = −|A| ⇒ |A| = 0或 − 1. O, 不妨设a11 ̸= 0), 故|A| = −1.
A21
A31
A32 = −a12 A33 −a13
Aij =−aij
−a11
−a31
∗ T −a32 ⇒ A = −A ⇒ −a33
2 2 将|A|按第一行展开, 得|A| = a11 A11 + a12 A12 + a13 A13 = = = = = = = = −a 2 11 − a12 − a13 < 0(由A ̸=
注: 本题选自2013年考研数学三真题, 其考点同教材P83第2.(6)题、《线性代数学习指导》P52 例15. (5)利用初等变换与初等方阵之间的关系. 2.(1)利用教材P60第4题的结论.
2 A3 = O ⇒ (E − A)( E + A + A2 ) = E ; (−A)3 = O ⇒ (E + A)(E − A + A ) = E. a31 a32 a33 a a22 a23 交换1,2行 21 第3列的k倍加到第2列 交换1,3行 (2)因A − − − − − − − −→ a21 a22 a23 − − − − − − − −→ a31 a32 a33 − − − − − − − − − − − − − − − −→ B , −
a11 a12 a13 a11 a12 a13 故由初等变换与初等方阵之间的关系知, E (1, 2)E (1, 3)AE (2, 3(k )) = B . 又E (1, 2)E (1, 3) = P1 (不要直接计算, 要利用初等变换与初等方阵之间的关系来计算), E (2, 3(k )) =
−1 −1 P2 , 故P1 AP2 = B ⇒ A = P1 BP2 .
(4)A(BC ) = E ⇒ BCA = E, (AB )C = E ⇒ CAB = E . (6)仿教材P82第1.(4)题. 3. 见《线性代数学习指导》P48例6. 4. 当r(A) = n时, |A∗ | = |A|n−1 ̸= 0 ⇒ r(A∗ ) = n. 当r(A) < n − 1时, A中不存在非零的n − 1阶子式, 故A中所有元素的代数余子式均为0, 即A∗ = O, 当 然r(A∗ ) = 0. 注: 要牢记结论: r(A∗ ) = n, r(A) = n
1, r(A) = n − 1 . 0, r(A) ≤ n − 2 结论中第二种情况“r(A) = n − 1 ⇒ r(A∗ ) = 1”的证明: 一方面, 当r(A) = n − 1时, A中至少存在一个非零的n − 1阶子式, 故A中至少有一个元素的代数余子 式不为0, 即A∗ ̸= O, 当然r(A∗ ) ≥ 1. 另一方面, 当r(A) = n − 1时, AA∗ = |A|E = 0E = O. 再由教材P133例4.4.3的结论知, r(A)+ r(A∗ ) ≤ n ⇒ r(A∗ ) ≤ 1. 综上, 有r(A∗ ) = 1. O A 取前m行 5. = = = = = = = = = = = |A| · (−1)(1+2+···+m)+[(n+1)+(n+2)+···+(n+m)] |B | = |A| · (−1)mn |B |, B O Laplace定理 O 3B 2A O = |2A| · (−1)mn |3B | = 2m |A| · (−1)mn 3n |B |. A O = |A| · |B |, O A = (−1)mn |A| · |B |.
山东财经大学 数学院 王继强∗
说明 : ::::::::::::::::::::::::::::: 本解答仅为同学们解 题时 参考 使用 , :::::::::::: 切 勿 照 抄 照 搬 ,:::::::::::::: 否则有悖我心。
2013.10.18
第 2章 矩 阵
习题 2.1
略.
习 题 2.2
5.(1)待定系数法. 仿教材例2.2.6. (2)见《线性代数学习指导》P45例2. 6.(1)直接计算. (2)先计算A , A , 猜测A =
2 3 n
(
1 0
3n 1
) , 再用数学归纳法证明.
(3)要牢记此一结论 . :::::::::::::: (4)直接计算. (5)直接计算得, A = 4E, A = 4A, A = 4 E . 因此, A =
2 3 4 2 n
{
2n E, 2
n −1
n为偶数
A, n为奇数
.
(6)见《线性代数学习指导》P47例5. 7. A2 的第k 行l列的元素= A的第k 行· A的第l列 n ∑ = ak1 a1l + ak2 a2l + · · · + akn anl = aki bil . AAT 的第k 行l列的元素= A的第k 行· AT 的第l列= A的第k 行· A的第l行 n ∑ = ak1 al1 + ak2 al2 + · · · + akn aln = aki bli . AT A的第k 行l列的元素= AT 的第k 行· A的第l列= A的第k 列· A的第l列 n ∑ = a1k a1l + a2k a2l + · · · + ank anl = aik bil .
i=1 i=1 i=1
注: :::::::::::::::::::::::::::::::::: 要牢记矩阵乘法的口诀“前行乘后列”.
习题 2.3
4. aij = −aji = =⇒ aii = 0. 5. 见《线性代数学习指导》P46例4.
∗ Email:
i=j
wangjq@sdufe.edu.cn; sdcdmcm@126.com/QQ: 1072736595.
1
习题 2.4
4. 直接验证(E − A)(E + A + A2 + · · · + Ak−1 ) = E . 注: :::::::::::::: 要牢记此一结论. 7. 直接验证. 注: :::::::::::::: 要牢记此一结论. 8. ABA−1 = BA−1 +3E ⇒ ABA−1 − BA−1 = 3E ⇒ (A − E )BA−1 = 3E ⇒ B = (A − E )−1 · 3E · A =
1 1 ∗ ∗ −1 = |A |A| A · A = E ⇒ (A ) | A. 1 −1 1 1 −1 ∗ ∗ ∗ |(3A) − 2A | = | 3 A − 2A | = | 3 · |A| A − 2A∗ | ∗ ∗ 2 1 ∗ ∗ |A| A , |A |
5. A2 − 2A − 4E = O ⇒ A2 − 2A − 3E = E ⇒ (A + E )(A − 3E ) = E . 因此, (A + E )−1 = (A − 3E ).
3(A − E )−1 A = 3(A−1 (A − E ))−1 = 3(E − A−1 )−1 , 其中A−1 = 9. AA∗ = |A|E ⇒ 10.
= |A|n−1 (n = 4).
4 3 4 3 16 ∗ ∗ 2 = |− 4 3 A | = (− 3 ) |A | = (− 3 ) |A| = − 27 .
11. |BA | = |B | · |A | = (−|A|) · |A| .
12.(3)利用“初等变换和初等方阵”解此题将较为简捷(见§2.6).
习 题2.5
2.(1)利用结论:
[
= . O B O B −1 注: :::::::::::::: 要牢记此一结论. ] [ ]−1 [ O A O B −1 = . (2)利用结论: A−1 O B O 见《线性代数学习指导》P51例12. 注: :::::::::::::: 要牢记此一结论. 4. 将P 按 列 分 块 : P = (α1 , α2 , · · · , αn ), 则AP = P Λ ⇒ A(α1 , α2 , · · · , αn ) = (α1 , α2 , · · · , αn ) λ1 λ2 ⇒ (Aα1 , Aα2 , · · · , Aαn ) = (λ1 α1 , λ2 α2 , · · · , λn αn ) ⇒ Aαi = λi αi , i = 1, 2, · · · , n. .. . λ2 5. 见教材P109第9题、《线性代数学习指导》P55例20. 6. 仿教材例2.5.6.
A
O
]−1
[
A−1
O
]
习 题2.6
0 0 ··· 0 0 an a1 0 ··· 0 0 0 0 a2 ··· 0 0 0
. . 2.(4)(A.E ) =
··· ··· ··· ··· ··· ···
0 0 ··· an−2 0 0
0 0 ··· 0 an−1 0
. . . 1 . . . 0 . . . ··· . . . 0 . . . 0 . . . 0
0 1 ··· 0 0 0
0 0 ··· 0 0 0
··· ··· ··· ··· ··· ···
0 0 ··· 0 1 0 0 ··· 0 0 1 0
2
初等行变换 − − − − − − − − −→ an 0 0 ··· 0 0 0 a1 0 ··· 0 0 0 0 a2 ··· 0 0 0 0 1 ··· 0 0
··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ···
0 0 0 ··· an−2 0 0 0 0 ··· 1 0
0 0 0 ··· 0
0 1 1 0 0 0 初等行变换 − − − − − − − − −→ ··· ··· 0 0 0 0 注: 见教材P68第2.(2)题.
an−1 . 0 . . 0 . 1 0 . . a1 . 0 . . 0 . ··· . . ··· . 0 . . 0 . 1 . . 0
. . . 0 . . . 1 . . . 0 . . . ··· . . . 0 . . . 0 0 0
1 a2
0 0 1 ··· 0 0 0 0 0 ··· 0 0
0 0 0 ··· 0 0 ··· ··· ··· ··· ··· ···
··· ··· ··· ··· ··· ··· 0 0 0 ··· 0
1 an−1
0 0 0 ··· 0 1
1 an
0 0 ··· 0 0 . −1 = (E . .A ). 1 0 0
1
0 0 ··· 0 0 0 0
··· 0 0
1
−1 −1 −1 −1 3. AP1 = B, P2 B = E ⇒ P2 AP1 = E ⇒ A = P2 EP1 = P2 P1 = −1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 −1 −1 −1 −1 = − 1 0 1 , 其中P1 , P2 由“初等方阵的逆矩阵”得到, P1 P2 由“初等变换和初等方阵之间 0 1 0 的关系”得到. 注: ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 求逆矩阵、矩阵的乘法等问题如能利用“初等变换和初等方阵”解决,::::::::::::::: 就不要直接计算.
习 题2.7
1 2 3 1 1
3 k − 1 15 (阶梯形矩阵). 0 1 0 0 1 2 3 1 0 1 1 3 显然, k = 1. 此时, A → 0 0 0 1 , r(A) = 3. 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 3 0 0 0 3. 直接计算: A2 = 0 0 0 0 , A = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4. 因|B | = 10 ̸= 0 ⇒ B 可逆, 故r(AB ) = r(A) = 2.
0 1 初等行变换 2. A − − − − − − − − −→ 0 0 0 0 0 0
1
0 , 故r(A) = 1. 0 0
3
习题2
1.(1)伴随矩阵法; 初等行变换法; 利用结论: (2)利用教材P60第7题的结论. A11
[
O B
A O
]−1 =
[
O A−1
B −1 O −a21 −a22 −a23
] .
(4)Aij + aij = 0 ⇒ Aij = −aij ⇒ A12 A22 A13 A23 ∗ T 2 |A | = | − A | ⇒ |A| = −|A| ⇒ |A| = 0或 − 1. O, 不妨设a11 ̸= 0), 故|A| = −1.
A21
A31
A32 = −a12 A33 −a13
Aij =−aij
−a11
−a31
∗ T −a32 ⇒ A = −A ⇒ −a33
2 2 将|A|按第一行展开, 得|A| = a11 A11 + a12 A12 + a13 A13 = = = = = = = = −a 2 11 − a12 − a13 < 0(由A ̸=
注: 本题选自2013年考研数学三真题, 其考点同教材P83第2.(6)题、《线性代数学习指导》P52 例15. (5)利用初等变换与初等方阵之间的关系. 2.(1)利用教材P60第4题的结论.
2 A3 = O ⇒ (E − A)( E + A + A2 ) = E ; (−A)3 = O ⇒ (E + A)(E − A + A ) = E. a31 a32 a33 a a22 a23 交换1,2行 21 第3列的k倍加到第2列 交换1,3行 (2)因A − − − − − − − −→ a21 a22 a23 − − − − − − − −→ a31 a32 a33 − − − − − − − − − − − − − − − −→ B , −
a11 a12 a13 a11 a12 a13 故由初等变换与初等方阵之间的关系知, E (1, 2)E (1, 3)AE (2, 3(k )) = B . 又E (1, 2)E (1, 3) = P1 (不要直接计算, 要利用初等变换与初等方阵之间的关系来计算), E (2, 3(k )) =
−1 −1 P2 , 故P1 AP2 = B ⇒ A = P1 BP2 .
(4)A(BC ) = E ⇒ BCA = E, (AB )C = E ⇒ CAB = E . (6)仿教材P82第1.(4)题. 3. 见《线性代数学习指导》P48例6. 4. 当r(A) = n时, |A∗ | = |A|n−1 ̸= 0 ⇒ r(A∗ ) = n. 当r(A) < n − 1时, A中不存在非零的n − 1阶子式, 故A中所有元素的代数余子式均为0, 即A∗ = O, 当 然r(A∗ ) = 0. 注: 要牢记结论: r(A∗ ) = n, r(A) = n
1, r(A) = n − 1 . 0, r(A) ≤ n − 2 结论中第二种情况“r(A) = n − 1 ⇒ r(A∗ ) = 1”的证明: 一方面, 当r(A) = n − 1时, A中至少存在一个非零的n − 1阶子式, 故A中至少有一个元素的代数余子 式不为0, 即A∗ ̸= O, 当然r(A∗ ) ≥ 1. 另一方面, 当r(A) = n − 1时, AA∗ = |A|E = 0E = O. 再由教材P133例4.4.3的结论知, r(A)+ r(A∗ ) ≤ n ⇒ r(A∗ ) ≤ 1. 综上, 有r(A∗ ) = 1. O A 取前m行 5. = = = = = = = = = = = |A| · (−1)(1+2+···+m)+[(n+1)+(n+2)+···+(n+m)] |B | = |A| · (−1)mn |B |, B O Laplace定理 O 3B 2A O = |2A| · (−1)mn |3B | = 2m |A| · (−1)mn 3n |B |. A O = |A| · |B |, O A = (−1)mn |A| · |B |.