“华约”自主招生数学试题及解答(2010-2012)

2010年“华约”自主招生试题解析

一、选择题 1．设复数2

(

)1a i w i +=+，其中a 为实数，若w 的实部为2，则w 的虚部为（ ） （A ）32- （B ）12- （C ）12 （D ）3

2

2．设向量,a b ，满足||||1,==⋅=a b a b m ，则||+a tb ()t R ∈的最小值为（ ）

（A ）2 （B （C ）1 （D 3。缺

4。缺

5．在ABC ∆中，三边长,,a b c ，满足3a c b +=，则tan tan 22

A C

的值为（ ） （A ）

15 （B ）14 （C ）12 （D ）2

3

6．如图，ABC ∆的两条高线,AD BE 交于H ，其外接圆圆心为O ，过O 作OF 垂直BC 于F ，

OH 与AF 相交于G ，则OFG ∆与GAH ∆面积之比为（ ） （A ）1:4 （B ）1:3 （C ）2:5 （D ）1:2

7．设()e (0)ax

f x a =>．过点(,0)P a 且平行于y 轴的直线与曲线:()C y f x =的交点为Q ，曲线

C 过点Q 的切线交x 轴于点R ，则PQR ∆的面积的最小值是（ ）

（A ）1 （B ）2

（C ）e 2 （D ）2e 4

8．设双曲线2212:(2,0)4x y C k a k a -

=>>，椭圆22

22:14

x y C a +=．若2C 的短轴长与1C 的实轴长的比值等于2C 的离心率，则1C 在2C 的一条准线上截得线段的长为（ ）

（A ） （B ）2 （C ） （D ）4

9．欲将正六边形的各边和各条对角线都染为n 种颜色之一，使得以正六边形的任何3个顶点作为顶点的三角形有3种不同颜色的边，并且不同的三角形使用不同的3色组合，则n 的最小值为（ ） （A ）6 （B ）7 （C ）8 （D ）9

10．设定点A B C D 、、、是以O 点为中心的正四面体的顶点，用σ表示空间以直线OA 为轴满足条件()B C σ=的旋转，用τ表示空间关于OCD 所在平面的镜面反射，设l 为过AB 中点与CD 中点的直线，用ω表示空间以l 为轴的180°旋转．设στ 表示变换的复合，先作τ，再作σ。则ω可以表示为（ ） （A ）στστσ （B ）στστστ （C ）τστστ （D ）στσστσ

二、解答题 11．

在ABC ∆中，已知2

2sin

cos 212

A B

C ++=，外接圆半径2R =． （Ⅰ）求角C 的大小；

（Ⅱ）求ABC ∆面积的最大值． 12．

设A B C D 、、、为抛物线24x y =上不同的四点，,A D 关于该抛物线的对称轴对称，BC 平行于该抛

物线在点D 处的切线l ．设D 到直线AB ，直线AC 的距离分别为12,d d ，已知12d d +=．

（Ⅰ）判断ABC ∆是锐角三角形、直角三角形、钝角三角形中的哪一种三角形，并说明理由；

（Ⅱ）若ABC ∆的面积为240，求点A 的坐标及直线BC 的方程． 13．

（Ⅰ）正四棱锥的体积V =

，求正四棱锥的表面积的最小值； （Ⅱ）一般地，设正n 棱锥的体积V 为定值，试给出不依赖于n 的一个充分必要条件，使得正n 棱锥的表面积取得最小值． 14．

假定亲本总体中三种基因型式：,,AA Aa aa 的比例为:2:u v w (0,0,0,21)u v w u v w >>>++=且数量充分多，参与交配的亲本是该总体中随机的两个． （Ⅰ）求子一代中，三种基因型式的比例；

（Ⅱ）子二代的三种基因型式的比例与子一代的三种基因型式的比例相同吗？并说明理由． 15．

设函数()1x m f x x +=+，且存在函数()1(,0)2s t at b t a ϕ==+>≠，满足2121

()t s f t s

-+=．

（Ⅰ）证明：存在函数()(0),t s cs d s ψ==+>满足2121

()s t f s t +-=； （Ⅱ）设113,(),1,2,.n n x x f x n +=== 证明：11

23

n n x --≤．

2010年五校合作自主选拔通用基础测试数学参考答案

一、选择题

AD C ABDBD 二、解答题

11．解：（Ⅰ）由2

2sin

cos 212A B

C ++=得 22cos 1cos 2,2

C C -=- 所以2cos (2cos 1).C =-- 即2

2cos cos 10C C +-=

(2cos 1)(cos 1)0C C -+=

因为C 为ABC ∆内角 所cos 10C +≠，

1cos 2

C =， .3

C π=

（Ⅱ）2sin 4c R C === 又由余弦定理得2222cos ,c a b ab C =+-， 即2

2

12,a b ab =+-

又2

22,a b ab ab ab ab +-≥-=， 所以12.ab ≤

有1sin 122ABC S ab C =

=≤= ， 当且仅当a b =即ABC 为等边三角形时，

ABC 的面积取得最大值

12．解： （Ⅰ）设222001122111(,),(,),(,),444

A x x

B x x

C x x 则2001(,)4

D x x - 由'

12y x =

可知的斜率01,2

k x =- 因此可以设直线BC 方程为01

.2

y x x b =-+