第17讲 非均匀加宽、爱因斯坦三种辐射系数的修正

( )
0 2
g D (ν ,ν 0 ) – 从线型函数的定义 可知多普勒加宽的线型函 数就是原子数按中心频率的分布函数： 数就是原子数按中心频率的分布函数： g (ν ,ν )
g D (ν ,ν 0 ) = P (ν ) / P
( )
21
0
21 2
D
(
0
0
)
c m 2 g D (ν ,ν 0 ) = e ν 0 2π KT
1 − Vz / c
=
ν 0 (1 + Vz / c )
1 − (Vz / c )
2
≈ ν 0 (1 + Vz / c )
17.1 非均匀加宽
• 2、原子数按中心频率的分布
– 考虑含有大量原子的气体工作物质，由于无规则的热 考虑含有大量原子的气体工作物质， 运动， 运动，各个原子具有不同大小和不同方向的热运动速 度。 – 根据分子运动论，其热运动速度服从麦克斯韦统计分 根据分子运动论， 布规律，即在温度T的热平衡状态下，单位体积内Z 布规律，即在温度T的热平衡状态下，单位体积内Z方 向速度V 内的原子数： 向速度Vz~Vz+dVz内的原子数： 2 1
• 考虑E2和E1能级上的原子数n2和n1： 考虑E 能级上的原子数n
ν 0 ' = ν 0 (1 + Vz / c )
mc 2 1 − (ν 0 ' −ν 0 )2 c m 2 2 KTν 02 dn2 (ν 0 ' ) = n2 (ν 0 ') dν 0 ' = n2 e dν 0 ' ν 0 2π KT mc 2 1 − (ν 0 ' −ν 0 )2 2 2 c m 2 KTν 0 e dν 0 ' dn1 (ν 0 ' ) = n1 (ν 0 ') dν 0 ' = n1 ν 0 2π KT
– 由于均匀加宽，这部分原子将发出ν的自发辐射，对P(ν)dν的 由于均匀加宽，这部分原子将发出ν的自发辐射， )dν 贡献为： 贡献为：hν n2 g D (ν 0 ',ν 0 ) dν 0 ' A21 g H (ν ,ν 0 ') dν
处于ν 附近的原子数 处于 0’附近的原子数 均匀加宽线型
– 则整个频域中不同表观中心频率ν0’的高能级原子对整个频域内 则整个频域中不同表观中心频率ν 的功率的贡献为： 的功率的贡献为：
ν
பைடு நூலகம்
17.1 非均匀加宽
• 当原子沿z方向以Vz运动时，相当于假想光源沿着远离原 当原子沿z方向以V 运动时， ν 子运动，于是原子感受到的光波频率为： ' = ν 1 − Vz / c 子运动，于是原子感受到的光波频率为： • 只有当ν’=ν0而不是ν=ν0，才有最大的共振相互作用： 只有当ν’=ν 而不是ν=ν 才有最大的共振相互作用：
P (ν ) dν = dν ∫ hν n2 g D (ν 0 ',ν 0 ) A21 g H (ν ,ν 0 ') dν 0 '
−∞
∞
17.1 非均匀加宽
• 在谱线范围内有 ν ≈ ν 0 ，可以将hν用hν0来代替： 可以将hν用 来代替： • 按定义：综合加宽线型函数：g (ν ,ν 0 ) = ∫−∞ g D (ν 0 ',ν 0 ) g H (ν ,ν 0 ') dν 0 ' 按定义：综合加宽线型函数： • A、当 ∆ν H << ∆ν D 时，上式只在ν 0 ' ≈ ν 附近才有非零值： 附近才有非零值：
m 2 − mVz dn (Vz ) = n (Vz ) dVz = n e 2 KT dVz 2π KT
– K为波尔兹曼常数，T为绝对温度，n为单位体积内原 为波尔兹曼常数， 为绝对温度， 子数， 为原子质量， 为原子数分布。 子数，m为原子质量，n(Vz)为原子数分布。
17.1 非均匀加宽
n2、n1 按中心频 率的分布
17.1 非均匀加宽
• 令 g D (ν 0 ',ν 0 ) = n2 (ν 0 ') = n1 (ν 0 ') n2 n1 • 则：
n2 (ν 0 ' ) = n2 g D (ν 0 ',ν 0 ) n1 (ν 0 ') = n1 g D (ν 0 ',ν 0 )
g (ν ,ν 0 ) = g D (ν ,ν 0 ) ∫ g H (ν ,ν 0 ') dν 0 ' = g D (ν ,ν 0 )
−∞ ∞
P (ν ) = hν 0 n2 A21 ∫ g D (ν 0 ',ν 0 ) g H (ν ,ν 0 ') dν 0 '
−∞ ∞
∞
• 表明只有表观中心频率ν0’=ν的部分原子才对谱线中的频 表明只有表观中心频率ν =ν的部分原子才对谱线中的频 率为ν的部分有贡献。 率为ν的部分有贡献。 g • B、当 ∆ν D << ∆ν H 时， (ν ,ν 0 ) = g H (ν ,ν 0 ) ，即n2个原子近似 有同一个表观中心频率ν 有同一个表观中心频率ν0，每个原子都以均匀加宽谱线发 射。
激光原理与技术· 激光原理与技术·原理部分
第17讲 17讲 非均匀加宽、 非均匀加宽、爱因斯坦三种辐射系 数的修正
17.1 非均匀加宽
• 1、多普勒效应
– 一个发光原子的发射谱线中心频率为ν0，当原子相对 一个发光原子的发射谱线中心频率为ν 于接收器静止时，接收器测到的光波频率为ν 于接收器静止时，接收器测到的光波频率为ν0； –当原子相对于接收器以Vz速度运动时，接收到的光波 当原子相对于接收器以V 速度运动时， 1 + Vz / c 频率为： 频率为： ν =ν0 1 − Vz / c –当Vz<<c，对上式级数展开并取一级近似有： <<c，对上式级数展开并取一级近似有：
v ≈ v0 (1 + Vz / c )
–式中规定当光源朝着接收器运动，即沿着光传播方向 式中规定当光源朝着接收器运动， 运动时， >0；反之V <0； 运动时，Vz>0；反之Vz<0；
17.1 非均匀加宽
• 在激光器中，讨论的问题是原 在激光器中， 子与光场的相互作用， 子与光场的相互作用，因此考 虑中心频率为ν 虑中心频率为ν0的运动原子和 频率为ν的单色光场相互作用。 频率为ν的单色光场相互作用。 • 当原子相对静止时，感受到的 当原子相对静止时， 光频率为ν 光频率为ν，当ν=ν0时原子与 光场有最大的共振相互作用， 光场有最大的共振相互作用， 即原子的中心频率为ν 即原子的中心频率为ν0。
17.1 非均匀加宽
• 2、固体
– 固体的综合加宽成因较复杂， 固体的综合加宽成因较复杂， 没有完整的理论描述， 没有完整的理论描述，多是采 用实测结果。 用实测结果。 – 在低温时，主要表现为晶格缺 在低温时， 属于非均匀加宽； 陷，属于非均匀加宽； – 在高温时，主要表现为晶格热 在高温时， 振动，属于均匀加宽； 振动，属于均匀加宽； – 红宝石晶体中非均匀加宽为主， 红宝石晶体中非均匀加宽为主， Nd：YAG中均匀加宽为主。 Nd：YAG中均匀加宽为主 中均匀加宽为主。
17.1 非均匀加宽
• 综合加宽指的是由均匀加宽和非均匀加宽共同作用引起的 原子发射谱线加宽现象。 原子发射谱线加宽现象。 • 1、气体 – 自发辐射总功率：P = hν n2 A21 自发辐射总功率： n – 处于 ν 0 ' ~ ν 0 '+ dν 0 ' 之间的高能级原子数： 2 (ν 0 ') dν 0 ' = n2 g D (ν 0 ',ν 0 ) dν 0 ' 之间的高能级原子数：
ν0 '
17.1 非均匀加宽
• 3、多普勒加宽
P ν – 自发辐射的光功率为： = n2 A21h 0 自发辐射的光功率为： – 如果不考虑均匀加宽，每个原子自发辐射的频率ν精确等于原子 如果不考虑均匀加宽，每个原子自发辐射的频率ν 的中心频率ν 频率处在ν +dν 的中心频率ν0’。频率处在ν-ν+dν范围内的自发辐射光功率 为P ν dν = h n ν A dν = hν A n g ν ,ν dν ： ν
2 1 2 − mVz m 2 KT dn2 (Vz ) = n2 (Vz ) dVz = n2 dVz e 2π KT 2 1 2 − mVz m 2 KT dn1 (Vz ) = n1 (Vz ) dVz = n1 dVz e 2π KT
1
1 mc 2 − (ν −ν 0 )2 2 2 KTν 0
•
2 KT 2KT 2 ∆ • 其半宽度为： ν D = 2ν 0 2 ln 2 也称为多普勒线宽。 其半宽度为： 也称为多普勒线宽。 mc • 则线型函数： 则线型函数： ∞ ∫ g D (ν ,ν 0 )dν = 1 1 2
1
mc 2 − (ν −ν 0 )2 2 2 KTν 0
D
0
g D (ν 0 ,ν 0 ) / 2
– 该线型函数具有高斯函数的形式。 该线型函数具有高斯函数的形式。
ν0
∆ν D
ν
17.1 非均匀加宽
c m 2 g D (ν ,ν 0 ) = e ν 0 2π KT 1 c m 2 时有最大值： 当ν=ν0时有最大值：g D (ν 0 ,ν 0 ) = ν 0 2π KT
(
)
ν=
ν0
• 说明当 ν = ν 0 (1 + Vz / c ) 时，原子与光场才有最大相互作用。 原子与光场才有最大相互作用。 • 原子的中心频率本来是ν0，由于其存在z方向的运动，其 原子的中心频率本来是ν 由于其存在z方向的运动， 因此可以将ν记作ν 中心频率变为 ν = ν 0 (1 + Vz / c ) ，因此可以将ν记作ν0’， 它表示的是具有z方向运动速度为V 的原子的“ 它表示的是具有z方向运动速度为Vz的原子的“表观中心 频率” 频率”。
——即满足归一化条件
M为分子量
17.1 非均匀加宽
• 4、非均匀加宽
– 多普勒加宽属于非均匀加宽 – 不同的原子向不同的谱线发射，即不同的原子只对谱 不同的原子向不同的谱线发射， 线内与它的中心频率响应的部分有贡献； 线内与它的中心频率响应的部分有贡献； – 可以分辨出谱线上的某一频率范围是哪一部分原子发 出的。 出的。 – 需要注意的是在固体工作物质中，不存在多普勒加宽， 需要注意的是在固体工作物质中，不存在多普勒加宽， 但存在一系列引起非均匀加宽的其它物理因素（ 但存在一系列引起非均匀加宽的其它物理因素（如位 空位等晶格缺陷）。 错、空位等晶格缺陷）。 – 固体工作物质的非均匀加宽的线型函数一般很难从理 论上求出，只能由试验测定它的谱线宽度。 论上求出，只能由试验测定它的谱线宽度。
−∞ 4 ln 2 (ν −ν 0 ) 2 ln 2 2 gD = e− ∆ν D π ∆ν D 2 1 1 2 2 KT T 2 −7 ln 2 = 7.16 ×10 ν 0 ∆ν D = 2ν 0 2 mc M
g D (ν 0 ',ν 0 ) =
c m e ν 0 2π KT
2
1
mc 2 − (ν 0 ' −ν 0 )2 2 2 KTν 0
dn (ν 0 ')
• 这是原子数按照中心频率的分布规律。 这是原子数按照中心频率的分布规律。
ν 0 dν 0 '
mc 2 1 (ν 0 ' −ν 0 )2 2 − 2 dn2 (ν 0 ' ) = n2 (ν 0 ') dν 0 ' = n2 c m e 2 KTν 0 dν 0 ' ν 0 2π KT mc 2 1 (ν 0 ' −ν 0 )2 2 − 2 c m 2 KTν 0 e dν 0 ' dn1 (ν 0 ' ) = n1 (ν 0 ') dν 0 ' = n1 ν 0 2π KT n (ν 0 ' )