历年江苏数学高考试卷

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江苏省南京市(新版)2024高考数学苏教版真题(巩固卷)完整试卷

江苏省南京市（新版）2024高考数学苏教版真题(巩固卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知复数，则（）A．B．C．D．第(2)题已知符号函数是上的增函数，，则A．B．C．D．第(3)题复数的共轭复数对应点的坐标为，则的虚部为（）A．B．C．D．第(4)题已知正方体以某直线为旋转轴旋转角后与自身重合，则不可能为（）A．B．C．D．第(5)题若变量，满足约束条件，则的最大值为A．B．C．D．第(6)题五行是华夏民族创造的哲学思想.多用于哲学、中医学和占卜方面.五行学说是华夏文明重要组成部分.古代先民认为，天下万物皆由五类元素组成，分别是金、木、水、火、土，彼此之间存在相生相克的关系.五行是指木、火、土、金、水五种物质的运动变化.所以，在中国，“五行”有悠久的历史渊源.下图是五行图，现有种颜色可供选择给五“行”涂色，要求五行相生不能用同一种颜色（例如木生火，木与火不能同色，水生木，水与木不能同色），五行相克可以用同一种颜色（例如火与水相克可以用同一种颜色），则不同的涂色方法种数有（）A．B．C．D．第(7)题倾斜角为的直线过抛物线的焦点F，与该抛物线交于点，且以为直径的圆与直线相切，则（）A．4B．C．D．第(8)题函数在上为单调递增函数，则的值可以为（）A．B．C．D．1二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题下列说法正确的是（）A．用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体m被抽到的概率是0.1B．已知一组数据1，2，3，3，4，5的众数等于中位数C．数据27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是21D．若一个样本容量为8的样本的平均数为5，方差为2.现样本中又加入一个新数据5，此时样本容量为9，平均数不变，方差为变小第(2)题关于函数，下列判断正确的是（）A．是的极小值点B．函数有且只有1个零点C．存在正实数k，使得恒成立D．对任意两个正实数，且，若，则第(3)题某人决定就近打车前往目的地前方开来三辆车，且车况分别为“好”“中”“差”他决定按如下两种方案打车．方案一：不乘第一辆车，若第二辆车好于第一辆车就乘此车，否则直接乘坐第三辆车：方案二：直接乘坐第一辆车．若三辆车开过来的先后次序等可能记方案一和方案二坐到车况为“好”的车的概率分别为，，则下列判断不正确的是（）A．B．C．，D．，三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题若数列的前n项和，，2，3，…，则满足的n的最大值为___________.第(2)题为了解某校今年准备报考飞行员学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图(如图)，已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1∶2∶3，其中第2小组的频数为12，则报考飞行员的总人数是________．第(3)题若对任意，存在实数，使得关于x的不等式成立，则实数的最小值为____________．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题在孟德尔遗传理论中，称遗传性状依赖的特定携带者为遗传因子，遗传因子总是成对出现，例如，豌豆携带这样一对遗传因子：使之开红花，使之开白花，两个因子的相互组合可以构成三种不同的遗传性状：为开红花，和一样不加区分为开粉色花，为开白色花，生物在繁衍后代的过程中，后代的每一对遗传因子都包含一个父本的遗传因子和一个母本的遗传因子，而因为生殖细胞是由分裂过程产生的，每一个上一代的遗传因子以的概率传给下一代，而且各代的遗传过程都是相互独立的，可以把第代的遗传设想为第次试验的结果，每一次试验就如同抛一枚均匀的硬币，比如对具有性状的父本来说，如果抛出正面就选择因子，如果抛出反面就选择因子，概率都是，对母本也一样，父本、母本各自随机选择得到的遗传因子再配对形成子代的遗传性状，假设三种遗传性状，（或），在父本和母本中以同样的比例出现，则在随机杂交试验中，遗传因子被选中的概率是，遗传因子被选中的概率是，称、分别为父本和母本中遗传因子和的频率，实际上是父本和母本中两个遗传因子的个数之比，基于以上常识回答以下问题：（1）如果植物的上代父本、母本的遗传性状都是，后代遗传性状为，（或），的概率分别是多少？（2）对某一植物，经过实验观察发现遗传性状具有重大缺陷，可人工剔除，从而使得父本和母本中仅有遗传性状为，（或）的个体，在进行第一代杂交实验时，假设遗传因子被选中的概率为，被选中的概率为，其中、为定值且，求杂交所得子代的三种遗传性状，（或），所占的比例，，；（3）继续对（2）中的植物进行杂交实验，每次杂交前都需要剔除的个体.假设得到的第代总体中3种遗传性状，（或），所占的比例分别为：，，，设第代遗传因子和的频率分别为和，已知有以下公式，，（ⅰ）证明是等差数列；（ⅱ）求，，的通项公式，如果这种剔除某种遗传性状的随机杂交实验长期进行下去，会有什么现象发生？第(2)题已知正项数列的前项和为，满足．（1）求数列的通项公式；（2）已知对于，不等式恒成立，求实数的最小值；第(3)题近年来我国电子商务行业迎来蓬勃发展的新机遇，特别在疫情期间，电子商务更被群众广泛认可，2020年双11期间，某平台的销售业绩高达3568亿人民币.与此同时，相关管理部门也推出了针对电商的商品和服务评价体系，现从评价系统中随机选出200次成功的交易，并对其评价结果进行统计，对商品的好评率为，对服务的好评率为，其中对商品和服务都作出好评的交易为80次.（1）是否可以在犯错误概率不超过0.1%的前提下，认为商品和服务的好评率有关？（2）若针对商品的好评率，采用分层抽样的方式从这200次交易中取出5次交易，并从中选择两次交易进行客户回访，求只有一次好评的概率.0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.072 2.7063.841 5.024 6.6357.87910.828（，其中n＝a＋b＋c＋d）第(4)题如图，三棱锥中，，为等边三角形，为上的一个动点.(1)证明：平面平面；(2)当时，求二面角的余弦值.第(5)题已知．（1）若，解不等式；（2）若不等式无解，求实数a的取值范围．。

十年高考分类江苏高考数学试卷精校版含详解6数列部分

，
，则的值是
．
8. 设数列满足
，且
，则数列前项的和为
．
9. 等比数列的各项均为实数，其前项为，已知
，
，则
．
10. 将全体正整数排成一个三角形数阵：
按照以上排列的规律，数阵中第行
从左至右的第个数为
．
11. 设是公比为的等比数列，
，令
在集合
中，则
．
，若数列有连续四项
12. 函数，则
十年高考分类江苏高考数学试卷精校版含详解 6 数列部分
一、选择题（共 2 小题；共 10 分）
1. 在各项都为正数的等比数列
A.
B.
中，首项
，前三项和为，则
C.
D.
2. 已知方程
的四个根组成一个首项为的等差数列，则
A.
B.
C.
D.
二、填空题（共 12 小题；共 60 分）
3. 已知是等差数列，是其前项和．若
，那么第行的第个数为
．
11. 【解析】提示：数列
中的连续四项是
12.
【解析】因为切线的斜率为
，，，．，所以切线方程为
，与
轴的交点坐标为数列，所以
，即．
，所以数列是以
为首项，为公比的等比
第 4 页（共 14 页）
13. 【解析】首先由已知条件求出
的公比与首项，然后根据求和公式和通项公式将不等式的两边求出，
．
第三部分
15. （1）设等差数列首项为，公差为，则
，
则
所以等差数列是“ 数列”．
（2）由数列是“ 数列”则当
数列是“ 数列”当

高考江苏数学试题及答案(word解析版)

普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ参考公式：圆柱的体积公式：V sh =圆柱，其中s 为圆柱的表面积，h 为高．圆柱的侧面积公式：=S cl 圆柱，其中c 是圆柱底面的周长，l 为母线长．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．．（1）【2014年江苏，1，5分】已知集合{2134}A =--，，，，{123}B =-，，，则A B =_______．【答案】{13}-，【解析】由题意得{1,3}A B =-．（2）【2014年江苏，2，5分】已知复数2(52i)z =+(i 为虚数单位)，则z 的实部为_______．【答案】21【解析】由题意22(52i)25252i (2i)2120i z =+=+⨯⨯+=+，其实部为21．（3）【2014年江苏，3，5分】右图是一个算法流程图，则输出的n 的值是_______．【答案】5【解析】本题实质上就是求不等式220n >的最小整数解．220n >整数解为5n ≥，因此输出的5n =．（4）【2014年江苏，4，5分】从1236，，，这4个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是_______．【答案】13【解析】从1,2,3,6这4个数中任取2个数共有246C =种取法，其中乘积为6的有1,6和2,3两种取法，因此所求概率为2163P ==．（5）【2014年江苏，5，5分】已知函数cos y x =与sin(2)(0)y x ϕϕ=+<π≤，它们的图象有一个横坐标为3π的交点，则ϕ的值是_______．【答案】6π【解析】由题意cossin(2)33ππϕ=⨯+，即21sin()32πϕ+=，2(1)36k k ππϕπ+=+-⋅，()k Z ∈，因为0ϕπ≤<，所以6πϕ=．（6）【2014年江苏，6，5分】为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长（单位：cm ），所得数据均在区间[80130]，上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有株树木的底部周长小于100 cm ．【答案】24【解析】由题意在抽测的60株树木中，底部周长小于100cm 的株数为(0.0150.025)106024+⨯⨯=．（7）【2014年江苏，7，5分】在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若21a =，8642a a a =+，则6a 的值是________．【答案】4【解析】设公比为q ，因为21a =，则由8642a a a =+得6422q q a =+，4220q q --=，解得22q =，所以4624a a q ==．（8）【2014年江苏，8，5分】设甲、乙两个圆柱的底面积分别为12S S ，，体积分别为12V V ，，若它们的侧面积相等，且1294S S =，则12VV 的值是_______．【答案】32【解析】设甲、乙两个圆柱的底面和高分别为11r h 、，22r h 、，则112222r h r h ππ=，1221h r h r =，又21122294S r S r ππ==，所以1232r r =，则222111111212222222221232V r h r h r r r V r h r h r r r ππ==⋅=⋅==．（9）【2014年江苏，9，5分】在平面直角坐标系xOy 中，直线230x y +-=被圆22(2)(1)4x y -++=截得的弦长为________．【答案】255【解析】圆22(2)(1)4x y -++=的圆心为(2,1)C -，半径为2r =，点C 到直线230x y +-=的距离为2222(1)3512d +⨯--==+，所求弦长为2292552245l r d =-=-=．（10）【2014年江苏，10，5分】已知函数2()1f x x mx =+-，若对任意[1]x m m ∈+，，都有()0f x <成立，则实数m 的取值范围是________．【答案】20⎛⎫- ⎪⎝⎭，【解析】据题意222()10(1)(1)(1)10f m m m f m m m m ⎧=+-<⎪⎨+=+++-<⎪⎩，解得20m -<<．（11）【2014年江苏，11，5分】在平面直角坐标系xOy 中，若曲线2b y ax x=+(a b ，为常数)过点(25)P -，，且该曲线在点P 处的切线与直线7230x y ++=平行，则a b +的值是________．【答案】3-【解析】曲线2b y ax x =+过点(2,5)P -，则452b a +=-①，又2'2b y ax x =-，所以7442b a -=-②，由①②解得11a b =-⎧⎨=-⎩，所以2a b +=-．（12）【2014年江苏，12，5分】如图，在平行四边形ABCD 中，已知，85AB AD ==，，32CP PD AP BP =⋅=，，则AB AD ⋅的值是________．【答案】22【解析】由题意，14AP AD DP AD AB =+=+，3344BP BC CP BC CD AD AB =+=+=-，所以13()()44AP BP AD AB AD AB ⋅=+⋅-2213216AD AD AB AB =-⋅-，即1322564216AD AB =-⋅-⨯，解得22AD AB ⋅=．（13）【2014年江苏，13，5分】已知()f x 是定义在R 上且周期为3的函数，当[03)x ∈，时，21()22f x x x =-+．若函数()y f x a =-在区间[34]-，上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是________．【答案】()102，【解析】作出函数21()2,[0,3)2f x x x x =-+∈的图象，可见1(0)2f =，当1x =时，1()2f x =极大， 7(3)2f =，方程()0f x a -=在[3,4]x ∈-上有10个零点，即函数()y f x =和图象与直线 y a =在[3,4]-上有10个交点，由于函数()f x 的周期为3，因此直线y a =与函数 21()2,[0,3)2f x x x x =-+∈的应该是4个交点，则有1(0,)2a ∈．（14）【2014年江苏，14，5分】若ABC ∆的内角满足sin 2sin 2sin A B C +=，则cos C 的最小值是_______．【答案】62-【解析】由已知sin 22sin A B C =及正弦定理可得22a b c =，2222222()2cos 22a b a b a b cC ab ab++-+-==223222262262a b ab ab ab +---=，当且仅当2232a b =，即23a b =所以cos C 62- 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．（15）【2014年江苏，15，14分】已知()2απ∈π，，5sin α=．（1）求()sin 4απ+的值；（2）求()cos 26α5π-的值．解：（1）∵()5sin 2ααπ∈π，，，∴225cos 1sin αα=--=， ()210sin sin cos cos sin sin )444αααααπππ+=+=+=．（2）∵2243sin 22sin cos cos 2cos sin 55αααααα==-=-=，， ∴()()3314334cos 2cos cos2sin sin 2666525ααα5π5π5π+-=+=+⨯-=．（16）【2014年江苏，16，14分】如图，在三棱锥P ABC -中，D E F ，，分别为棱PC AC AB ，，的中点．已知6PA AC PA ⊥=，，8BC =，5DF =．（1）求证：直线P A ∥平面DEF ；（2）平面BDE ⊥平面ABC ．解：（1）∵D E ，为PC AC ，中点∴DE ∥P A ∵PA ⊄平面DEF ，DE ⊂平面DEF ∴P A ∥平面DEF ．（2）∵D E ，为PC AC ，中点，∴132DE PA ==∵E F ，为AC AB ，中点，∴142EF BC ==，∴222DE EF DF +=，∴90DEF ∠=°，∴DE ⊥EF ，∵//DE PA PA AC ⊥，，∴DE AC ⊥， ∵AC EF E =，∴DE ⊥平面ABC ，∵DE ⊂平面BDE ，∴平面BDE ⊥平面ABC ．（17）【2014年江苏，17，14分】如图，在平面直角坐标系xOy 中，12F F ，分别是椭圆22221(0)y x a b a b +=>>的左、右焦点，顶点B 的坐标为(0)b ，，连结2BF 并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连结1FC ．（1）若点C 的坐标为()4133，，且22BF = （2）若1FC AB ⊥，求椭圆离心率e 的值．解：（1）∵()4133C ，，∴22161999a b+=，∵22222BF b c a =+=，∴22(2)2a ==，∴21b =，∴椭圆方程为2212x y +=．（2）设焦点12(0)(0)()F c F c C x y -，，，，，，∵A C ，关于x 轴对称，∴()A x y -，，∵2B F A ，，三点共线，∴b yb c x +=--，即0bx cy bc --=①∵1FC AB ⊥，∴1yb xc c⋅=-+-，即20xc by c -+=②①②联立方程组，解得2222222ca x b c bc y b c ⎧=⎪-⎨⎪=-⎩ ∴()2222222a c bc C b c b c --， C 在椭圆上，∴()()222222222221a c bc b c b c a b--+=，化简得225c a =，∴5c a = 5．（18）【2014年江苏，18，16分】如图，为保护河上古桥OA ，规划建一座新桥BC ，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC 与河岸AB 垂直；保护区的边界为圆心M 在线段OA 上并与BC 相切的圆，且古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80m ．经测量，点A 位于点O 正北方向60m 处，点C 位于点O 正东方向170m 处(OC 为河岸)，4tan 3BCO ∠=．（1）求新桥BC 的长；（2）当OM 多长时，圆形保护区的面积最大？．解：解法一：（1）如图，以O 为坐标原点，OC 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系xOy ．由条件知A (0, 60)，C (170, 0)，直线BC 的斜率43BC k tan BCO =∠=-－．又因为AB ⊥BC ，所以直线AB 的斜率34AB k =．设点B 的坐标为(a ,b )，则k BC =041703b a -=--， k AB =60304b a -=-，解得a =80，b=120．所以BC 22(17080)(0120)150-+-=．因此新桥BC 的长是150 m ．（2）设保护区的边界圆M 的半径为r m,OM =d m,(0≤d ≤60)．由条件知，直线BC 的方程为4(170)3y x =--，即436800x y +-=，由于圆M 与直线BC 相切，故点M (0，d )到直线BC 的距离是r ，即|3680|680355d dr --==．因为O 和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80 m ，所以80(60)80r d r d -⎧⎨--⎩≥≥，即68038056803(60)805dd d d -⎧-⎪⎪⎨-⎪--⎪⎩≥≥，解得1035d ≤≤．故当d =10时,68035dr -=最大，即圆面积最大．所以当OM = 10 m 时，圆形保护区的面积最大．解法二：（1）如图，延长OA , CB 交于点F ．因为tan ∠BCO =43．所以sin ∠FCO =45，cos ∠FCO =35．因为OA =60,OC =170，所以OF =OC tan ∠FCO =6803．CF =850cos 3OC FCO =∠，从而5003AF OF OA =-=．因为OA ⊥OC ，所以cos ∠AFB =sin ∠FCO =45，又因为AB ⊥BC ，所以BF =AFcos ∠AFB ==4003，从而BC =CF －BF =150．因此新桥BC 的长是150 m ．（2）设保护区的边界圆M 与BC 的切点为D ，连接MD ，则MD ⊥BC ，且MD 是圆M 的半径，并设MD =r m ，OM =d m(0≤d ≤60)．因为OA ⊥，所以sin ∠CFO =cos ∠FCO ，故由（1）知，sin ∠CFO =368053MD r MF OF OM d ===--所以68035dr -=．因为O 和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80 m ，所以80(60)80r d r d -⎧⎨--⎩≥≥，即68038056803(60)805dd d d -⎧-⎪⎪⎨-⎪--⎪⎩≥≥，解得1035d ≤≤，故当d =10时，68035dr -=最大，即圆面积最大．所以当OM = 10 m 时，圆形保护区的面积最大．（19）【2014年江苏，19，16分】已知函数()e e x x f x -=+其中e 是自然对数的底数．（1）证明：()f x 是R 上的偶函数；（2）若关于x 的不等式()e 1x mf x m -+-≤在(0)+∞，上恒成立，求实数m 的取值范围；（3）已知正数a 满足：存在0[1)x ∈+∞，，使得3000()(3)f x a x x <-+成立．试比较1e a -与e 1a -的大小，并证明你的结论．解：（1）x ∀∈R ，()e e ()x x f x f x --=+=，∴()f x 是R 上的偶函数．（2）由题意，(e e )e 1x x x m m --++-≤，即(e e 1)e 1x x x m --+--≤，∵(0)x ∈+∞，，∴e e 10x x -+->，即e 1e e 1xx xm ---+-≤对(0)x ∈+∞，恒成立．令e (1)x t t =>，则211t m t t --+≤对任意(1)t ∈+∞，恒成立． ∵2211111(1)(1)113111t t t t t t t t --=-=---+-+-+-++-≥，当且仅当2t =时等号成立，∴13m -≤．（3）'()e e x xf x -=-，当1x >时'()0f x >∴()f x 在(1)+∞，上单调增，令3()(3)h x a x x =-+，'()3(1)h x ax x =--，∵01a x >>，，∴'()0h x <，即()h x 在(1)x ∈+∞，上单调减，∵存在0[1)x ∈+∞，，使得3000()(3)f x a x x <-+，∴1(1)e 2ef a =+<，即()11e 2e a >+． ∵e-1e 111ln ln ln e (e 1)ln 1e a a a a a a ---=-=--+，设()(e 1)ln 1m a a a =--+，则e 1e 1'()1a m a a a---=-=，()11e 2e a >+．当()11e e 12ea +<<-时，'()0m a >，()m a 单调增；当e 1a >-时，'()0m a <，()m a 单调减，因此()m a 至多有两个零点，而(1)(e)0m m ==，∴当e a >时，()0m a <，e 11e a a --<；当()11e e 2ea +<<时，()0m a <，e 11e a a -->；当e a =时，()0m a =，e 11e a a --=．（20）【2014年江苏，20，16分】设数列{}n a 的前n 项和为n S ．若对任意的正整数n ，总存在正整数m ，使得n m S a =，则称{}n a 是“H 数列”．（1）若数列{}n a 的前n 项和2()n n S n *=∈N ，证明：{}n a 是“H 数列”；（2）设{}n a 是等差数列，其首项11a =，公差0d <．若{}n a 是“H 数列”，求d 的值；（3）证明：对任意的等差数列{}n a ，总存在两个“H 数列”{}n b 和{}n c ，使得()n n n a b c n *=+∈N 成立．解：（1）当2n ≥时，111222n n n n n n a S S ---=-=-=，当1n =时，112a S ==，∴1n =时，11S a =，当2n ≥时，1n n S a +=，∴{}n a 是“H 数列”．（2）1(1)(1)22n n n n n S na d n d --=+=+，对n *∀∈N ，m *∃∈N 使n m S a =，即(1)1(1)2n n n d m d -+=+-，取2n =得1(1)d m d +=-，12m d=+，∵0d <，∴2m <，又m *∈N ，∴1m =，∴1d =-．（3）设{}n a 的公差为d ，令111(1)(2)n b a n a n a =--=-，对n *∀∈N ，11n n b b a +-=-，1(1)()n c n a d =-+，对n *∀∈N ，11n n c c a d +-=+，则1(1)n n n b c a n d a +=+-=，且{}{}n n b c ，为等差数列． {}n b 的前n 项和11(1)()2n n n T na a -=+-，令1(2)n T m a =-，则(3)22n n m -=+．当1n =时1m =；当2n =时1m =；当3n ≥时，由于n 与3n -奇偶性不同，即(3)n n -非负偶数，m *∈N ．因此对n ∀，都可找到m *∈N ，使n m T b =成立，即{}n b 为“H 数列”．{}n c 的前ｎ项和1(1)()2n n n R a d -=+，令1(1)()n m c m a d R =-+=，则(1)12n n m -=+∵对n *∀∈N ，(1)n n -是非负偶数，∴m *∈N ，即对n *∀∈N ，都可找到m *∈N ，使得n m R c =成立，即{}n c 为“H 数列”，因此命题得证．数学Ⅱ【选做】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题．．．．．．，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．，若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（21-A ）【2014年江苏，21-A ，10分】（选修4-1：几何证明选讲）如图，AB 是圆O 的直径，C 、 D是圆O 上位于AB 异侧的两点．证明：∠OCB =∠D ．解：因为B ，C 是圆O 上的两点，所以OB =OC ．故∠OCB =∠B ．又因为C , D 是圆O 上位于AB 异侧的两点，故∠B ，∠D 为同弧所对的两个圆周角，所以∠B =∠D ．因此∠OCB =∠D ．（21-B ）【2014年江苏，21-B ，10分】（选修4-2：矩阵与变换）已知矩阵121x -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，1121⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦B ，向量2y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α，x y ，为实数，若A α=B α，求x y ，的值．解：222y xy -⎡⎤=⎢⎥+⎣⎦A α，24y y +⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦B α，由A α=B α得22224y y xy y -=+⎧⎨+=-⎩，，解得142x y =-=，．（21-C ）【2014年江苏，21-C ，10分】（选修4-4：坐标系与参数方程）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l的参数方程为21222x t y t ⎧=-⎪⎨⎪=+⎩，(t 为参数)，直线l 与抛物线24y x =交于A B ，两点，求线段AB 的长．解：直线l ：3x y +=代入抛物线方程24y x =并整理得21090x x -+=，∴交点(12)A ，，(96)B -，，故||82AB =．（21-D ）【2014年江苏，21-D ，10分】（选修4-5：不等式选讲）已知0x >，0y >，证明：()()22119x y x y xy ++++≥．解：因为x >0, y >0, 所以1+x +y 2≥2330xy >，1+x 2+y ≥2330x y >，所以(1+x +y 2)( 1+x 2+y )≥223333xy x y ⋅=9xy ．【必做】第22、23题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题卡的指定区域内．．．．．．．．．．．．（22）【2014年江苏，22，10分】盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同．（1）从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率P ；（2）从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为123x x x ，，，随机变量X 表示123x x x ，，中的最大数，求X 的概率分布和数学期望()E X ．解：（1）一次取2个球共有29C 36=种可能情况，2个球颜色相同共有222432C C C 10++=种可能情况，∴取出的2个球颜色相同的概率1053618P ==．（2）X 的所有可能取值为432，，，则4449C 1(4)C 126P X ===；3131453639C C C C 13(3)C 63P X +===； 11(2)1(3)(4)14P X P X P X ==-=-==．∴X 的概率分布列为：注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷只有解答题，供理工方向考生使用．本试，21题有A 、B 、C 、D 4个小题供选做，每位考生在4个选做题中选答2题．若考生选做了3题或4题，则按选做题中的前2题计分．第22、23题为必答题．每小题10分，共40分．考试时间30分钟．考试结束后，请将答题卡交回．2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚．4．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．故X 的数学期望1113120()23414631269E X =⨯+⨯+⨯=．（23）【2014年江苏，23，10分】已知函数0sin ()(0)x f x x x=>，设()n f x 为1()n f x -的导数，n *∈N ．（1）求()()122222f f πππ+的值；（2）证明：对任意的n *∈N ，等式()()1444n n nf f -πππ+=成立．解：（1）由已知，得102sin cos sin ()()x x x f x f x x x x '⎛⎫'===- ⎪⎝⎭，于是21223cos sin sin 2cos 2sin ()()x x x x xf x f x x x x x x ''⎛⎫⎛⎫'==-=--+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以12234216(),()22f f πππππ=-=-+，故122()()1222f f πππ+=-．（2）由已知，得0()sin ,xf x x =等式两边分别对x 求导，得00()()cos f x xf x x '+=，即01()()cos sin()2f x xf x x x π+==+，类似可得122()()sin sin()f x xf x x x π+=-=+， 2333()()cos sin()2f x xf x x x π+=-=+，344()()sin sin(2)f x xf x x x π+==+．下面用数学归纳法证明等式1()()sin()2n n n nf x xf x x π-+=+对所有的n ∈*N 都成立．（i ）当n =1时，由上可知等式成立．（ii ）假设当n =k 时等式成立, 即1()()sin()2k k k kf x xf x x π-+=+．因为111[()()]()()()(1)()(),k k k k k k k kf x xf x kf x f x xf x k f x f x --+'''+=++=++(1)[sin()]cos()()sin[]2222k k k k x x x x ππππ+''+=+⋅+=+，所以1(1)()()k k k f x f x +++(1)sin[]2k x π+=+．所以当n=k +1时,等式也成立．综合(i),(ii)可知等式1()()sin()2n n n nf x xf x x π-+=+对所有的n ∈*N 都成立．令4x π=，可得1()()sin()44442n n n nf f πππππ-+=+(n ∈*N )．所以1()()444n n nf f πππ-+n ∈*N )．。

十年高考分类江苏高考数学试卷精校版含详解5平面向量部分

十年高考分类江苏高考数学试卷精校版含详解5平面向量部分一、选择题（共2小题；共10分）1. 已知两点 M (−2,0)，N (2,0)，点 P 为坐标平面内的动点，满足 ∣∣MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣⋅∣∣MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣+MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则动点 P (x,y ) 的轨迹方程为 ( )A. y 2=8xB. y 2=−8xC. y 2=4xD. y 2=−4x2. O 是平面内一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足 OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣+AC⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣)，λ∈[0,+∞)，则 P 的轨迹一定通过 △ABC 的 ( )A. 外心B. 内心C. 重心D. 垂心二、填空题（共13小题；共65分） 3. 已知向量 a 和 b ⃗ 的夹角为 120∘，∣a ∣=1，∣∣b ⃗ ∣∣=3，则 ∣∣5a −b ⃗ ∣∣= ．4. 已知 e 1⃗⃗⃗ ，e 2⃗⃗⃗ 是夹角为 2π3 的两个单位向量，a =e 1⃗⃗⃗ −2e 2⃗⃗⃗ ，b ⃗ =ke 1⃗⃗⃗ +e 2⃗⃗⃗ ，若 a⋅b ⃗ =0，则 k 的值为．5. 已知 ∣a ∣=2 ， ∣∣b ⃗ ∣∣=3 ，且 a 与 b ⃗ 的夹角为 π2， c =3a +2b ⃗ ， d =ma −b ⃗ ，若 c ⊥d ，则 m = ．6. 如图，在同一个平面内，向量 OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的模分别为 1，1，√2，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与 OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为 α，且 tanα=7，OB⃗⃗⃗⃗⃗ 与 OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为 45∘．若 OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =mOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +nOB ⃗⃗⃗⃗⃗ (m,n ∈R )，则 m +n = ．7. 已知向量 a =(2,1)，b ⃗ =(1,−2)，若 ma +nb ⃗ =(9,−8)(m,n ∈R )，则 m −n 的值为．8. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，F 是椭圆x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0) 的右焦点，直线 y =b2与椭圆交于 B ，C 两点，且 ∠BFC =90∘，则该椭圆的离心率是．9. 在平面直角坐标系 xOy 中，A (−12,0)，B (0,6)，点 P 在圆 O:x 2+y 2=50 上．若 PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ≤20，则点 P 的横坐标的取值范围是．10. 如图，在平行四边形 ABCD 中，已知 AB =8，AD =5，CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =3PD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2，则 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗的值是．11. 设 D,E 分别是 △ABC 的边 AB ，BC 上的点，AD =12AB ，BE =23BC ，若 DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ1AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ2AC⃗⃗⃗⃗⃗ （λ1,λ2 为实数），则 λ1+λ2 的值为．12. 在 △ABC 中，O 为中线 AM 上的一个动点，若 AM =2，则 OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(OB⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) 的最小值是．13. 如图，在 △ABC 中，D 是 BC 的中点，E ，F 是 AD 上两个三等分点，BA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =4，BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =−1，则 BE⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CE ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值是．14. 如图，在矩形 ABCD 中，AB =√2，BC =2，点 E 为 BC 的中点，点 F 在边 CD 上，若 AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =√2，则 AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BF⃗⃗⃗⃗⃗ 的值是．15. 设向量 a k ⃗⃗⃗⃗ =(coskπ6,sinkπ6+coskπ6)（k =0,1,2,⋯,12），则 ∑(a k ⃗⃗⃗⃗ ⋅a k+1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )11k=0 的值为．三、解答题（共6小题；共78分）16. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A (−1,−2) 、 B (2,3) 、 C (−2,−1)．（1）求以线段 AB 、 AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长；（2）设实数 t 满足 (AB⃗⃗⃗⃗⃗ −tOC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，求 t 的值．17. 已知 a =(cosα,sinα)，b⃗ =(cosβ,sinβ)，0<β<α<π．（1）若 ∣∣a −b ⃗ ∣∣=√2，求证：a ⊥b ⃗ ；（2）设 c =(0,1)，若 a +b ⃗ =c ，求 α,β 的值．18. 设向量 a =(4cosα,sinα)，b ⃗ =(sinβ,4cosβ)，c =(cosβ,−4sinβ)．（1）若 a 与 b ⃗ −2c 垂直，求 tan (α+β) 的值；（2）求 ∣∣b ⃗ +c ∣∣ 的最大值；（3）若 tanαtanβ=16，求证：a ∥b ⃗ ．19. 在 △ABC 中，已知 AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ．（1）求证：tanB =3tanA ；（2）若 cosC =√55，求 A 的值．20. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知以 M 为圆心的圆 M:x 2+y 2−12x −14y +60=0 及其上一点 A (2,4)．（1）设圆 N 与 x 轴相切，与圆 M 外切，且圆心 N 在直线 x =6 上，求圆 N 的标准方程；（2）设平行于 OA 的直线 l 与圆 M 相交于 B ，C 两点，且 BC =OA ，求直线 l 的方程；（3）设点 T (t,0) 满足：存在圆 M 上的两点 P 和 Q ，使得 TA ⃗⃗⃗⃗⃗ +TP ⃗⃗⃗⃗⃗ =TQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求实数 t 的取值范围．21. 已知常数 a >0，向量 c =(0,a ),i =(1,0)．经过原点 O 以 c +λi 为方向向量的直线与经过定点A (0,a ) 以 i −2λc 为方向向量的直线相交于点 P ，其中 λ∈R ．试问：是否存在两个定点 E,F ，使得 ∣PE ∣+∣PF ∣ 为定值．若存在，求出 E,F 的坐标；若不存在，说明理由．答案第一部分 1. B【解析】∵ ∣∣MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣⋅∣∣MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣+MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，∴ 4√(x +2)2+y 2+(4,0)⋅(x −2,y )=0，即 √(x +2)2+y 2=−(x −2)，整理得 y 2=−8x ． 2. B【解析】∵ AB⃗⃗⃗⃗⃗ ∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣、 AC⃗⃗⃗⃗⃗ ∣AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣分别表示向量 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 、 AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的单位向量，∴ AB⃗⃗⃗⃗⃗ ∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗∣+AC⃗⃗⃗⃗⃗ ∣AC⃗⃗⃗⃗⃗ ∣ 的方向与 ∠BAC 的角平分线的方向一致． ∵ OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ(AB⃗⃗⃗⃗⃗ ∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗∣+AC⃗⃗⃗⃗⃗ ∣AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣)，∴ OP ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(AB⃗⃗⃗⃗⃗ ∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗∣+AC⃗⃗⃗⃗⃗ ∣AC⃗⃗⃗⃗⃗ ∣)，∴ AP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向与 ∠BAC 的角平分线一致，故一定通过 △ABC 的内心．第二部分 3. 7【解析】由题意得，∣∣5a −b ⃗ ∣∣2=(5a −b⃗ )2=25a 2−10a ⋅b⃗ +b ⃗ 2=25×12−10×1×3×(−12)+32=49.所以 ∣∣5a −b ⃗ ∣∣=7． 4. 54 5. 32 6. 3 7. −3【解析】由 a =(2,1)，b⃗ =(1,−2)，可得 ma +nb⃗ =(2m,m )+(n,−2n )=(2m +n,m −2n )，由已知可得 {2m +n =9,m −2n =−8. 解得 {m =2,n =5.从而 m −n =−3． 8. √63【解析】由题意，得 F (c,0)．直线 BC 的方程与椭圆方程联立，解得 B (−√3a 2,b 2)，C (√3a 2,b2)，则 BF⃗⃗⃗⃗⃗ =(c +√3a 2,−b 2)，CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(c −√3a 2,−b 2)．由 ∠BFC =90∘，得 BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即 c 2−34a 2+14b 2=0，再结合 b 2=a 2−c 2 可得 c 2a 2=23，则 e =ca =√63． 9. [−5√2,1]【解析】根据题意，设 P (x 0,y 0)，则有 x 02+y 02=50，PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12−x 0,−y 0)⋅(−x 0,6−y 0)=(12+x 0)x 0−y 0(6−y 0)=12x 0−6y 0+x 02+y 02≤20,化为：12x 0−6y 0+30≤0，即 2x 0−y 0+5=0，表示直线 2x −y +5≤0 以及直线上方的区域，联立 {x 02+y 02=50,2x 0−y 0+5=0,可解得 x 0=−5 或 x 0=1，结合图形分析可得：点 P 的横坐标 x 0 的取值范围是 [−5√2,1]．10. 22【解析】提示：以 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 为基底，进行分解即可． 11. 1212. −2 【解析】如图：OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=−2∣OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣⋅∣OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣≥−2⋅(∣OA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣+∣OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣)24=−2⋅∣AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣24=−213. 78【解析】令 DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ，DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，则 DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−b ⃗ ，DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a ，DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =3a ，从而 BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =3a −b ⃗ ，CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =3a +b ⃗ ，BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a −b ⃗ ，CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a +b ⃗ ，BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =a −b ⃗ ，CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =a +b ⃗ ．由已知，得 {BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =9a 2−b⃗ 2=4,BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =a 2−b⃗ 2=−1,解得 a 2=58，b ⃗ 2=138，所以 BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =4a 2−b⃗ 2=4×58−138=78． 14. √2【解析】AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =√2=√2∣DF ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣，所以 ∣DF ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣=1，∣∣CF ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=√2−1，因此AE⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CF ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CF ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0−√2(√2−1)+2+0=√2.15. 9√3【解析】提示：a k ⃗⃗⃗⃗ ⋅a k+1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3√34+sin2k+16π+12cos2k+16π．第三部分16. （1）由题意知 AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,5)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1)，求两条对角线的长，即求 ∣∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣ 与 ∣∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣ 的大小．由 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,6)，得 ∣∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=2√10，由 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,4)，得 ∣∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=4√2．（2） OC⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,−1)，因为 (AB⃗⃗⃗⃗⃗ −tOC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −tOC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2, 易求AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−11,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=5, 所以由(AB⃗⃗⃗⃗⃗ −tOC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 得 t =−115．17. （1）由题意得 ∣∣a −b ⃗ ∣∣2=2，即(a −b ⃗ )2=a 2−2a ⋅b⃗ +b ⃗ 2=2. 又因为 a 2=b ⃗ 2=∣a ∣2=∣∣b ⃗ ∣∣2=1，所以2−2a ⋅b⃗ =2, 即 a ⋅b ⃗ =0，故 a ⊥b⃗ ．（2）因为 a +b ⃗ =(cosα+cosβ,sinα+sinβ)=(0,1)，所以 {cosα+cosβ=0,sinα+sinβ=1,由此得cosα=cos (π−β),由 0<β<π，得0<π−β<π.又 0<α<π，故 α=π−β．代入 sinα+sinβ=1，得sinα=sinβ=12,而 α>β，所以α=5π6,β=π6.18. （1）因为 a 与 b ⃗ −2c 垂直，所以a ⋅(b ⃗ −2c )=4cosαsinβ−8cosαcosβ+4sinαcosβ+8sinαsinβ=4sin (α+β)−8cos (α+β)=0,因此tan (α+β)=2.（2）由b ⃗ +c =(sinβ+cosβ,4cosβ−4sinβ),得∣∣b ⃗ +c ∣∣=√(sinβ+cosβ)2+(4cosβ−4sinβ)2=√17−15sin2β≤4√2,又当 β=kπ−π4,k ∈Z 时，等号成立，所以 ∣∣b ⃗ +c ∣∣ 的最大值为 4√2．（3）由tanαtanβ=16,得4cosαsinβ=sinα4cosβ, 所以a ∥b⃗ .19. （1）因为 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以AB ⋅AC ⋅cosA =3BA ⋅BC ⋅cosB,即AC ⋅cosA =3BC ⋅cosB,由正弦定理知AC sinB =BCsinA, 从而sinBcosA =3sinAcosB,又因为 0<A +B <π，所以cosA >0,cosB >0,所以 tanB =3tanA ．（2）因为 cosC =√55,0<C <π，所以sinC =√1−cos 2C =2√55, 从而 tanC =2，于是 tan [π−(A +B )]=2．即tan (A +B )=−2,亦即tanA +tanB1−tanAtanB=−2,由（1）得4tanA1−3tan 2A=−2,解得tanA =1或−13,因为 cosA >0，故 tanA =1．所以 A =π4．20. （1）因为 N 在直线 x =6 上，设 N (6,n )，因为与 x 轴相切，则圆 N 为 (x −6)2+(y −n )2=n 2，n >0，又圆 N 与圆 M 外切，圆 M:(x −6)2+(y −7)2=25，则 ∣7−n ∣=∣n ∣+5，解得 n =1，即圆 N 的标准方程为 (x −6)2+(y −1)2=1．（2）由题意得 OA =2√5，k OA =2，设 l:y =2x +b ，则圆心 M 到直线 l 的距离 d =√22+1=√5，则 BC =2√52−d 2=2√25−(5+b )25，BC =2√5，即 2√25−(5+b )25=2√5，解得 b =5 或 b =−15，即 l:y =2x +5 或 y =2x −15．（3） TA ⃗⃗⃗⃗⃗ +TP ⃗⃗⃗⃗⃗ =TQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即 TA ⃗⃗⃗⃗⃗ =TQ ⃗⃗⃗⃗⃗ −TP ⃗⃗⃗⃗⃗ =PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即 ∣∣TA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=∣∣PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣， ∣∣TA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=√(t −2)2+42，又 ∣∣PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣≤10，即 √(t −2)2+42≤10，解得 t ∈[2−2√21,2+2√21]，对于任意 t ∈[2−2√21,2+2√21]，欲使 TA⃗⃗⃗⃗⃗ =PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ，此时 ∣∣TA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣≤10，只需要作直线 TA 的平行线，使圆心到直线的距离为 √25−∣∣TA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣24，必然与圆交于 P ，Q 两点，此时 ∣∣TA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=∣∣PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣，即 TA ⃗⃗⃗⃗⃗ =PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ，因此对于任意 t ∈[2−2√21,2+2√21]，均满足题意，综上 t ∈[2−2√21,2+2√21]． 21. 根据题中 i =(1,0),c =(0,a )，可知c +λi =(λ,a ),i −2λc =(1,−2λa ).因此，直线 OP 和 AP 的坐标分别为λy =ax,y −a =−2λax,消去参数 λ，得点 P 的坐标满足方程y (y −a )=−2a 2x 2,整理得x2 1 8+(y−a2)2(a2)2=1 ⋯⋯①因为a>0，所以得：（i）当a=√22时，方程①是圆方程，故不存在合乎题意的定点E和F；（ii）当0<a<√22时，方程①表示椭圆，焦点E(12√12−a2,a2)和F(−12√12−a2,a2)为合乎题意的两个定点；（iii）当a>√22时，方程①也表示椭圆，焦点E(0,12(a+√a2−12))和F(0,12(a−√a2−12))为合乎题意的两个定点．。

十年高考分类江苏高考数学试卷精校版含详解7不等式部分

十年高考分类江苏高考数学试卷精校版含详解7不等式部分一、选择题（共3小题；共15分）1. 如果函数 y =ax 2+bx +a 的图象与 x 轴有两上交点，则点 (a ，b) 在 aOb 平面上的区域（不包含边界）为 ( )A. B.C. D.2. 已知二次函数 f (x )=ax 2+bx +c 的导数为 fʹ(x )，fʹ(0)>0，对于任意实数 x ，都有 f (x )≥0，则 f (1)fʹ(0) 的最小值为 ( )A. 3B. 52C. 2D. 323. 在平面直角坐标系 xOy ，已知平面区域 A ={(x,y )∣ x +y ≤1}，且 x >0，y >0，则平面区域 B ={(x +y,x −y )∣ (x,y )∈A } 的面积为 ( )A. 2B. 1C. 12D. 14二、填空题（共20小题；共100分）4. 已知函数 f (x )=x 2+mx −1，若对于任意 x ∈[m,m +1]，都有 f (x )<0 成立，则实数 m 的取值范围是．5. 在平面直角坐标系 xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数 f (x )=2x 的图象交于 P 、 Q 两点，则线段 PQ 长的最小值是．6. 设变量 x 、 y 满足约束条件 {2x −y ≤2,x −y ≥−1,x +y ≥1, 则 z =2x +3y 的最大值为．7. 若 △ABC 的内角满足 sinA +√2sinB =2sinC ，则 cosC 的最小值是．8. 设实数 x ，y 满足 3≤xy 2≤8，4≤x 2y≤9，则 x 3y 4 的最大值是．9. 设 x ，y ，z 为正实数，满足 x −2y +3z =0，则 y 2xz 的最小值是．10. 已知实数 x ，y 满足 {x −2y +4≥0,2x +y −2≥0,3x −y −3≤0,则 x 2+y 2 的取值范围是．11. 在平面直角坐标系 xOy 中，以点 (1,0) 为圆心且与直线 mx −y −2m −1=0(m ∈R ) 相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为．12. 某公司一年购买某种货物 600 吨，每次购买 x 吨，运费为 6 万元/次，一年的总存储费用为 4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则 x 的值是．13. 抛物线 y =x 2 在 x =1 处的切线与两坐标轴围成的三角形区域为 D （包含三角形内部与边界）．若点 P (x,y ) 是区域 D 内的任意一点，则 x +2y 的取值范围是．14. 已知函数 f (x )=x 2+ax +b (a,b ∈R ) 的值域为 [0,+∞)，若关于 x 的不等式 f (x )<c 的解集为 (m,m +6)，则实数 c 的值为．15. 已知 f (x ) 是定义在 R 上的奇函数．当 x >0 时，f (x )=x 2−4x ，则不等式 f (x )>x 的解集用区间表示为．16. 在平面直角坐标系 xOy 中，以点 (1,0) 为圆心且与直线 mx −y −2m −1=0（m ∈R ）相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为．17. 抛物线 y =x 2 在 x =1 处的切线与两坐标轴围成三角形区域为 D （包含三角形内部和边界）．若点 P (x,y ) 是区域 D 内的任意一点，则 x +2y 的取值范围是．18. 在 △ABC 中，O 为中线 AM 上的一个动点，若 AM =2，则 OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(OB⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) 的最小值是．19. 在锐角 △ABC 中，sinA =2sinBsinC ，则 tanAtanBtanC 的最小值是．20. 设函数 f (x )=ax 3−3x +1（x ∈R ），若对于任意 x ∈[−1,1]，都有 f (x )≥0 成立，则实数 a的值为．21. 设集合 A ={(x,y )∣m 2≤(x −2)2+y 2≤m 2,x,y ∈R}，B ={(x,y )∣ 2m ≤x +y ≤2m +1,x,y ∈R }，若 A ∩B ≠∅，则实数 m 的取值范围是．22. 已知正数 a,b,c 满足：5c −3a ≤b ≤4c −a ，clnb ≥a +clnc ，则 ba 的取值范围是．23. 在锐角三角形 ABC 中，若 sinA =2sinBsinC ，则 tanAtanBtanC 的最小值是．三、解答题（共15小题；共195分） 24. 已知 a ≥b >0 ，求证： 2a 3−b 3≥2ab 2−a 2b ． 25. 设 a,b 是非负实数，求证：a 3+b 3≥√ab (a 2+b 2)． 26. 解不等式 x +∣2x +3∣≥2． 27. 解不等式：x+∣2x −1∣<3．28. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A (0,3)，直线 l:y =2x −4．设圆 C 的半径为 1，圆心在 l上．（1）若圆心 C 也在直线 y =x −1 上，过点 A 作圆 C 的切线，求切线的方程；（2）若圆 C 上存在点 M ，使 MA =2MO ，求圆心 C 的横坐标 a 的取值范围．29. 如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米，某(1+k2)x2(k>0)表示的曲线上，炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y=kx−120其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．（1）求炮的最大射程；（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它?请说明理由．30. 某兴趣小组测量电视塔AE的高度H（单位：m），示意图如图所示，垂直放置的标杆BC高度ℎ=4m，仰角∠ABE=α，∠ADE=β．（1）该小组已经测得一组α、β的值，tanα=1.24，tanβ=1.20，请据此算出H的值；（2）该小组分析若干测得的数据后，发现适当调整标杆到电视塔的距离d（单位：m），使α与β之差较大，可以提高测量精确度，若电视塔实际高度为125m，问d为多少时，α−β最大．31. 已知函数f(x)=x3+ax2+bx+1(a>0,b∈R)有极值，且导函数fʹ(x)的极值点是f(x)的零点（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）．（1）求b关于a的函数关系式，并写出定义域；（2）证明：b2>3a；，求a的取值范围．（3）若f(x)，fʹ(x)这两个函数的所有极值之和不小于−7232. 已知函数f(x)=a x+b x(a>0,b>0,a≠1,b≠1)．．（1）设a=2，b=12①求方程f(x)=2的根；②若对于任意x∈R，不等式f(2x)≥mf(x)−6恒成立，求实数m的最大值；（2）若0<a<1，b>1，函数g(x)=f(x)−2有且只有1个零点，求ab的值．33. 已知a>0，n为正整数．设f n(x)=x n−(x−a)n，对任意n≥a，证明：fʹn+1(n+1)>(n+1)fʹn(n)．34. 已知a>0,n为正整数．（1）设y=(x−a)n，证明yʹ=n(x−a)n−1；′(n+1)>(n+1)f n′(n)．（2）设f n(x)=x n−(x−a)n，对任意n≥a，证明f n+135. 按照某学者的理论，假设一个人生产某产品的单件成本为a元，如果他卖出该产品的单价为m元，则他的满意度为mm+a ；如果他买进该产品的单价为n元，则他的满意度为an+a．如果一个人对两种交易（卖出或买进）的满意度分别为ℎ1和ℎ2，则他对这两种交易的综合满意度为√ℎ1ℎ2．现假设甲生产A、B两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产A、B两种产品的单件成本分别为3元和20元，设产品A、B的单价分别为m A元和m B元，甲买进A与卖出B的综合满意度为ℎ甲，乙卖出A与买进B的综合满意度为ℎ乙；（1）求ℎ甲和ℎ乙关于m A、m B的表达式，当m A=35m B时，求证：ℎ甲=ℎ乙；（2）设m A=35m B，当m A、m B分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大?最大的综合满意度为多少?（3）记（2）中最大的综合满意度为ℎ0，试问能否适当选取m A、m B的值，使得ℎ甲≥ℎ0和ℎ乙≥ℎ0同时成立，但等号不同时成立?试说明理由．36. 已知a，b，c，d是不全为0的实数，函数f(x)=bx2+cx+d，g(x)=ax3+bx2+cx+d．方程f(x)=0有实根，且f(x)=0的实数根都是g[f(x)]=0的根，反之，g[f(x)]=0的实数根都是f(x)=0的根．（1）求d的值；（2）若a=0，求c的取值范围；（3）若a=1，f(1)=0，求c的取值范围．37. 记U={1,2,⋯,100}．对数列{a n}（n∈N∗）和U的子集T，若T=∅，定义S T=0；若T={t1,t2,⋯,t k}，定义S T=a t1+a t2+⋯+a tk．例如：T={1,3,66}时，S T=a1+a3+a66．现设{a n}（n∈N∗）是公比为3的等比数列，且当T={2,4}时，S T=30．（1）求{a n}的通项公式；（2）对任意正整数k（1≤k≤100），若T⊆{1,2,⋯,k}，求证：S T<a k+1；（3）设C⊆U，D⊆U，S C≥S D，求证：S C+S C∩D≥2S D．38. 设a>0，如图，已知直线l:y=ax及曲线C:y=x2，C上的点Q1的横坐标为a1(0<a1<a)．从C上的点Q n(n≥1)作直线平行于x轴，交直线l于点P n+1，再从点P n+1作直线平行于y轴，交曲线C于点Q n+1，Q n(n=1,2,3,⋯)的横坐标构成数列{a n}．（1）试求a n+1与a n的关系，并求{a n}的通项公式；（2）当a=1，a1≤12时，证明∑(a k−a k+1)a k+2<132nk=1；（3）当 a =1 时，证明 ∑(a k −a k+1)a k+2<13.n k=1答案第一部分 1. C2. C【解析】fʹ(0)>0，则 b >0，对于任意实数 x 都有 f (x )≥0 则满足 {a >0Δ≤0，从而4ac ≥b 2,c >0，(a+c b)2=(a+c )2b 2≥4ac b 2≥1，所以f (1)fʹ(0)=a+b+c b=1+a+c b≥2．当且仅当 b =2a =2c >0 时取等号． 3. B【解析】将 x +y 和 x −y 看成整体，设 {u =x +yv =x −y ，则 {x =u+v2y =u−v 2，由题中 x ，y 的约束条件可得 {u ≤1u +v >0u −v >0，画出 (u,v ) 的可行域，求得面积为 1．第二部分 4. (−√22,0) 【解析】根据题意，得 {f (m )<0,f (m +1)<0, 解之即得．5. 4【解析】设交点分别为 P (x,2x ) 、 Q (−x,−2x )，则 PQ =√(2x )2+(4x )2≥4，当且仅当 x =±√2 时取等号． 6. 18 7.√6−√24【解析】因为 sinA +√2sinB =2sinC ，由正弦定理得 a +√2b =2c ．所以cosC =a 2+b 2−c 22ab =4a 2+4b 2−(a+√2b)28ab=3a 2+2b 28ab −√24≥2√3a 2⋅2b 28ab−√24=√64−√24,当且仅当 3a 2=2b 2 即 √3a =√2b 时取等号．8. 27【解析】因为 3≤xy 2≤8⇒18≤1xy 2≤13 ⋯⋯①， 4≤x 2y≤9⇒16≤x 4y 2≤81 ⋯⋯②，所以①②两式相乘可得 2≤x 3y 4≤27．当 x =3，y =1 时，取到最大值 27． 9. 3【解析】由 x −2y +3z =0，得 y =x+3z 2，代入 y 2xz ，得x 2+9z 2+6xz 4xz ≥6xz +6xz4xz=3,当且仅当 x =3z 时取" = "． 10. [45,13]【解析】画出可行域如下图：x 2+y 2 表示可行域内的动点 P (x,y ) 与原点距离的平方．当点 P 运动到点 A （此时 OA 与直线 2x +y −2=0 垂直）时，点 P 与原点的距离最小，且最小距离为 ∣OA ∣=d =√4+1=2√55，从而 (x 2+y 2)min =d 2=45．当点 P 运动到点 B 时，P 点距离原点最远．由 {x −2y +4=0,3x −y −3=0, 解得 B (2,3)，则 (x 2+y 2)max =∣OB ∣2=13． 11. (x −1)2+y 2=2 【解析】由题意得：半径等于√m 2+1=√(m+1)2m 2+1=√1+2m m 2+1≤√2，所以所求圆为 (x −1)2+y 2=2． 12. 30 13. [−2,12]【解析】由 y =x 2 得 yʹ=2x ，则在点 x =1 处的切线斜率 k =2×1=2 ，切线方程为 y −1=2(x −1)，即 2x −y −1=0．在平面直角坐标系中作出可行域，如图阴影部分所示，则 A (0,−1)，B (12,0)．作直线 l 0:x +2y =0．当平移直线 l 0 至点 A 时，z min =0+2×(−1)=−2 ；当平移直线 l 0 至点 B 时，z max =12+2×0=12．故 x +2y 的取值范围是 [−2,12]．14. 9【解析】由函数 f (x )=x 2+ax +b 的值域是 [0,+∞)，得Δ=a 2−4b =0. ⋯⋯①又不等式 x 2+ax +b −c <0 的解集是 (m,m +6)，所以 {2m +6=−a,m (m +6)=b −c,解得 {a =−(2m +6),b =m (m +6)+c,代入①，解得 c =9． 15. (−5,0)∪(5,+∞)【解析】由于 f (x ) 为 R 上的奇函数，所以当 x =0 时，f (0)=0；当 x <0 时，−x >0，所以 f (−x )=x 2+4x =−f (x )，即 f (x )=−x 2−4x ，所以 f (x )={x 2−4x,x >0−x 2−4x,x <0，由 f (x )>x ，可得 {x 2−4x >x x >0, 或 {−x 2−4x >x x <0, 解得 x >5 或 −5<x <0，所以原不等式的解集为 (−5,0)∪(5,+∞)．16. (x −1)2+y 2=2 【解析】提示：半径 r =√m 2+1，将其平方、变形后可由均值不等式求最值．17. [−2,12]18. −2 【解析】如图：OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=−2∣OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣⋅∣OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣≥−2⋅(∣OA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣+∣OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣)24=−2⋅∣AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣24=−219. 8【解析】因为 sinA =sin (B +C )=sinBcosC +cosBsinC ，所以由已知得 sinBcosC +cosBsinC =2sinBsinC (∗)．由三角形 ABC 为锐角三角形，得 cosB >0，cosC >0．在 (∗) 式两端同时除以 cosBcosC ，得 tanB +tanC =2tanBtanC ，又 tanA =−tan (B +C )=−tanB+tanC1−tanBtanC (#)，则 tanAtanBtanC =−tanB+tanC1−tanBtanC ×tanBtanC =−2(tanBtanC )21−tanBtanC．令 tanBtanC =t ．由 (#) 及 tanA >0，tanB >0，tanC >0，得 1−tanBtanC <0，即 t >1．tanAtanBtanC =−2t 21−t=−21t 2−1t=21t(1−1t)．因为 1t (1−1t )≤(1t +1−1t2)2=14，所以当且仅当 t =2 时，tanAtanBtanC 的最小值为 8．当 t =2，即 {tanB +tanC =4,tanBtanC =2,，亦即 {tanB =2+√2,tanC =2−√2,tanA =4 或 {tanB =2−√2,tanC =2+√2,tanA =4时，tanAtanBtanC 的最小值为 8． 20. 4【解析】因为 x ∈[−1,1]，所以分三种情况讨论： ①．若 x =0，f (x )≥0 恒成立；②．若 x ∈(0,1]，f (x )≥0 化为 a ≥3x 2−1x 3，令 g (x )=3x 2−1x 3，则 gʹ(x )=3(1−2x )x 4．当 x ∈(0,12] 时，gʹ(x )≥0，所以 g (x ) 在 (0,12] 上是增函数；当 x ∈(12,1] 时，gʹ(x )<0，所以 g (x ) 在 (12,1] 上是减函数． g (x ) 此时的最大值为 g (12)=4，则 a ≥4；③．若 x ∈[−1,0)，f (x )≥0 化为 a ≤3x 2−1x 3=g (x )，gʹ(x )=3(1−2x )x 4>0，则 g (x ) 在 [−1,0) 上为增函数，g (x ) 此时的最小值为 g (−1)=4，则 a ≤4．综上，a =4． 21. [12,2+√2]【解析】因为 A ∩B ≠∅，所以 A ≠∅，则m 2≥m 2, 即m ≥12或m ≤0;显然 B ≠∅．因为圆 (x −2)2+y 2=m 2(m ≠0) 与直线 x +y =2m 或 x +y =2m +1 有交点时，需√2≤∣m∣√2≤∣m∣, 所以2−√22≤m ≤2+√2,①当 m <0 时，圆 (x −2)2+y 2=m 2 与 x +y =2m 和 x +y =2m +1 均没有交点，且圆 (x −2)2+y 2=m 2 在直线 x +y =2m 和 x +y =2m +1 的同侧，此时 A ∩B =∅； ②当 m =0 时，点 (2,0) 不在 0≤x +y ≤1 内，此时 A ∩B =∅．③当 12≤m ≤2+√2 时，圆 (x −2)2+y 2=m 2 与直线 x +y =2m 或 x +y =2m +1 有交点，此时 A ∩B ≠∅；④当 m >2+√2 时，圆 (x −2)2+y 2=m 2 与 x +y =2m 和 x +y =2m +1 均没有交点，且圆 (x −2)2+y 2=m 2 在直线 x +y =2m 和 x +y =2m +1 的同侧，此时 A ∩B =∅．综上所述，满足条件的 m 的取值范围为 [12,2+√2]．22. [e,7]【解析】根据条件得到不等式组和目标函数，利用线性规划求解．由已知，得 { ac +bc ≤4,3a c +bc ≥5,b c≥e a c , 令 {x =ac,y =b c ,则问题转化为：{x +y ≤4,3x +y ≥5,y ≥e x ,x >0,y >0, 求 yx 的取值范围．画出可行域，如图，由于 C (12,72)，则 yx 的最大值为 7．设曲线 y =e x 在点 P (x 0,e x 0) 处的切线方程为 y −e x 0=e x 0(x −x 0)，将原点的坐标代入，解得 x 0=1，从而切点为 P (1,e )．而切点 P (1,e ) 在曲线 y =e x 上的点 A 、B 之间，所以 yx 的最小值为 e ．故 yx 的取值范围是 [e,7]．23. 8【解析】由 sinA =sin (B +C )=2sinBsinC ，得 sinBcosC +cosBsinC =2sinBsinC ．两边同时除以 cosBcosC ，得 tanB +tanC =2tanBtanC ．令 tanB +tanC =2tanBtanC =m ，又 △ABC 是锐角三角形，所以 2tanBtanC =tanB +tanC >2√tanB ⋅tanC ，则 tanBtanC >1，所以 m >2．又在三角形 ABC 中，有tanAtanBtanC=−tan (B +C )tanBtanC =−m1−12m ⋅12m=m 2m−2=(m −2)+4m−2+4≥2√(m −2)⋅4m−2+4=8,当且仅当 m −2=4m−2，即 m =4 时取等号，故 tanAtanBtanC 的最小值为 8．第三部分 24.2a 3−b 3−(2ab 2−a 2b )=2a (a 2−b 2)+b (a 2−b 2)=(a 2−b 2)(2a +b )=(a −b )(a +b )(2a +b ).因为 a ≥b >0, 所以 a −b ≥0,a +b >0,2a +b >0, 从而 (a −b )(a +b )(2a +b )≥0, 即 2a 3−b 3≥2ab 2−a 2b. 25. 由 a,b 是非负实数，作差得a 3+b 3−√ab(a 2+b 2)=a 2√a(√a −√b)+b 2√b(√b −√a)=(√a −√b)[(√a)5−(√b)5].当 a ≥b 时，√a ≥√b ，从而(√a)5≥(√b)5,得(√a −√b)[(√a)5−(√b)5]≥0;当 a <b 时，√a <√b ，从而(√a)5<(√b)5,得(√a −√b)[(√a)5−(√b)5]>0.所以a 3+b 3≥√ab(a 2+b 2).26. 原不等式可化为 {x <−32,−x −3≥2, 或 {x ≥−32,3x +3≥2.解得 x ≤−5 或 x ≥−13．综上，原不等式的解集是 {x∣ x ≤−5或x ≥−13}． 27. 原不等式等价于：x −3<2x −1<3−x,解得−2<x <43,故解集为 (−2,43)．28. （1）由题设，圆心 C 是直线 y =2x −4 和 y =x −1 的交点，解得点 C (3,2)，于是切线的斜率必存在．设过 A (0,3) 的圆 C 的切线方程为y =kx +3.由题意，得∣3k +1∣√k 2+1=1,解得：k =0 或 −34.故所求切线方程为y =3 或 3x +4y −12=0.（2）因为圆心在直线 y =2x −4 上，所以圆 C 的方程为(x −a )2+[y −2(a −2)]2=1.设点 M (x,y )，因为 MA =2MO ，所以√x 2+(y −3)2=2√x 2+y 2,化简得x 2+y 2+2y −3=0,即x 2+(y +1)2=4,所以点 M 在以 D (0,−1) 为圆心，2 为半径的圆上．由题意，点 M (x,y ) 在圆 C 上，所以圆 C 与圆 D 有公共点，则∣2−1∣≤CD ≤2+1,即1≤√a 2+(2a −3)2≤3.整理，得−8≤5a2−12a≤0.由5a2−12a+8≥0，得a∈R;由5a2−12a≤0，得0≤a≤12 5 .所以点C的横坐标a的取值范围为[0,125]．29. （1）令y=0，得kx−120(1+k2)x2=0,由实际意义和题设条件知x>0，k>0，故x=20k1+k2=20k+1k≤202=10,当且仅当k=1时取等号．所以炮的最大射程为10千米．（2）炮弹可击中目标，即存在k>0，使3.2=ka−120(1+k2)a2成立，亦即关于k的方程a2k2−20ak+a2+64=0有正根，由于a>0，所以根据韦达定理知，如果方程有根则两个都是正根．所以判别式Δ=(−20a)2−4a2(a2+64)≥0,即a≤6.所以当a不超过6千米时，可击中目标．30. （1）因为tanα=AEAB,tanβ=AEAD,所以tanαtanβ=ADAB=3130.又tanα=HAB,tanβ=4AD−AB,所以H AB ⋅AD−AB4=ADAB,把ADAB =3130代入得H=124m．（2）由题设知d=AB，从而tanα=Hd．由AB=AD−BD=Htanβ−ℎtanβ,得tanβ=H−ℎd.所以tan(α−β)=tanα−tanβ1+tanαtanβ=ℎd+H(H−ℎ)d≤ℎ2√H(H−ℎ),当且仅当d=H(H−ℎ)d，即d=√H(H−ℎ)=√125×(125−4)=55√5时，上式取等号．所以当d=55√5时，tan(α−β)最大．因为0<β<α<π2，则0<α−β<π2，所以当d=55√5时，α−β最大．故所求的d是55√5m．31. （1）因为f(x)=x3+ax2+bx+1，所以g(x)=fʹ(x)=3x2+2ax+b，gʹ(x)=6x+2a，令gʹ(x)=0，解得x=−a3．由于当x>−a3时gʹ(x)>0，g(x)=fʹ(x)单调递增；当x<−a3时gʹ(x)<0，g(x)=fʹ(x)单调递减；所以fʹ(x)的极小值点为x=−a3，由于导函数fʹ(x)的极值点是原函数f(x)的零点，所以f(−a3)=0，即−a327+a39−ab3+1=0，所以b=2a 29+3a(a>0)．因为f(x)=x3+ax2+bx+1(a>0,b∈R)有极值，所以fʹ(x)=3x2+2ax+b=0有两个不等的实根，所以4a2−12b>0，即a2−2a23−9a>0，解得a>3，所以b=2a 29+3a(a>3)．（2）由（1）可设ℎ(a)=b2−3a=4a481−5a3+9a2=181a2(4a3−27)(a3−27)，由于a>3，所以ℎ(a)>0，即b2>3a．（3）由（1）可知fʹ(x)的极小值为fʹ(−a3)=b−a23，设x1，x2是y=f(x)的两个极值点，则x1+x2=−2a3，x1x2=b3，所以f(x1)+f(x2)=x13+x23+a(x12+x22)+b(x1+x2)+2=(x1+x2)[(x1+x2)2−3x1x2]+a[(x1+x2)2−2x1x2]+b(x1+x2)+2=4a327−2ab3+2.又因为f(x)，fʹ(x)这两个函数的所有极值之和不小于−72，所以b−a 23+4a327−2ab3+2=3a−a29≥−72，因为a>3，所以2a3−63a−54≤0，所以 2a (a 2−36)+9(a −6)≤0，所以 (a −6)(2a 2+12a +9)≤0，由于 a >3 时 2a 2+12a +9>0，所以 a −6≤0，解得 a ≤6，所以 a 的取值范围是 (3,6]．32. （1） ① f (x )=2x +(12)x，由 f (x )=2 可得 2x +12x =2，则 (2x )2−2×2x +1=0，即 (2x −1)2=0，则 2x =1，x =0． ②由题意得 22x +122x≥m (2x +12x)−6 恒成立，令 t =2x +12x ，则由 2x >0 可得 t ≥2√2x ×12x =2，此时 t 2−2≥mt −6 恒成立，即 m ≤t 2+4t=t +4t 恒成立，因为 t ≥2 时，t +4t ≥2√t ⋅4t =4，当且仅当 t =2 时等号成立，因此实数 m 的最大值为 4．（2） g (x )=f (x )−2=a x +b x −2，gʹ(x )=a x lna +b x lnb =a x lnb [lna lnb+(b a)x]，由 0<a <1，b >1 可得 ba >1，令 ℎ(x )=(b a )x+lnalnb ，则 ℎ(x ) 递增，而 lna <0，lnb >0，因此 x 0=log b a(−lnalnb ) 时 ℎ(x 0)=0，因此 x ∈(−∞,x 0) 时，ℎ(x )<0，a x lnb >0，则 gʹ(x )<0． x ∈(x 0,+∞) 时，ℎ(x )>0，a x lnb >0，则 gʹ(x )>0．则 g (x ) 在 (−∞,x 0) 递减，(x 0,+∞) 递增，因此 g (x ) 最小值为 g (x 0)． ①若 g (x 0)<0，x <log a 2 时，a x >a log a 2=2，b x >0，则 g (x )>0． x >log b 2 时，a x >0，b x >b log b 2=2，则 g (x )>0．因此 x 1<log a 2 且 x 1<x 0 时，g (x 1)>0，因此 g (x ) 在 (x 1,x 0) 有零点， x 2>log b 2 且 x 2>x 0 时，g (x 2)>0，因此 g (x ) 在 (x 0,x 2) 有零点，则 g (x ) 至少有两个零点，与条件矛盾．②若 g (x 0)≥0，由函数 g (x ) 有且只有 1 个零点，g (x ) 最小值为 g (x 0)，可得 g (x 0)=0，由 g (0)=a 0+b 0−2=0，因此 x 0=0，因此 log b a(−lna lnb )=0，即 −lnalnb =1，即 lna +lnb =0，因此 ln (ab )=0，则 ab =1．34. （1）因为 (x −a )n =∑C n k n k=0 (−a )n−k x k，所以yʹ=∑kC n k nk=0(−a )n−k x k−1=∑nC n−1k−1nk=0(−a )n−k x k−1=n (x −a)n−1.（2）对函数 f n (x )=x n −(x −a )n 求导数：f n ʹ(x )=nx n−1−n (x −a )n−1，所以 f n ʹ(n )=n [n n−1−(n −a )n−1]．当 x ≥a >0 时，f n ′(x )>0．∴ 当 x ≥a 时，f n (x )=x n −(x −a )n 是关于 x 的增函数．因此，当 n ≥a 时，(n +1)n−(n +1−a )n >n n −(n −a )n ．所以f n+1′(n +1)=(n +1)[(n +1)n −(n +1−a )n ]>(n +1)(n n −(n −a )n )>(n +1)[n n −n (n −a )n−1]=(n +1)f n′(n ).即对任意 n ≥a ，f n+1ʹ(n +1)>(n +1)f n′(n )． 35. （1）设 m A =x ，m B =y ．甲买进产品 A 的满意度：ℎ1甲=12x +12;甲卖出产品 B 的满意度：ℎ2甲=yy +5; 甲买进产品 A 和卖出产品 B 的综合满意度：ℎ甲=√12x +12⋅yy +5;同理，乙卖出产品 A 和买进产品 B 的综合满意度：ℎ乙=√x x +3⋅20y +20.当 x =35y 时，ℎ甲=√12x +12⋅y y +5=√1235y +12⋅y y +5=√20y(y +20)(y +5),ℎ乙=√x x +3⋅20y +20=√35y 35y +3⋅20y +20=√20y (y +20)(y +5). 故 ℎ甲=ℎ乙．（2）当 x =35y 时，由（1）知ℎ甲=ℎ乙=√20y(y+20)(y+5),因为20y(y+20)(y+5)=20y+100y+25≤49，且等号成立当且仅当y=10．当y=10时，x=6．因此，当m A=6，m B=10时，甲、乙两人的综合满意度均最大，且最大的综合满意度为23．（3）由（2）知ℎ0=23．因为ℎ甲ℎ乙=√12x+12⋅yy+5⋅xx+3⋅20y+20 =√12x+36x+15⋅20y+100y+25≤49,所以，当ℎ甲≥23，ℎ乙≥23时，有ℎ甲=ℎ乙=23.因此，不能取到m A，m B的值，使得ℎ甲≥ℎ0和ℎ乙≥ℎ0同时成立，但等号不同时成立．36. （1）设x0是f(x)=0的根，那么f(x0)=0.由已知，得x0是g[f(x)]=0的根，则g[f(x0)]=0,即g(0)=0，因此d=0．（2）由a=0，得f(x)=bx2+cx,g(x)=bx2+cx,则方程g[f(x)]=f(x)[bf(x)+c]=(bx2+cx)(b2x2+bcx+c)=0的根也是f(x)=x(bx+c)=0的根．（i）若b=0，由于a，b，c，d不全为0，则c≠0，此时f(x)=0的根为0，而g[f(x)]的根也是0，所以c≠0；（ii）若b≠0，①当c=0时，f(x)=0的根为0，而g[f(x)]=0的根也是0；②当c≠0时，f(x)=0的根为0和−cb，而bf(x)+c=0的根不可能为0和−cb，从而bf(x)+c=0必无实数根，即Δ=(bc)2−4b2c<0,解得0<c<4．综合①②，得0≤c<4．由（i）（ii），得当b=0时，c≠0；当b≠0时，0≤c<4．（3）由a=1，f(1)=0，得b+c=0，从而f(x)=0的根为0和1．此时g(x)=x3−cx2+cx=x(x2−cx+c),则g[f(x)]=f(x){[f(x)]2−cf(x)+c}.根据题意，得(−cx2+cx)2−c(−cx2+cx)+c=0必无实数根．（i）当c>0时，t=−cx2+cx=−c(x−12)2+c4≤c4.于是问题转化为当t≤c4时，ℎ(t)=t2−ct+c>0恒成立．因为ℎ(t)=t2−ct+c=(t−c2)2+c−c24,所以ℎ(t)min=ℎ(c4).根据题意，得c2 16−c24+c>0,解得0<c<163．（ii）当c<0时，t=−cx2+cx=−c(x−12)2+c4≥c4,于是问题转化为当t≥c4时，ℎ(t)=t2−ct+c>0恒成立．因为ℎ(t)=t2−ct+c=(t−c2)2+c−c24,所以ℎ(t)min=ℎ(c2).根据题意，得c−c24>0,解得0<c<4，这与c<0矛盾，因此c不可能小于0．（iii ）当 c =0 时，b =0，这时 f (x )=0 的根为一切实数，而 g [f (x )]=0 的根也是一切实数，所以 c =0 符合要求．综合（i ）（ii ）（iii ），得 0≤c <163．37. （1）当 T ={2,4} 时，S T =a 2+a 4=a 2+9a 2=30，解得 a 2=3，从而 a 1=a 23=1，a n =3n−1．（2）S T≤a 1+a 2+⋯+a k=1+3+32+⋯+3k−1=3k −12<3k =a k+1.（3）设 A =∁C (C ∩D )，B =∁D (C ∩D )，则 A ∩B =∅， S C =S A +S C∩D ，S D =S B +S C∩D ，S C +S C∩D −2S D =S A −2S B ，因此原题就等价于证明 S A ≥2S B ．由条件 S C ≥S D ，可知 S A ≥S B ．① 若 B =∅，则 S B =0，所以 S A ≥2S B ． ② 若 B ≠∅，由 S A ≥S B 可知 A ≠∅．设 A 中最大元素为 l ，B 中最大元素为 m ．若 m ≥l +1，则由第（2）小题，S A <a l+1≤a m ≤S B ，矛盾．因为 A ∩B =∅，所以 l ≠m ，所以 l ≥m +1，S B ≤a 1+a 2+⋯+a m=1+3+32+⋯+3m−1=3m −12<a m+12≤a l 2≤S A 2, 即 S A >2S B ．综上所述，S A ≥2S B ，因此 S C +S C∩D ≥2S D ． 38. （1）由题意，得Q n (a n ,a n 2),P n+1(1a⋅a n 2,a n 2),Q n+1(1a ⋅a n 2,1a2⋅a n 4).由 Q n+1 的横坐标为 a n+1，得a n+1=1a ⋅a n2, 两边取对数，得lga n+1=2lga n −lga,两端同减去 lga ，得lga n+1−lga =2(lga n −lga ),则 {lga n } 是公比为 2 、首项为 lg a1a 的等比数列，从而lga n −lga =2n−1lga 1a, 解得a n =a (a 1a)2n−1.（2）由 a =1，得 a n+1=a n 2．由 a 1≤12，得a 2≤14,a 3≤116.因为当 k ≥1 时，a k+2≤a 3≤116. 所以∑(a k −a k+1)nk=1a k+2≤116∑(a k −a k+1)nk=1=116(a 1−a n+1)<132.（3）由（1），及 a =1，得 a n =a 12n−1，因此∑(a k −a k+1)nk=1a k+2=∑(a 12k−1−a 12k )nk=1a 12k+1≤∑(a 1i −a 1i+1)2n−1i=1a 12i+2=(1−a 1)a 12∑a 13i 2n−1i=1<(1−a 1)a 12⋅a 131−a 13=a 151+a 1+a 12<13.。

江苏省南京市(新版)2024高考数学统编版真题(提分卷)完整试卷

江苏省南京市（新版）2024高考数学统编版真题(提分卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知（为虚数单位），则（）A．B．C．D．第(2)题在的展开式中，项的系数为（）A．B．C．30D．50第(3)题设集合，则（）A．B．C．D．第(4)题已知函数，则函数在上的所有零点之和为A．B．C．D．第(5)题已知全集为，则有（）A．B．C．D．第(6)题若实数，满足约束条件，则的最大值为（）A．-1B．-3C．3D．5第(7)题等比数列的历史由来已久，我国古代数学文献《孙子算经》、《九章算术》、《算法统宗》中都有相关问题的记载．现在我们不仅可以通过代数计算来研究等比数列，还可以构造出等比数列的图象，从图形的角度更为直观的认识它．以前n项和为，且，的等比数列为例，先画出直线OQ：，并确定x轴上一点，过点作y轴的平行线，交直线OQ于点，则．再过点作平行于x轴，长度等于的线段，……，不断重复上述步骤，可以得到点列，和．下列说法错误的是（）A．B．C．点的坐标为D．第(8)题已知等差数列的前项和为，若，，且，则数列的前2024项和为（）A．2023B．2024C．4046D．4048二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知点在线段上，是的角平分线，为上一点，且满足，设，下列说法正确的是（）A．点的轨迹是双曲线B．是三角形的内心C．D．在上的投影向量为第(2)题如图，在矩形中，，，为中点，现分别沿、将、翻折，使点、重合，记为点，翻折后得到三棱锥，则（）A．B．三棱锥的体积为C．直线与平面所成角的大小为D．三棱锥外接球的半径为第(3)题下列有关回归分析的结论中，正确的有（）A．在样本数据中，根据最小二乘法求得线性回归方程为，去除一个样本点后，得到的新线性回归方程一定会发生改变B．具有相关关系的两个变量的相关系数为那么越大，之间的线性相关程度越强C．若散点图中的散点均落在一条斜率非的直线上，则决定系数D．在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合精度越高三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知直线：，：．若，则___________，此时与之间的距离为___________．第(2)题已知曲线的焦距为8，则___________.第(3)题已知函数，则函数的最大值与最小值的差是______.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知，．(1)求在处的切线方程；(2)求证：对于和，且，都有；(3)请将（2）中的命题推广到一般形式，井用数学归纳法证明你所推广的命题．第(2)题已知分别为双曲线的左，右焦点，点在上，且双曲线的渐近线与圆相切．(1)求双曲线的方程；(2)若过点且斜率为的直线交双曲线的右支于两点，为轴上一点，满足，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．第(3)题已知函数.(1)若不等式有解，求实数的取值范围；(2)若有两个不同的零点，证明：.第(4)题已知.(1)若，求函数的单调区间和极值；(2)若对都有成立，求实数a的取值范围.第(5)题已知函数有两个零点.（1）求实数的取值范围；（2）设、是的两个零点，求证：.。

高考数学试卷(含答案解析)

江苏省高考数学试卷一.填空题1．（5分）已知集合A={1, 2}, B={a, a2+3}．若A∩B={1}, 则实数a的值为．2．（5分）已知复数z=（1+i）（1+2i）, 其中i是虚数单位, 则z的模是．3．（5分）某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品, 产量分别为200, 400, 300, 100件．为检验产品的质量, 现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验, 则应从丙种型号的产品中抽取件．4．（5分）如图是一个算法流程图：若输入x的值为, 则输出y的值是．5．（5分）若tan（α﹣）=．则tanα=．6．（5分）如图, 在圆柱O1O2内有一个球O, 该球与圆柱的上、下底面及母线均相切, 记圆柱O1O2的体积为V1, 球O的体积为V2, 则的值是．7．（5分）记函数f（x）=定义域为D．在区间[﹣4, 5]上随机取一个数x, 则x∈D的概率是．8．（5分）在平面直角坐标系xOy中, 双曲线﹣y2=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P, Q, 其焦点是F1, F2, 则四边形F1PF2Q的面积是．9．（5分）等比数列{a n}的各项均为实数, 其前n项为S n, 已知S3=, S6=, 则a8=．10．（5分）某公司一年购买某种货物600吨, 每次购买x吨, 运费为6万元/次, 一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小, 则x的值是．11．（5分）已知函数f（x）=x3﹣2x+e x﹣, 其中e是自然对数的底数．若f （a﹣1）+f（2a2）≤0．则实数a的取值范围是．12．（5分）如图, 在同一个平面内, 向量, , 的模分别为1, 1, , 与的夹角为α, 且tanα=7, 与的夹角为45°．若=m+n（m, n ∈R）, 则m+n=．13．（5分）在平面直角坐标系xOy中, A（﹣12, 0）, B（0, 6）, 点P在圆O：x2+y2=50上．若≤20, 则点P的横坐标的取值范围是．14．（5分）设f（x）是定义在R上且周期为1的函数, 在区间[0, 1）上, f （x）=, 其中集合D={x|x=, n∈N*}, 则方程f（x）﹣lgx=0的解的个数是．二.解答题15．（14分）如图, 在三棱锥A﹣BCD中, AB⊥AD, BC⊥BD, 平面ABD⊥平面BCD, 点E、F（E与A、D不重合）分别在棱AD, BD上, 且EF⊥AD．求证：（1）EF∥平面ABC；（2）AD⊥AC．16．（14分）已知向量=（cosx, sinx）, =（3, ﹣）, x∈[0, π]．（1）若∥, 求x的值；（2）记f（x）=, 求f（x）的最大值和最小值以及对应的x的值．17．（14分）如图, 在平面直角坐标系xOy中, 椭圆E：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1, F2, 离心率为, 两准线之间的距离为8．点P在椭圆E上, 且位于第一象限, 过点F1作直线PF1的垂线l1, 过点F2作直线PF2的垂线l2．（1）求椭圆E的标准方程；（2）若直线l1, l2的交点Q在椭圆E上, 求点P的坐标．18．（16分）如图, 水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm, 容器Ⅰ的底面对角线AC的长为10cm, 容器Ⅱ的两底面对角线EG, E1G1的长分别为14cm和62cm．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水, 水深均为12cm．现有一根玻璃棒l, 其长度为40cm．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）（1）将l放在容器Ⅰ中, l的一端置于点A处, 另一端置于侧棱CC1上, 求l 没入水中部分的长度；（2）将l 放在容器Ⅱ中, l 的一端置于点E 处, 另一端置于侧棱GG 1上, 求l 没入水中部分的长度．19．（16分）对于给定的正整数k, 若数列{a n }满足：a n ﹣k +a n ﹣k +1+…+a n ﹣1+a n +1+…+a n +k ﹣1+a n +k =2ka n 对任意正整数n （n ＞k ）总成立, 则称数列{a n }是“P （k ）数列”．（1）证明：等差数列{a n }是“P （3）数列”；（2）若数列{a n }既是“P （2）数列”, 又是“P （3）数列”, 证明：{a n }是等差数列．20．（16分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0, b∈R）有极值, 且导函数f′（x）的极值点是f（x）的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）（1）求b关于a的函数关系式, 并写出定义域；（2）证明：b2＞3a；（3）若f（x）, f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣, 求a的取值范围．二.非选择题, 附加题（21-24选做题）【选修4-1：几何证明选讲】（本小题满分0分）21．如图, AB为半圆O的直径, 直线PC切半圆O于点C, AP⊥PC, P为垂足．求证：（1）∠PAC=∠CAB；（2）AC2 =AP•AB．[选修4-2：矩阵与变换]22．已知矩阵A=, B=．（1）求AB；（2）若曲线C1：=1在矩阵AB对应的变换作用下得到另一曲线C2, 求C2的方程．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中, 已知直线l的参数方程为（t为参数）, 曲线C的参数方程为（s为参数）．设P为曲线C上的动点, 求点P到直线l的距离的最小值．［选修4-5：不等式选讲］24．已知a, b, c, d为实数, 且a2+b2=4, c2+d2=16, 证明ac+bd≤8．【必做题】25．如图, 在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中, AA1⊥平面ABCD, 且AB=AD=2, AA1=, ∠BAD=120°．（1）求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；（2）求二面角B﹣A1D﹣A的正弦值．26．已知一个口袋有m个白球, n个黑球（m, n∈N*, n≥2）, 这些球除颜色外全部相同．现将口袋中的球随机的逐个取出, 并放入如图所示的编号为1, 2, 3, …, m+n的抽屉内, 其中第k次取出的球放入编号为k的抽屉（k=1, 2, 3, …, m+n）．123…m+n（1）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p；（2）随机变量x表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数, E（X）是X的数学期望, 证明E（X）＜．江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析一.填空题1．（5分）（2020•江苏）已知集合A={1, 2}, B={a, a2+3}．若A∩B={1}, 则实数a的值为1．【分析】利用交集定义直接求解．【解答】解：∵集合A={1, 2}, B={a, a2+3}．A∩B={1},∴a=1或a2+3=1,解得a=1．故答案为：1．【点评】本题考查实数值的求法, 是基础题, 解题时要认真审题, 注意交集定义及性质的合理运用．2．（5分）（2020•江苏）已知复数z=（1+i）（1+2i）, 其中i是虚数单位, 则z 的模是．【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【解答】解：复数z=（1+i）（1+2i）=1﹣2+3i=﹣1+3i,∴|z|==．故答案为：．【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式, 考查了推理能力与计算能力, 属于基础题．3．（5分）（2020•江苏）某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品, 产量分别为200, 400, 300, 100件．为检验产品的质量, 现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验, 则应从丙种型号的产品中抽取18件．【分析】由题意先求出抽样比例即为, 再由此比例计算出应从丙种型号的产品中抽取的数目．【解答】解：产品总数为200+400+300+100=1000件, 而抽取60辆进行检验, 抽样比例为=,则应从丙种型号的产品中抽取300×=18件,故答案为：18【点评】本题的考点是分层抽样．分层抽样即要抽样时保证样本的结构和总体的结构保持一致, 按照一定的比例, 即样本容量和总体容量的比值, 在各层中进行抽取．4．（5分）（2020•江苏）如图是一个算法流程图：若输入x的值为, 则输出y 的值是﹣2．【分析】直接模拟程序即得结论．【解答】解：初始值x=, 不满足x≥1,所以y=2+log2=2﹣=﹣2,故答案为：﹣2．【点评】本题考查程序框图, 模拟程序是解决此类问题的常用方法, 注意解题方法的积累, 属于基础题．5．（5分）（2020•江苏）若tan（α﹣）=．则tanα=．【分析】直接根据两角差的正切公式计算即可【解答】解：∵tan（α﹣）===∴6tanα﹣6=tanα+1,解得tanα=,故答案为：．【点评】本题考查了两角差的正切公式, 属于基础题6．（5分）（2020•江苏）如图, 在圆柱O1O2内有一个球O, 该球与圆柱的上、下底面及母线均相切, 记圆柱O1O2的体积为V1, 球O的体积为V2, 则的值是．【分析】设出球的半径, 求出圆柱的体积以及球的体积即可得到结果．【解答】解：设球的半径为R, 则球的体积为：R3,圆柱的体积为：πR2•2R=2πR3．则==．故答案为：．【点评】本题考查球的体积以及圆柱的体积的求法, 考查空间想象能力以及计算能力．7．（5分）（2020•江苏）记函数f（x）=定义域为D．在区间[﹣4, 5]上随机取一个数x, 则x∈D的概率是．【分析】求出函数的定义域, 结合几何概型的概率公式进行计算即可．【解答】解：由6+x﹣x2≥0得x2﹣x﹣6≤0, 得﹣2≤x≤3,则D=[﹣2, 3],则在区间[﹣4, 5]上随机取一个数x, 则x∈D的概率P==,故答案为：【点评】本题主要考查几何概型的概率公式的计算, 结合函数的定义域求出D, 以及利用几何概型的概率公式是解决本题的关键．8．（5分）（2020•江苏）在平面直角坐标系xOy中, 双曲线﹣y2=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P, Q, 其焦点是F1, F2, 则四边形F1PF2Q的面积是．【分析】求出双曲线的准线方程和渐近线方程, 得到P, Q坐标, 求出焦点坐标, 然后求解四边形的面积．【解答】解：双曲线﹣y2=1的右准线：x=, 双曲线渐近线方程为：y=x, 所以P（, ）, Q（, ﹣）, F1（﹣2, 0）．F2（2, 0）．则四边形F1PF2Q的面积是：=2．故答案为：2．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用, 考查计算能力．9．（5分）（2020•江苏）等比数列{a n}的各项均为实数, 其前n项为S n, 已知S3=, S6=, 则a8=32．【分析】设等比数列{a n}的公比为q≠1, S3=, S6=, 可得=,=, 联立解出即可得出．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q≠1,∵S3=, S6=, ∴=, =,解得a1=, q=2．则a8==32．故答案为：32．【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式, 考查了推理能力与计算能力, 属于中档题．10．（5分）（2020•江苏）某公司一年购买某种货物600吨, 每次购买x吨, 运费为6万元/次, 一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小, 则x的值是30．【分析】由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和=+4x, 利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和=+4x≥4×2×=240（万元）．当且仅当x=30时取等号．故答案为：30．【点评】本题考查了基本不等式的性质及其应用, 考查了推理能力与计算能力, 属于基础题．11．（5分）（2020•江苏）已知函数f（x）=x3﹣2x+e x﹣, 其中e是自然对数的底数．若f（a﹣1）+f（2a2）≤0．则实数a的取值范围是[﹣1, ] ．【分析】求出f（x）的导数, 由基本不等式和二次函数的性质, 可得f（x）在R上递增；再由奇偶性的定义, 可得f（x）为奇函数, 原不等式即为2a2≤1﹣a, 运用二次不等式的解法即可得到所求范围．【解答】解：函数f（x）=x3﹣2x+e x﹣的导数为：f′（x）=3x2﹣2+e x+≥﹣2+2=0,可得f（x）在R上递增；又f（﹣x）+f（x）=（﹣x）3+2x+e﹣x﹣e x+x3﹣2x+e x﹣=0,可得f（x）为奇函数,则f（a﹣1）+f（2a2）≤0,即有f（2a2）≤﹣f（a﹣1）=f（1﹣a）,即有2a2≤1﹣a,解得﹣1≤a≤,故答案为：[﹣1, ]．【点评】本题考查函数的单调性和奇偶性的判断和应用, 注意运用导数和定义法, 考查转化思想的运用和二次不等式的解法, 考查运算能力, 属于中档题．12．（5分）（2020•江苏）如图, 在同一个平面内, 向量, , 的模分别为1, 1, , 与的夹角为α, 且tanα=7, 与的夹角为45°．若=m+n（m, n∈R）, 则m+n=3．【分析】如图所示, 建立直角坐标系．A（1, 0）．由与的夹角为α, 且tanα=7．可得cosα=, sinα=．C．可得cos（α+45°）=．sin （α+45°）=．B．利用=m+n（m, n∈R）, 即可得出．【解答】解：如图所示, 建立直角坐标系．A（1, 0）．由与的夹角为α, 且tanα=7．∴cosα=, sinα=．∴C．cos（α+45°）=（cosα﹣sinα）=．sin（α+45°）=（sinα+cosα）=．∴B．∵=m+n（m, n∈R）,∴=m﹣n, =0+n,解得n=, m=．则m+n=3．故答案为：3．【点评】本题考查了向量坐标运算性质、和差公式, 考查了推理能力与计算能力, 属于中档题．13．（5分）（2020•江苏）在平面直角坐标系xOy中, A（﹣12, 0）, B（0, 6）, 点P在圆O：x2+y2=50上．若≤20, 则点P的横坐标的取值范围是[﹣5, 1] ．【分析】根据题意, 设P（x0, y0）, 由数量积的坐标计算公式化简变形可得2x0+y0+5≤0, 分析可得其表示表示直线2x+y+5≤0以及直线下方的区域, 联立直线与圆的方程可得交点的横坐标, 结合图形分析可得答案．【解答】解：根据题意, 设P（x0, y0）, 则有x02+y02=50,=（﹣12﹣x0, ﹣y0）•（﹣x0, 6﹣y0）=（12+x0）x0﹣y0（6﹣y0）=12x0+6y+x02+y02≤20,化为：12x0﹣6y0+30≤0,即2x0﹣y0+5≤0, 表示直线2x+y+5≤0以及直线下方的区域,联立, 解可得x0=﹣5或x0=1,结合图形分析可得：点P的横坐标x0的取值范围是[﹣5, 1],故答案为：[﹣5, 1]．【点评】本题考查数量积的运算以及直线与圆的位置关系, 关键是利用数量积化简变形得到关于x0、y0的关系式．14．（5分）（2020•江苏）设f（x）是定义在R上且周期为1的函数, 在区间[0, 1）上, f（x）=, 其中集合D={x|x=, n∈N*}, 则方程f（x）﹣lgx=0的解的个数是8．【分析】由已知中f（x）是定义在R上且周期为1的函数, 在区间[0, 1）上, f （x）=, 其中集合D={x|x=, n∈N*}, 分析f（x）的图象与y=lgx 图象交点的个数, 进而可得答案．【解答】解：∵在区间[0, 1）上, f（x）=,第一段函数上的点的横纵坐标均为有理数,又f（x）是定义在R上且周期为1的函数,∴在区间[1, 2）上, f（x）=, 此时f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；同理：区间[2, 3）上, f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间[3, 4）上, f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间[4, 5）上, f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间[5, 6）上, f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间[6, 7）上, f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间[7, 8）上, f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间[8, 9）上, f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；在区间[9, +∞）上, f（x）的图象与y=lgx无交点；故f（x）的图象与y=lgx有8个交点；即方程f（x）﹣lgx=0的解的个数是8,故答案为：8【点评】本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断, 函数的图象和性质, 转化思想, 难度中档．二.解答题15．（14分）（2020•江苏）如图, 在三棱锥A﹣BCD中, AB⊥AD, BC⊥BD, 平面ABD⊥平面BCD, 点E、F（E与A、D不重合）分别在棱AD, BD上, 且EF ⊥AD．求证：（1）EF∥平面ABC；（2）AD⊥AC．【分析】（1）利用AB∥EF及线面平行判定定理可得结论；（2）通过取线段CD上点G, 连结FG、EG使得FG∥BC, 则EG∥AC, 利用线面垂直的性质定理可知FG⊥AD, 结合线面垂直的判定定理可知AD⊥平面EFG, 从而可得结论．【解答】证明：（1）因为AB⊥AD, EF⊥AD, 且A、B、E、F四点共面,所以AB∥EF,又因为EF⊊平面ABC, AB⊆平面ABC,所以由线面平行判定定理可知：EF∥平面ABC；（2）在线段CD上取点G, 连结FG、EG使得FG∥BC, 则EG∥AC,因为BC⊥BD, 所以FG∥BC,又因为平面ABD⊥平面BCD,所以FG⊥平面ABD, 所以FG⊥AD,又因为AD⊥EF, 且EF∩FG=F,所以AD⊥平面EFG, 所以AD⊥EG,故AD⊥AC．【点评】本题考查线面平行及线线垂直的判定, 考查空间想象能力, 考查转化思想, 涉及线面平行判定定理, 线面垂直的性质及判定定理, 注意解题方法的积累, 属于中档题．16．（14分）（2020•江苏）已知向量=（cosx, sinx）, =（3, ﹣）, x∈[0, π]．（1）若∥, 求x的值；（2）记f（x）=, 求f（x）的最大值和最小值以及对应的x的值．【分析】（1）根据向量的平行即可得到tanx=﹣, 问题得以解决,（2）根据向量的数量积和两角和余弦公式和余弦函数的性质即可求出【解答】解：（1）∵=（cosx, sinx）, =（3, ﹣）, ∥,∴﹣cosx=3sinx,∴tanx=﹣,∵x∈[0, π],∴x=,（2）f（x）==3cosx﹣sinx=2（cosx﹣sinx）=2cos（x+）,∵x∈[0, π],∴x+∈[, ],∴﹣1≤cos（x+）≤,当x=0时, f（x）有最大值, 最大值3,当x=时, f（x）有最小值, 最大值﹣2．【点评】本题考查了向量的平行和向量的数量积以及三角函数的化简和三角函数的性质, 属于基础题17．（14分）（2020•江苏）如图, 在平面直角坐标系xOy中, 椭圆E：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1, F2, 离心率为, 两准线之间的距离为8．点P在椭圆E上, 且位于第一象限, 过点F1作直线PF1的垂线l1, 过点F2作直线PF2的垂线l2．（1）求椭圆E的标准方程；（2）若直线l1, l2的交点Q在椭圆E上, 求点P的坐标．【分析】（1）由椭圆的离心率公式求得a=2c, 由椭圆的准线方程x=±, 则2×=8, 即可求得a和c的值, 则b2=a2﹣c2=3, 即可求得椭圆方程；（2）设P点坐标, 分别求得直线PF2的斜率及直线PF1的斜率, 则即可求得l2及l1的斜率及方程, 联立求得Q点坐标, 由Q在椭圆方程, 求得y02=x02﹣1, 联立即可求得P点坐标；方法二：设P（m, n）, 当m≠1时, =, =, 求得直线l1及l1的方程, 联立求得Q点坐标, 根据对称性可得=±n2, 联立椭圆方程, 即可求得P点坐标．【解答】解：（1）由题意可知：椭圆的离心率e==, 则a=2c, ①椭圆的准线方程x=±, 由2×=8, ②由①②解得：a=2, c=1,则b2=a2﹣c2=3,∴椭圆的标准方程：；（2）方法一：设P（x0, y0）, 则直线PF2的斜率=,则直线l2的斜率k2=﹣, 直线l2的方程y=﹣（x﹣1）,直线PF1的斜率=,则直线l2的斜率k2=﹣, 直线l2的方程y=﹣（x+1）,联立, 解得：, 则Q（﹣x0, ）,由P, Q在椭圆上, P, Q的横坐标互为相反数, 纵坐标应相等, 则y0=, ∴y02=x02﹣1,则, 解得：, 则,又P在第一象限, 所以P的坐标为：P（, ）．方法二：设P（m, n）, 由P在第一象限, 则m＞0, n＞0,当m=1时, 不存在, 解得：Q与F1重合, 不满足题意,当m≠1时, =, =,由l1⊥PF1, l2⊥PF2, 则=﹣, =﹣,直线l1的方程y=﹣（x+1）, ①直线l2的方程y=﹣（x﹣1）, ②联立解得：x=﹣m, 则Q（﹣m, ）,由Q在椭圆方程, 由对称性可得：=±n2,即m2﹣n2=1, 或m2+n2=1,由P（m, n）, 在椭圆方程, , 解得：, 或,无解,又P在第一象限, 所以P的坐标为：P（, ）．【点评】本题考查椭圆的标准方程, 直线与椭圆的位置关系, 考查直线的斜率公式, 考查数形结合思想, 考查计算能力, 属于中档题．18．（16分）（2020•江苏）如图, 水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm, 容器Ⅰ的底面对角线AC的长为10cm, 容器Ⅱ的两底面对角线EG, E1G1的长分别为14cm和62cm．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水, 水深均为12cm．现有一根玻璃棒l, 其长度为40cm．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）（1）将l放在容器Ⅰ中, l的一端置于点A处, 另一端置于侧棱CC1上, 求l 没入水中部分的长度；（2）将l放在容器Ⅱ中, l的一端置于点E处, 另一端置于侧棱GG1上, 求l 没入水中部分的长度．【分析】（1）设玻璃棒在CC1上的点为M, 玻璃棒与水面的交点为N, 过N作NP∥MC, 交AC于点P, 推导出CC1⊥平面ABCD, CC1⊥AC, NP⊥AC, 求出MC=30cm, 推导出△ANP∽△AMC, 由此能出玻璃棒l没入水中部分的长度．（2）设玻璃棒在GG1上的点为M, 玻璃棒与水面的交点为N, 过点N作NP⊥EG, 交EG于点P, 过点E作EQ⊥E1G1, 交E1G1于点Q, 推导出EE1G1G为等腰梯形, 求出E1Q=24cm, E1E=40cm, 由正弦定理求出sin∠GEM=, 由此能求出玻璃棒l没入水中部分的长度．【解答】解：（1）设玻璃棒在CC1上的点为M, 玻璃棒与水面的交点为N,在平面ACM中, 过N作NP∥MC, 交AC于点P,∵ABCD﹣A1B1C1D1为正四棱柱, ∴CC1⊥平面ABCD,又∵AC⊂平面ABCD, ∴CC1⊥AC, ∴NP⊥AC,∴NP=12cm, 且AM2=AC2+MC2, 解得MC=30cm,∵NP∥MC, ∴△ANP∽△AMC,∴=, , 得AN=16cm．∴玻璃棒l没入水中部分的长度为16cm．（2）设玻璃棒在GG1上的点为M, 玻璃棒与水面的交点为N,在平面E1EGG1中, 过点N作NP⊥EG, 交EG于点P,过点E作EQ⊥E1G1, 交E1G1于点Q,∵EFGH﹣E1F1G1H1为正四棱台, ∴EE1=GG1, EG∥E1G1,EG≠E1G1,∴EE1G1G为等腰梯形, 画出平面E1EGG1的平面图,∵E1G1=62cm, EG=14cm, EQ=32cm, NP=12cm,∴E1Q=24cm,由勾股定理得：E1E=40cm,∴sin∠EE1G1=, sin∠EGM=sin∠EE1G1=, cos,根据正弦定理得：=, ∴sin, cos,∴sin∠GEM=sin（∠EGM+∠EMG）=sin∠EGMcos∠EMG+cos∠EGMsin∠EMG=, ∴EN===20cm．∴玻璃棒l没入水中部分的长度为20cm．【点评】本题考查玻璃棒l 没入水中部分的长度的求法, 考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识, 考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力, 考查数形结合思想、化归与转化思想, 是中档题．19．（16分）（2020•江苏）对于给定的正整数k, 若数列{a n }满足：a n ﹣k +a n ﹣k +1+…+a n ﹣1+a n +1+…+a n +k ﹣1+a n +k =2ka n 对任意正整数n （n ＞k ）总成立, 则称数列{a n }是“P （k ）数列”．（1）证明：等差数列{a n }是“P （3）数列”；（2）若数列{a n }既是“P （2）数列”, 又是“P （3）数列”, 证明：{a n }是等差数列．【分析】（1）由题意可知根据等差数列的性质, a n ﹣3+a n ﹣2+a n ﹣1+a n +1+a n +2+a n +3=（a n ﹣3+a n +3）+（a n ﹣2+a n +2）+（a n ﹣1+a n +1）═2×3a n , 根据“P （k ）数列”的定义, 可得数列{a n }是“P （3）数列”；（2）由“P （k ）数列”的定义, 则a n ﹣2+a n ﹣1+a n +1+a n +2=4a n , a n ﹣3+a n ﹣2+a n ﹣1+a n +1+a n +2+a n +3=6a n , 变形整理即可求得2a n =a n ﹣1+a n +1, 即可证明数列{a n }是等差数列．【解答】解：（1）证明：设等差数列{a n }首项为a 1, 公差为d, 则a n =a 1+（n ﹣1）d,则a n ﹣3+a n ﹣2+a n ﹣1+a n +1+a n +2+a n +3,=（a n﹣3+a n+3）+（a n﹣2+a n+2）+（a n﹣1+a n+1）,=2a n+2a n+2a n,=2×3a n,∴等差数列{a n}是“P（3）数列”；（2）证明：由数列{a n}是“P（2）数列”则a n﹣2+a n﹣1+a n+1+a n+2=4a n, ①数列{a n}是“P（3）数列”a n﹣3+a n﹣2+a n﹣1+a n+1+a n+2+a n+3=6a n, ②+a n﹣2+a n+a n+1=4a n﹣1, ③由①可知：a n﹣3a n﹣1+a n+a n+2+a n+3=4a n+1, ④由②﹣（③+④）：﹣2a n=6a n﹣4a n﹣1﹣4a n+1,整理得：2a n=a n﹣1+a n+1,∴数列{a n}是等差数列．【点评】本题考查等差数列的性质, 考查数列的新定义的性质, 考查数列的运算, 考查转化思想, 属于中档题．20．（16分）（2020•江苏）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0, b∈R）有极值, 且导函数f′（x）的极值点是f（x）的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）（1）求b关于a的函数关系式, 并写出定义域；（2）证明：b2＞3a；（3）若f（x）, f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣, 求a的取值范围．【分析】（1）通过对f（x）=x3+ax2+bx+1求导可知g（x）=f′（x）=3x2+2ax+b, 进而再求导可知g′（x）=6x+2a, 通过令g′（x）=0进而可知f′（x）的极小值点为x=﹣, 从而f（﹣）=0, 整理可知b=+（a＞0）, 结合f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0, b∈R）有极值可知f′（x）=0有两个不等的实根, 进而可知a＞3．（2）通过（1）构造函数h（a）=b2﹣3a=﹣+=（4a3﹣27）（a3﹣27）, 结合a＞3可知h（a）＞0, 从而可得结论；（3）通过（1）可知f′（x）的极小值为f′（﹣）=b﹣, 利用韦达定理及完全平方关系可知y=f（x）的两个极值之和为﹣+2, 进而问题转化为解不等式b﹣+﹣+2=﹣≥﹣, 因式分解即得结论．【解答】（1）解：因为f（x）=x3+ax2+bx+1,所以g（x）=f′（x）=3x2+2ax+b, g′（x）=6x+2a,令g′（x）=0, 解得x=﹣．由于当x＞﹣时g′（x）＞0, g（x）=f′（x）单调递增；当x＜﹣时g′（x）＜0, g（x）=f′（x）单调递减；所以f′（x）的极小值点为x=﹣,由于导函数f′（x）的极值点是原函数f（x）的零点,所以f（﹣）=0, 即﹣+﹣+1=0,所以b=+（a＞0）．因为f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0, b∈R）有极值,所以f′（x）=3x2+2ax+b=0有两个不等的实根,所以4a2﹣12b＞0, 即a2﹣+＞0, 解得a＞3,所以b=+（a＞3）．（2）证明：由（1）可知h（a）=b2﹣3a=﹣+=（4a3﹣27）（a3﹣27）,由于a＞3, 所以h（a）＞0, 即b2＞3a；（3）解：由（1）可知f′（x）的极小值为f′（﹣）=b﹣,设x1, x2是y=f（x）的两个极值点, 则x1+x2=, x1x2=,所以f（x1）+f（x2）=++a（+）+b（x1+x2）+2=（x1+x2）[（x1+x2）2﹣3x1x2]+a[（x1+x2）2﹣2x1x2]+b（x1+x2）+2=﹣+2,又因为f（x）, f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣,所以b﹣+﹣+2=﹣≥﹣,因为a＞3, 所以2a3﹣63a﹣54≤0,所以2a（a2﹣36）+9（a﹣6）≤0,所以（a﹣6）（2a2+12a+9）≤0,由于a＞3时2a2+12a+9＞0,所以a﹣6≤0, 解得a≤6,所以a的取值范围是（3, 6]．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值, 考查运算求解能力, 考查转化思想, 注意解题方法的积累, 属于难题．二.非选择题, 附加题（21-24选做题）【选修4-1：几何证明选讲】（本小题满分0分）21．（2020•江苏）如图, AB为半圆O的直径, 直线PC切半圆O于点C, AP ⊥PC, P为垂足．求证：（1）∠PAC=∠CAB；（2）AC2 =AP•AB．【分析】（1）利用弦切角定理可得：∠ACP=∠ABC．利用圆的性质可得∠ACB=90°．再利用三角形内角和定理即可证明．（2）由（1）可得：△APC∽△ACB, 即可证明．【解答】证明：（1）∵直线PC切半圆O于点C, ∴∠ACP=∠ABC．∵AB为半圆O的直径, ∴∠ACB=90°．∵AP⊥PC, ∴∠APC=90°．∴∠PAC=90°﹣∠ACP, ∠CAB=90°﹣∠ABC,∴∠PAC=∠CAB．（2）由（1）可得：△APC∽△ACB,∴=．∴AC2 =AP•AB．【点评】本题考查了弦切角定理、圆的性质、三角形内角和定理、三角形相似的判定与性质定理, 考查了推理能力与计算能力, 属于中档题．[选修4-2：矩阵与变换]22．（2020•江苏）已知矩阵A=, B=．（1）求AB；（2）若曲线C1：=1在矩阵AB对应的变换作用下得到另一曲线C2, 求C2的方程．【分析】（1）按矩阵乘法规律计算；（2）求出变换前后的坐标变换规律, 代入曲线C1的方程化简即可．【解答】解：（1）AB==,（2）设点P（x, y）为曲线C1的任意一点,点P在矩阵AB的变换下得到点P′（x0, y0）,则=, 即x0=2y, y0=x,∴x=y0, y=,∴, 即x02+y02=8,∴曲线C2的方程为x2+y2=8．【点评】本题考查了矩阵乘法与矩阵变换, 属于中档题．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2020•江苏）在平面直角坐标系xOy中, 已知直线l的参数方程为（t为参数）, 曲线C的参数方程为（s为参数）．设P为曲线C上的动点, 求点P到直线l的距离的最小值．【分析】求出直线l的直角坐标方程, 代入距离公式化简得出距离d关于参数s 的函数, 从而得出最短距离．【解答】解：直线l的直角坐标方程为x﹣2y+8=0,∴P到直线l的距离d==,∴当s=时, d取得最小值=．【点评】本题考查了参数方程的应用, 属于基础题．［选修4-5：不等式选讲］24．（2020•江苏）已知a, b, c, d为实数, 且a2+b2=4, c2+d2=16, 证明ac+bd ≤8．【分析】a2+b2=4, c2+d2=16, 令a=2cosα, b=2sinα, c=4cosβ, d=4sinβ．代入ac+bd化简, 利用三角函数的单调性即可证明．另解：由柯西不等式可得：（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）, 即可得出．【解答】证明：∵a2+b2=4, c2+d2=16,令a=2cosα, b=2sinα, c=4cosβ, d=4sinβ．∴ac+bd=8（cosαcosβ+sinαsinβ）=8cos（α﹣β）≤8．当且仅当cos（α﹣β）=1时取等号．因此ac+bd≤8．另解：由柯西不等式可得：（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）=4×16=64, 当且仅当时取等号．∴﹣8≤ac+bd≤8．【点评】本题考查了对和差公式、三角函数的单调性、不等式的性质, 考查了推理能力与计算能力, 属于中档题．【必做题】26．（2020•江苏）已知一个口袋有m个白球, n个黑球（m, n∈N*, n≥2）, 这些球除颜色外全部相同．现将口袋中的球随机的逐个取出, 并放入如图所示的编号为1, 2, 3, …, m+n的抽屉内, 其中第k次取出的球放入编号为k的抽屉（k=1, 2, 3, …, m+n）．123…m+n（1）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p；（2）随机变量x表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数, E（X）是X的数学期望, 证明E（X）＜．【分析】（1）设事件A i表示编号为i的抽屉里放的是黑球, 则p=p（A2）=P（A2|A1）P（A1）+P（A2|）P（）, 由此能求出编号为2的抽屉内放的是黑球的概率．（2）X的所有可能取值为, …, , P（x=）=, k=n, n+1, n+2, …, n+m, 从而E（X）=（）=, 由此能证明E （X）＜．【解答】解：（1）设事件A i表示编号为i的抽屉里放的是黑球,则p=p（A2）=P（A2|A1）P（A1）+P（A2|）P（）===．证明：（2）∵X的所有可能取值为, …, ,P（x=）=, k=n, n+1, n+2, …, n+m,∴E（X）=（）==＜==•（）==,∴E（X）＜．【点评】本题考查概率的求法, 考查离散型随机变量的分布列、数学期望等基础知识, 考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力, 考查数形结合思想、化归与转化思想, 是中档题．25．（2020•江苏）如图, 在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中, AA1⊥平面ABCD, 且AB=AD=2, AA1=, ∠BAD=120°．（1）求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；（2）求二面角B﹣A1D﹣A的正弦值．【分析】在平面ABCD内, 过A作Ax⊥AD, 由AA1⊥平面ABCD, 可得AA1⊥Ax, AA1⊥AD, 以A为坐标原点, 分别以Ax、AD、AA1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．结合已知求出A, B, C, D, A1, C1的坐标, 进一步求出, , , 的坐标．（1）直接利用两法向量所成角的余弦值可得异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；（2）求出平面BA1D与平面A1AD的一个法向量, 再由两法向量所成角的余弦值求得二面角B﹣A1D﹣A的余弦值, 进一步得到正弦值．【解答】解：在平面ABCD内, 过A作Ax⊥AD,∵AA1⊥平面ABCD, AD、Ax⊂平面ABCD,∴AA1⊥Ax, AA1⊥AD,以A为坐标原点, 分别以Ax、AD、AA1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．∵AB=AD=2, AA1=, ∠BAD=120°,∴A（0, 0, 0）, B（）, C（, 1, 0）,D（0, 2, 0）,A1（0, 0, ）, C1（）．=（）, =（）, , ．（1）∵cos＜＞==．∴异面直线A1B与AC1所成角的余弦值为；（2）设平面BA1D的一个法向量为,由, 得, 取x=, 得；取平面A1AD的一个法向量为．∴cos＜＞==．∴二面角B﹣A1D﹣A的正弦值为, 则二面角B﹣A1D﹣A的正弦值为．【点评】本题考查异面直线所成的角与二面角, 训练了利用空间向量求空间角, 是中档题．。

江苏高考数学试卷含答案和解析

江苏高考数学试卷含答案和解析Last updated on the afternoon of January 3, 20212012年江苏省高考数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．（5分）已知集合A={1，2，4}，B={2，4，6}，则A∪B=_________ ．2．（5分）某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3：3：4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取_________ 名学生．3．（5分）设a，b∈R，a+bi=（i为虚数单位），则a+b的值为_________ ．4．（5分）图是一个算法流程图，则输出的k的值是_________ ．5．（5分）函数f（x）=的定义域为_________ ．6．（5分）现有10个数，它们能构成一个以1为首项，﹣3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是_________ ．7．（5分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=3cm，AA1=2cm，则四棱锥A﹣BB1D1D的体积为_________ cm3．8．（5分）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线的离心率为，则m的值为_________ ．9．（5分）如图，在矩形ABCD中，AB=，BC=2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若=，则的值是_________ ．10．（5分）设f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间[﹣1，1]上，f（x）=其中a，b∈R．若=，则a+3b的值为_________ ．11．（5分）设a为锐角，若cos（a+）=，则sin（2a+）的值为_________ ．12．（5分）在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，若直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是_________ ．13．（5分）已知函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R）的值域为[0，+∞），若关于x的不等式f （x）＜c的解集为（m，m+6），则实数c的值为_________ ．14．（5分）已知正数a，b，c满足：5c﹣3a≤b≤4c﹣a，clnb≥a+clnc，则的取值范围是_________ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）在△ABC中，已知．（1）求证：tanB=3tanA；（2）若cosC=，求A的值．16．（14分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1B1=A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点（点D 不同于点C），且AD⊥DE，F为B1C1的中点．求证：（1）平面ADE⊥平面BCC1B1；（2）直线A1F∥平面ADE．17．（14分）如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y=kx﹣（1+k2）x2（k＞0）表示的曲线上，其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．（1）求炮的最大射程；（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．18．（16分）若函数y=f（x）在x=x0处取得极大值或极小值，则称x0为函数y=f（x）的极值点．已知a，b是实数，1和﹣1是函数f（x）=x3+ax2+bx的两个极值点．（1）求a和b的值；（2）设函数g（x）的导函数g′（x）=f（x）+2，求g（x）的极值点；（3）设h（x）=f（f（x））﹣c，其中c∈[﹣2，2]，求函数y=h（x）的零点个数．19．（16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0）．已知（1，e）和（e，）都在椭圆上，其中e为椭圆的离心率．（1）求椭圆的方程；（2）设A，B是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线AF1与直线BF2平行，AF2与BF1交于点P．（i）若AF1﹣BF2=求直线AF1的斜率；（ii）求证：PF1+PF2是定值．20．（16分）已知各项均为正数的两个数列{a n}和{b n}满足：a n+1=，n∈N*，（1）设b n+1=1+，n∈N*，，求证：数列是等差数列；（2）设b n+1=，n∈N*，且{a n}是等比数列，求a1和b1的值．三、附加题(21选做题：任选2小题作答，22、23必做题）（共3小题，满分40分）21．（20分）A．[选修4﹣1：几何证明选讲]如图，AB是圆O的直径，D，E为圆上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使BD=DC，连接AC，AE，DE．求证：∠E=∠C．B．[选修4﹣2：矩阵与变换]已知矩阵A的逆矩阵，求矩阵A的特征值．C．[选修4﹣4：坐标系与参数方程]在极坐标中，已知圆C经过点P（，），圆心为直线ρsin（θ﹣）=﹣与极轴的交点，求圆C的极坐标方程．D．[选修4﹣5：不等式选讲]已知实数x，y满足：|x+y|＜，|2x﹣y|＜，求证：|y|＜．22．（10分）设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ=0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ=1．（1）求概率P（ξ=0）；（2）求ξ的分布列，并求其数学期望E（ξ）．23．（10分）设集合P n={1，2，…，n}，n∈N*．记f（n）为同时满足下列条件的集合A的个数：①AP n；②若x∈A，则2xA；③若x∈A，则2x A．（1）求f（4）；（2）求f（n）的解析式（用n表示）．2012年江苏高考数学参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．（5分）已知集合A={1，2，4}，B={2，4，6}，则A∪B={1，2，4，6} ．考点：并集及其运算．专题：计算题．分析：由题意，A，B两个集合的元素已经给出，故由并集的运算规则直接得到两个集合的并集即可解答：解：∵A={1，2，4}，B={2，4，6}，∴A∪B={1，2，4，6}故答案为{1，2，4，6}点评：本题考查并集运算，属于集合中的简单计算题，解题的关键是理解并的运算定义2．（5分）某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3：3：4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取15 名学生．考点：分层抽样方法．分析：根据三个年级的人数比，做出高二所占的比例，用要抽取得样本容量乘以高二所占的比例，得到要抽取的高二的人数．解答：解：∵高一、高二、高三年级的学生人数之比为3：3：4，∴高二在总体中所占的比例是=，∵用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，∴要从高二抽取，故答案为：15点评：本题考查分层抽样方法，本题解题的关键是看出三个年级中各个年级所占的比例，这就是在抽样过程中被抽到的概率，本题是一个基础题．3．（5分）设a，b∈R，a+bi=（i为虚数单位），则a+b的值为8 ．考点：复数代数形式的乘除运算；复数相等的充要条件．专题：计算题．分析：由题意，可对复数代数式分子与分母都乘以1+2i，再由进行计算即可得到a+bi=5+3i，再由复数相等的充分条件即可得到a，b的值，从而得到所求的答案解答：解：由题，a，b∈R，a+bi=所以a=5，b=3，故a+b=8故答案为8点评：本题考查复数代数形式的乘除运算，解题的关键是分子分母都乘以分母的共轭，复数的四则运算是复数考查的重要内容，要熟练掌握，复数相等的充分条件是将复数运算转化为实数运算的桥梁，解题时要注意运用它进行转化．4．（5分）图是一个算法流程图，则输出的k的值是 5 ．考点：循环结构．专题：计算题．分析：利用程序框图计算表达式的值，判断是否循环，达到满足题目的条件，结束循环，得到结果即可．解答：解：1﹣5+4=0＞0，不满足判断框．则k=2，22﹣10+4=﹣2＞0，不满足判断框的条件，则k=3，32﹣15+4=﹣2＞0，不成立，则k=4，42﹣20+4=0＞0，不成立，则k=5，52﹣25+4=4＞0，成立，所以结束循环，输出k=5．故答案为：5．点评：本题考查循环框图的作用，考查计算能力，注意循环条件的判断．5．（5分）函数f（x）=的定义域为（0，] ．考点：对数函数的定义域．专题：计算题．分析：根据开偶次方被开方数要大于等于0，真数要大于0，得到不等式组，根据对数的单调性解出不等式的解集，得到结果．解答：解：函数f（x）=要满足1﹣2≥0，且x＞0∴，x＞0∴，x＞0，∴，x＞0，∴0，故答案为：（0，]点评：本题考查对数的定义域和一般函数的定义域问题，在解题时一般遇到，开偶次方时，被开方数要不小于0，；真数要大于0；分母不等于0；0次方的底数不等于0，这种题目的运算量不大，是基础题．6．（5分）现有10个数，它们能构成一个以1为首项，﹣3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是．考点：等比数列的性质；古典概型及其概率计算公式．专题：计算题．分析：先由题意写出成等比数列的10个数为，然后找出小于8的项的个数，代入古典概论的计算公式即可求解解答：解：由题意成等比数列的10个数为：1，﹣3，（﹣3）2，（﹣3）3…（﹣3）9其中小于8的项有：1，﹣3，（﹣3）3，（﹣3）5，（﹣3）7，（﹣3）9共6个数这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是P=故答案为：点评：本题主要考查了等比数列的通项公式及古典概率的计算公式的应用，属于基础试题7．（5分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=3cm，AA1=2cm，则四棱锥A﹣BB1D1D的体积为 6 cm3．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题．分析：过A作AO⊥BD于O，求出AO，然后求出几何体的体积即可．解答：解：过A作AO⊥BD于O，AO是棱锥的高，所以AO==，所以四棱锥A﹣BB1D1D的体积为V==6．故答案为：6．点评：本题考查几何体的体积的求法，考查空间想象能力与计算能力．8．（5分）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线的离心率为，则m的值为2 ．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；压轴题．分析：由双曲线方程得y2的分母m2+4＞0，所以双曲线的焦点必在x轴上．因此a2=m＞0，可得c2=m2+m+4，最后根据双曲线的离心率为，可得c2=5a2，建立关于m的方程：m2+m+4=5m，解之得m=2．解答：解：∵m2+4＞0∴双曲线的焦点必在x轴上因此a2=m＞0，b2=m2+4∴c2=m+m2+4=m2+m+4∵双曲线的离心率为，∴，可得c2=5a2，所以m2+m+4=5m，解之得m=2故答案为：2点评：本题给出含有字母参数的双曲线方程，在已知离心率的情况下求参数的值，着重考查了双曲线的概念与性质，属于基础题．9．（5分）如图，在矩形ABCD中，AB=，BC=2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若=，则的值是．考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题．分析：根据所给的图形，把已知向量用矩形的边所在的向量来表示，做出要用的向量的模长，表示出要求得向量的数量积，注意应用垂直的向量数量积等于0，得到结果．解答：解：∵，====||=，∴||=1，||=﹣1，∴=（）（）==﹣=﹣2++2=，故答案为：点评：本题考查平面向量的数量积的运算．本题解题的关键是把要用的向量表示成已知向量的和的形式，本题是一个中档题目．10．（5分）设f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间[﹣1，1]上，f（x）=其中a，b∈R．若=，则a+3b的值为﹣10 ．考点：函数的周期性；分段函数的解析式求法及其图象的作法．专题：计算题．分析：由于f（x）是定义在R上且周期为2的函数，由f（x）的表达式可得f（）=f（﹣）=1﹣a=f（）=；再由f（﹣1）=f（1）得2a+b=0，解关于a，b的方程组可得到a，b的值，从而得到答案．解答：解：∵f（x）是定义在R上且周期为2的函数，f（x）=，∴f（）=f（﹣）=1﹣a，f（）=；又=，∴1﹣a=①又f（﹣1）=f（1），∴2a+b=0，②由①②解得a=2，b=﹣4；∴a+3b=﹣10．故答案为：﹣10．点评：本题考查函数的周期性，考查分段函数的解析式的求法，着重考查方程组思想，得到a，b的方程组并求得a，b的值是关键，属于中档题．11．（5分）设a为锐角，若cos（a+）=，则sin（2a+）的值为．考点：三角函数中的恒等变换应用；两角和与差的余弦函数；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦．专题：计算题；压轴题．分析：根据a为锐角，cos（a+）=为正数，可得a+也是锐角，利用平方关系可得sin（a+）=．接下来配角，得到cosa=，sina=，再用二倍角公式可得sin2a=，cos2a=，最后用两角和的正弦公式得到sin（2a+）=sin2acos+cosasin=．解答：解：∵a为锐角，cos（a+）=，∴a+也是锐角，且sin（a+）==∴cosa=cos[（a+）﹣]=cos+sin=sina=sin[（a+）﹣]=cos﹣sin=由此可得sin2a=2sinacosa=，cos2a=cos2a﹣sin2a=又∵sin=sin（）=，cos=cos（）=∴sin（2a+）=sin2acos+cosasin=+=故答案为：点评：本题要我们在已知锐角a+的余弦值的情况下，求2a+的正弦值，着重考查了两角和与差的正弦、余弦公式和二倍角的正弦、余弦等公式，考查了三角函数中的恒等变换应用，属于中档题．12．（5分）在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，若直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是．考点：圆与圆的位置关系及其判定；直线与圆的位置关系．专题：计算题．分析：由于圆C的方程为（x﹣4）2+y2=1，由题意可知，只需（x﹣4）2+y2=4与直线y=kx﹣2有公共点即可．解答：解：∵圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，整理得：（x﹣4）2+y2=1，即圆C是以（4，0）为圆心，1为半径的圆；又直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，∴只需圆C′：（x﹣4）2+y2=4与直线y=kx﹣2有公共点即可．设圆心C（4，0）到直线y=kx﹣2的距离为d，则d=≤2，即3k2≤4k，∴0≤k≤．∴k的最大值是．故答案为：．点评：本题考查直线与圆的位置关系，将条件转化为“（x﹣4）2+y2=4与直线y=kx﹣2有公共点”是关键，考查学生灵活解决问题的能力，属于中档题．13．（5分）已知函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R）的值域为[0，+∞），若关于x的不等式f（x）＜c的解集为（m，m+6），则实数c的值为9 ．考点：一元二次不等式的应用．专题：计算题；压轴题．分析：根据函数的值域求出a与b的关系，然后根据不等式的解集可得f（x）=c的两个根为m，m+6，最后利用根与系数的关系建立等式，解之即可．解答：解：∵函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R）的值域为[0，+∞），∴f（x）=x2+ax+b=0只有一个根，即△=a2﹣4b=0则b=不等式f（x）＜c的解集为（m，m+6），即为x2+ax+＜c解集为（m，m+6），则x2+ax+﹣c=0的两个根为m，m+6∴|m+6﹣m|==6解得c=9故答案为：9点评：本题主要考查了一元二次不等式的应用，以及根与系数的关系，同时考查了分析求解的能力和计算能力，属于中档题．14．（5分）已知正数a，b，c满足：5c﹣3a≤b≤4c﹣a，clnb≥a+clnc，则的取值范围是[e，7] ．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；不等式的综合．专题：计算题；综合题；压轴题．分析：由题意可求得≤≤2，而5×﹣3≤≤4×﹣1，于是可得≤7；由clnb≥a+clnc可得0＜a≤cln，从而≥，设函数f（x）=（x＞1），利用其导数可求得f（x）的极小值，也就是的最小值，于是问题解决．解答：解：∵4c﹣a≥b＞0∴＞，∵5c﹣3a≤4c﹣a，∴≤2．从而≤2×4﹣1=7，特别当=7时，第二个不等式成立．等号成立当且仅当a：b：c=1：7：2．又clnb≥a+clnc，∴0＜a≤cln，从而≥，设函数f（x）=（x＞1），∵f′（x）=，当0＜x＜e时，f′（x）＜0，当x＞e时，f′（x）＞0，当x=e时，f′（x）=0，∴当x=e时，f（x）取到极小值，也是最小值．∴f（x）min=f（e）==e．等号当且仅当=e，=e成立．代入第一个不等式知：2≤=e≤3，不等式成立，从而e可以取得．等号成立当且仅当a：b：c=1：e：1．从而的取值范围是[e，7]双闭区间．点评：本题考查不等式的综合应用，得到≥，通过构造函数求的最小值是关键，也是难点，考查分析与转化、构造函数解决问题的能力，属于难题．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）在△ABC中，已知．（1）求证：tanB=3tanA；（2）若cosC=，求A的值．考点：解三角形；平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用．专题：计算题．分析：（1）利用平面向量的数量积运算法则化简已知的等式左右两边，然后两边同时除以c化简后，再利用正弦定理变形，根据cosAcosB≠0，利用同角三角函数间的基本关系弦化切即可得到tanB=3tanA；（2）由C为三角形的内角，及cosC的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinC的值，进而再利用同角三角函数间的基本关系弦化切求出tanC的值，由tanC的值，及三角形的内角和定理，利用诱导公式求出tan（A+B）的值，利用两角和与差的正切函数公式化简后，将tanB=3tanA代入，得到关于tanA的方程，求出方程的解得到tanA的值，再由A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数．解答：解：（1）∵=3，∴cbcosA=3cacosB，即bcosA=3acosB，由正弦定理=得：sinBcosA=3sinAcosB，又0＜A+B＜π，∴cosA＞0，cosB＞0，在等式两边同时除以cosAcosB，可得tanB=3tanA；（2）∵cosC=，0＜C＜π，sinC==，∴tanC=2，则tan[π﹣（A+B）]=2，即tan（A+B）=﹣2，∴=﹣2，将tanB=3tanA代入得：=﹣2，整理得：3tan2A﹣2tanA﹣1=0，即（tanA﹣1）（3tanA+1）=0，解得：tanA=1或tanA=﹣，又coaA＞0，∴tanA=1，又A为三角形的内角，则A=．点评：此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：平面向量的数量积运算法则，正弦定理，同角三角函数间的基本关系，诱导公式，两角和与差的正切函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．16．（14分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1B1=A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点（点D不同于点C），且AD⊥DE，F为B1C1的中点．求证：（1）平面ADE⊥平面BCC1B1；（2）直线A1F∥平面ADE．考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：计算题．分析：（1）根据三棱柱ABC﹣AB1C1是直三棱柱，得到CC1⊥平面ABC，从而AD⊥CC1，结合已知条件AD⊥DE，1DE、CC1是平面BCC1B1内的相交直线，得到AD⊥平面BCC1B1，从而平面ADE⊥平面BCC1B1；（2）先证出等腰三角形△A1B1C1中，A1F⊥B1C1，再用类似（1）的方法，证出A1F⊥平面BCC1B1，结合AD⊥平面BCC1B1，得到A1F∥AD，最后根据线面平行的判定定理，得到直线A1F∥平面ADE．解答：解：（1）∵三棱柱ABC﹣AB1C1是直三棱柱，1∴CC1⊥平面ABC，∵AD平面ABC，∴AD⊥CC1又∵AD⊥DE，DE、CC1是平面BCC1B1内的相交直线∴AD⊥平面BCC1B1，∵AD平面ADE∴平面ADE⊥平面BCC1B1；（2）∵△A1B1C1中，A1B1=A1C1，F为B1C1的中点∴A1F⊥B1C1，∵CC1⊥平面A1B1C1，A1F平面A1B1C1，∴A1F⊥CC1又∵B1C1、CC1是平面BCC1B1内的相交直线∴A1F⊥平面BCC1B1又∵AD⊥平面BCC1B1，∴A1F∥AD∵A1F平面ADE，AD平面ADE，∴直线A1F∥平面ADE．点评：本题以一个特殊的直三棱柱为载体，考查了直线与平面平行的判定和平面与平面垂直的判定等知识点，属于中档题．17．（14分）如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y=kx﹣（1+k2）x2（k＞0）表示的曲线上，其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．（1）求炮的最大射程；（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．考点：函数模型的选择与应用．专题：综合题．分析：（1）求炮的最大射程即求y=kx﹣（1+k2）x2（k＞0）与x轴的横坐标，求出后应用基本不等式求解．（2）求炮弹击中目标时的横坐标的最大值，由一元二次方程根的判别式求解．解答：解：（1）在y=kx﹣（1+k2）x2（k＞0）中，令y=0，得kx﹣（1+k2）x2=0．由实际意义和题设条件知x＞0，k＞0．∴，当且仅当k=1时取等号．∴炮的最大射程是10千米．（2）∵a＞0，∴炮弹可以击中目标等价于存在k＞0，使ka﹣（1+k2）a2=成立，即关于的方程a2k2﹣20ak+a2+64=0有正根．由△=400a2﹣4a2（a2+64）≥0得a≤6．此时，k=＞0．∴当a不超过6千米时，炮弹可以击中目标．点评：本题考查函数模型的运用，考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．18．（16分）若函数y=f（x）在x=x0处取得极大值或极小值，则称x0为函数y=f（x）的极值点．已知a，b是实数，1和﹣1是函数f（x）=x3+ax2+bx的两个极值点．（1）求a和b的值；（2）设函数g（x）的导函数g′（x）=f（x）+2，求g（x）的极值点；（3）设h（x）=f（f（x））﹣c，其中c∈[﹣2，2]，求函数y=h（x）的零点个数．考点：函数在某点取得极值的条件；函数的零点．专题：综合题．分析：（1）求出导函数，根据1和﹣1是函数的两个极值点代入列方程组求解即可．（2）由（1）得f（x）=x3﹣3x，求出g′（x），令g′（x）=0，求解讨论即可．（3）先分|d|=2和|d|＜2讨论关于的方程f（x）=d的情况；再考虑函数y=h（x）的零点．解答：解：（1）由f（x）=x3+ax2+bx，得f′（x）=3x2+2ax+b．∵1和﹣1是函数f（x）的两个极值点，∴f′（1）=3﹣2a+b=0，f′（﹣1）=3+2a+b=0，解得a=0，b=﹣3．（2）由（1）得，f（x）=x3﹣3x，∴g′（x）=f（x）+2=x3﹣3x+2=（x﹣1）2（x+2）=0，解得x1=x2=1，x3=﹣2．∵当x＜﹣2时，g′（x）＜0；当﹣2＜x＜1时，g′（x）＞0，∴﹣2是g（x）的极值点．∵当﹣2＜x＜1或x＞1时，g′（x）＞0，∴1不是g（x）的极值点．∴g（x）的极值点是﹣2．（3）令f（x）=t，则h（x）=f（t）﹣c．先讨论关于x的方程f（x）=d根的情况，d∈[﹣2，2]当|d|=2时，由（2）可知，f（x）=﹣2的两个不同的根为1和一2，注意到f（x）是奇函数，∴f（x）=2的两个不同的根为﹣1和2．当|d|＜2时，∵f（﹣1）﹣d=f（2）﹣d=2﹣d＞0，f（1）﹣d=f（﹣2）﹣d=﹣2﹣d＜0，∴一2，﹣1，1，2都不是f（x）=d的根．由（1）知，f′（x）=3（x+1）（x﹣1）．①当x∈（2，+∞）时，f′（x）＞0，于是f（x）是单调增函数，从而f（x）＞f（2）=2．此时f（x）=d在（2，+∞）无实根．②当x∈（1，2）时，f′（x）＞0，于是f（x）是单调增函数．又∵f（1）﹣d＜0，f（2）﹣d＞0，y=f（x）﹣d的图象不间断，∴f（x）=d在（1，2）内有唯一实根．同理，在（一2，一1）内有唯一实根．③当x∈（﹣1，1）时，f′（x）＜0，于是f（x）是单调减函数．又∵f（﹣1）﹣d＞0，f（1）﹣d＜0，y=f（x）﹣d的图象不间断，∴f（x）=d在（一1，1）内有唯一实根．因此，当|d|=2时，f（x）=d有两个不同的根x1，x2，满足|x1|=1，|x2|=2；当|d|＜2时，f（x）=d有三个不同的根x3，x4，x5，满足|x i|＜2，i=3，4，5．现考虑函数y=h（x）的零点：（i）当|c|=2时，f（t）=c有两个根t1，t2，满足|t1|=1，|t2|=2．而f（x）=t1有三个不同的根，f（x）=t2有两个不同的根，故y=h（x）有5个零点．（ii）当|c|＜2时，f（t）=c有三个不同的根t3，t4，t5，满足|t i|＜2，i=3，4，5．而f（x）=t i有三个不同的根，故y=h（x）有9个零点．综上所述，当|c|=2时，函数y=h（x）有5个零点；当|c|＜2时，函数y=h（x）有9个零点．点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的极值，考查函数的单调性，考查函数的零点，考查分类讨论的数学思想，综合性强，难度大．19．（16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0）．已知（1，e）和（e，）都在椭圆上，其中e为椭圆的离心率．（1）求椭圆的方程；（2）设A，B是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线AF1与直线BF2平行，AF2与BF1交于点P．（i）若AF1﹣BF2=求直线AF1的斜率；（ii）求证：PF1+PF2是定值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；直线的斜率；椭圆的标准方程．专题：综合题；压轴题．分析：（1）根据椭圆的性质和已知（1，e）和（e，），都在椭圆上列式求解．（2）（i）设AF1与BF2的方程分别为x+1=my，x﹣1=my，与椭圆方程联立，求出|AF1|、|BF2|，根据已知条件AF1﹣BF2=，用待定系数法求解；（ii）利用直线AF1与直线BF2平行，点B在椭圆上知，可得，，由此可求得PF1+PF2是定值．解答：（1）解：由题设知a2=b2+c2，e=，由点（1，e）在椭圆上，得，∴b=1，c2=a2﹣1．由点（e，）在椭圆上，得∴，∴a2=2∴椭圆的方程为．（2）解：由（1）得F1（﹣1，0），F2（1，0），又∵直线AF1与直线BF2平行，∴设AF1与BF2的方程分别为x+1=my，x﹣1=my．设A（x1，y1），B（x2，y2），y1＞0，y2＞0，∴由，可得（m2+2）﹣2my1﹣1=0．∴，（舍），∴|AF1|=×|0﹣y1|=①同理|BF2|=②（i）由①②得|AF1|﹣|BF2|=，∴，解得m2=2．∵注意到m＞0，∴m=．∴直线AF1的斜率为．（ii）证明：∵直线AF1与直线BF2平行，∴，即．由点B在椭圆上知，，∴．同理．∴PF1+PF2==由①②得，，，∴PF1+PF2=．∴PF1+PF2是定值．点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．20．（16分）已知各项均为正数的两个数列{a n}和{b n}满足：a n+1=，n∈N*，（1）设b n+1=1+，n∈N*，，求证：数列是等差数列；（2）设b n+1=，n∈N*，且{a n}是等比数列，求a1和b1的值．考点：数列递推式；等差关系的确定；等比数列的性质．专题：综合题；压轴题．分析：（1）由题意可得，a n+1===，从而可得，可证（2）由基本不等式可得，，由{a n}是等比数列利用反证法可证明q==1，进而可求a1，b1解答：解：（1）由题意可知，a n+1===∴从而数列{}是以1为公差的等差数列（2）∵a n＞0，b n＞0∴从而（*）设等比数列{a n}的公比为q，由a n＞0可知q＞0下证q=1若q＞1，则，故当时，与（*）矛盾0＜q＜1，则，故当时，与（*）矛盾综上可得q=1，a n=a1，所以，∵∴数列{b n}是公比的等比数列若，则，于是b 1＜b2＜b3又由可得∴b1，b2，b3至少有两项相同，矛盾∴，从而=∴点评：本题主要考查了利用构造法证明等差数列及等比数列的通项公式的应用，解题的关键是反证法的应用．三、附加题(21选做题：任选2小题作答，22、23必做题）（共3小题，满分40分）21．（20分）A．[选修4﹣1：几何证明选讲]如图，AB是圆O的直径，D，E为圆上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使BD=DC，连接AC，AE，DE．求证：∠E=∠C．B．[选修4﹣2：矩阵与变换]已知矩阵A的逆矩阵，求矩阵A的特征值．C．[选修4﹣4：坐标系与参数方程]在极坐标中，已知圆C经过点P（，），圆心为直线ρsin（θ﹣）=﹣与极轴的交点，求圆C的极坐标方程．D．[选修4﹣5：不等式选讲]已知实数x，y满足：|x+y|＜，|2x﹣y|＜，求证：|y|＜．考点：特征值与特征向量的计算；简单曲线的极坐标方程；不等式的证明；综合法与分析法(选修）．专题：选作题．分析：A．要证∠E=∠C，就得找一个中间量代换，一方面考虑到∠B，∠E是同弧所对圆周角，相等；另一方面根据线段中垂线上的点到线段两端的距离相等和等腰三角形等边对等角的性质得到．从而得证．B．由矩阵A的逆矩阵，根据定义可求出矩阵A，从而求出矩阵A的特征值．C．根据圆心为直线ρsin（θ﹣）=﹣与极轴的交点求出的圆心坐标；根据圆经过点P（，），求出圆的半径，从而得到圆的极坐标方程．D．根据绝对值不等式的性质求证．解答：A．证明：连接AD．∵AB是圆O的直径，∴∠ADB=90°（直径所对的圆周角是直角）．∴AD⊥BD（垂直的定义）．又∵BD=DC，∴AD是线段BC的中垂线（线段的中垂线定义）．∴AB=AC（线段中垂线上的点到线段两端的距离相等）．∴∠B=∠C（等腰三角形等边对等角的性质）．又∵D，E为圆上位于AB异侧的两点，∴∠B=∠E（同弧所对圆周角相等）．∴∠E=∠C（等量代换）．B、解：∵矩阵A的逆矩阵，∴A=∴f（λ）==λ2﹣3λ﹣4=0∴λ1=﹣1，λ2=4C、解：∵圆心为直线ρsin（θ﹣）=﹣与极轴的交点，∴在ρsin（θ﹣）=﹣中令θ=0，得ρ=1．∴圆C的圆心坐标为（1，0）．∵圆C经过点P（，），∴圆C的半径为PC=1．∴圆的极坐标方程为ρ=2cosθ．D、证明：∵3|y|=|3y|=|2（x+y）﹣（2x﹣y）|≤2|x+y|+2|2x﹣y|，：|x+y|＜，|2x﹣y|＜，∴3|y|＜，∴点评：本题是选作题，综合考查选修知识，考查几何证明选讲、矩阵与变换、坐标系与参数方程、不等式证明，综合性强22．（10分）设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ=0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ=1．（1）求概率P（ξ=0）；（2）求ξ的分布列，并求其数学期望E（ξ）．考点：离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式．专题：压轴题．分析：（1）求出两条棱相交时相交棱的对数，即可由概率公式求得概率．（2）求出两条棱平行且距离为的共有6对，即可求出相应的概率，从而求出随机变量的分布列与数学期望．解答：解：（1）若两条棱相交，则交点必为正方体8个顶点中的一个，过任意1个顶点恰有3条棱，∴共有8对相交棱，∴P（ξ=0）=．（2）若两条棱平行，则它们的距离为1或，其中距离为的共有6对，∴P（ξ=）=，P（ξ=1）1﹣P（ξ=0）﹣P（ξ=）=．∴随机变量ξ的分布列是：ξ01P∴其数学期望E（ξ）=1×+=．点评：本题考查概率的计算，考查离散型随机变量的分布列与期望，求概率是关键．23．（10分）设集合P n={1，2，…，n}，n∈N*．记f（n）为同时满足下列条件的集合A的个数：①AP n；②若x∈A，则2xA；③若x∈A，则2x A．（1）求f（4）；（2）求f（n）的解析式（用n表示）．考点：函数解析式的求解及常用方法；元素与集合关系的判断；集合的包含关系判断及应用．专题：计算题；压轴题．分析：（1）由题意可得P={1，2，3，，4}，符合条件的集合A为：{2}，{1，4}，{2，3}，{1，3，4}，故可求4f（4）（2）任取偶数x∈p n，将x除以2，若商仍为偶数，再除以2…，经过k次后，商必为奇数，此时记商为m，可知，若m∈A，则x∈A，k为偶数；若mA，则x∈Ak为奇数，可求解答：解（1）当n=4时，P={1，2，3，，4}，符合条件的集合A为：{2}，{1，4}，{2，3}，{1，3，4}4故f（4）=4（2）任取偶数x∈p n，将x除以2，若商仍为偶数，再除以2…，经过k次后，商必为奇数，此时记商为m，于是x=m?2k，其中m为奇数，k∈N*由条件可知，若m∈A，则x∈A，k为偶数若mA，则x∈Ak为奇数于是x是否属于A由m是否属于A确定，设Q n是P n中所有的奇数的集合因此f（n）等于Q n的子集个数，当n为偶数时（或奇数时），P n中奇数的个数是（或）∴点评：本题主要考查了集合之间包含关系的应用，解题的关键是准确应用题目中的定义参与本试卷答题和审题的老师有：涨停；sllwyn；俞文刚；wfy814；刘长柏；qiss；xintrl；minqi5；邢新丽（排名不分先后）菁优网2013年12月29日。

年高考江苏数学试题及答案(word解析版)

20１7年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷)数学I一、填空题:本大题共14小题，每小题5分，共计7０分. 请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．．（1）【2０1７年江苏,1,5分】已知集合}2{1A =，,23{},B a a =+．若{}1A B =，则实数a 的值为_＿_＿＿＿_.【答案】1【解析】∵集合}2{1A =，,23{},B a a =+.{}1AB =，∴1a =或231a +=，解得1a =．【点评】本题考查实数值的求法，是基础题,解题时要认真审题,注意交集定义及性质的合理运用. （2）【２0１7年江苏,2,5分】已知复数()()1i 12i z =-+,其中i 是虚数单位，则z 的模是＿_____＿. 【答案】10【解析】复数()()1i 12i 123i 13i z =-+=-+=-+,∴()221310z =-+=．【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式,考查了推理能力与计算能力，属于基础题. （3）【2017年江苏，3，5分】某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为２0０,4０0,30０,1０0件．为检验产品的质量,现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验,则应从丙种型号的产品中抽取_＿_＿＿＿_件. 【答案】18【解析】产品总数为2004003001001000+++=件,而抽取６0辆进行检验，抽样比例为6061000100=，则应从丙种型号的产品中抽取630018100⨯=件.【点评】本题的考点是分层抽样．分层抽样即要抽样时保证样本的结构和总体的结构保持一致,按照一定的比例,即样本容量和总体容量的比值，在各层中进行抽取．(4）【２０17年江苏，4,5分】如图是一个算法流程图：若输入x 的值为116，则输出y 的值是_＿____＿．【答案】2-【解析】初始值116x =,不满足1x ≥,所以41216222log 2log 2y =+=-=-．【点评】本题考查程序框图,模拟程序是解决此类问题的常用方法，注意解题方法的积累，属于基础题.(5)【２017年江苏,5,5分】若1tan 46πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭．则tan α=_＿__＿＿_.【答案】75【解析】tan tantan 114tan 4tan 161tan tan 4παπααπαα--⎛⎫-=== ⎪+⎝⎭+，∴6tan 6tan 1αα-=+，解得7tan 5α=．【点评】本题考查了两角差的正切公式，属于基础题. （6）【2017年江苏,６,5分】如如图，在圆柱12O O 内有一个球O ,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切。

十年高考分类江苏高考数学试卷精校版含详解2命题与逻辑部分

十年高考分类江苏高考数学试卷精校版含详解2命题与逻辑部分一、选择题（共1小题；共5分）1. 设α,β,γ为两两不重合的平面，l,m,n为两两不重合的直线，给出下列四个命题：①若α⊥γ,β⊥γ，则α∥β；②若m⊂α,n⊂α,m∥β,n∥β，则α∥β；③若α∥β,l⊂α,则l∥β；④若α∩β=l,β∩γ=m,γ∩α=n,l∥γ，则m∥n．其中真命题的个数是 A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（共3小题；共15分）2. a,b是实数，命题"若a>b，则2a>2b−1 "的否命题为．3. 设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：①若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；②若α外一条直线l与α内的一条直线平行，则l和α平行；③设α和β相交于直线l，若α内有一条直线垂直于l，则α和β垂直；④直线l与α垂直的充分必要条件是l与α内的两条直线垂直．上面命题中，真命题的序号是．（写出所有真命题的序号）4. 对于四面体ABCD，给出下列四个命题：①若AB=AC，BD=CD，则BC⊥AD；②若AB=CD，AC=BD，则BC⊥AD；③若AB⊥AC，BD⊥CD，则BC⊥AD；④若AB⊥CD，BD⊥AC，则BC⊥AD．其中真命题的序号是．（写出所有真命题的序号）三、解答题（共1小题；共13分）5. 设数列a n、b n、c n满足：b n=a n−a n+2，c n=a n+2a n+1+3a n+2n=1,2,3,⋯．证明：a n为等差数列的充分必要条件是c n为等差数列且b n≤b n+1n=1,2,3,⋯．答案第一部分1. B 【解析】③④正确．第二部分2. 若a≤b，则2a≤2b−13. ①②4. ①④【解析】如图①，取BC的中点M，连接AM、DM，由①的条件可以证明BC⊥平面AMD，从而得到BC⊥AD；如图④，作AH⊥平面BCD，垂足为H，由④的条件知，CD⊥平面ABH，BD⊥平面ACH，于是知H 为△BCD的垂心，从而有BC⊥平面ADH，所以BC⊥AD．②③错误，线段垂直与相等的条件在长方体中比较容易找到反例，如下图：图②中，如果侧面不是正方形，就没有BC⊥AD；图③中，BC⊥AD也不成立．第三部分5. 1∘必要性：设数列a n是公差为d1的等差数列，则b n+1−b n=a n+1−a n+3−a n−a n+2=a n+1−a n−a n+3−a n+2=d1−d1=0,从而b n≤b n+1n=1,2,3,⋯成立；又c n+1−c n=a n+1−a n+2a n+2−a n+1+3a n+3−a n+2=6d1,所以数列c n为等差数列．2∘充分性：设数列c n是公差为d2的等差数列，且b n≤b n+1n=1,2,3,⋯，因为c n=a n+2a n+1+3a n+2,⋯⋯①所以c n+2=a n+2+2a n+3+3a n+4.⋯⋯②①−②，得c n−c n+2=a n−a n+2+2a n+1−a n+3+3a n+2−a n+4=b n+2b n+1+3b n+2.因为c n−c n+2=c n−c n+1+c n+1−c n+2=−2d2,所以b n+2b n+1+3b n+2=−2d2,⋯⋯③从而有b n+1+2b n+2+3b n+3=−2d2.⋯⋯④④−③，得b n+1−b n+2b n+2−b n+1+3b n+3−b n+2=0.⋯⋯⑤因为b n+1−b n≥0,b n+2−b n+1≥0,b n+3−b n+2≥0,所以由⑤，得b n+1−b n=0n=1,2,3,⋯.由此，不妨设b n=d3n=1,2,3,⋯，则a n−a n+2=d3,从而c n=a n+2a n+1+3a n+2=4a n+2a n+1−3d3,⋯⋯⑥于是c n+1=4a n+1+2a n+2−3d3=4a n+1+2a n−5d3.⋯⋯⑦⑦−⑥，得c n+1−c n=2a n+1−a n−2d3,解得a n+1−a n=1c n+1−c n+d3=1d2+d3.所以数列a n为等差数列．综上，a n为等差数列的充分必要条件是c n为等差数列且b n≤b n+1．。

历年江苏数学高考试题及答案(2014-2003)

2003年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学（理工农医类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分1至2页，第Ⅱ卷3至10页考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）如果函数2y ax bx a =++的图象与x 轴有两个交点，则点(,)a b aOb 在平面上的区域（不包含边界）为（ c ）（2）抛物线2ax y =的准线方程是2=y ，则a 的值为（ b ）（A ）81 （B ）－81 （C ）8 （D ）－8 （3）已知==-∈x tg x x 2,54cos ),0,2(则π（）（A ）247 （B ）－247 （C ）724 （D ）－724 （4）设函数0021,1)(0,,0,12)(x x f x x x x f x 则若>⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=-的取值范围是（）（A ）（－1，1）（B ）(1,)-+∞（C ）（－∞，－2）∪（0，+∞）（D ）（－∞，－1）∪（1，+∞）（5）O 是平面上一定点，A B C 、、是平面上不共线的三个点，动点P 满足[)(),0,,AB AC OP OA P ABACλλ=++∈+∞则的轨迹一定通过ABC 的（A ）外心（B ）内心（C ）重心（D ）垂心（6）函数1ln,(1,)1x y x x +=∈+∞-的反函数为（）a (A)(B) (C) (D)（A ）1,(0,)1x x e y x e -=∈+∞+ （B ）1,(0,)1x xe y x e +=∈+∞- （C ）1,(,0)1x x e y x e -=∈-∞+ （D ）1,(,0)1x xe y x e +=∈-∞- （7）棱长为a 的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为（）（A ）33a （B ）34a （C ）36a （D ）312a（8）设20,()a f x ax bx c >=++，曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处切线的倾斜角的取值范围为0,,4P π⎡⎤⎢⎥⎣⎦则到曲线()y f x =对称轴距离的取值范围为（）（A ）10,a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ （B ）10,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ （C ）0,2b a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ （D ）10,2b a ⎡-⎤⎢⎥⎣⎦（9）已知方程0)2)(2(22=+-+-n x x m x x 的四个根组成一个首项为41的的等差数列，则=-||n m （）（A ）1 （B ）43 （C ）21 （D ）83（10）已知双曲线中心在原点且一个焦点为F （7，0），直线1-=x y 与其相交于M 、N 两点，MN 中点的横坐标为32-，则此双曲线的方程是（）（A ）14322=-y x （B ）13422=-y x （C ）12522=-y x （D ）15222=-y x （11）已知长方形的四个顶点A （0，0），B （2，0），C （2，1）和D （0，1），一质点从AB 的中点0P 沿与AB 的夹角θ的方向射到BC 上的点1P 后，依次反射到CD 、DA 和AB 上的点2P 、3P 和4P （入射角等于反射角），设4P 的坐标为（4x ，0），若214<<x ，则tg θ的取值范围是（）（A ）（31，1）（B ）（31，32）（C ）（52，21）（D ）（52，32）（12）一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（）（A ）π3（B ）4π（C ）π33（D ）π62003年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学（理工农医类）第Ⅱ卷（非选择题共90分）二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分把答案填在题中横线上（13）92)21(xx -的展开式中9x 系数是（14）某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1200辆，6000辆和2000辆为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取___________，__________，___________辆（15）某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图）现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有___________________种（以数字作答）（16）对于四面体ABCD ，给出下列四个命题①,,AB AC BD CD BC AD ==⊥若则②,,AB CD AC BD BC AD ==⊥若则③,,AB AC BD CD BC AD ⊥⊥⊥若则④,,AB CD AC BD BC AD ⊥⊥⊥若则其中真命题的序号是__________________.（写出所有真命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或或演算步骤（17）（本小题满分12分）有三种产品，合格率分别为0.90,0.95和0.95，各抽取一件进行检验（Ⅰ）求恰有一件不合格的概率；（Ⅱ）求至少有两件不合格的概率（精确到0.001）（18）（本小题满分12分）已知函数()sin()(0,0)f x x R ωϕωϕπ=+>≤≤是上的偶函数，其图象关于点3(,0)4M π对称，且在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是单调函数ωϕ和的值（19）（本小题满分12分）如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，底面是等腰直角三角形，︒=∠90ACB ，侧棱21=AA ，D 、E 分别是1CC 与B A 1的中点，点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的重心G （Ⅰ）求B A 1与平面ABD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）（Ⅱ）求点1A 到平面AED 的距离E GD CBAC 1B 1A 1（20）（本小题满分12分）已知常数0,(0,),a c a i >==向量经过原点O 以c i λ+为方向向量的直线与经过定点(0,)2A a i c λ-以为方向向量的直线相交于P ，其中R λ∈试问：是否存在两个定点E 、F ，使得PE PF +为定值若存在，求出E 、F 的坐标；若不存在，说明理由（21）（本小题满分12分）已知0,a n >为正整数（Ⅰ）设()n y x a =-，证明1'()n y n x a -=-；（Ⅱ）设()()n nn f x x x a =--，对任意n a ≥，证明1'(1)(1)'(n n f n n f n ++>+（22）（本小题满分14分）设0a >，如图，已知直线:l y ax =及曲线2:,C y x C =上的点1Q 的横坐标为11(0).(1)n a a a C Q n <<≥从上的点作直线平行于x 轴，交直线11n n l P P ++于点，再从点作直线平行于y 轴，交曲线1.(1,2,3,n n C Q Q n +=于点 …）的横坐标构成数列{}n a（Ⅰ）试求1n n a a +与的关系，并求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）当111,2a a =≤时，证明1211()32n k k k k a a a ++=-<∑ （Ⅲ）当1a =时，证明1211()3nk k k k a a a ++=-<∑2003年普通高等学校招生全国统一考试数学试题（江苏卷）答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分60分.1．C 2．B 3．D 4．D 5．B 6．B 7．C 8．B 9．C 10．D 11．C 12．A 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分. 13．221- 14．6,30,10 15．120 16．①④三、解答题17．本小题要主考查相互独立事件概率的计算，运用数学知识解决问题的能力，满分12分. 解：设三种产品各抽取一件，抽到合格产品的事件分别为A 、B 和C. （Ⅰ）95.0)()(,90.0)(===C P B P A P ， .50.0)()(,10.0)(===C P B P A P因为事件A ，B ，C 相互独立，恰有一件不合格的概率为176.095.095.010.005.095.090.02)()()()()()()()()()()()(=⨯⨯+⨯⨯⨯=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅C P B P A P C P B P A P C P B P A P C B A P C B A P C B A P 答：恰有一件不合格的概率为0.176. 解法一：至少有两件不合格的概率为)()()()(C B A P C B A P C B A P C B A P ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅012.005.010.095.005.010.0205.090.022=⨯+⨯⨯⨯+⨯= 解法二：三件产品都合格的概率为812.095.090.0)()()()(2=⨯=⋅⋅=⋅⋅C P B P A P C B A P由（Ⅰ）知，恰有一件不合格的概率为0.176，所以至有两件不合格的概率为.012.0)176.0812.0(1]176.0)([1=+-=+⋅⋅-C B A P答：至少有两件不合的概率为0.012.（18）在小题主要考查三角函数的图象和单调性、奇偶性等基本知识，以及分析问题和推理计算能力，满12分分。

历年江苏高考数学试卷(1999-2012)(含详细答案)

解决实际问题的能力.
Ⅰ.解：厚度为的带钢经过减薄率均为 r0 的 n 对轧辊后厚度为
a1 r0 n.
为使输出带钢的厚度不超过，冷轧机的轧辊数（以对为单位）应满足
a1 r0 n
即 1
r0 n
a
.
由于 1
r0 n
0,
a
0, 对比上式两端取对数，得
n
lg1
r0
lg
a
.
由于 lg1 r0 0,
① 4x 2y 1 0 ② x2 y2 3 ③ x2 y2 1 ④ x2 y2 1
2
2
在曲线上存在点 P 满足|MP|=|NP|的所有曲线方程是
()
(A) ①③
(B) ②④
(C) ①②③
(D) ②③④
14.某电脑用户计划使用不超过 500 元的资金购买单价分别为 60 元、70 元的单片软件
17.若正数
a
、
b
满足
ab
a
b
3,
则
ab
的取值范围是______________
新疆王新敞
奎屯
18. 、是两个不同的平面， m 、 n 是平面及之外的两条不同直线，给出四
个论断：
①m⊥n
② ⊥
③n⊥
④m ⊥
以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一．个．命题：
________________________________
分
.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
新疆王新敞
奎屯
1.如图，I 是全集，M、P、S 是 I 的 3 个子集，则阴
影部分所表示的集合是

十年高考分类江苏高考数学试卷精校版含详解9复数部分

十年高考分类江苏高考数学试卷精校版含详解9复数部分
一、填空题（共9小题；共45分）
1. 复数z=1+2i3−i，其中i为虚数单位，则z的实部是．
2. 若复数z1=4+29i，z2=6+9i，其中i是虚数单位，则复数z1−z2i的实部为．
3. 已知复数z=5+2i2（i为虚数单位），则z的实部为．
4. 设z＝2−i2（i为虚数单位），则复数z的模为．
表示为a+b i（a,b∈R,i是虚数单位）的形式，则a+b=．
5. 若将复数1+i
1−i
6. 设z=2−i2（i为虚数单位），则复数z的模为．
7. 设复数z满足z2−3i=6+4i（其中i为虚数单位），则z的模为．
8. 设复数z满足i z+1=−3+2i（i是虚数单位），则z的实部是．
9. 已知复数z=1+i1+2i，其中i是虚数单位，则z的模是．
答案
第一部分
1. 5
【解析】由复数的乘法，得z=5+5i，则z的实部是5．
2. −20
3. 21
4. 5
【解析】因为z=3−4i，所以∣z∣=32+−42=5．5. 1
【解析】因为1+i
1−i =1+i1+i
1−i1+i
=2i
2
=0+i．
所以a=0，b=1，a+b=1．
6. 5
7. 2
8. 1
9.。

十年高考分类江苏高考数学试卷精校版含详解4三角函数解三角形部分

十年高考分类江苏高考数学试卷精校版含详解4三角函数解三角形部分一、选择题（共7小题；共35分）1. 已知a∈R，函数f(x)=sinx−∣a∣(x∈R)为奇函数，则a=( )A. 0B. 1C. −1D. ±12. 若sin(π6−α)=13，则cos(2π3+2α)=( )A. −79B. −13C. 13D. 793. 下列函数中，周期为π2的是( )A. y=sin x2B. y=sin2x C. y=cos x4D. y=cos4x4. 为了得到函数y=2sin(x3+π6),x∈R的图象，只需把函数y=2sinx,x∈R的图象上的所有点( )A. 向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的13倍（纵坐标不变）B. 向右平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的13倍（纵坐标不变）C. 向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）D. 向右平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）5. 已知x∈(−π2,0)，cosx=45，则tan2x=( )A. 724B. −724C. 247D. −2476. 函数f(x)=sinx−√3cosx(x∈[−π,0])的单调递增区间是( )A. [−π,−5π6] B. [−5π6,−π6]C. [−π3,0] D. [−π6,0]7. △ABC中，A=π3，BC=3，则△ABC的周长为( )A. 4√3sin(B+π3)+3 B. 4√3sin(B+π6)+3C. 6sin(B+π3)+3 D. 6sin(B+π6)+3二、填空题（共23小题；共115分）8. 如图，函数y=Asin(ωx+φ)（A,ω,φ为常数，A>0，ω>0）在闭区间[−π,0]上的图象如图所示，则ω=．9. 函数 y =3sin (2x +π4) 的最小正周期为 .10. 已知函数 y =cosx 与 y =sin (2x +φ)(0≤φ<π)，它们的图象有一个横坐标为 π3 的交点，则 φ的值是．11. 若函数 f (x )=cos (ωx −π6)(ω>0) 最小正周期为 π5，则 ω= ． 12. 在 △ABC 中，已知 BC =12 ， A =60∘ ， B =45∘ ，则 AC = ．13. 定义在区间 [0,3π] 上的函数 y =sin2x 的图象与 y =cosx 的图象的交点个数是． 14. 若 tan (α−π4)=16，则 tanα= ．15. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知 △ABC 顶点 A (−4,0) 和 C (4,0) ，顶点 B 在椭圆x 225+y 29=1 上，则sinA+sinC sinB= ．16. 函数 f (x )=Asin (ωx +φ)，（A,ω,φ 是常数，A >0,ω>0）的部分图象如图所示，则f (0)= ．17. 已知 tan (x +π4)=2, 则 tanxtan2x的值为．18. 若 △ABC 的内角满足 sinA +√2sinB =2sinC ，则 cosC 的最小值是． 19. 若 cos (α+β)=15，cos (α−β)=35，则 tanαtanβ= ． 20. 设 α 为锐角，若 cos (α+π6)=45，则 sin (2α+π12) 的值为．21. 如图，在同一个平面内，向量 OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的模分别为 1，1，√2，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与 OC⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为 α，且 tanα=7，OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与 OC⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为 45∘．若 OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =mOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +nOB ⃗⃗⃗⃗⃗ (m,n ∈R )，则 m +n = ．22. 已知 tanα=−2，tan (α+β)=17，则 tanβ 的值为．23. 定义在区间 (0,π2) 上的函数 y =6cosx 的图象与 y =5tanx 的图象的交点为 P ，过点 P 作 PP 1⊥x 轴于点 P 1，直线 PP 1 与 y =sinx 的图象交于点 P 2，则线段 P 1P 2 的长为． 24. cot20∘cos10∘+√3sin10∘tan70∘−2cos40∘= ．25. 在锐角 △ABC 中，sinA =2sinBsinC ，则 tanAtanBtanC 的最小值是． 26. 设向量 a k ⃗⃗⃗⃗ =(coskπ6,sin kπ6+coskπ6)（k =0,1,2,⋯,12），则 ∑(a k ⃗⃗⃗⃗ ⋅a k+1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )11k=0 的值为．27. 在锐角△ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，ba +ab=6cosC，则tanCtanA+tanCtanB=．28. 某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5cm，秒针均匀地绕点O旋转，当时间t=0时，点A与钟面上标12的点B重合，将A，B两点的距离d(cm)表示成t(s)的函数，则d=，其中t∈[0,60]．29. 在锐角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是．30. 满足条件AB=2，AC=√2BC的三角形ABC的面积的最大值是．三、解答题（共17小题；共221分）31. 在△ABC中，AC=6，cosB=45，C=π4．（1）求AB的长；（2）求cos(A−π6)的值．32. 已知α∈(π2,π)，sinα=√55．（1）求sin(π4+α)的值；（2）求cos(5π6−2α)的值．33. 已知a=(cosα,sinα)，b⃗=(cosβ,sinβ)，0<β<α<π．（1）若∣∣a−b⃗∣∣=√2，求证：a⊥b⃗；（2）设c=(0,1)，若a+b⃗=c，求α,β的值．34. 如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm，容器Ⅰ的底面对角线AC的长为10√7cm，容器Ⅱ的两底面对角线EG，E1G1的长分别为14cm和62cm．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm．现有一根玻璃棒l，其长度为40cm．（容器厚度，玻璃棒粗细均忽略不计）（1）将l放在容器Ⅰ中，l的一端置于点A处，另一端置于侧棱CC1上，求l没入水中部分的长度；（2）将l放在容器Ⅱ中，l的一端置于点E处，另一端置于侧棱GG1上，求l没入水中部分的长度．35. 已知a，b，c，d为实数，且a2+b2=4，c2+d2=16，证明ac+bd≤8．36. 在 △ABC 中，已知 AB =2，AC =3，A =60∘．（1）求 BC 的长；（2）求 sin2C 的值．37. 设向量 a =(4cosα,sinα)，b ⃗ =(sinβ,4cosβ)，c =(cosβ,−4sinβ)．（1）若 a 与 b ⃗ −2c 垂直，求 tan (α+β) 的值；（2）求 ∣∣b ⃗ +c ∣∣ 的最大值；（3）若 tanαtanβ=16，求证：a ∥b⃗ ．38. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，以 Ox 轴为始边作两个锐角 α，β，它们的终边分别与单位圆相交于 A ，B 两点，已知 A ，B 的横坐标分别为 √210，2√55．求：（1）tan (α+β) 的值；（2）α+2β 的值．39. 已知函数 f (x )=sin (ωx +φ)(ω>0,0≤φ≤π) 是 R 上的偶函数，其图象关于点 M (3π4,0) 对称，且在区间 [0,π2] 上是单调函数，求 φ 和 ω 的值．40. 在 △ABC 中，已知 AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ．（1）求证：tanB =3tanA ；（2）若 cosC =√55，求 A 的值．41. 如图，游客从某旅游景区的景点 A 处下山至 C 处有两种路径．一种是从 A 沿直线步行到 C ，另一种是先从 A 沿索道乘缆车到 B ，然后从 B 沿直线步行到 C ．现有甲、乙两位游客从 A 处下山，甲沿 AC 匀速步行，速度为 50m/min ．在甲出发 2min 后，乙从 A 乘缆车到 B ，在 B 处停留 1min 后，再从 B 匀速步行到 C ．假设缆车匀速直线运动的速度为 130m/min ，山路 AC 长为 1260m ，经测量，cosA =1213,cosC =35．（1）求索道 AB 的长；（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短? （3）为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内? 42. 在平面直角坐标系 xOy 中，设 P (x,y ) 是椭圆 x 23+y 2=1 上的一个动点，求 S =x +y 的最大值．43. 在△ABC中，角A，B，C所对应的边为a，b，c．)=2cosA，求A的值；（1）若sin(A+π6，b=3c，求sinC的值．（2）若cosA=1344. 某兴趣小组测量电视塔AE的高度H（单位：m），示意图如图所示，垂直放置的标杆BC高度ℎ=4m，仰角∠ABE=α，∠ADE=β．（1）该小组已经测得一组α、β的值，tanα=1.24，tanβ=1.20，请据此算出H的值；（2）该小组分析若干测得的数据后，发现适当调整标杆到电视塔的距离d（单位：m），使α与β之差较大，可以提高测量精确度，若电视塔实际高度为125m，问d为多少时，α−β最大．45. 已知△ABC的三边长为有理数．（1）求证：cosA是有理数；（2）求证：对任意正整数n，cosnA是有理数．46. 如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90∘，侧棱AA1=2，D、E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G．（1）求A1B与平面ABD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；（2）求点A1到平面AED的距离．47. 在正三角形ABC中，E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点，满足AE:EB=CF:FA=CP:PB=1:2（如图1）．将△AEF沿EF折起到△A1EF的位置，使二面角A1−EF−B成直二面角，连结A1B、A1P（如图2）．（1）求证：A1E⊥平面BEP；（2）求直线A1E与平面A1BP所成角的大小；（3）求二面角B−A1P−F的大小．（用反三角函数表示）答案第一部分 1. A2. A【解析】cos (2π3+2α)=cos [π−(π3−2α)]=−cos [2(π6−α)]=2sin 2(π6−α)−1=−79.3. D4. C5. D6. D7. D【解析】在 △ABC 中，由正弦定理得：ACsinB =√32，化简得 AC =2√3sinB ，AB sin(π−B−π3)=√32，化简得 AB =2√3sin (2π3−B)，所以三角形的周长为：3+AC +AB=3+2√3sinB +2√3sin (2π3−B)=3+3√3sinB +3cosB=6sin (B +π6)+3.第二部分 8. 3 9. π 【解析】T =2π2=π10. π6【解析】由题意，得 sin (2×π3+φ)=cos π3，则 φ=π6适合题意．11. 10【解析】因为 f (x )=cos (ωx −π6) 的最小正周期为 2πω=π5．所以 ω=10． 12. 4√6 13. 7【解析】画出两个函数的图象，经观察共有 7 个交点．14. 75 15. 54 16. √62【解析】由图可知，A =√2，T4=7π12−π3=π4，所以 T =2πω=π，ω=2．从而 2×7π12+φ=2kπ+3π2，φ=2kπ+π3，其中 k ∈Z ．则 f (0)=√2sin (2kπ+π3)=√62． 17. 49【解析】tanx=tan (x +π4−π4)=tan (x +π4)−11+tan (x +π4)=13．tanx tan2x=tanx 2tanx 1−tan 2x =(1−tan 2x )2=49. 18.√6−√24【解析】因为 sinA +√2sinB =2sinC ，由正弦定理得 a +√2b =2c ．所以cosC =a 2+b 2−c 22ab =4a 2+4b 2−(a+√2b)28ab=3a 2+2b 28ab −√24≥2√3a 2⋅2b 28ab−√24=√64−√24,当且仅当 3a 2=2b 2 即 √3a =√2b 时取等号． 19. 12【解析】cos (α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ=15, ⋯⋯①cos (α−β)=cosαcosβ+sinαsinβ=35. ⋯⋯②由 ①②，得 cosαcosβ=25，sinαsinβ=15，故 tanαtanβ=sinαsinβcosαcosβ=12．20.17√250【解析】因为 cos (α+π6)=45，所以 α+π6∈(0,π2)．所以 sin (α+π6)=35．所以 sin (2α+π3)=2sin (α+π6)cos (α+π6)=2×35×45=2425， cos (2α+π3)=2cos 2(α+π6)−1=725．所以sin (2α+π12)=sin [(2α+π3)−π4]=sin (2α+π3)cos π4−cos (2α+π3)sin π4=17√250.21. 3 22. 3 23. 23【解析】由题意知线段 P 1P 2 长即为垂线 PP 1 与 y =sinx 图象交点的纵坐标．因为 {y =6cosx,y =5tanx, 所以6cosx =5tanx ．即 6(cosx )2=5sinx ．即 6(sinx )2+5sinx −6=0．因为 x ∈(0,π2)．所以 sinx =23，即 P 1P 2=23． 24. 2【解析】cot20∘cos10∘+√3sin10∘tan70∘−2cos40∘=tan70∘(cos10∘+√3sin10∘)−2cos40∘=2tan70∘sin40∘−2cos40∘=−2(cos70∘cos40∘−sin40∘sin70∘)cos70∘=−2cos110∘cos70∘=2.25. 8【解析】因为 sinA =sin (B +C )=sinBcosC +cosBsinC ，所以由已知得 sinBcosC +cosBsinC =2sinBsinC (∗)．由三角形 ABC 为锐角三角形，得 cosB >0，cosC >0．在 (∗) 式两端同时除以 cosBcosC ，得 tanB +tanC =2tanBtanC ，又 tanA =−tan (B +C )=−tanB+tanC 1−tanBtanC(#)，则 tanAtanBtanC =−tanB+tanC 1−tanBtanC×tanBtanC =−2(tanBtanC )21−tanBtanC．令 tanBtanC =t ．由 (#) 及 tanA >0，tanB >0，tanC >0，得 1−tanBtanC <0，即 t >1． tanAtanBtanC =−2t 21−t =−21t 2−1t=21t(1−1t)．因为 1t (1−1t )≤(1t +1−1t2)2=14，所以当且仅当 t =2 时，tanAtanBtanC 的最小值为 8．当 t =2，即 {tanB +tanC =4,tanBtanC =2,，亦即 {tanB =2+√2,tanC =2−√2,tanA =4 或 {tanB =2−√2,tanC =2+√2,tanA =4时，tanAtanBtanC 的最小值为 8． 26. 9√3【解析】提示：a k ⃗⃗⃗⃗ ⋅a k+1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3√34+sin 2k+16π+12cos 2k+16π．27. 4【解析】由已知 ba+ab =6cosC 及余弦定理 cosC =a 2+b 2−c 22ab，可得2a 2+2b 2=3c 2. ⋯⋯①而tanC tanA +tanC tanB =sin 2C cosCsinAsinB =6c 2a 2+b 2, 将①代入可得结果为 4． 28. 10sin πt60【解析】如图，设 ∠AOB =θ,θ∈[0,π]，由垂径定理，得 d =2×5sin θ2=10sin θ2．因为θ={πt 30,t ∈[0,30],2π−πt30,t ∈(30,60],所以d ={10sinπt 60,t ∈[0,30],10sin (π−πt60),t ∈(30,60],化简即得d =10sin πt60,t ∈[0,60].29. 8【解析】由 sinA =sin (B +C )=2sinBsinC ，得 sinBcosC +cosBsinC =2sinBsinC ．两边同时除以 cosBcosC ，得 tanB +tanC =2tanBtanC ．令 tanB +tanC =2tanBtanC =m ，又 △ABC 是锐角三角形，所以 2tanBtanC =tanB +tanC >2√tanB ⋅tanC ，则 tanBtanC >1，所以 m >2．又在三角形 ABC 中，有tanAtanBtanC=−tan (B +C )tanBtanC =−m1−12m ⋅12m=m 2m−2=(m −2)+4m−2+4≥2√(m −2)⋅4m−2+4=8,当且仅当 m −2=4m−2，即 m =4 时取等号，故 tanAtanBtanC 的最小值为 8． 30. 2√2【解析】设 BC =x ，则 AC =√2x ，根据面积公式，得 S △ABC =12AB ⋅BCsinB =x√1−cos 2B ．根据余弦定理，得 cosB =AB 2+BC 2−AC 22AB⋅BC=4+x 2−2x 24x=4−x 24x，于是 S △ABC =x √1−(4−x 24x)2=√128−(x 2−12)216．由三角形三边关系有 {√2x +x >2,x +2>√2x,解得 2√2−2<x <2√2+2，故当 x =2√3 时，S △ABC 取到最大值 2√2．第三部分31. （1）由 cosB =45，得 sinB =35．由 ABsinC =ACsinB ，得 AB =ACsinC sinB=6×√22×53=5√2．（2） cosA =−cos (C +B )=sinBsinC −cosBcosC=35×√22−45×√22=−√210.由 A 为三角形的内角，得 sinA =7√210．cos (A −π6)=cosAcos π6+sinAsin π6=−√210×√32+7√210×12=7√2−√620.32. （1）因为 α∈(π2,π),sinα=√55，所以 cosα=−√1−sin 2α=−2√55．故sin (π4+α)=sin π4cosα+cos π4sinα=√22×(−2√55)+√22×√55=−√1010.（2）由（1）知 sin2α=2sinαcosα=2×√55×(−2√55)=−45，cos2α=1−2sin 2α=1−2×(√55)2=35，所以cos (5π6−2α)=cos5π6cos2α+sin 5π6sin2α=(−√32)×35+12×(−45)=−4+3√310.33. （1）由题意得 ∣∣a −b ⃗ ∣∣2=2，即(a −b ⃗ )2=a 2−2a ⋅b⃗ +b ⃗ 2=2. 又因为 a 2=b ⃗ 2=∣a ∣2=∣∣b ⃗ ∣∣2=1，所以2−2a ⋅b⃗ =2, 即 a ⋅b ⃗ =0，故 a ⊥b⃗ ．（2）因为 a +b ⃗ =(cosα+cosβ,sinα+sinβ)=(0,1)，所以 {cosα+cosβ=0,sinα+sinβ=1,由此得cosα=cos (π−β),由 0<β<π，得0<π−β<π.又 0<α<π，故 α=π−β．代入 sinα+sinβ=1，得sinα=sinβ=12,而 α>β，所以α=5π6,β=π6.34. （1）设玻璃棒在 CC 1 上的点 M ，玻璃棒与水面的交点为 N ，如图 1，在平面 ACM 中，过 N 作 NP ∥MC ，交 AC 于点 P ，因为ABCD−A1B1C1D1为正四棱柱，所以CC1⊥平面ABCD，又因为AC⊂平面ABCD，所以CC1⊥AC，所以NP⊥AC，所以NP=12cm，且AM2=AC2+MC2，解得MC=30cm，因为NP∥MC，所以△ANP∽△AMC，所以ANAM =NPMC，AN40=1230，得AN=16cm．所以玻璃棒l没入水中部分的长度为16cm．（2）设玻璃棒在GG1上的点为M，玻璃棒与水面的交点为N，如图2，在平面E1EGG1中，过点N作NP⊥EG，交EG于点P，过点E作EQ⊥E1G1，交E1G1于点Q，因为EFGH−E1F1G1H1为正四棱台，所以EE1=GG1，EG∥E1G1，EG≠E1G1，所以EE1G1G为等腰梯形，画出截面E1EGG1，因为E1G1=62cm，EG=14cm，EQ=32cm，NP=12cm，所以E1Q=24cm，由勾股定理得：E1E=40cm，所以sin∠EE1G1=45，sin∠EGM=sin∠EE1G1=45，cos∠EGM=−35，根据正弦定理得：EMsin∠EGM =EGsin∠EMG，所以sin∠EMG=725，cos∠EMG=2425，所以sin∠GEM=sin(∠EGM+∠EMG)=sin∠EGMcos∠EMG+cos∠EGMsin∠EMG=35,所以EN=NPsin∠GEM =1235=20cm．所以玻璃棒l没入水中部分的长度为20cm．35. 因为a2+b2=4，c2+d2=16，令a=2cosα，b=2sinα，c=4cosβ，d=4sinβ．所以ac+bd=8(cosαcosβ+sinαsinβ)=8cos(α−β)≤8．当且仅当cos(α−β)=1时取等号．因此ac+bd≤8．另解：由柯西不等式可得：(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2)=4×16=64，当且仅当ac =bd时取等号．所以−8≤ac+bd≤8．36. （1）由余弦定理知，BC2=AB2+AC2−2AB⋅AC⋅cosA=4+9−2×2×3×12=7，所以BC=√7．（2）由正弦定理知，ABsinC =BCsinA，所以sinC=ABBC ⋅sinA=∘√7=√217．因为AB<BC，所以C为锐角，则cosC=√1−sin2C=√1−37=2√77．因此sin2C=2sinC⋅cosC=2×√217×2√77=4√37．37. （1）因为a与b⃗−2c垂直，所以a⋅(b⃗−2c)=4cosαsinβ−8cosαcosβ+4sinαcosβ+8sinαsinβ=4sin(α+β)−8cos(α+β)=0,因此tan(α+β)=2.（2）由b⃗+c=(sinβ+cosβ,4cosβ−4sinβ),得∣∣b⃗+c∣∣=√(sinβ+cosβ)2+(4cosβ−4sinβ)2=√17−15sin2β≤4√2,又当β=kπ−π4,k∈Z时，等号成立，所以∣∣b⃗+c∣∣的最大值为4√2．（3）由tanαtanβ=16,得4cosαsinβ=sinα4cosβ,所以a∥b⃗.38. （1）由已知，点A，B的坐标分别为(cosα,sinα)，(cosβ,sinβ)．因为α、β都是锐角，且cosα=√210,cosβ=2√55,所以sinα=7√210,sinβ=√55, 则tanα=7,tanβ=12,tan (α+β)=tanα+tanβ1−tanαtanβ=−3.（2）由 tanβ=12 得tan2β=2tanβ1−tan 2β=43,所以tan (α+2β)=tanα+tan2β1−tanαtan2β=−1.又 α，β∈(0,π2)，所以 α+2β∈(0,3π2)，故α+2β=3π4.39. 由 f (x )=sinωxcosφ+cosωxsinφ 是偶函数，得 cosφ=0．依题设 0≤φ≤π，所以解得 φ=π2．由 f (x ) 的图象关于点 M 对称，得 f (3π4)=0．所以3ωπ4+π2=π+kπ,k =0,1,2⋯ ∴ω=23(2k +1),k =0,1,2,⋯当 k =0 时，ω=23，f (x )=sin (23x +π2) 在 [0,π2] 上是减函数；当 k =1 时，ω=2，f (x )=sin (2x +π2) 在 [0,π2] 上是减函数；当 k ≥2 时，ω≥103，f (x )=sin (ωx +π2) 在 [0,π2] 上不是单调函数．综上得 ω=23 或 ω=2．40. （1）因为 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以AB ⋅AC ⋅cosA =3BA ⋅BC ⋅cosB,即AC ⋅cosA =3BC ⋅cosB,由正弦定理知AC sinB =BCsinA, 从而sinBcosA =3sinAcosB,又因为 0<A +B <π，所以cosA >0,cosB >0,所以 tanB =3tanA ．（2）因为 cosC =√55,0<C <π，所以sinC =√1−cos 2C =2√55, 从而 tanC =2，于是 tan [π−(A +B )]=2．即tan (A +B )=−2,亦即tanA +tanB1−tanAtanB=−2,由（1）得4tanA1−3tan 2A=−2,解得tanA =1或−13,因为 cosA >0，故 tanA =1．所以 A =π4．41. （1）在 △ABC 中，因为 cosA =1213,cosC =35，所以sinA =513,sinC =45, 从而sinB=sin [π−(A +C )]=sin (A +C )=sinAcosC +cosAsinC =513×35+1213×45=6365. 由正弦定理ABsinC=AC sinB，得AB=ACsinB⋅sinC =12606365×45=1040(m ),所以索道 AB 的长为 1040m ．（2）设乙出发 tmin 后，甲、乙两游客距离为 d ，此时，甲行走了 (100+50t )m ，乙距离 A 处 130tm ，所以，由余弦定理得d 2=(100+50t )2+(130t )2−2×130t ×(100+50t )×1213=200(37t 2−70t +50).由于 0≤t ≤1040130，即0≤t ≤8,故当 t =3537(min ) 时，甲、乙两游客距离最短．（3）由正弦定理 BC sinA=AC sinB，得BC=ACsinB ⋅sinA =12606365×513=500(m ).乙从 B 出发时，甲已走了50×(2+8+1)=550(m ),还需走 710m 才能到达 C ．设乙步行的速度为 vm/min ，由题意得−3≤500v −71050≤3,解得125043≤v ≤62514, 所以为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3min ，乙步行的速度应控制在 [125043,62514]（单位：m/min ）范围内．42. 由已知可设 P(√3cosφ,sinφ)(0≤φ<2π)，则S =x +y=√3cosφ+sinφ=2sin (φ+π3),所以当 φ=π6 时，S 取最大值 2． 43. （1）因为sin (A +π6)=√32sinA +12cosA =2cosA,所以 sinA =√3cosA ，所以 A =π3．（2）因为 cosA =13，b =3c ，所以a 2=b 2+c 2−2bccosA =8c 2,a =2√2c.由正弦定理得：2√2c sinA =csinC, 而 sinA =√1−cos 2A =2√23，所以 sinC =13．44. （1）因为tanα=AE AB ,tanβ=AE AD, 所以tanαtanβ=AD AB =3130. 又tanα=HAB,tanβ=4AD−AB,所以H AB ⋅AD−AB4=ADAB,把ADAB =3130代入得H=124m．（2）由题设知d=AB，从而tanα=Hd．由AB=AD−BD=Htanβ−ℎtanβ,得tanβ=H−ℎd.所以tan(α−β)=tanα−tanβ1+tanαtanβ=ℎd+H(H−ℎ)d≤ℎ2√H(H−ℎ),当且仅当d=H(H−ℎ)d，即d=√H(H−ℎ)=√125×(125−4)=55√5时，上式取等号．所以当d=55√5时，tan(α−β)最大．因为0<β<α<π2，则0<α−β<π2，所以当d=55√5时，α−β最大．故所求的d是55√5m．45. （1）由AB，BC，AC为有理数及余弦定理知cosA=AB2+AC2−BC22AB⋅AC是有理数．（2）用数学归纳法证明cosnA和sinA⋅sinnA都是有理数．①当n=1时，由（1）知cosA是有理数，从而有sinA⋅sinA=1−cos2A也是有理数．②假设当n=k(k≥1)时，coskA和sinA⋅sinkA都是有理数．当n=k+1时，由cos(k+1)A=cosA⋅coskA−sinA⋅sinkA,sinA⋅sin(k+1)A=sinA⋅(sinA⋅coskA+cosA⋅sinkA)=(sinA⋅sinA)⋅coskA+(sinA⋅sinkA)⋅cosA,由①和归纳假设，知cos(k+1)A与sinA⋅sin(k+1)A都是有理数，即当n=k+1时，结论成立．综合①、②可知，对任意正整数n，cosnA是有理数．46. （1）连结BG，则BG是BE在面ABD的射影，从而∠EBG是A1B与平面ABD所成的角．设F为AB中点，连结EF、FC，因为E是A1B的中点，所以EF∥AA1，且EF=12AA1，又D是CC1的中点，所以CD∥AA1，且CD=12AA1，从而EF∥CD，且EF=CD，所以EFCD为平行四边形．又DC⊥平面ABC，所以EFCD为矩形．连结DF，G是△ADB的重心，则G∈DF．在Rt△EFD中，EF2=FG⋅FD=13FD2.由EF=1，解得FD=√3，从而ED=√2,EG=1×√2√3=√63.在Rt△ABC中，因为FC=ED=√2，所以AB=2√2,A1B=2√3,EB=√3.在Rt△EBG中，sin∠EBG=EGEB=√23.因此，A1B与平面ABD所成的角是arcsin√23．（2）因为ED⊥AB，ED⊥EF，EF∩AB=F，所以ED⊥平面A1AB．设A1到平面AED的距离为ℎ，由V A1−AED =V D−AA1E，得S△AED⋅ℎ=S△A1AE⋅ED,因为S △A 1AE =12S △A 1AB =√2,S △AED =12AE ⋅ED =√62.所以ℎ=√2×√2√62=2√63. 因此，A 1 到平面 AED 的距离为 2√63． 47. （1）不妨设正三角形 ABC 的边长为 3，则在图 1 中，取 BE 的中点 D ，连结 DF ． ∵ AE ∶EB =CF ∶FA =1∶2，∴ AF =AD =2，而 ∠A =60∘， ∴ △ADF 为正三角形．又 AE =DE =1，∴ EF ⊥AE ．从而在图 2 中，EF ⊥A 1E ． ∵ 二面角 A 1−EF −B 为直二面角， ∴ A 1E ⊥平面 BEP ．（2）在图 2 中，∵ A 1E ⊥平面 BEP ， ∴ A 1E ⊥BP ，由线面垂直的判定与性质，得 BP 垂直于 A 1E 在面 A 1BP 内的射影．设 A 1E 在平面 A 1BP 内的射影为 A 1Q ，且 A 1Q 交 BP 于 Q ．则 ∠EA 1Q 就是 A 1E 与平面 A 1BP 所成的角，且 BP ⊥A 1Q ．在 △EBP 中，∵ BE =BP =2，∠EBP =60∘， ∴ △EBP 为正三角形，∴ BE =EP ．又 ∵ A 1E ⊥平面 BEP ，∴ A 1B =A 1P ， ∴ Q 为 BP 的中点，且 EQ =√3，而 A 1E =1， ∴ 在 Rt △A 1EQ 中，tan∠EA 1Q =EQA 1E=√3. 因此，直线 A 1E与面 A 1BP 所成角为 60∘．（3）在图2中，过F作FM⊥A1P于M，连结QM、QF．∵CF=CP=1，∠C=60∘，∴△FCP为正三角形，从而PF=1．又∵PQ=12BP=1，∴PF=PQ．⋯⋯①∵A1E⊥平面BEP，EQ=EF=√3，∴A1F=A1Q，∴△A1FP≌△A1QP，从而∠A1PF=∠A1PQ．⋯⋯②由①、②及MP为公共边，得△FMP≌△QMP，∴∠QMP=∠FMP=90∘，且MF=MQ，从而∠FMQ为二面角B−A1P−F的平面角．在Rt△A1QP中，A1Q=A1F=2，PQ=1，∴A1P=√5．由MQ⊥A1P，得MF=MQ=A1Q⋅PQA1P=2√55.在△FCQ中，FC=1，QC=2，∠C=60∘．由余弦定理，得QF=√3，在△FMQ中，cos∠FMQ=MF2+MQ2−QF22MF⋅MQ=−78.因此，二面角B−A1P−F的大小为π−arccos78．第21页（共21 页）。

2002年高考试题—数学(江苏)及答案

A 2002年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学第I 卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）函数xxx f cos 2sin )(=的最小正周期是（）。

A.2πB. πC. π2D. π4 （2）圆1)1(22=+−y x 的圆心到直线x y 33=的距离是（）。

A.21B. 23C. 1D. 3（3）不等式0|)|1)(1(>−+x x 的解集是（）A. }10|{<≤x xB. }10|{−≠<x x x 且C. }11|{<<−x xD. }11|{−≠<x x x 且（4）在)2,0(π内，使x x cos sin >成立的x 取值范围为（）A. )45,()2,4(ππππ⋃ B. ),4(ππ C. )45,4(ππ D. )23,45(),4(ππππ⋃（5）设集合},214|{},,412|{Z k k x x N Z k k x x M ∈+==∈+==，则（）A. N M =B. N M ⊂C. N M ⊃D. φ=N M（6）一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积恰好与半球的体积相等，那么，这个圆锥轴截面顶角的余弦值是（）。

A.43 B. 54 C. 53 D. 53−（7）函数b a x x x f ++=||)(是奇函数的充要条件是（）A.ab=0B. a+b=0C. a=bD. 022=+b a （8）已知10<<<<a y x ，则有（）。

A. 0)(log <xy aB. 1)(log 0<<xy aC. 2)(log 1<<xy aD.2)(log >xy a（9）函数111−−=x yA. 在（+∞−,1）内单调递增B. 在（+∞−,1）内单调递减C. 在（+∞,1）内单调递增D. 在（+∞,1）内单调递减（10）极坐标方程θρcos =与1cos =θρ（11）从正方体的6个面中选取3个面，其中有2 A.8种 B. 12种 C. 16种 D. 20种（12）据2002年3月5日九届人大五次会议《政府工作报告》：“2001年国内生产总值达到95933亿元，比上年增长7.3%，”如果“五十⋅”期间（2001年—2005年）每年的国内生产总值都按此年增长率增长，那么到“五十⋅”末，我国国内生产总值约为（）。

2003年高考.江苏卷.数学试题与答案

2003年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学（理工农医类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷 3至10页考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）如果函数2 yaxbxa 的图象与x 轴有两个交点，则点(a,b)在aOb 平面上的区域（不包含边界）为（）bbbbOOOOaaaa(A)(B)(C)(D)（2）抛物线 2 yax 的准线方程是y2，则a 的值为（）（A ） 1 8 （B ）－ 1 8（C ）8（D ）－84（3）已知x(,0),cosx,则tg2x （）25（A ） 7 24 （B ）－ 7 24 （C ）24 7（D ）－24 7（4）设函数 fx21,x0,若则的取值范围是（）(x)1f(x)1,x002 x,x 0（A ）（－1，1）（B ）(1,)（C ）（－∞，－2）∪（0，+∞）（D ）（－∞，－1）∪（1，+∞）（5）O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足ABACOPOA(),0,则,P 的轨迹一定通过ABC 的ABAC（A ）外心（B ）内心（C ）重心（D ）垂心（6）函数x1 yln,x(1,)的反函数为（）x1（A ） x e1 y,x(0,) x e1 （B ） x e1 y,x(0,)x e1 xx e1e1y,x(,0)y,x(,0)（C ）（D ）xx e1e1（7）棱长为a 的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为（）（A ） 3 a 3 （B ） 3 a 4 （C ） 3 a 6（D ） 3 a 12（8）设2 a0,f(x)axbxc ，曲线yf(x)在点P(x 0,f(x 0))处切线的倾斜角的取值范围为0,,4则到曲线yf(x)对称轴距离的取值范围为（）P （A ）0,1 a （B ）0, 1 2a（C ）0,b 2a（D ）0,b1 2a2xmxxn21的的等差数列，（9）已知方程(2)(2)0x 的四个根组成一个首项为4则|m n|（）（A ）1（B ）3（C ） 41（D ） 2 3 8（10）已知双曲线中心在原点且一个焦点为F （7，0），直线yx1与其相交于M 、 2N 两点，MN 中点的横坐标为，则此双曲线的方程是（） 3 2y2y2y2222y 2xxxx（A ）1（B ）1（C ）1（D ）134435225（11）已知长方形的四个顶点A （0，0），B （2，0），C （2，1）和D （0，1），一质点从AB 的中点P 0沿与AB 的夹角的方向射到BC 上的点P 1后，依次反射到CD 、DA 和 AB 上的点P 2、P 3和P 4（入射角等于反射角），设P 4的坐标为（x 4，0），若1x 42，则tg 的取值范围是（）（A ）（ 1，1） 13 ， 2）（C ）25 ， 12 ）（D ） 2， 5 23 ）（B）（3 （3（（12）一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（）（A）3（B）4（C）33（D）62003年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学（理工农医类）第Ⅱ卷（非选择题共90分）二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分把答案填在题中横线上1 （13）2)9(x的展开式中2x9x系数是（14）某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1200辆，6000辆和2000辆为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取___________，__________，___________辆（15）某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图）现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有___________________种（以数字作答）561432 （16）对于四面体ABCD，给出下列四个命题①若ABAC,BDCD,则BCAD②若ABCD,ACBD,则BCAD③若ABAC,BDCD,则BCAD④若ABCD,ACBD,则BCAD其中真命题的序号是__________________.（写出所有真命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或或演算步骤（17）（本小题满分12分）有三种产品，合格率分别为0.90,0.95和0.95，各抽取一件进行检验（Ⅰ）求恰有一件不合格的概率；（Ⅱ）求至少有两件不合格的概率（精确到0.001）（18）（本小题满分12分）已知函数f(x)sin(x)(0,0)是R上的偶函数，其图象关于点3M对称，且在区间0, (,0)4 2上是单调函数求和的值（19）（本小题满分12分）如图，在直三棱柱A BCA1BC中，底面是等腰直角三角形，ACB90，侧11棱2AA，D、E分别是1 C C与AB1的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G 1（Ⅰ）求A1B与平面ABD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）（Ⅱ）求点A1到平面AED的距离C1A1B1DEGCBA（20）（本小题满分12分）已知常数a0,向量c(0,a),i(1,0)经过原点O以ci为方向向量的直线与经过定点A(0,a)以i2c为方向向量的直线相交于P，其中R试问：是否存在两个定点E、F，使得PEPF为定值若存在，求出E、F的坐标；若不存在，说明理由（21）（本小题满分12分）已知a0,n 为正整数（Ⅰ）设y (xa)n，证明y 'n(xa)n1；nn（Ⅱ）设f (x)x(x a)，对任意n a ，证明f n1'(n1)(n 1)f n '(n)n（22）（本小题满分14分）设a 0，如图，已知直线l:yax 及曲线2 C:yx,C 上的点Q 1的横坐标为a 1(0a 1a).从C 上的点Q n (n1)作直线平行于x 轴，交直线l 于点P n1，再从点P n1作直线平行于y 轴，交曲线C 于点Q 1.Q(n1,2,3,⋯）的横坐标构成数列a n nn（Ⅰ）试求 a 与a 的关系，并求n1n a 的通项公式； n（Ⅱ）当1n a1,a 时，证明12k1(a a)a kk1k2 1 32n （Ⅲ）当a1时，证明k1(aa)a kk1k21 3c ylr2 Q 3 r 1Q 2 Q 1Oa a 2a 3 1x2003年普通高等学校招生全国统一考试数学试题（江苏卷）答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分60分.1．C2．B3．D4．D5．B6．B7．C8．B9．C10．D11．C12．A二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分.13．2114．6,30,1015．12016．①④2三、解答题17．本小题要主考查相互独立事件概率的计算，运用数学知识解决问题的能力，满分12分. 解：设三种产品各抽取一件，抽到合格产品的事件分别为A、B和C.（Ⅰ）P(A)0.90,P(B)P(C)0.95，P(A)0.10,P(B)P(C)0.05.因为事件A，B，C相互独立，恰有一件不合格的概率为P(A BC)P(ABC)P(ABC)P(A)P(B)P(C)P(A)P(B)P(C)P(A)P(B)P(C)20.900.950.050.100.950.950.176答：恰有一件不合格的概率为0.176.解法一：至少有两件不合格的概率为P(ABC)P(ABC)P(A BC)P(ABC)0.90 20.05 20.10 0.05 0.95 0.10 20.05 0.012 解法二：三件产品都合格的概率为P(ABC)P(A)P(B)P(C)0.9020.95 0.812由（Ⅰ）知，恰有一件不合格的概率为0.176，所以至有两件不合格的概率为1[P(ABC)0.176]1(0.8120.176)0.012.答：至少有两件不合的概率为0.012.（18）在小题主要考查三角函数的图象和单调性、奇偶性等基本知识，以及分析问题和推理计算能力，满12分分。

历年江苏数学高考试卷

2008年普通高校招生全国统一考试（江苏卷）数学1. ()cos()6f x wx π=-的最小正周期为5π，其中0w >，则w = ▲ 。

【解析】本小题考查三角函数的周期公式。

2105T w w ππ==⇒=。

答案102.一个骰子连续投2次，点数和为4的概率为 ▲ 。

【解析】本小题考查古典概型。

基本事件共66⨯个，点数和为4的有(1,3)、(2,2)、(3,1)共3个，故316612P ==⨯。

答案112 3.11i i-+表示为a bi +(,)a b R ∈，则a b += ▲ 。

【解析】本小题考查复数的除法运算， 1,0,11ii a b i-=∴==+ ，因此a b +=1。

答案14. {}2(1)37,A x x x =-<-则A Z 的元素个数为 ▲ 。

【解析】本小题考查集合的运算和解一元二次不等式。

由2(1)37x x -<-得2580x x -+< 因为0∆<，所以A φ=，因此A Z φ= ，元素的个数为0。

答案05.,a b 的夹角为0120，1,3a b == ，则5a b -= ▲ 。

【解析】本小题考查向量的线形运算。

因为1313()22a b ⋅=⨯⨯-=-，所以22225(5)2510a b a b a b a b -=-=+-⋅ =49。

因此5a b -=7。

答案76.在平面直角坐标系xoy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D 中随意投一点，则落入E 中的概率为 ▲ 。

【解析】本小题考查古典概型。

如图：区域D表示边长为4的正方形ABCD的内部（含边界），区域E表示单位圆及其内部，因此214416Pππ⨯==⨯。

答案16π7.某地区为了解70~80岁老人的日平均睡眠时间（单位：h），随机选择了50位老人进行调查。

下表是这50位老人日睡眠时间的频率分布表。

序号（i）分组（睡眠时间）组中值（iG）频数（人数）频率（iF）1 [4,5) 4.5 6 0.122 [5,6) 5.5 10 0.203 [6,7) 6.5 20 0.404 [7,8) 7.5 10 0.205 [8,9) 8.5 4 0.08在上述统计数据的分析中，一部分计算算法流程图，则输出的S的值是▲。

江苏省苏州市(新版)2024高考数学苏教版考试(拓展卷)完整试卷

江苏省苏州市（新版）2024高考数学苏教版考试(拓展卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知全集，集合，则（）A．B．C．D．第(2)题已知，是双曲线C的左右焦点，P为双曲线C上一点，，实轴长为2，若，则双曲线的离心率为（）A．B．2C．D．第(3)题极坐标方程所表示的曲线是（）A．两条相交直线B．圆C．椭圆D．双曲线第(4)题古希腊亚历山大时期的数学家帕普斯在《数学汇编》第3卷中记载着一个确定重心的定理：“如果同一平面内的一个闭合图形的内部与一条直线不相交，那么该闭合图形围绕这条直线旋转一周所得到的旋转体的体积等于闭合图形面积乘以该闭合图形的重心旋转所得周长的积”，即（表示平面图形绕旋转轴旋转的体积，表示平面图形的面积，表示重心绕旋转轴旋转一周的周长）.如图直角梯形，已知，则重心到的距离为（）A．B．C．3D．2第(5)题已知数列为等差数列，且，则的值为（）A．1B．C．2D．第(6)题若定义在区间内的函数满足，则a的取值范围是（）A．B．C．D．第(7)题已知随机变量服从正态分布，若，则（）A．B．C．D．第(8)题从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有（）.A．20种B．16种C．12种D．8种二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知是等比数列，是其前n项和，满足，则下列说法正确的有（）A．若是正项数列，则是单调递增数列B．一定是等比数列C．若存在，使对都成立，则是等差数列D ．若，且，，则时取最小值第(2)题若对任意的，，且，都有，则m的值可能是（）A．B．C．D．1第(3)题若，x，，则（）A．B．C．D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题设内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c.已知，则______．第(2)题若函数满足当时，，当时，，则___________.第(3)题函数的反函数为________________.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题如图，在四棱台中，底面四边形为菱形，，，平面.(1)证明：；(2)若是棱上一动点（含端点），平面与平面所成锐二面角的余弦值为，求的值.第(2)题已知点为抛物线：的焦点，点，点为抛物线上的动点，直线：截以为直径的圆所得的弦长为定值.（1）求的值；（2）如图，直线交轴于点，抛物线上的点满足的中垂线过点且直线不与轴平行，求的面积的最大值.第(3)题已知函数.（1）证明：曲线在点处的切线恒过定点；（2）若有两个零点，，且，证明：.第(4)题在平面直角坐标系中，已知点、，点的轨迹为.（1）求的方程；（2）设点在直线上，过的两条直线分别交于、两点和，两点，且，求直线的斜率与直线的斜率之和.第(5)题已知函数，其中．(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)若对任意，有恒成立，求实数k的取值范围．。

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2008年普通高校招生全国统一考试（江苏卷）数学1. ()cos()6f x wx π=-的最小正周期为5π，其中0w >，则w = ▲ 。

【解析】本小题考查三角函数的周期公式。

2105T w w ππ==⇒=。

答案102.一个骰子连续投2次，点数和为4的概率为 ▲ 。

【解析】本小题考查古典概型。

基本事件共66⨯个，点数和为4的有(1,3)、(2,2)、(3,1)共3个，故316612P ==⨯。

答案112 3.11i i-+表示为a bi +(,)a b R ∈，则a b += ▲ 。

【解析】本小题考查复数的除法运算， 1,0,11ii a b i-=∴==+，因此a b +=1。

答案14. {}2(1)37,A x x x =-<-则AZ 的元素个数为 ▲ 。

【解析】本小题考查集合的运算和解一元二次不等式。

由2(1)37x x -<-得2580x x -+< 因为0∆<，所以A φ=，因此A Z φ=，元素的个数为0。

答案05.,a b 的夹角为0120，1,3a b ==，则5a b -= ▲ 。

【解析】本小题考查向量的线形运算。

因为1313()22a b ⋅=⨯⨯-=- ，所以22225(5)2510a b a b a b a b -=-=+-⋅=49。

因此5a b -=7。

【解析】本小题考查古典概型。

如图：区域D表示边长为4的正方形ABCD的内部（含边界），区域E表示单位圆及其内部，因此214416Pππ⨯==⨯。

答案16π7.某地区为了解70~80岁老人的日平均睡眠时间（单位：h），随机选择了50位老人进行调查。

下表是这50位老人日睡眠时间的频率分布表。

【解析】本小题考查统计与算法知识。

答案6.428.直线12y x b=+是曲线ln(0)y x x=>的一条切线，则实数b=▲。

【解析】本小题考查导数的几何意义、切线的求法。

1yx'=，令112x=得2x=，故切点为(2,ln2)，代入直线方程，得1ln222b=⨯+，所以ln21b=-。

答案ln21b=-9.在平面直角坐标系中，设三角形ABC的顶点坐标分别为(0,),(,0),(,0)A aB bC c，点(0,)P p在线段OA上（异于端点），设,,,a b c p均为非零实数，直线,BP CP分别交,AC AB于点E，F，一同学已正确算出OE的方程：1111x yb c p a⎛⎫⎛⎫-+-=⎪⎪⎝⎭⎝⎭，请你求OF的方程：▲。

【解析】本小题考查直线方程的求法。

画草图，由对称性可猜想1111()()0x y c b p a-+-=。

事实上，由截距式可得直线:1x yAB a b+=，直线:1x y CD c p +=，两式相减得1111()()0x y c b p a-+-=，显然直线AB 与CP 的交点F 满足此方程，又原点O 也满足此方程，故为所求的直线OF 的方程。

答案1111()()0x y c b p a-+-=。

10.将全体正整数排成一个三角形数阵：12345678910按照以上排列的规律，第n 行(3)n ≥从左向右的第3个数为 ▲ 。

【解析】本小题考查归纳推理和等差数列求和公式。

前1n -行共用了123(1)n +++-(1)2n n -个数，因此第n 行(3)n ≥从左向右的第3个数是全体正整数中的第(1)32n n-+个，即为262n n -+。

答案262n n -+11.2,,,230,y x y z R x y z xz*∈-+=的最小值为 ▲ 。

【解析】本小题考查二元基本不等式的运用。

由230x y z -+=得32x zy +=，代入2y xz 得229666344x z xz xz xzxz xz+++≥=，当且仅当3x z =时取“=”。

答案3。

12.在平面直角坐标系中，椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦距为2，以O 为圆心，a 为半径的圆，过点2(,0)a c作圆的两切线互相垂直，则离心率e =▲ 。

【解析】本小题考查椭圆的基本量和直线与圆相切的位置关系。

如图，切线,PA PB 互相垂直，又OA PA ⊥，所以OAP ∆是等腰直角三角形，故2a c=，解得c e a ==13.若2,AB AC ==，则ABC S ∆的最大值 ▲ 。

【解析】本小题考查三角形面积公式及函数思想。

因为AB=2（定长），可以以AB 所在的直线为x 轴，其中垂线为y 轴建立直角坐标系，则(1,0),(1,0)A B -，设(,)C x y ，由AC ==化简得22(3)8x y -+=，即C 在以（3，0）为圆心，为半径的圆上运动。

又12ABC c c S AB y y ∆=⋅⋅=≤答案14.3()31f x ax x =-+对于[]1,1x ∈-总有()0f x ≥成立，则a = ▲ 。

【解析】本小题考查函数单调性及恒成立问题的综合运用,体现了分类讨论的数学思想。

要使()0f x ≥恒成立，只要min ()0f x ≥在[]1,1x ∈-上恒成立。

22()333(1)f x ax ax '=-=-01 当0a =时，()31f x x =-+，所以min ()20f x =-<，不符合题意，舍去。

02当0a <时22()333(1)0f x ax ax '=-=-<，即()f x 单调递减，min ()(1)202f x f a a ==-≥⇒≥，舍去。

03当0a >时()0f x x '=⇒=① 111a a ≤⇒≥时()f x 在11,a ⎡-⎢⎣和 1,1a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在11,a a ⎛ ⎝上单调递减。

所以min1()min (1),()f x f f a ⎧⎫⎪⎪=-⎨⎬⎪⎪⎩⎭(1)400411(120f a a f a a -=-+≥⎧⎪≥⇒⇒=⎨=-≥⎪⎩② 111a a>⇒<时()f x 在[]1,1x ∈-上单调递减， min ()(1)202f x f a a ==-≥⇒≥，不符合题意，舍去。

综上可知a=4.答案4。

15.如图，在平面直角坐标系xoy 中，以ox 轴为始边做两个锐角,αβ，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点，已知A ，B 的横坐标分别为225105。

（1）求tan()αβ+的值；（2）求2αβ+的值。

【解析】本小题考查三角函数的定义、两角和的正切、二倍角的正切公式。

由条件得225cos ,cos 105αβ==， α为锐角，故2sin 0sin 10αα>=且。

同理可得5sin 5β=，因此1tan 7,tan 2αβ==。

（1）17tan tan 2tan()11tan tan 172αβαβαβ+++==--⨯=-3。

（2）132tan(2)tan[()]11(3)2αβαββ-++=++=--⨯=-1，0,0,22ππαβ<<<<3022παβ∴<+<，从而324παβ+=。

16．在四面体ABCD 中，CB=CD ，AD BD ⊥，且E ，F 分别是AB ，BD 的中点，求证（I ）直线EF D 面AC ；（II ）EFC D ⊥面面BC 。

证明：（I ）E ，F 分别为AB ，BD 的中点EF AD ⇒EF ADAD ACD EF ACD EF ACD ⎫⎪⇒⊂⇒⎬⎪⊄⎭面面面。

（II ）EF AD EF BDAD BD CD CB CF BD BD EFC F BD EF CF F⎫⎫⇒⊥⎬⎪⊥⎭⎪⎪=⎫⎪⇒⊥⇒⊥⎬⎬⎭⎪⎪=⎪⎪⎭面为的中点又BD BCD ⊂面，所以EFC D ⊥面面BC17．某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的顶点A ，B ，及CD 的中点P 处，已知20AB =km, 10CD km =,为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD 的区域上（含边界），且A ，B 与等距离的一点O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO ，BO ，OP ，设排污管道的总长为ykm 。

（I ）按下列要求写出函数关系式：① 设()BAO rad θ∠=，将y 表示成θ的函数关系式； ② 设()OP x km =，将y 表示成x 的函数关系式。

（II ）请你选用（I ）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排水管道总长度最短。

【解析】本小题考查函数最值的应用。

（I ）①由条件可知PQ 垂直平分AB ，()BAO rad θ∠=，则10AQ OA COS BAO COS θ==∠ DEFCAB故10OB COS θ=，又1010tan OP θ=-，所以10101010tan y OA OB OP COS COS θθθ=++=++-2010sin 10(0)cos 4θπθθ-=+<<。

②()OP x km =，则10OQ x =-，所以OA OB ===所以所求的函数关系式为10)y x x =+<<。

（I ）选择函数模型①。

22210cos (2010sin )(sin )10(2sin 1)cos cos y θθθθθθ-----'==。

令0y '=得1sin 2θ=，又04πθ<<，所以6πθ=。

当06πθ<<时，0y '<，y 是θ的减函数；64ππθ<<时，0y '>，y 是θ的增函数。

所以当6πθ=时min 10y =。

当P 位于线段AB 的中垂线上且距离AB 边3km 处。

18.设平面直角坐标系xoy 中，设二次函数2()2()f x x x b x R =++∈的图象与坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C 。

（1）求实数b 的取值范围；（2）求圆C 的方程；（3）问圆C 是否经过某定点（其坐标与b 无关）？请证明你的结论。

【解析】本小题考查二次函数图象与性质、圆的方程的求法。

（1）010(0)0b b f ∆>⎧⇒<≠⎨≠⎩且（2）设所求圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=。